CC BY
16
УДК 539.3
Критерии подобия и масштабы для кристаллов
Г.И. Баренблатт1, Г.С. Голицын2
1 Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН, Москва, 119997, Россия 2 Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН, Москва, 119017, Россия
В работе обсуждается физический смысл универсального линейного наномасштаба для кристаллов, введенного ранее Г.И. Баренблаттом и П. Монтейро. Продемонстрирована связь этого масштаба с квантовым соотношением неопределенности. Ключевые слова: квантовый наномасштаб в кристаллах, параметры подобия в кристаллах
Similarity criteria and scales for crystals
G.I. Barenblatt1 and G.S. Golitsyn2
1 P.P. Shirshov Institute for Oceanology RAS, Moscow, 119997, Russia 2 A.M. Obukhov Institute for Atmospheric Physics RAS, Moscow, 119017, Russia
Physical nature is discussed of the universal cristallic linear nanoscale introduced previously by G.I. Barenblatt and P. Monteiro. Connection is demonstrated of this scale with the quantum uncertainty relation. Keywords: quantum nanoscale in crystals, similarity parameters for crystals
В работе [1] для кристаллических тел с использованием кванта действия h = 6.626-10-27 г-см2-с-1 и классических параметров среды был введен масштаб длины
(г. У/4 ( к V/4
х =
л/рЁ
h_
cp
(1)
который оказывается близким к 1 А = 10 см = 0.1 нм. Здесь величина с = (Е\ р)^2 — фиксированная скорость распространения продольных упругих волн. Учет коэффициента Пуассона нужен лишь в формуле для поперечной скорости, однако, учитывая малую степень 1/4 в (1), результат изменится несущественно [2].
В работе [2] для 27 различных кристаллов показано, что масштаб X лежит в диапазоне 0.05-0.10 нм, а отношение а = г0/ X, где г0 — экспериментально определяемое наименьшее межатомное расстояние в кристаллической решетке, варьирует от 2.4 до 5.0. Величина а может рассматриваться как параметр подобия. Среднее значение этого параметра близко к трем. Все обсуждаемые здесь величины приведены в табл. 1. Однако в [1] не было обсуждения физической природы масштаба. Здесь таблица 1 дополнена результатами для шести но-
вых веществ: серебро и пять простых молекулярных кристаллов, подтверждающими главные выводы [1]. Масштаб (1) можно рассматривать как размер, определяемый совместно квантовыми и классическими эффектами. Ниже с использованием классической теории Де-бая [3] он будет сопоставлен с соотношением неопределенности, т.е. с чисто квантовым эффектом.
Сопоставление масштаба X с межатомными расстояниями г0 в табл. 1 показывает, что для всех веществ отношение а = г0/X порядка единицы. Остается выяснить физический смысл формулы (1) для наномасштаба X. С ее помощью можно получить
л ак
^ = г0 = (2) X3рc
Заметим, что X3р = г03р = т, а это произведение имеет размерность массы, массы атома или молекулы в узле кристаллической решетки. Проверим это предположение на 23 веществах табл. 1 для одно-, двух- и трехатомных молекул. Для определенности за величины т в случае двухатомных молекул примем полусумму масс их атомов, а для трехатомных, например №№ 7, 32, 33, возьмем т как (даРе + 2да8С,2)/2 = (56 + 2 -32)/2 = 60.
© Баренблатт Г.И., Голицын Г.С., 2017
Проверим, насколько величина радиуса гт, определяемого из соотношения в = гт/г0, где
( 13 m
(3)
будет отличаться от единицы. Результаты проверки собраны в табл. 2, где даны сведения об атомной массе т кристаллов в единицах массы атома водорода тр = = 1.67-10-24 г, плотности р, размере решетки г0, размере гт, определенном согласно (3), и отношении
р = гт/г0. Номера в скобках слева соответствуют номерам материалов в табл. 1.
Значение величины в мало отличается от единицы. Поэтому при описанных выше преобразованиях мы с точностью не меньше 30 % можем заменять величину рА3 ~ рг03 на т. Тогда формула (2) может быть сведена к следующему соотношению:
Г0 =^ = ^, (4)
Таблица 1
№ Кристалл р, г/см3 £-1010, г-см-1-с-2 yjE р = с, км/с r0, нм X, нм a = r0/ X
1 Si, кремний 2.330 109 6.830 0.235 0.080 2.96
2 C, алмаз 3.510 1146 18.060 0.154 0.056 2.70
3 Cu, медь 8.930 126 3.760 0.256 0.067 3.82
4 a-Fe, феррит 7.870 211 5.180 0.248 0.067 3.69
5 Au, золото 19.800 79 2.020 0.288 0.075 3.84
6 ZnS, сфалерит 4.090 84 4.530 0.230 0.078 2.97
7 FeS2, пирит 5.020 292 7.630 0.226 0.065 3.50
8 CaF2, флюорит 3.180 108 5.830 0.234 0.078 3.02
9 NaCl, галит 2.160 38 4.140 0.281 0.076 3.68
10 KCl, сильвин 1.990 23 3.400 0.315 0.100 3.16
11 CaCO3, арагонит 2.930 92 5.600 0.244 0.080 3.06
12 MgSiO3, энстатит 3.200 185 7.600 0.178 0.072 2.47
13 Mg2SiO4, форстерит 3.220 201 7.900 0.205 0.071 2.86
14 CaO, известь 3.580 197 7.420 0.240 0.071 3.38
15 MgO, периклаз 3.350 307 9.570 0.209 0.067 3.12
16 Fe3O4, магнетит 5.210 230 6.640 0.193 0.066 2.92
17 MgAl2O4, шпинель 3.580 276 8.780 0.192 0.068 2.83
18 PbS, галенит 7.600 81 3.260 0.296 0.072 4.12
19 TiO2, рутил 4.260 286 8.190 0.199 0.066 3.01
20 SnO2, касситерит 6.980 264 6.150 0.205 0.063 3.27
21 CaWO4, вульфенит 6.120 96 3.960 0.177 0.072 2.45
22 Mg3Al2Si3O12, пироп 3.570 234 8.100 0.163 0.069 2.36
23 UO2, уранинит 10.970 220 4.480 0.237 0.061 3.90
24 Te, теллур 6.240 35 2.370 0.282 0.082 3.44
25 FeCr2O4, хромит 5.090 269 5.280 0.205 0.065 3.50
26 H2O, лед (1H) 0.917 295 17.940 0.100 0.080 1.25
27 Pt, платина 21.450 274 3.570 0.279 0.054 5.14
28 Ag, серебро 10.500 79 2.743 0.289 0.069 4.16
29 ZnSiO4, циркон 4.700 183 6.240 0.161 0.069 2.33
30 Al2O3, корунд 3.980 319 8.950 0.185 0.066 2.45
31 MgSiO3, перовскит 4.120 442 10.160 0.176 0.073 2.40
32 SiO2, стишовит 4.290 569 11.520 0.178 0.061 2.94
33 GeO2, аргутит 6.240 378 7.780 0.187 0.061 3.08
где у — численный коэффициент, mc имеет размерность импульса фонона [3]. В итоге (4) по размерности то же, что и соотношение неопределенности: Ar-Ар > > й/ 2 = й/ (4п). Отметим, что соотношение (4) может быть получено и из анализа размерностей, если за определяющие параметры взять й, массу атома m и скорость упругих волн с.
Для нахождения импульса частицы в узле кристаллической решетки воспользуемся соотношением между внутренней энергией е и импульсом p:
е = р2/2т. (5)
Теория конденсированных тел была в простейшем варианте развита Дебаем. В ней фигурирует максимальная частота упругих колебаний [3]:
V max = C(3N/ 4V = с/г„,
где величина в скобках есть обратное расстояние между атомами, поскольку V — объем тела, N — число атомов в образце. Дебай ввел характерную температуру соотношением
0 = hVmax/k, (6)
где к = 1.38-10 16 эрг/К — постоянная Больцмана. Из соотношения (5) получаем
р = (бте)1/2, (7)
число 3 в выражении для энергии фононов е = 3кТ и число 6 в последней формуле связаны с тем, что в твердых телах имеются один сорт продольных волн и два сорта поперечных волн. Внутренняя энергия е для простейшего случая одного атома в узле кристаллической решетки записывается в виде [3] 9кТ У хъдх 0
е=—\-т~;+е0' у = т' (8)
У 0 ех -1 т
где е0 = 9/8 ЙУшах — энергия нулевых колебаний, которая практически всегда меньше первого члена с интегралом. Этот интеграл допускает асимптотики в двух предельных случаях х >> 1 и х << 1.
При высоких температурах у = 00Т << 1 разлагаем знаменатель в интеграле в ряд и с точностью до линейного члена получаем, интегрируя с учетом (6):
е = 3кТ, (9)
как для обычного одноатомного газа.
Таблица 2
№ Кристалл m р, г/см3 r0, нм rm , НМ ß = rm/Г0
1 Si, кремний 28.0 2.33 0.235 0.271 1.15
2 C, алмаз 12.0 3.51 0.154 0.178 1.16
3 Cu, медь 63.5 8.93 0.256 0.228 0.89
4 a-Fe, феррит 56.0 7.87 0.248 0.228 0.92
5 Au, золото 197.0 19.28 0.288 0.257 0.89
6 (27) Pt, платина 195.0 21.45 0.279 0.247 0.89
7 (24) Te, теллур 127.6 6.24 0.282 0.324 1.15
8 (26) H2O, лед 18.0 108.00, 0.92 0.234 0.265 1.13
9 NaCl, галит 29.0 2.16 0.281 0.281 1.00
10 KCl, сильвин 37.0 1.99 0.315 0.314 1.00
11 (6) ZnS, сфалерит 48.5 4.09 0.230 0.270 1.17
12 (7) FeS2, пирит 60.0 5.02 0.226 0.271 1.20
13 (8) CaFe 39.5 3.18 0.234 0.274 1.17
14 CaO, известь 28.5 3.58 0.240 0.236 0.98
15 MgO, периклаз 20.0 3.35 0.209 0.215 1.03
16 (18) PbS, галенит 120.0 7.60 0.296 0.297 1.00
17 (19) TiO2, рутил 40.0 4.26 0.199 0.250 1.25
18 (20) SnO2, касситерит 70.5 6.98 0.205 0.256 1.25
19 (23) UO2, уранинит 135.0 10.97 0.237 0.273 1.15
20 Pb, свинец 207.2 11.34 0.350 0.331 0.95
21 Al, алюминий 27.0 2.7 0.288 0.256 0.89
22 Ti, титан 47.9 4.5 0.295 0.261 0.88
23 Mn, марганец 54.9 7.4 0.224 0.231 0.97
При низких значениях температур у = 9/Т >>1 заменяем верхний предел на бесконечность, и тогда
I = 1= Г(4)С(4) = П4,
0е -1 15
где Г(4) = 3! = 6 — гамма-функция; £(4) — дзета-функция Римана. При этом наблюдается зависимость внутренней энергии от температуры, пропорциональная Г4, такая же, как для фотонов электромагнитного излучения. В промежуточных случаях внутренняя энергия выражается через функцию Дебая:
е = 3АТО(// Т) + е0, (10)
D( у)=4=41 (у).
у 0 е -1 у Таким образом внутренняя энергия, выражающаяся через функцию D(y), автомодельна относительно своей составной переменной у = 9/Т. Асимптотики интеграла 1(у) выписаны выше. Реальные измерения показывают, что для таких веществ, как алмаз, 9 = 1860, т.е. при комнатных температурах Т = 293 К величина у = = 6.35 >>1, что соответствует низкотемпературной асимптотике (9). Вместе с тем для такого тяжелого элемента, как свинец, 9 = 88 К, т.е. у много меньше единицы. Поэтому, согласно (7) и асимптотикам, свинец соответствует высоким температурам, а алмаз — низким. Импульс, связанный с атомом, согласно (7)-(10) при Т= = 293 К = 20 °С для свинца равен 1.44-10-17 г • см/с, для алмаза 3.8 • 10-18 г • см/с.
В итоге коэффициент у в формуле (4), связывающий размерный множитель Н/р с реальным размером кристаллической решетки г0 в табл. 1 и 2, оказывается примерно равным 80 для свинца и 4 для алмаза. Вспоминая соотношение неопределенностей, в данном контексте гр > й/2 = Н/(4п), видим, что для свинца оно превышается на три порядка, для алмаза — в 90 раз. Таким образом, кристалл алмаза оказывается на порядок более «квантово связанным», чем свинец. Представляется, что эта связь обеспечивает его твердость и сопротивление разрушению.
Итак, анализ размерностей с привлечением оценок импульса для фононов сводит формулу для наномас-штаба X к соотношению, аналогичному по размерности квантовому соотношению неопределенностей. Для этого оказалось нужным показать, что реальное межатомное расстояние r0 с точностью порядка 10 % определяется атомной массой и массовой плотностью вещества. Оба параметра а = г0/X и ß = rm/r0 могут служить параметрами подобия кристаллов, хотя и довольно ограниченными, поскольку значения а, согласно табл. 1, для рассматриваемых 33 элементов меняются лишь в 5.14 : 2.1 = 2.45 раз, а крайние значения параметра ß для 19 элементов различаются лишь в 1.25 : 0.89 = 1.4 раза. В макроскопическом пределе отношение размера образца L к наноразмеру X оказывается порядка 1010. Однако остается еще показать, что в процессах макродеформации соблюдается полная ав-томодельность относительно макропараметра подобия G = L/X, что позволило бы пренебречь его точным большим значением, т.е. не рассматривать наномасштаб X (ср. с выводами работы [4]). Внутренний параметр подобия а = r0/X~ 3. В природе счет естественен в натуральных логарифмах, поэтому lnG будет 23 или 22, значения не имеет. Поэтому наше определение масштаба X произведено с логарифмической точностью.
Авторы выражают благодарность H.H. Еремину за помощь в работе.
Литература
1. Баренблатт Г.И., Монтейро П. Законы скейлинга в наномеханике
// Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 5. - С. 41-45.
2. Баренблатт Г.И., Голицын Г.С., Еремин H.H., Урусов B.C. Универ-
сальность линейного наномасштаба // ДАН. - 2014. - Т. 458. -№ 5. - С. 528-530.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. - М.: Физ-матлит, 1976. - С. 213-223.
4. Баренблатт Г.И., Хорин А., Простокишин В.М. Турбулентные течения при очень больших числах Рейнольдса: уроки новых исследований // УФН. - 2014. - Т. 184. - № 5. - С. 265-272.
Поступила в редакцию 13.12.2016 г.
Сведения об авторах
Баренблатт Григорий Исаакович, д.ф.-м.н., проф., снс ИО РАН, gibarenblatt@gmail.com Голицын Георгий Сергеевич, акад. РАН, советник РАН, ИФА РАН, gsg@ifaran.ru
