Критерий единственности решения задачи дезина для уравнения смешанного типа со степенным вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

24

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2016. № 3-4

УДК 517.95

В.А. Гущина1

КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДЕЗИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА СО СТЕПЕННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

В данной работе для уравнения смешанного эллиптико - гиперболического типа со степенным вырождением на переходной линии в прямоугольной области изучается задача Дезина с условиями периодичности и нелокальным условием, связывающим значения производной по нормали на нижнем основании прямоугольника со значением искомого решения на линии изучения типа. Установлены необходимые и достаточные условия единственности решения, при этом единственность решения доказана на основании полноты системы собственных функций одномерной задачи на собственные значения.

Ключевые слова: степенное вырождение, линия перехода, нелокальное условие, прямоугольная область, единственность решения, одномерная задача, единственность.

1. Постановка задачи

Рассмотрим вырождающееся уравнение смешанного типа

Ьи = (вдпу)\у\тихх + пуу — Ь2(вдпу)\у\ти = Г(х,у) (1.1)

в прямоугольной области Б = {(х,у)\ 0 < х < I, —а < у < в}, где т> 0, Ь ^ 0, а > 0, в > 0, I > 0 - заданные действительные постоянные, и поставим задачу А.А.Дезина [1].

Задача Дезина. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) е С 1(Б) П С2(Б_ и Б+); Ьи = Г(х, у), (х, у) е Б_ и Б+; и(0, у) — и(1,у) = 0, их(0,у) — их(1,у) = 0, —а < у < в;

и(х,в) = ф(х), 0 ^ х ^ I;

иу (х, —а) — Аи(х, 0) = ф(х), 0 ^ х ^ I,

где ф(х), ф(х) - заданные достаточно гладкие функции, Б+ = Б П{у > 0}, Б_ = Б П {у < 0}, А - заданный действительный параметр.

1.2)

1.3)

1.4)

1.5)

1.6)

х© Гущина В.А., 2016

Гущина Виолетта Александровна (ivanov@mail.ru), (violetta.novikova.1991@mail.ru), кафедра математики Самарский государственный социально-педагогический университет, 443090, Российская Федерация, г. Самара, ул. Максима—Горького, 55/57.

В работах [1; 2; 3, с. 18-20] показано, что метод поиска разрешимых расширений для дифференциальных операторов может быть адаптирован к оператору Лаврентьева - Бицадзе с условиями периодичности (1.4) и однородными условиями (1.5) и (1.6) (где ф(х) = ф(х) = 0). В работах [4], [5, с. 143 - 153] задача (2) - (6) изучена, когда а = I, ф(х) = ф(х) =0, т = 0, Ь = 0, Г(х, у) = /(х, у) ■ Н(у), Н(у) - функция Хевисайда, А ^ 0. Показано, что при А < 0 однородная задача (т. е. когда /(х,у) = 0) имеет нетривиальные решения.

Данная работа является продолжением работ [6] и [7], где была изучена задача (2)-(6) в некоторых частных случаях.

В данной статье для поставленной задачи (1.2) - (1.6) установлен критерий единственности при всех т > 0, Ь ^ 0 и некоторых условиях относительно параметров а, в, I и А.

2. Единственность решения задачи

Пусть и(х,у) - решение задачи (1.2) - (1.6) при Г(х,у) = 0. Следуя работам [8 - 10] введем функции

I I

ио(у) = ! и(х,у)йх, ип(у) = ^2 ! и(х,у)сов 1Лпхв,х, (2.1)

о о

Г- I

2 [ 2пп

и>п(у) = \11 и(х,у)втЦпхЯх, п € М, ¡п = ——. (2.2)

о

Аналогично этим работам, относительно функции ип(у) получим дифференциальное уравнение

и'П(у) - (8дпу)\у\т(Ь2 + ^п)ип(у)=0, у = 0, (2.3)

с граничными условиями

I

(в) = \/г У ф(х)сов ИпхЛх = фп, (2.4)

о

2 1

г(—а) — Аип(0) = у 2 J Ф(х) сое¡пхАх = фп.

(2.5)

12

о

Уравнение (2.3) путем замены ип(у) = х(рп\у\ч)\ДУ приводится к обычному уравнению Бесселя относительно функции г при у < 0, а при у > 0 - к модифицированному уравнению Бесселя. Затем на основании общих решений уравнений Бесселя находится общее решение уравнения (2.3) [11, с. 304, 318]

Г ап12- (Рпу* ) аД + ЬпК1 (РпуЧ )у/у, у > ° ип(у) = \ (Рп(—у)*)-—у + ЪУ^(Рп(—у)*)-—у, у < 0, (2.6)

где 3 1 (Рп ( —у )

), У

1 (Рп ( — у)*) функции Бесселя 1 и 2 рода соответственно, 2. 2.

(Рпу*), К1 (Рпу*) модифицированные функции Бесселя, а д = т2+2 и Рпд = 2. 2. 2

= д/Ь2 + ¡1п, ап, Ьп, Сп и ¿п - произвольные постоянные.

и

п

Подберем постоянные ап, Ьп, сп, ¿п так, чтобы в силу условий (1.2) выполнялись условия сопряжения

ип(0 + 0) = ип(0 — 0), иП(0 + 0) = иП (0 — 0) (2.7)

Опираясь на асимптотические формулы функций Бесселя [11, с. 307; 319]:

Г —(2Г , -> 0,

У(*) - тЩл) (2Г, Ъ(г) - \

{ — (2У, 0;

Г(у) ( 2 ^

Ъ (г) - П+) (2 Т, (г) '

I ^ (|у, »< 0,

первое из равенств (2.7) выполнено при ¿п = —пЬп/2, второе при

^ (- Г, 0,

п

Сп = —ап + пЬп/2 ■ сЬд().

Поставив полученные выражения постоянных сп и ¿п в (2.6), будем иметь

Г ап1± (Рпуд+ ЬпК1 (Рпуд)у/у, у > 0,

ип(у)=\ —У (Рп(—у )д + ЬпУ4 (Рп(—уУ) — у < 0, ( )

где

У 2. (Рп(—у )" ) = 2^%) [у 2. (Рп(—у )" ) + У_ 2. (Рп(— у)4 )].

Теперь, удовлетворяя функции (2.8) граничным условиям (2.4), (2.5) для нахождения ап, Ьп, получим систему

( ап1. (Рпвд) + ЬпК2L (Рпв4) = фпв_2

] апУ1 (Рпад) + ЬпСч\J-i_(Рпа*) — У_ 1(Рпад) + АЧГ1] = —^^

\ 24 24 24 рпдач

здесь

С = _П_ А

-•

Если при всех п е N определитель системы (2.9)

(2.9)

С = П А = А (2) 24 1

СЧ 2ят( П )' АЧп 1 Г( —) (Рп ) 4-1

2. Г( 2. ) 1п рп да4 2

Ап(а,в) = I. (Рпвд)Е(п) = 0, (2.10)

К (Рпв4 )J 1 -г(Рп(а).)

2.

где

К (Рпв4 )___

Е (п) = Сд [У1_ ± (Рпад) — _1(Рпад) + АЧп] — 2 4 1 .) то данная система имеет единственное решение

1

-п-л, оЛфпв_2 Сд Ап — Вп фп], (2.11)

Ап(а,в)

Ьп = л / т [Спфп — в_2У._1(Рпад)фп], (2.12)

Ап(а,в) 2 4

где

Ап = У1_ г (Рпад) — У г _1(Рпад) + Ач

вя\

К1 (Рпв4 ) I и _ 2 4_ с< _ _2ч_

Вп = 4_1 , Сп = 1 .

Рпда 2 РпЧа4 2

С учетом (2.11) и (2.12) из (2.8) найдем окончательный вид функции

(у) =

Ап{*в) [фпв 2 -у^п(а,у) +

+ ФпМСпК. (Рпу*) — Вп1. (Рпу*))],

■\—фпв 2л/—уОп(а, у) +

у> 0,

(2.13)

Ап(а,/3) I

+*Фп-=у(Бп-11 (Рп(—у)*) + СпУ^(Рп(—у)*))], у < 0, 2. 2.

Ап(а,у) = С*Ап11 (Рп у*) — 3+-г(Рпа* )К± (Рпу*), 2. 2. 2.

Бп(а, —у) = С*А3. (Рп(—у)*) + -г(Рпа*)У^ (Рп(—у)*). Аналогично получим, что функция ио(у) является решением краевой задачи:

где

<(у) — Ь утио(у)=0, у > 0, <(у)+ Ь2утио(у)=0, у < 0,

ио(0 + 0)= ио(0 — 0), и'о(0 + 0) = и'о(0 — 0),

г 1

ио(в) = у 1 ! ф(х)йх = фо,

о

/г г

и'о(—а) — Аио(0) = у I ф(х)йх = фо.

о

Рассмотрим сначала случай когда Ь > 0. Общее решение уравнений имеет вид

ио(у) =

{ао! ±

2?

Со3

2

^ (Роу*+ ЬоК 1 (Роу*^ у > °

* (Ро(—у)*)-— + (Ро(—у)*у < 0.

2д 2д

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17) (2.14)

(2.18)

Удовлетворяя (2.18) условиям (2.15) - (2.17), найдем

' А0(а,13) [фов-2л/УАо(а,у)+ +фо-у(СоК 1 (Роу*) — Во(Роу*))], у> 0,

ио(у) =

А0(а,/3) [—Фов 2л/—уВо(а —у)+

+фо-=у(Во3± (Ро(—у)*) + СоУ. (Ро(—у)*))], у< 0,

(2.19)

где

А

о = 3Х_ 1 (Ро а*) — 3! (Роа*) + А*о,

2. 2д

к , (ъ^вя) г , (ъ^вя)

В0

2.

РоЧо 2

С0

2.

Ро 2

Во(а, —у) = С* Ао31 (Ро(—у)*) + 3_. ^а* )У 1 (Ро (—у)*), Ао(а,у) = С*Ао11 (Роу*) — 3.-Ма*)Кх (Роу*),

2д 2. 2д

Ао(а,в) = СчАоП (Рпв*) — 3.-Х(Роа* )К_. (Ров*).

2. 2. 2.

и

1

Теперь вернемся к случаю, когда Ь = 0. Общее решение уравнений (2.14) при Ь = 0 определяется по формуле

uo(y) =

aoy + bo, y > 0,

соу + ¿о, у < 0.

Удовлетворяя функцию (2.20) условиям (2.15) - (2.17), будем иметь

ио (у) = ф0 ТШ + фо ттщ, 1 + вх = 0.

Таким образом, функция и0(у) представима в следующем виде:

(2.20)

(2.21)

А0(а,13) [ФоР 2 VyAo(a,y) +

uo(y) = <

+^o^y(CoK2l (poyq) - БоП (poyq))], А0(а,13) —o¡3-iy^yDoia —y)+

b > 0, y> 0,

(2.22)

(po(-y)q) + CoY ± (po(-y)q))], b> 0, y< 0,

+ ^oj+ek, b = 0, у £ [-a,P\-

Аналогично un(y) построим функцию

АпОж) 1 VyAn (a y)+

Un(y) = <

+>Фп^У(СпК 1 (pnyq ) - BnIq (pnyq ))], -Á-^Рпв-1V~yDn(a, -y)+

y> 0,

(2.23)

Ап(аф) 1

+4>nV-yBnJi (pn(-y)q) + Cn Y i (pn(-y)q))], y< 0,

здесь

Pn

f p(x) sin¡nxdx, tpn = \ 2 f ifi(x)sin¡nxdx.

Из формул (2.13), (2.22), (2.23) при выполнении условий (2.10) и 1 + (3\ = 0 следует единственность решения задачи (1.2) - (1.6), так как если p(x) = 0, ф(х) = 0 на [0,/], то un(y) = 0, vn(y) = 0, uo(y) = 0 при любом n £ N и y £ [—а, в]. Тогда из формул (2.1) и (2.2) следует

l г— l

-—jf u(x, y)dx = 0, \/f / u(x, y) cos /i,nxdx = 0, l

J u(x, y) sin ¡nxdx = 0, n £ N.

o

Отсюда в силу полноты системы функций , c°s ¡nx,\J~'2sin ¡nx| в пространстве L2[0,l] следует, что функция u(x,y) =0 почти всюду на отрезке [0,1] при любом y £ [—а, в]. Поскольку в силу (1.2) функция u(x,y) непрерывна на D, то u(x, y) = 0.

Если теперь нарушено условие (2.10) при некоторых m, b, l, а, в, n = p, т.е. Ap(a, в) = 0. Тогда однородная задача (1.2) - (1.6), где p(x) = ф(x) = 0, имеет

нетривиальное решение

Up

(x, y) = up(y)(Ci cosnpx + C2 sin(J,px),

здесь Ci и C2

произвольные постоянные,

j^Lnaqq) • AP(a,y)Vy> y> °>

2q 1

(y)={ j^_1 \pn*q) -CqAPJ£ (Pn(-y)q)-

-Jq-i(pnaq)Y i (pn(-y)qy<

> 2q 2q

(2.24)

(2.25)

Действительно, построенная функция (2.24) удовлетворяет всем условиям (1.2) - (1.6) при Г(х,у) = 0, ф(х) = 0, ф(х) = 0. По построению функция (2.25) является решением уравнения (2.3) при п = р и у = 0. Тогда функция (2.24) удовлетворяет условиям (1.2) - (1.4) при Г(х,у) = 0.

Граничное условие (1.5) выполняется, так как функция (2.24) при у = в обращается в нуль в силу условия Ар(а, в) =0.

Теперь проверим выполнимость условия (1.6). Для этого достаточно проверить условие и'р(—а) — Аир(0) = 0. Вычислим

—) = CqТФЙ(Pn)*' up(°) = -CqГ—Т) (РП)-*■

Л (_2__

^ -д г(-2-)(рп

Отсюда уже следует справедливость условия (1.6).

Таким образом, установлен критерий единственности решения задачи (1.2) -(1.6).

Теорема. Если существует решение и(х,у) задачи (1.2) - (1.6), то оно единственно только тогда, когда Ап(а, в) = 0 при всех п € N.

u

p

Литература

[1] Дезин А.А. On the solvable extensions of partial differential operators, Outlines of the Joint Soviet - American Symposium on Partial Differential Equations, 1963. Novosibirsk. С. 65-66.

[2] Дезин А.А. Операторы с первой производной по времени и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР, 1967. Т. 31. № 1. C. 61-86.

[3] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

[4] Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче А.А. Дезина для уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения, 2009, Т. 45. № 8. C. 1199-2003.

[5] Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанных типов дифференциальных уравнений (Изд-во КБНЦ РАН, Нальчик - 2011).

[6] Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева - Бицадзе // Изв. вузов. 2016. Т. 6. C. 61-72.

[7] Сабитов К.Б., Гущина (Новикова) В.А. Задача Дезина для неоднородного уравнения Лаврентьева - Бицадзе // Изв. вузов (принята в печать).

[8] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН. 2007. Т. 413. № 1. C. 23-26.

[9] Сабитов К.Б., Сидоренко О.Г. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 1. C. 105-113.

[10] Сабитов К.Б., Вагапова Э.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 1. C. 68-78.

[11] Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит. 2003. 352 с.

References

[1] Dezin AA On the solvable extensions of partial differential operators, Outlines of the Joint Soviet — American Symposium on Partial Differential Equations, 1963. Novosibirsk. P. 65-66.

[2] Dezin AA Operators of the first time derivative and nonlocal boundary conditions. Proceedings AN of SSSR, 1967. T. 31. № 1. P. 61-86.

[3] Nahushev AM Problems with shift for partial differential equations. M .: Science, 2006. 287 p.

[4] Nakhusheva ZA A nonlocal problem AA Dezin for the Lavrent'ev-Bitsadze. Differents. equation. 2009. T. 45. № 8. P. 1199-2003.

[5] Nakhusheva ZA Non-local boundary value problems for the major and mixed types of differential equations (Publ KBSC RAS, Nalchik — 2011).

[6] KB Sabitov, Novikova VA A nonlocal problem AA Dezin for the Lavrent'ev — Bitsadze's equation. Proceedings of universities. 2016. T. 6. P. 61-72.

[7] KB Sabitov, Gushina (Novikova) VA The Dezin's problem for inhomogeneous Lavrent'ev - Bitsadze's equation. Proceedings of universities (accepted for publication).

[8] KB Sabitov Dirichlet problem for equations of mixed type in rectangular area. Report RAN. 2007. Т. 413. № 1. P. 23-26.

[9] KB Sabitov, Sidorenko OG The problem with periodicity conditions for a mixed-type degenerate equation. Differential equations. 2010. Т. 46. № 1. P. 105-113.

[10] KB Sabitov, Vagapova EV The Dirichlet is problem for an equation of mixed type with two lines of degeneracy in a rectangular area. Differential equations. 2013. Т. 49. № 1. P. 68-78.

[11] KB Sabitov Equations of mathematical physics M.: FIZMATLIT. 2003. 352 p.

V.A. Gushchina2

DEZIN NONLOCAL PROBLEM FOR A MIXED-TYPE EQUATION WITH POWER DEGENERATION

In this article, for the equation of mixed elliptic - hyperbolic type with a power degeneracy on the transition line in a rectangular area are studied the problem Dezin with periodicity conditions and non-local condition, binding values of the normal derivative on the lower base of the rectangle with the value of the target solution on the line type of study. Necessary and sufficient conditions for the uniqueness of the solution were settled, and the uniqueness of the solution was proved problem on the based on completeness of the system of peculiar functions of one-problem or the peculiar.

Key words: the degree of degeneracy, the transition line, nonlocal condition, rectangular area, the uniqueness of solution, one-dimensional problem, the uniqueness.

Статья поступила в редакцию 13/V/2016. The article received 13/V/2016.

2Gushchina Violetta Aleksandrovna (violetta.novikova.1991@mail.ru), Department of Math, Volga region socially-humanitarian academy, 55/57 Maxim Gorky str., Samara, 443090, Russian Federation.