CC BY
1
2024 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 64
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 512.718 DOI 10.17223/20710410/64/1
КРИТЕРИЙ НЁТЕРОВОСТИ ПО УРАВНЕНИЯМ И СЛОЖНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШИМОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НАД ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫМИ МНОЖЕСТВАМИ
А. Ю. Никитин, И, Д. Кудык Омский государственный университет, им. Ф. М. Достоевского, г. Ом,ск, Россия E-mail: [email protected], [email protected]
Представлены результаты, касающиеся основной проблемы алгебраической геометрии над частично упорядоченными множествами с вычислительной точки зрения, а именно задачи разрешимости системы уравнений над частичным порядком. Задача разрешимости систем уравнений разрешима за полиномиальное время, если ориентированный граф, соответствующий частичному порядку, является приведённым интервальным орграфом, и является NP-полной, если основание ориентированного графа соответствующего частичного порядка является циклом длины не меньше 4. Получен также результат, характеризующий возможность перехода от бесконечных систем уравнений над частичным порядком к конечным системам. Алгебраические системы, обладающие указанным свойством, называются нётеровыми по уравнениям. Частично упорядоченное множество обладает свойством нётеровости по уравнениям тогда и только тогда, когда любые его верхние и нижние конусы с базой являются конечно определёнными.
Ключевые слова: системы уравнений, вычислительная сложность, частично упорядоченное множество, нётеровость по уравнениям, конусы, разрешимость.
CRITERION FOR EQUATIONAL NOETHERIANITY AND COMPLEXITY OF THE SOLVABILITY PROBLEM FOR SYSTEMS OF EQUATIONS OVER PARTIALLY ORDERED SETS
A.Yu. Nikitin, I.D. Kudvk
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Results are presented concerning the main problem of algebraic geometry over partially ordered sets from a computational point of view, namely, the solvability problem for systems of equations over a partial order. This problem is solvable in polynomial time if the directed graph corresponding to the partial order is a adjusted interval digraph, and is NP-complete if the base of the directed graph corresponding to the partial order is a cycle of length at least 4. We also present a result characterizing the possibility of transition from infinite systems of equations over partial orders to finite systems. Algebraic systems with this property are called equationally Noetherian. A partially ordered set is equationally Noetherian if and only if any of its upper and lower cones with base are finitely defined.
Keywords: systems of equations, computational complexity, partially ordered set, poset, equationally Noetherian property, cones, solvability.
Введение
Классическая алгебраическая геометрия изучает уравнения и системы уравнений над полями вещественных и комплексных чисел. Во второй половине XX века бурный рост переживает такое направление математики, как универсальная алгебраическая геометрия, которая изучает системы уравнений над произвольными алгебраическими системами. Общие закономерности для алгебраических систем выводятся на основе изучения различных алгебраических систем, таких, как свободные неабелевы группы, абелевы группы, разрешимые группы, метабелевы группы, полугруппы, решётки, графы и т, д. Данная работа посвящена вопросам алгебраической геометрии над частично упорядоченными множествами и представляет собой продолжение исследований алгебраической геометрии над алгебраическими системами без функциональных символов.
Системы уравнений бывают как конечные, так и бесконечные. Свойство нётеро-вости по уравнениям говорит о том, что можно из бесконечных систем уравнений выделить эквивалентные конечные подсистемы, оно характеризует «податливость» системы к изучению с точки зрения алгебраической геометрии. Если система обладает данным свойством, то из этого сразу же следует множество свойств, характеризующих конечность цепочек алгебраических конструкций над этой системой, таких, как убывающие цепочки алгебраических подмножеств, цепочки собственных эпиморфизмов координатных алгебр, обрыв возрастающих цепочек дизъюнктивных радикальных идеалов и т.д. [1]. Существуют алгебраические структуры, обладающие данным свойством как безусловно, так и при определённом условии (известны критерии нё-теровости), В п, 1 данной работы приведены необходимые предварительные сведения. Пункт 2 посвящён формулировке критерия нётеровоети по уравнениям для частично упорядоченных множеств (ЧУМ),
Для систем уравнений над алгебраическими системами существуют такие важные объекты, как координатная алгебра и радикал системы. Они определяют общее решение системы, если оно есть. Но перед тем, как решать систему уравнений и искать её общее решение, важно знать: разрешима ли эта система, имеет ли она решение в принципе? Этому вопросу посвящен п, 3, где показана связь ЧУМ с подклассом ориентированных графов и связь задачи разрешимости систем уравнений с подзадачей удовлетворения ограничений — задачей списочного гомоморфизма.
Использование частично упорядоченных множеств на практике широко распространено, С их помощью можно строить модели таких структур, как базы данных, потоки данных в сети, события во временных рядах и др., где требуется задание иерархии, Уравнения над частичными порядками задают некоторые подструктуры (по. шо-рядки) в данных моделях. Поэтому изучение систем уравнений над частично упорядоченными множествами также важно и с практической точки зрения. Например, если задана модель компьютерных вычислений в качестве последовательно-параллельного частичного порядка, то через решение системы уравнений можно определять доступность одного вычисления для другого. Но по свойствам изначальной модели можно сразу понять: разрешимы ли системы за полиномиальное время или нет? И если нет, то модель вычислений можно менять так, чтобы системы решались эффективно по времени.
Теоремы 1, 5, 6 и леммы 1 и 2 доказаны А. Ю. Никитиным. Следствие 1 выведено И. Д. К уды ком.
1. Предварительные сведения
Дадим базовые определения теории решёток [2, 3] и универсальной алгебраической геометрии [1] и введём вспомогательные определения порождающих элементов конуса, конуса с базой, конечно порождённого и конечно определённого конуса, необходимые для формулировки результатов.
Частично упорядоченным множеством (частичным порядком) называется алгебраическая система V = (Р; А}), где ^ — предикатный символ отношения порядка и А — множество константных символов, па которой выполнены следующие три аксиомы:
1) Ур € Р р ^ р (рефлексивность);
2) Ур1,р2 € Р (р1 ^ р2 Лр2 ^ Р1) ^ р1 = р2 (антисимметричность);
3) Ур1,р2,р3 € Р (р1 ^ р2 Л р2 ^ р3) ^ р1 ^ р3 (транзитивность).
А
дем обозначать как ЬА,
Для частично упорядоченного множества V = (Р; |^(2),А}) предикат частичного порядка задаёт соотношения для элементе в носителя Р. Множество таких соотношений обозначается Если для элементов частичного порядка V выражение р% ^ Р] выполнимо над V, то это можно обозначить как р^ ^ р] или в терминах
выполнимости как V N р» ^ Р].
Алгебраическая система называется диофантовой, если между носителем алгебраической системы и множеством её константных символов в языке существует взаимно однозначное соответствие.
Элементы х и у частичного порядка V называются сравнимыми, если в V либо х ^ у, либо у ^ х. В противном случае, элементы называются несравнимыми, это обозначается как х ^ у [3, с. 16]. Далее по тексту в некоторых местах удобно будет писать не а ^ Ь, а Ь ^ а, что означает одно и то же.
Для любого множества элементов А частичного порядка V определены множества А* = {х € V : У а € А а ^ х} и А^ = {х € V : У а € Ах ^ а}. Эти множества
А
множества А) с- 90]- Для одноэлементного множества А = {а} будем обозначать а* и а^ соответственно.
Множеством порождающих элементов конуса А* (А^) называется множество элементов В частичного порядка V, для которого верно В* = А* (В^ = А^), Конус А* (А^) называется конечно порождённым, если существует конечное множество В порождающих этого конуса.
А
вается пара (А, А*), которая состоит из базы А и верхнего конуса А*, порождённо-А
(А, А*) называется конечно определённым, если существует В С А, такое, что |В| < то и В * = А*.
Терм,ом, в языке Ь от переменных X называется выражение, определенное рекурсивно следующим образом:
1) любая переменная х € X есть терм;
Ь
3) если ¿1,..., ¿п — термы и ^(п) — функциональный символ языка Ь, то ^(¿^ ..., ¿п) является термом.
Через Т^(Х) обозначим множество всех термов языка Ь от переменных X,
Атомарной формулой языка Ь от переменных X называется выражение, определенное следующим образом:
1) для любых ti,tj € Т^(Х) выражен не и = является атомарной формулой;
2) для любого предикатного символа языка Ь и для любых термов ¿1,..., ¿п Е € 7ъ(Х) выражение Д(и1,..., ¿п) является атомарной формулой.
Множество атомарных формул в языке Ь от переменных X обозначается ^¿¿(Х), В алгебраической геометрии уравнением в языке Ь от переменных X называется атомарная формула в этом языке от переменных X, Произвольное множество уравнений из Аи^^) называется системой уравнений. Дадим определение уравнения для частичных порядков.
Пусть Xn = {х1,..., хп} — множество переменных и задан частичный порядок Р = (Р; {^,А}), Уравнением в языке ьа частичного порядка Р от перемениых Xn называется одно из следующих выражений:
1) а = о/, где а^ а/ € А;
2) ai ^ а/ (или а/ ^ а^, где ai,aj• € А;
3) х = а/ где х € Xn, а/ € А;
4 ^ i / ^ Г,! "^ в i, / С^ Xn ^
5) ai ^ (или х/ ^ а^, где х/ € Xn, ai € А;
6) х ^ а/ (или а/ ^ х^, где xi € Xn, а/ € А;
7) xi ^ х/ (или х/ ^ х^, где xi,xj• € Xn,
Для системы уравнений Б (X) над частичным порядком Р в языке ьа от переменных X договоримся обозначать множество уравнений типа ai = а/ где а^а/ € А, в системе уравнений 5(X) через Ба=а, Аналогично обозначаются остальные множества типов уравнений:
^а^ао ^а^ао Бж=а, Бж=ж (1)
Множество ап = {(а1,..., оп) : ai € А} называется аффинным, п-мерным пространством, над алгебраической системой А, а его элементы— точками.
Точка р = (а1,..., оп) € ап называется корнем (решением,) уравнения в € А^^), если А N в(а1,... ,оп), Точка р является решением системы уравнений Б С А^^), если она является решением для каждого уравнения из системы Б,
Пусть Б — система уравнений языка ьа от переменных X, Множество всех решений системы Б в пространстве ап обозначается через Уд(Б) (или V(Б) для краткости) и определяется как ^(Б) = {(а1,..., оп) € ап : Ув € Б А N в(а1,..., оп)}.
Система уравнений Б называется несовжестной над А, если ^(Б) = 0; иначе она называется совместной. Две системы уравнений Б1 и Б2 называются эквивалентными над А (обозначается Б1 Б2), если = ^(Б2).
2. Критерий нётеровости по уравнениям
Сформулируем и докажем критерии свойств нётеровости по уравнениям и слабой нётеровости по уравнениям для частичных порядков,
А
любого конечного множества X и любой системы уравнений Б С Аи^^) существует
такая конечная система Б0, что Уд (Б) = Уд(Б0). Если при этом Б0 С Б, то алгебраическая система А называется нётеровой по уравнениям.
Теорема 1. Частичный порядок V в языке ьа в диофантовом случае обладает свойством нётеровости по уравнениям тогда и только тогда, когда для любого подмножества В элементов частичного порядка V верхний и нижний конусы с базой В являются конечно определёнными.
Доказательство. Пусть для частичного порядка V любые конусы с базой являются конечно определёнными и задана система уравнений Б (Хп) над V в язы ке ьа от п переменных. Предположим, что эта система содержит все семь типов уравнений (1) и уравнений каждого типа бесконечное число.
Без ограничения общности считаем, что все различные константы в системе Б(Хп) имеют разные интерпретации на V, Это условие не является обязательным, но упрощает дальнейшие строгие рассуждения и не влияет на суть доказательства.
Требуется доказать, что из системы Б(Хп) можно выбрать конечную подсистему Б'(Хга), эквивалентную Б(Хп), Множество решений спстемы Б(Хп) можно определить следующим образом: V(Б) = V(Ба=а) П V(Ба<а) П V(БХ=а) П V(БХ=Х) П V(БХ<а) П П V(Ба<Х) П V(БХ<Х), Покажем, что из подсистем каждого типа уравнений можно выбрать конечную подсистему, эквивалентную изначальной.
Сначала рассмотрим подсистему Ба=а С Б(Хга), Если это множество уравнений совместно над V, то оно никак не влияет па множество решений системы уравнений Б(Хп) и определяется подсистема Б^=а = 0. Если Ба=а несовместна над V, то существует уравнение а, = а] € Ба=а, которое те выполнено над частичным порядком V, и это уравнение эквивалентно подсистеме Ба=а, Аналогичные рассуждения применимы к множеству уравнений Ба<а С Б(Хга),
Ввиду конечности множества переменных можно выбрать конечные подмножества уравнений БХ=Х и БХ<Х, эквивалентных подспстемам БХ=Х и БХ<Х соответственно. Отметим, что системы БХ=Х и БХ<Х не могут быть несовместными.
Если множество уравнений БХ=а С Б(Хп) совместно, то, опять ввиду конечности множества переменных, существует конечная подсистема БХ=а С БХ=а, эквивалентная БХ=а, Иначе в БХ=а существует такая пара уравпепий х, = а^, х, = ак, что а] = ак. Эта пара уравнений является эквивалентной БХ=а подсистемой.
Пусть выделено подмножество уравнений БХ<а С БХ<а, в котором все уравнения зависят от переменной х,. Это множество можно представить следующим образом: БХ4<а = {х, < а] : ] € 7, 171 = то}. Из этого представления видно, что V(БХ<а) = А^, где А, = {а] : ] € 7}, Пользуясь свойством, что любые конусы с базой частичного порядка V конечно определённые, можно выбрать такое конечное подмножество 7' С что А, = {а] : ] € 7', |7'| < то} и (А,)^ = А^, Это означает, что можно выбрать конечную подсистему БХ,<а — БХ4<а,
Применяя описанную процедуру для всех переменных из БХ<а, можно выделить конечную подсистему^<а - БХ<а. Аналогичными рассуждениями можно вывести существование конечной подсистемы Б'а<Х — Ба<Х.
Таким образом, построены конечные подсистемы Ба=а, Ба<а, БХ=а, БХ=Х, Ба<Х, БХ<а и БХ<Х, эквивалентные подсистемам Ба=а, Ба<а, Бх=а, бх=х, Ба<х, БХ<а и бх<х системы Б(Хп) соответственно. Это озпачает, что V(Б) = V(Ба=а) П V(Ба<а) П V(БХ=а) П П V(БХ=х) П V(БХ<а) П V(Б'<х) П V(БХ<х) <
Теперь пусть частичный порядок V нётеров по уравнениям. Рассмотрим произвольное бесконечное множество элементов А частичного порядка V, У него есть
нижний конус А- Составим систему уравнений Б(х) = {х ^ ai : ai € А} над V, Ввиду того, что V нётеров по уравнениям, можно выбрать конечную подсистему Б'(х) = {х ^ ai : ai € А', |А'| < то} ~ Б(х), Это означает, что А- = А'-, Тем самым доказана конечная определённость нижнего конуса с базой для любого множества элементов А частичного порядка V, Аналогично доказывается конечная определённость верхних конусов с базой, ■
Следует отметить, что если конус с базой В не является конечно определённым, то это не означает, что В^ или В- не являются конечно порождёнными. Пример: пусть задан частичный порядок V = Ъ и {д}, где Ъ —линейный порядок па множестве целых чисел и д — единичный элемент, который те сравним ни с одним элементом из Ъ, Фрагмент графа данного частичного порядка приведён на рис, 1,
г - 1 г ■ Я
г +1
Рис. 1. Частичный порядок V = Ъ и {я}
Легко видеть, что Ъ- = 0; для любого конечного подмножеетва В С Ъ верно В- = 0, Но если взять множество С = {0,д}, то С- = 0 = Ъ- Это озтачает, что Ъ-является конечно порождённым.
Из этого примера и критерия нётеровоети по уравнениям получаем следующее
Следствие 1. Частичный порядок V в языке ьа обладает свойством слабой нё-
А
элементов частичного порядка V конусы В^ и В- являются конечно порождёнными,
3. Сложность проблемы разрешимости систем уравнений над частичными порядками
Сформулируем задачу разрешимости систем уравнений над частичными порядками и необходимые условия её полиномиальной разрешимости и МР-полноты, Для этого введём ряд определений [4] и переформулируем их с алгебраической точки зрения.
Граф С = ) с множеством вершин V есть некоторое семейство сочетаний или пар вида Е = (а, Ь), а, Ь € V, указывающее, какие вершины считаются соединёнными [4, с, 11],
Если рассматривать граф как алгебраическую систему, то можно сказать, что граф С = (V; Е) — это алгебраическая система с множеством вершин V в качестве носителя
Е
фе [1, с, 21], Пара вершин и,^ € V, для которой выполнено Е(и,^), называется ребром графа С. Далее ребро будем обозначать (и,г>). Если порядок вершин в ребре не существенен, то есть (и,^) = (^,и), то такое ребро называется неориентированным или звеном. Если порядок существенен, то ребро называется ориентированным или дугой. Для дуги (и,^) вершин а и является исходящей, а вершина V — входящей. Граф
является неориентированным, если каждое его ребро неориентированное, и ориентированным, если все его ребра ориентированы. Если ребро графа имеет своё начало и конец в одной и той же вершине, то такое ребро называется петлёй.
Ориентированному графу С можно поставить в соответствие неориентированный граф и (С), полученный из С путём замены дуг на неориентированные рёбра.
Далее будем использовать графы специального вида, которые имеют ключевую роль в работе [5]. Пусть задано множество интервалов I = {/1,... ,/п} на вещественной прямой К. Неориентированный граф С = (V; Е) называется интервальным, если его множеству вершин V = {^1,..., уп} соответствует множество интервалов I и ) € Е(С) тогда и только тогда, когда /^ П /^ = 0, Пусть теперь задана пара
множеств интервалов {11,..., /п} и {71,..., /п}. Ориентированный граф С = (V; Е)
'
(/^, ^) и (и, у) € Е(С) тогда и только тогда, когда /и П ^ = 0, Ориентированный
'
лы /^ и ^ имеют общую левую точку. На рис, 2 представлен пример приведённого интервального ориентированного графа и его интервальная форма.
а к*
О
©
ь
Jd — Id -
Jb
Jc — Ic -
a
Рис. 2. Приведённый интервальный ориентированный граф и его интервальная форма
Пусть даны два графа H и G, Гомоморфизмом графа H в граф G называется такое отображение ф : V(H) ^ V(G), что для всех u,v G V(H) если (u,v) G E(H), то (ф(«),ф^)) G E(G),
Известна связь между частичными порядками и графами [4], Пусть задан частичный порядок P, ему соответствует граф Гр, вершинам которого соответствуют элементы частичного порядка, и дуга (рг,р) есть в графе Гр, если и только если Pj ^ Граф Гр является рефлексивным, транзитивным, антисимметричным и ациклическим, если не рассматривать петли. Назовём граф, построенный по частичному порядку, р-графом.
Пусть дан днофантов частичный порядок P в языке La- Задача разрешимости системы уравнений S (Xn) над частичным порядком P формулируется следующим образом: совместна ли система уравнений S (Xn) над частичным порядком P в язы ке La? Будем обозначать данную задачу как Cons(P),
Задача разрешимости системы уравнений над частичным порядком тесно связана с задачей списочного гом ом, орфизм a (list homomorphism problem) [5-8], Некоторые авторы называют её задачей списка Н-раскраски (list H-eoloring problem). Она формулируется следующим образом: пусть заданы два графа G и H и для каждой вершины v графа G задано множество вершин L(v) С V (H) граф а H, Существует ли такой гомоморфизм ф : G ^ H, что для каждой вершины v G V (G) верши на <^v) принадлежит заданному списку вершин L(v)? В задаче граф H фиксирован, а граф G и множества
вершин {L(vj) : L(vj) С V(H), Vj G V(G)} являются входными параметрами. Задача списочного гомоморфизма для графа H обозначается L-HOM(H) [5].
В случае, когда для любой вершины v G V(G) список L(v) равен всему мно-V(H) (H)
(H)
L-HOM(H), где для каждой вершины v входного графа G список L(v) содержит либо одну вершину u графа H (для каждой v вершина u своя), либо равен множеству V(H),
(H)
место в этой иерархии занимает задача Cons(V), Приведём известные результаты,
H
лексивный орграф, у которого U(H) является циклом длины больше 3, Тогда задача (H)
H
(H)
номиальное время,
(H) (H) (H)
всегда полиномиально разрешима. Более того, существует условие, при котором задача (H)
H
ный граф. Если H содержит направленную астероидную тройку, то задача L-HOM (H) является NP-полпой,
Направленная астероидная тройка —это достаточно сложный объект, определённый для ориентированных графов. Его полное определение дано в [7].
(H)
H
H
доминирует над всеми остальными [5, с, 7],
Далее показано сведение задачи Cons(V) к задаче L-HOM(H),
Лемма 1. Пусть задан диофантов частичный порядок V в языке La (|A| = m) и этому частичному порядку соответствует р-граф H. Задача Сons(V) сводится к задаче (H)
Доказательство. Для диофантового случая частичного порядка P в язы ке LA определим множество уравнений всех отношений порядка между элементами
носителя V. Для доказательства леммы опишем алгоритм 1, Графы представляются матрицами смежности, уравнения кодируются тройками: первый аргумент, второй аргумент, предикат.
Необходимо показать, что решениям системы уравнений S(Xn) над V взаимно од-
GH
кам L, Пусть для решения р = (pix,... ,pin) задано отображение
Ф x)=i , x=, G ga,
j \ hifc, x = gifc, k G {l,...,n}, gifc G ga. Сначала нужно показать, что фг — это гомоморфизм, то есть
Vgr,gs G V(G)((gr,gs) G E(G) ^ (фг(дг),^i(gs)) G E(H)).
Так как константные символы S (Xn) преобразуются по шагу 4 алгоритма 1 в вершины Ga и все их соотношения добавлены в систему на шаге 2, то можно выделить подграф W (GA,E ) граф a G, который изоморфен р-графу И, построенному на шаге 3 алгоритма. Поэтому
Vgar ,gas G Ga ((gar , gas ) G E (G) ^ (ф (g„r ),^i(g0, )) G Е(И)) , что обеспечивается построением ф^
Алгоритм 1. Сведение входа задачи Сош(Р) к L-HOM(H)
Вход: система уравнений S(Xn) над частичным порядком Р в языке La (вход для задачи Сош(Р)),
Выход: граф G со списками вершин L (вход для задачи L-HOM(H)),
1: Система уравнений S(Xn) разбивается па семь непересекающихся подсистем уравнений (1), При этом уравнение ti = t2 наД Р, где t1 ъ t2—термы, эквивалентно паре неравенств t1 ^ t2 и t2 ^ t^. Поэтому система S(Xn) заменяется на эквивалентную ей систему уравнений S'(Xn), содержащую только уравнения типов Sa^a,
Sx^a; Sa^x И Sx^x-
2: Если подсистема Sa^a в S'(Xn) совместна, то её можно исключить из рассмотрения, потому что она не влияет па разрешимость системы S'(Xn). Если Sa^a в S'(Xn) несовместна, то: 1) система S(Xn) несовместна; 2) в системе Sa^a существует уравнение aj ^ aj которое те верно над Р. Вводится система S"(Xn) = S'(Xn) U Sa^a, эквивалентная системе S(Xn),
3: По частичному порядку Р строится рграф И, Каждому элементу носителя pj G Р ставится в соответствие вершина графа h G V(И), Если для p^pj G Р верно Р 1= pj ^ pj; то (hi, hj) G E(И), Так как рассматривается диофантов случай, то константные символы aj G А также переходят в элемент hj, как и pj.
4: По системе S"(Xn) строится граф G: вершинам графа G соответствуют переменные Xn и константы я зыка А; дуг а (tj,tj) присутствует в г рафе G, если уравнение tj ^ tj содержится в системе S'(Xn), tj,tj G {Xn U А} Для вершин графа G, соответствующих константным символам А, вводится обозначение Ga = {gai,... ,g«m }.
5: По подсистеме Sx^a U Sa^x строятся списки вершин графа И, Для каждой переменной xj в подсистеме выделяются те уравнения, которые зависят только от этой переменной: Sxi^a U Sa^xr Далее из системы Sxi^a выбираются все константы (их множество обозначим АХ.), Аналогично выбирается множество АХ. констант из Sa^xi,
Определяется множество констант L(xj) = АХ П А£., Если подсистема Sxi^a пустая, то L(xj) = А Для всех констант L(aj) = {aj},
6: Для списков элементов из шага 5 определяются списки вершин: для каждого x G Xn по шагу 4 определена вершина v G V(G) и списку L(x) = {aj1,..., ajr} соответствует список L(v) = {hj1,..., hjr} С V (И ), где верши на hjfc соответствует константе ajfc из шага 3. Константным спмволам aj G А соответствуют вершины gj G Ga по шагу 4 и L(gj) = hj; где hj соответствует константе aj по шагу 3,
Далее пусть зафиксирован элемент с V \ GA для решен ия р = (р^,... ,р^п) системы уравнений 5(Хп) и выбран произвольный элемент дг € А Если (д^, дг) € € Е то те шагу 4 алгоритма 1 вершина дг соответствует эле менту аг, а вершина д^ — перемен ной Есл и (д^, дг) € Е то ^ аг € 5 (Хп), Для решения р^ переменной соответствует эле мент р^ и, следовател ьно, Р N р^ ^ рг. Из шага 3 алгоритма
следует, что (hifc, h) е E(Я), Но фг(дг) = h ъ фДд^) = hifc, Эти рассуждения верны для всех элементов из V(G) \ Ga- Тем самым показано, что
Vgr е {V(G) \ GA}Vg„s е Ga((gr,g„s) е E(G) ^ (фДдг),фДд0в)) е E(Я)). Аналогичными рассуждениями доказывается, что
Vg„r е GaV^s е {V(G) \ GA}((gari.,gs) е E(G) ^ (фг(д„г),ф*Ы) е Е(Я)); Vgr,gs е {V(G) \ Ga}((^^,g«s) е E(G) ^ (фДдг),ф*Ы) е E(Я)).
Таким образом, отображение фг : G ^ Я является гомоморфизмом.
Теперь нужно показать, что данный гомоморфизм удовлетворяет условиям списков L(g) для графа G,
По шагам 5 и 6 видно, что L(g) = h для всех g е Ga- Так как фг(дг) = h для всех g е Ga, то для всех элементов из Ga гомоморфизм фг удовлетворяет условиям списков.
Пусть gifc е {V(G) \ Ga} и фДд^) = hifc, Для него по шагам 5 и 6 определён список вершин L(gifc) С V(Я) В шаге 4 вершина gifc сопоставлена переменной xk, которой соответствует список элементов L(xk) (шаг 5). Так как рг = (рг1 , ...,pin) — решение S(Xn), то aifc е L(xk). По шагу 6 это означает, что hifc = фДд^) е L(gjfc), т.е. фг удовлетворяет условиям списков вершин.
Таким образом, каждое решение системы уравнений рг = (рг1,... ,pin) определяет гомоморфизм фг, удовлетворяющий попаданию в списки вершин.
Для взаимно однозначного соответствия осталось показать, что других гомоморфизмов, удовлетворяющих спискам, не существует.
Пусть есть гомоморфизм ф : G ^ Я, который удовлетворяет спискам вершин, полученным по алгоритму, но не соответствует ни одному из решений. Так как ф удовлетворяет всем спискам, то он удовлетворяет и всем спискам для g е Ga, то есть сохраняется изоморфноеть Я и подграфа G, Если система уравнений несовместна из-за уравнений в то гомоморфизм G ^ Я нельзя составить так, чтобы он
удовлетворял спискам для Ga-
Пусть выделен некоторый элемент дг е V(G) \ Ga и ф(дг) = hj. Из алгоритма 1 видно, что переменная хг соответствует вершине дг, а элемент и константа (pj и ßj) частичного порядка V —верши не hj. Так как hj е L(gj), то ßj е L(xj) по шагам 5 и 6 алгоритма. Аналогичную процедуру можно проделать по остальным элементам из V(G) \ Ga и получить значения а = (аа1,..., аа„) для всех перемеиных Xn,
В системе уравнений четыре вида подсистем: и Как уже от-
мечалось, непротиворечива, иначе ф не гомоморфизм, Подсистемы и не могут быть противоречивыми при подстановке значений из а, так как они удовлетворяют всем спискам вершин, которые составляются по данным уравнениям на шаге 5, Значит, при подстановке значений а в систему получаются неверные над V выражения, Пусть таким выражением будет ak ^ а1; соответствующее vpaвнению хг ^ Xj, т. е. V И pk ^ pj. Вершины hk, hj являются образами вершии дг ,gj, соответствующих переменным хг, Xj, По алгоритму 1 переменные хг, Xj преобразуются в вершины дг, gj е {V(G) \ Ga} и между ними есть дуга (gj, дг) е E(G). Так как ф — гомоморфизм, то (ф^-), ф(дг)) = (hj, hk) е E(Я), Но так как V И pk ^ pl; то дуги (hj, hk) в Я быть не может. Противоречие, Тем самым доказано, что решения системы уравнений взаимно однозначно определяют гомоморфизмы между графами, удовлетворяющие спискам.
Алгоритм сведения задач является полиномиальным по числу элементов частичного порядка (га) и количеству переменных в системе уравнений (n), Первый шаг алгоритма — замена подсистем Sa=a, Sx=a и Sx=x на и — увеличи-
вает количество уравнений не более чем вдвое. Следующий шаг — проверка совместности подсистемы проверяется совместность не более га2 уравнений. Построение ^графа H то частичному по рядку P представляет собой копирование матрицы смежности, Для получения графа G строится матрица смежности с (n + га) вершинами и не более чем (n + га)2 дугами. Наконец, построение списков вершин —это поиск пересечений конусов. Для элемента частичного порядка а построение а^ и происходит путём сравнения элемента а со всеми элементами частичного порядка. Поэтому трудоёмкость данной операции оценивается как O(га). Построение произвольного подмножества элементов частичного порядка проходит так, что сначала строится а^ для любого элемента а G Далее остальные элеме нты из ^.сравниваются с а^. Сложность этой процедуры можно оценить как 0(га2), Необходимо пост роить n таких множеств. Следовательно, алгоритм сведения задачи Cons(P) к задаче L-HOM(H) является полиномиальным по числу элементов частичного порядка и числу переменных в системе уравнений и имеет трудоёмкость O(n2 + nm2 + га2), ■
Следует отметить, что задачу L-HOM(H) нельзя свести к задаче Cons(P): задача L-HOM(H) шире, чем задача Cons(P), Например, на рис, 3 показана диаграмма Хаеее частичного порядка M. Рассмотрим все возможные конусы:
1) 0+ = 0f = а| = а| = |аьа2,а3};
2) а| = |а2,аз}1 = {аьа2};
3) а2 = {а!,а2}+ = {а2,аз};
4) {аьа2р = {а!,аз}1 = {аьа2,азр = {а1};
5) {а2,аз}+ = {а1,аз}+ = {аьа2,аз}+ = {аз}.
Если задать список L(v) = {а1,а3}, то видно, что никакое пересечение из всевоз-
{а1, а3}
формируютея по системам уравнений и то и ни по какой системе уравнений нельзя составить указанный список элементов,
а\
0,2 аз
Рис. 3. Частичный порядок M
Теорема 5. Пусть P —частичный порядок и H — соответствующий этому частичному порядку ^граф. Тогда если H — приведённый интервальный орграф, то задача Cons(P) разрешима за полиномиальное время.
Доказательство. По лемме 1 задача Cons(P) полиномиально сводится к зада-(H) H
граф. Рефлексивные ацикличные транзитивные орграфы являются подклассом ре-
(H)
номиальное время, если H — приведённый интервальный орграф, ■
Можно отметить случай, в котором частичный порядок V задан в языке L без констант. Тогда Cons(V) решается тривиально. Любая систем а уравнений S (Xn) над V состоит из уравнений двух типов: Sx=x и Следовательно, решениями данной
системы будут точки вида Рг = (рг,... ,рг), рг G V,
Что касается задачи ret(H), то её можно свести к задаче Cons(V) да яр-графов H, Лемма 2. Пусть задан р-граф H и ему соответствует частичный порядок V в языке la- Задача ret(H) сводится к задаче Cons(V) за полиномиальное время.
Доказательство. Для сведения построим по графам G, H и спискам L(v) систему уравнений S(Xn) и частичный порядок V,
Дано: рграф G и списки вершин L(v) G V(H), v G V(G) (вход для задачи ret(H)), Нужно построить систему уравнений S (Xn) над частичным порядком ^шыке la
(V)
р H V
Пусть в графе G всего n вершин. По графу G строится система уравнений следующим образом: вершинам графа G ставятся в соответствие переменные Xn; если в графе G присутствует дуга (g^gj), то в систему добавляется у равнение x ^ j По спискам L(v) строится множество ура впепий Sx=a: если для верш ипы дг граф a G список L(gj) = {hj}, то в систему добавляется уравнение x = aj, где x соответствует вершине gi; а константа aj —верши не hj. Есл и L(gj) = V (H), то никакие уравнения в систему не добавляются. Система S(Xn) представляет собой объединение U Sx=a,
(V) (H)
казать соответствие гомоморфизмов между графом G со списками L и графом H и решениями системы S(Xn) над V в языке la-
Полиномиальность сведения (по числу вершин графов |V(G)| = n и |V(H)| = m)
VH
рованпем матрицы смежности и имеет трудоёмкость O(m). Построение системы уравнений S(Xn) те превосходит по сложности O(n2), так как построение оценивается порядком числа дуг графа G, а построение системы Sx=a — количеством вершин графа G (это множество уравнений определяется по спискам L(v)), Итого, трудоёмкость сведения оценивается как O(n2 + m), ■
V
ющего ему р^^фа H граф U(H) является циклом длины больше 3, то задача Cons (V) является \'i'-полной.
(V)
(H) H
Рефлексивные ацикличные транзитивные орграфы являются подклассом рефлексив-
(H)
U(H) является циклом длины больше 3. ■
Такие частичные порядки существуют. Один из них представлен на рис. 4.
(V)
V
(H)
(H) (V)
V
влетворения данных свойств получены в теоремах 5 и 6.
A C
D
Рис. 4. Частичный порядок P, v которого граф U(H) является циклом длины 4
Заключение
Сформулирован критерий нётеровости по уравнениям для частично упорядоченных множеств и даны необходимые условия для полиномиальной разрешимости и
NP-полноты задачи разрешимости системы уравнений над частично упорядоченными множествами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2016. 243 с.
2. Гуров С. И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. М.: Либроком, 2013. 221с.
3. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.
4. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980. 380 с.
5. Feder Т., Hell P., HunagJ., and Rafiey A. Interval graphs, adjusted interval digraphs, and reflexive list homomorphism // Discr. Appl. Math. 2012. V. 160. Iss.6. P. 697-707.
6. Feder Т., Hell P., and Hunag J. List Homomorphisms and Retractions to Reflexive Digraphs. http://theory.stanford.edu/~tomas/ref.pdf. 2007. 26p.
7. Hell P. and Rafiey A. The Dichotomy of List Homomorphisms for Digraphs, http://arxiv. org/abs/1004.2908. 2010.
8. Feder T. and Hell P. List homomorphisms to reflexive graphs //J. Combinatorial Theory. 1998. V. 72. No. 2. P. 236-250.
REFERENCES
1. Daniyarova E. Yu., Myasnikov A. G., and Remeslennikov V.N. Algebraicheskava geometriva nad algebraicheskimi sistemami [Algebraic Geometry over Algebraic Systems]. Novosibirsk, SB RAS Publ., 2016. 243 p. (in Russian)
2. Gurov S. I. Bulevv algebrv, uporvadochennve mnozhestva, reshetki: Opredeleniva, svovstva, primerv [Boolean Algebras, Ordered Sets, Lattices: Definitions, Properties, Examples]. Moscow, Librocom Publ., 2013. 221 p. (in Russian)
3. Gratzer G. General Lattice Theory. Basel, Birkhauser Verlag, 1978.
4. Ore O. Theory of Graphs. AMS, 1965. 270 p.
5. Feder Т., Hell P., Hunag J., and Rafiey A. Interval graphs, adjusted interval digraphs, and reflexive list homomorphism. Discr. Appl. Math., 2012, vol. 160, iss.6, pp. 697-707.
6. Feder Т., Hell P., and Hunag J. List Homomorphisms and Retractions to Reflexive Digraphs. http://theory.stanford.edu/~tomas/ref.pdf, 2007. 26p.
7. Hell P. and Rafiey A. The Dichotomy of List Homomorphisms for Digraphs, http://arxiv. org/abs/1004.2908, 2010
8. Feder T. and Hell P. List homomorphisms to reflexive graphs. J. Combinatorial Theory, 1998, vol.72, no. 2, pp. 236-250.
