АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И АЛГОРИТМЫ В КЛАССЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.52 DOI 10.24147/1812-3996.2024.1.23-32

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И АЛГОРИТМЫ В КЛАССЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ

А. Ю. Никитин

аспирант, e-mail: [email protected]

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

Аннотация. Представлены результаты исследования алгебраической геометрии над частично упорядоченными множествами с теоретико-модельной и вычислительной точек зрения. Представлен полиномиальный алгоритм построения координатного частичного порядка для систем уравнений над конечными частично упорядоченными множествами.

Ключевые слова: алгебраическая геометрия, частичные порядки, множества, радикал, системы уравнений, координатная алгебра, алгоритмы.

1. Введение

Решение уравнений и систем уравнений над вещественными, комплексными, рациональными и целыми числами является классической проблемой исследования в различных областях математики на протяжении тысячелетий. Классическая алгебраическая геометрия исследует алгебраические уравнения над полями вещественных и комплексных чисел. Диофантовая геометрия и диофантовый анализ изучают решения алгебраических уравнений над целыми и рациональными числами. В последние 20 лет активно развивалась так называемая универсальная алгебраическая геометрия [1-5], в которой исследуются системы уравнений над произвольными алгебраическими структурами. Основная проблема алгебраической геометрии - поиск множества решений системы уравнений. Это множество можно определить через общее решение системы уравнений. Структура общего решения системы уравнений над произвольной алгебраической структурой называется координатной алгеброй системы уравнений над алгебраической структурой. Координатная алгебра является одним из важнейших объектов алгебраической геометрии наравне с двойственным понятием - радикал системы уравнений. Радикал системы уравнений есть максимальная система уравнений, эквивалентная исходной системе. И именно радикал определяет конгруэнцию для алгебраической системы, которая и задает координатную алгебру как фактор-систему. Поэтому построение радикала системы уравнений является ключевым шагом для определения координатной алгебры.

В XX в. в связи с бурным развитием компьютерных технологий и прикладной математики на первый план вышло изучение конечных комбинаторных и алгебраических объектов. В первую очередь это конечные графы, конечные поля, конечные частично упорядоченные множества (частичные порядки). Классическими подходами к изучению конечных алгебраических систем можно считать алгебраический

и комбинаторный. Новыми же подходами к изучению данных объектов являются логические и теоретико-модельные, которые были порождены с развитием универсальной алгебраической геометрии [6]. Множество важных проблем над конечными графами, конечными полями и конечными порядками могут быть интерпретированы как решение систем уравнений над соответствующими алгебраическими структурами, что влечет за собой алгебро-геометрический аппарат.

В универсальной алгебраической геометрии присутствует алгоритмический аспект - сформулировать алгоритм, который строит определенный объект или определяет наличие свойств, таких как множество решений системы уравнений, радикал системы уравнений, координатная алгебра для системы или определение наличия свойства нетеровости по уравнениям. Несмотря на то, что для множества алгебраических систем проблема разрешимости систем уравнений или построения радикала системы уравнений вычислительно сложны, бывают и исключения, такие как алгоритм Гаусса в классической алгебраической геометрии.

В статье представлен полиномиальный алгоритм построения радикала и координатного частичного порядка для системы уравнений над конечным частичным порядком в языке без констант.

2. Предварительные сведения

В данном разделе будут даны необходимые определения из теории решеток [7], теории графов [8] и универсальной алгебраической геометрии [6].

Частично упорядоченным множеством (частичным порядком) называется алгебраическая система V = {Р; А}), где ^ - предикатный символ отношения порядка и А - множество константных символов, на которой выполнены 3 аксиомы:

1. Ур € Р р ^ р (рефлексивность).

2. Ур\,р2 € Рр\ ^ р2 Лр2 ^ р\ ^ р\ = р2 (антисимметричность).

3. Ур1,р2,р3 € Р р1 ^ р2 Л р2 ^ р3 ^ р1 ^ р3 (транзитивность).

Далее будут рассматриваться конечные частичные порядки в языке Ь = } без констант. Также множество констант будет обозначаться Хп = (х1,... хп}.

Элементы х и у частичного порядка V будут называться сравнимыми, если либо х ^ у, либо у ^ х. Иначе элементы называются несравнимыми.

Термом в языке Ьд = А} и для переменных Хп называется любая переменная и любая константа в языке. Атомарной формулой языка Ь для переменных Хп называется одно из следующих выражений:

1. ^1 = где 11,12 - термы.

2. t1 ^ Ь2, где 11,12 - термы.

Уравнением в языке Ь от переменных Хп называется любая атомарная формула в языке Ь. В языке частичных порядков без констант существует только 2 типа формул:

1. Х\ = х2, где хг,х2 € Хп.

2. х\ ^ х2, где х\,х2 € Хп.

Уравнения каждого из указанных типов обозначаются как Зх=х и соответственно. Также все множество уравнений в языке Ь от переменных Хп обозначается через АЪь(Хп).

Системой уравнений в языке Ь от переменных Хп называется произвольное множество уравнений в этом языке от переменных Хп.

Теперь необходимо ввести типы замкнутых систем в соответствии с аксиомами частичного порядка. Система 5(Хп) является транзитивно замкнутой, если для каждых уравнений Xi ^ х^ и х^ ^ она содержит уравнение Xi ^ хь. Система уравнений является антисимметрично замкнутой, если при включении в себя уравнений Хг ^ х^ и х^ ^ Хг она содержит и уравнения Хг = х^ и х^ = Хг. Система уравнений является рефлексивно замкнутой, если она Ух^ € Хп содержит в себе

Множество

-)П

Рп = {(ръ...,рп) | рг € Р}

называется аффинным п-мерным пространством над частичным порядком V = (Р; а его элементы точками.

Пусть 8(Хп) - система уравнений над частичным порядком V = (Р; от переменных Хп. Тогда множество всех решений системы уравнений Б(Хп) в аффинном п-мерном пространстве Рп обозначается V(в),

V (в) = {(рг, ...,рп) € Рп | Р N фь ... ,рп)Ур € Б},

и называется алгебраическим множеством системы 5 над V.

Система 5 называется совместной, если V(X) = 0. Иначе система несовместна.

Радикалом системы уравнений Б(Хп) над V называется следующее подмножество множества АЪь (Хп):

КайР (в) = & € А1Ь(Х )| V N фг,. ..,Рп) У(рг,... ,рп) € V (в)}.

Радикал системы уравнений 5(Хп) определяет координатный частичный порядок. Этот объект представляет собой общее решение системы уравнений. Координатный частичный порядок системы уравнений Б(Хп) языка Ь - это частичный порядок Г-р(в), который представляет собой фактор-систему (Хп; (Хп)),

где отношения на переменные определяются Кад,(Хп). Более общее определение координатной алгебры может быть найдено в [6].

Две системы уравнений Бг и Я2 называются эквивалентными, если V(Бг) = V(в2). Обозначается как ~ в2.

Частичные порядки Тг и Т2 одного языка Ь называются геометрически эквивалентными, если для любого множества переменных X и любой системы уравнений £ ^ АЪь(Х) выполнено Каё,^(Б) = Rad■p2(Б).

Среди частичных порядков выделяется отдельный класс, которому будет уделено особое внимание. Частичный порядок называется вырожденным, если в нем каждый отдельный элемент сравним сам с собой и ни с каким другим элементом.

Частичные порядки тесно связаны с графами: любому частичному порядку можно поставить во взаимно однозначное соответствие граф. Эта связь хорошо известна [8], но для понимания будет описана процедура преобразования частичного порядка V = {Р; к графу Г = {V; Е). Элементам частичного порядка V соответствуют вершины графа Г. В графе Г будет дуга (р1,р2), если в V верно р1 ^ р2. Получившийся граф Г будет транзитивно замкнут и иметь петлю в каждой вершине. Также если удалить все петли из графа Г, то граф будет обладать свойством ацикличности. Назовем такие графы p-графами.

Так же, для изложения результатов, потребуются определения неориентированной простой цепи для ориентированного графа. Пусть С = {V; Е) - простой неориентированный граф. Последовательностью ребер в С называется такой конечный или бесконечный набор ребер

8 = (..., Ео, Е1, Е2,...),

что каждые 2 смежных ребра Е^-1 и Е^ имеют общую вершину. Последовательность ребер называется цепью, если каждое из ребер в последовательности присутствует в наборе не более одного раза. Для ориентированных графов можно ввести аналог простой цепи - путь. В классическом понимании пути конец одного ребра является началом следующего ребра в последовательности. В представленной работе под путем будет пониматься ориентированная простоя цепь, но конец одного ребра может быть как началом, так и концом следующего ребра в последовательности.

Пусть заданы 2 графа С и Н. Гомоморфизмом графа Н на граф С называется такое отображение <р : V(Н) ^ V(С), при котором для любых двух вершин и,у € V(Н) если Е(и,у) € Е(Н), то Е(ф(и), <р(ь)) € Е(С). Множество гомоморфизмов из Н в С обозначается через Нот(Н, С).

3. Радикал и частично упорядоченное множество

Для любой системы уравнений 8(Хп) в языке Ь = от переменных Хп верны следующие утверждения: 1) система 8 всегда совместна; 2) система 8 состоит из двух типов уравнений 8Х=Х и 8Х^Х. Система уравнений будет всегда совместной, так как любая точка p = (рг,... ,рг), рг € Р, будет являться решением системы уравнений в языке Ь.

Далее будет приведен алгоритм построения радикала любой системы уравнений над невырожденным частичным порядком от п переменным в языке без констант. Вход: конечная система уравнений 8(Хп) от переменных Хп над конечным невырожденным частичным порядком V в языке без констант. Выход: Кай-р(Б).

Шаг 1. 8(Хп) = 8Х=Х и 8Х^Х. Все равенства заменяются на эквивалентные пары неравенств. То есть равенство Хг = х^ эквивалентно паре неравенств Хг ^ х^ и

х^ ^ Хг. Получится новая система уравнений 8'(Хп) = 8'хэквивалентная изначальной системе.

Шаг 2. Осуществляется переход от системы уравнений 8'(Хп) к ориентированному графу Г таким образом, что переменные Хп будут соответствовать вершинам графа Г, а уравнение Xi ^ х^ € 8'(Хп) будет соответствовать дуге (х^ ,Хг) графа Г.

Шаг 3. Проводится процедура транзитивного замыкания графа Г. В результате получится граф Тг(Г).

Шаг 4. Проводится обратная процедура преобразования графа Тг(Г) к системе уравнений 5"(Хп).

Шаг 5. Проводится процедура рефлексивного и затем антисимметричного замыкания системы 8"(Хп). В итоге получится система Ш. Система уравнений Ш будет совпадать с радикалом системы уравнений 5(Хп).

Для доказательства описанного алгоритма введем вспомогательные структуры и леммы.

Лемма 1. Решения системы уравнений 8(Хп) над V взаимно однозначно соответствуют множеству гомоморфизмов Нот(Св, V).

Доказательство приведенной леммы можно найти в работе [9].

Далее необходимо сформулировать вторую вспомогательную лемму в данной главе.

Лемма 2. Пусть задан произвольный частичный порядок V в языке Ь без констант и двудольный частичный порядок из двух элементов Ка,ъ. Тогда для любых двух несравнимых элементов х,у в V всегда найдутся два различных гомоморфизма, которые обладают свойствами £х,у и £у,х.

Доказательство. Определим гомоморфизм рх,у : V ^ Ка,ъ следующим образом:

Ь, если г ^ у;

<Рх,у (?)

■ а, иначе.

По построению данное отображение обладает свойством £х,у. Докажем, что рх,у является гомоморфизмом.

Рассмотрим два произвольных различных элемента € V. Если в ^ ¿, то любое отношение между образами рх,у (в) и рх,у(I) в Ка,ъ не нарушает свойство гомоморфизма. Пусть ^ ^ ¿. Свойство гомоморфизма будет нарушено, если рх,у (в) = а и рх,у (I) = Ь, поскольку Ь ^ а в Ка Ь. Но если рх,у (I) = Ь, значит Ь ^ у, а это означает, что 5 ^ у и, следовательно, рх,у(в) = Ь. Это означает, что рх,у является гомоморфизмом.

Отображение ру,х будет также гомоморфизмом и обладать свойством £у,х. ■

Наравне с леммами потребуется ввести следующие конструкции. Пусть задана система уравнений 8(Хп) над частичным порядком V в языке Ь без констант. По системе уравнений можно построить ориентированный граф таким образом, что переменные системы будут являться вершинами графа , а сами уравнения будут определять ребра.

Пусть задан двудольный частичный порядок из двух элементов Ка,ь и произвольный частичный порядок V. В порядке Ка,ь элемент а принадлежит верхней доле, а элемент Ь - нижней. Будем говорить, что гомоморфизм <р : V ^ Ка,ь обладает свойством Ех,у, если для элементов х,у € V выполнены два условия: ц>(х) = а и

Ч>(У) = Ь.

Теперь будет дана формулировка основной теоремы.

Теорема 1. Алгоритм построения радикала конечных систем уравнений над конечными невырожденными частичными порядками корректно строит радикал для систем уравнений.

Доказательство. Пусть задана система уравнений 5(Хп) в языке частичных порядков Ь без констант, и пусть Ш - система уравнений, полученная в результате применения алгоритма к системе Б(Хп). Переформулируем утверждение теоремы следующим образом: Ш совпадает с радикалом системы уравнений 5(Хп) над частичным порядком V тогда и только тогда, когда V - невырожденный.

Сначала докажем достаточность данного утверждения. Пусть частичный порядок V вырожден. Тогда для уравнения Хг ^ х^ из 5(Хп) в радикале Кайр (Б) содержится неравенство Xj ^ Хг и, как следствие, равенство Хг = х^. Их наличие обуславливается тем, что Урк € V при значении хг = рк в решении может быть только значение х^ = рк, при подстановке которого в уравнение Xi ^ х^ полученное предложение выполнено над V .В V все элементы несравнимы друг с другом, поэтому любые две сравнимые переменные в системе Б(Хп) будут принимать одинаковое значение в V. Если система состоит из одного уравнения Хг ^ Xj, то неравенство хз ^ Хг не может быть получено из вышеописанного алгоритма. Поэтому, если V вырожденный частичный порядок, то алгоритм определяет радикал не верно.

Доказательство обратного утверждения: множество уравнений Ш, построенное по алгоритму, совпадает с радикалом системы уравнений 5(Хп) над невырожденным частичным порядком V. В частичном порядке V, по определению, должны быть такие два элемента рк и р\, что рк < рь Обозначим такой подпорядок через КР1 гРк. Так же отметим, что: 1) Ш эквивалентна Кайр(Б), то есть V(Ш) = V(Кайр(Б); 2) Ш С Кайр (Б); 3) Ш транзитивно рефлексивно и антисимметрично замкнуто.

Покажем, что множество неравенств в радикале совпадает с множеством неравенств в Ш. Рассмотрим любые 2 переменные Хг и Xj. Пусть они несравнимы в Ш. Если переменные Хг и Xj несравнимы, то они либо соединены путем, не зависящим от направления (далее - путь), в графе Сщ, построенном по Ш, либо не соединены. Пусть переменные не соединены путем. Определим следующее отображение Фрк ,Р1,%1 : ^ Крирк

Рассмотрим две произвольные переменные х,у € Хп системы Б(Хп). Пусть х ^ у € Ш. Если х соединена путем с Хг, то и у соединена путем с Хг, значит фРк,Р1,Хн (х) = фРк,Р1,Х, (у) = рк. Верно и обратное: если х не соединена путем с Хг, то и у не соединена и фРк,Р1,Х1 (х) = фРкгРиХн(у) = рг. Это означает, что

'Рк, если у соединена путем с Хг в графе,

построенном по системе Ш; Р1, иначе.

ФРк ,Р1,Хг (Х) ^ 'Фрк,Р1,Хг (У). СлеД0BаTеЛЬH0, отображение фрк ,риТн является гомоморфизмом. Для переменных хг,х^ гомоморфизмы фРк :РиХ1 и фРк >РиХ. по лемме 1 определяют 2 решения: 1) Хг < х^; 2) х^ < Хг. Это означает, что Хг и х^ несравнимы в Кайр(Б). Иными словами, было показано, что если в Ш нет пути между двумя несравнимыми переменными, то этого пути нет и в радикале.

Теперь пусть несравнимые в Ш переменные хг и х^ соединены путями. Тогда, по лемме 2, существует два гомоморфизма этих элементов на частичный порядок КРк >Р1 со свойствами £Т. т. и

' X'. По лемме 1 эти гомоморфизмы определяют решения, в одном из которых Хг = рк и х^ = рг ив другом Хг = рг и х^ = рк. Это означает, что в множестве решений системы 1-я и ]-я координаты несравнимы. Следовательно, и в Кайр (Б) эти переменные несравнимы. Это доказывает, что если две переменные несравнимы в системе уравнений Ш, то они несравнимы в радикале.

Пусть переменные Xi = х^, но Хг ^ х^ в Ш. Докажем, что в радикале эти переменные также будут неравными. Определим отображение : Сщ ^ КР1 >Рк как

!

Р1, если у ^ х^;

(У)

\Рк, иначе.

Рассмотрим две произвольные переменные х,у € Хп системы Б(Хп). Пусть х ^ у € Ш. Если х ^ х,, то £х. (х) = £х. (у) = рг; если у < х^, то £х. (х) = (у) = рк; если у ^ хз, а х < х^ или х ф х^, то (ж) = рк и £х (у) = рг; если у ф х^, то х ф х^ или х < Ху и ^ (х) = (у) = рк. Во всех случаях (х) ^ (у), и, следовательно, £Xj - гомоморфизм. Гомоморфизм £Xj определяет решение, в котором Хг ^ х^, но Хг = хз. То есть других соотношений для переменных Хг и х^ не определено в радикале.

Было показано, что если переменные Xi ф х^ в Ш, то Кайр (Б) не содержит дополнительных соотношений на переменные. И если Ш содержит уравнение Хг ^ х^ для неравных переменных, то Кайр (Б) не содержит дополнительные соотношения на эти переменные. Далее нужно заметить, что Ш и Кайр (Б) транзитивно и рефлексивно замкнуты. Это значит, что множество неравенств между переменными в этих двух системах совпадают. В виду антисимметричной замкнутости системы Ш множество равенств между переменными в этих двух системах тоже совпадают. Следовательно Ш = Кайр (Б).

■

Из описания алгоритма видно, что построение радикала не зависит от структуры невырожденного частичного порядка. Следовательно можно сформулировать следующий результат.

Следствие 1. Любые невырожденные частичные порядки в языке Ь = геометрически эквивалентны.

Далее идет описание алгоритма построения радикала для вырожденных частичных порядков.

Вход: конечная система уравнений Б(Хп) от переменных Хп над конечным вырожденным частичным порядком V в языке без констант.

Выход: Кайр(Б).

Шаг 1. Если V - одноэлементный частичный порядок, то Кайр (Б) = АЪь(Хп) и алгоритм заканчивает свою работу.

Шаг 2. Б(Хп) = Бх=х и Бх^х. Все равенства заменяются на эквивалентные пары неравенств. Получится новая система уравнений Б'(Хп) = Б'х~ 5(Хп).

Шаг 3. Осуществляется переход от системы уравнений Б'(Хп) к ориентированному графу Г.

Шаг 4. Производится поиск компонент связности графа Г. Обозначим эти компоненты связности через С = {Сг}^.

Шаг 5. Строится новая система уравнений Ш следующим образом. Для компонент связности С^Х^) € С система Ш = ис еС АЪ^Х^). Полученная система уравнений Ш будет совпадать с радикалом системы 5(Хп).

Теорема 2. Алгоритм построения радикала конечных систем уравнений над конечными вырожденными частичными порядками корректно строит радикал для систем уравнений.

Доказательство. Поскольку одноэлементный частичный порядок имеет особую роль среди вырожденных частичных порядков, его радикал выделен отдельно в шаге 1. Радикал любой системы уравнений над таким частичным порядком всегда будет равен всему множеству атомарных формул в языке Ь от переменных Хп.

Допустим, что система уравнений Б(Хп) решается над вырожденным не одноэлементным частичным порядком V. Если в системе Б(Хп) содержится уравнение Хг ^ х^, то в каждом решении этой системы будет верно хг = х^. Поэтому необходимо выделить компоненты связности в графе, соответствующем системе, что делается на шагах 1-3. Если в компоненте связности содержатся переменные

X = {ха1,... ,Хоц },то Кайр (Б (Хп)) содержит АЪь(Х). Пусть две различные компоненты связности Сг и С2 зависят от множеств переменных Хг и Х2 соответственно. Эти множества переменных не пересекаются Хг ПХ2 = 0 и могут принимать любые значения элементов частичного порядка не зависимо друг от друга. Это значит, что если в системе уравнений есть уравнения ^(xí, х^) и ф(хи,Х[), где Хг, х^ € Сг,и хь,

XI € С2, то в одном решении системы уравнений будет Хг = х^ = щ и Хк = XI = р., а в другом - наоборот. Для любыхрг,р.в € V. Поэтому в радикале не будет уравнений, которые не содержатся в ус еС А1ь(Х[). ■

Оба алгоритма являются полиномиальными от числа переменных в системе. Первый алгоритм имеет наиболее трудоемкий шаг 3, а транзитивное замыкание ориентированного графа, как известно [10], имеет трудоемкость 0(п3), где п-число переменных в системе. Поэтому и трудоемкость всего алгоритма оценивается в 0(п3). Алгоритм построения радикала для невырожденных частичных порядков содержит самый сложный шаг 4, что можно сделать через обход графа в грубину. Такой обход оценивается как 0(п+т), где т - число уравнений в системе. Но для п переменных в системе может быть не более 2п2 различных уравнений, поэтому трудоемкость алгоритма можно оценить в 0(п2).

Наконец, будет сформулирован алгоритм построения координатного частичного порядка.

Вход: конечная система уравнений S(Хп) в языке L без констант, совпадающая со

своим радикалом Radp (S). Выход: координатный частичный порядок Гр (S).

Далее будет идти работа с системой S, которая вначале алгоритма совпадает с S (Хп).

Шаг 1. Выделение классов эквивалентности. Для всех равенств Xi = Xj в системе S заменяется вхождение всех Xj на Xi, и равенство удаляется из S.

Шаг 2. Построение p-графа. Строится граф G таким образом, что вершинами графа будут переменные системы S. В графе G будет дуга из Xj в Xi, если в системе S есть уравнение Xi ^ Xj. Полученный граф является р-графом, поэтому ему соответствует частичный порядок Гр(S), который является координатным для системы уравнений S(Хп).

Теорема 3. Алгоритм построения координатного частичного порядка по радикалу системы уравнений работает корректно.

Доказательство. По определению, координатный частичный порядок - это фактор-система Ть(Хп)/ввааг(s). Базовое множество термальной системы Ть(Хп) есть множество переменных Хп. Подсистема равенств Sx=x С Radp (S) выделяет представителей классов эквивалентности в Тъ(Хп), что описано в первом шаге алгоритма. Далее подсистема Sx^x С Radp(S) определяет отношения на представителях классов эквивалентности, что делает второй шаг алгоритма. Остается вопрос: почему полученный в алгоритме граф Гр (S) является р-графом? Если построить граф по радикалу, то он будет транзитивным и ациклическим (исключая петли). Сама процедура замены переменных на представителя класса эквивалентности сохраняет эти свойства графа, поэтому Гр (S) является р-графом, или, другими словами, Гр(S) есть частичный порядок. ■

Литература

1. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II: Основания // Фундаментальная и прикладная математика. - 2012. - Т. 17. - С. 65-106.

2. Daniyarova E. Y., Myasnikov A. G., Remeslennikov V N. Algebraic geometry over algebraic structures. III: Equationally Notherian property and compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. - 2011. - Vol. 35. - P. 35-68.

3. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. IV: Эквациональные области и ко-области // Алгебра и логика. - 2010. - T. 49. - C. 715-756.

4. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. V: Случай произвольной сигнатуры // Алгебра и логика. -2012.-Т. 51.-С. 41-60.

5. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. VI: Геометрическая эквивалентность // Алгебра и логика. -2017.-T. 56.-C. 421-442.

6. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. - Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2016. - 243 с.

7. Гретцер Г. Общая теория решеток. - М. : Мир, 1982. - 452 с.

8. Оре О. Теория графов. - М. : Наука, 1980. - 336 с.

9. Никитин А. Ю., Рыбалов А. Н. О сложности проблемы разрешимости систем уравнений над конечными частичными порядками // Прикладная дискретная математика. - 2018. -Т. 39. - С. 94-98.

10. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ. - 3-е изд. - М. : Вильямс, 2013. - 1328 с.

ALGEBRAIC GEOMETRY AND ALGORITHMS IN CLASS OF PARTIALLY

ORDERED SET

A.Yu. Nikitin

Postgraduate Student, e-mail: [email protected]

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. The article will present the results of a study of algebraic geometry over partially ordered sets from model-theoretic and computational points of view. A polynomial algorithm for constructing a coordinate partial order for systems of equations over finite partially ordered sets is presented.

Keywords: algebraic geometry, partial orders, sets, radical, systems of equations, coordinate algebra, algorithms.

Дата поступления в редакцию: 29.09.2023