Критериально-множественная основа формирования операционных моделей физических цепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.И.Никонов

КРИТЕРИАЛЬНО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ ОПЕРАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Приведены количественные критерии подобия физических цепей, содержащие величины- аналоги, а также параметры- аналоги .Выявлены вещественно- числовые и вещественно- функциональные множества, элементы которых могут выбираться для операционного моделирования физических цепей.

Сходство, присущее количественным описаниям процессов в электрической и механической цепях, подвергаемых воздействиям соответственно электрического напряжения и механической силы, хорошо известно; известен также подход к моделированию физических цепей, согласно которому каждой из определенного набора величин какой-либо физической природы ставится в соответствие определенная величина- аналог другой природы [1, 2]. Для электрической, магнитной, механической, гидравлической цепей эти аналоги могут быть выражены, в частности, соответствиями “электрический заряд - потокосцепление -перемещение - объем”. Присвоим указанным цепям индексы соответственно э,ц ,м,Н.

В любой физической цепи, поддающейся моделированию данного вида, принято выделять типовые параметрические элементы, которые, пользуясь электротехнической терминологией, называют емкостным, резистивным, индуктивным. Их параметры-аналоги обозначим соответственно через Са, Яа Ьа, причем а е {э, л, м, к]; кроме того, введем обозначение обобщенного параметра типового элемента физической цепи:

Па е{Са , Яа , Ьа }.

Выражения взаимосвязей величин- аналогов электрического заряда (д), электрического напряжения (и), тока (г), потокосцепления (ц) в количественном описании цепи произвольной природы представляют собой критерии подобия физических цепей [2], например, критерии дифференцирования заряда и действия резистивного элемента имеют вид

г = dq|dt, и = Яаг,

где t - время. Величины д, г, и, у можно рассматривать как входы и выходы элементов, выполняющих определенные операции, и эти элементы можно графически отобразить в соответствующих операционных схемах.

Построение моделей-аналогов физических цепей, производимое на основе критериев подобия и операционных структур, обеспечивает возможность выполнения укрупнений и детализаций моделируемых системных блоков, в том числе, переходов к их подробному принципиально-схемному представлению. Предусматривая количественное отображение принципа действия и характеристик моделируемого объекта, рассматриваемый подход обеспечивает прослеживае-мость распространения и преобразования входных воздействий на данный объект, однозначность восприятия действия как объекта в целом, так и его составных частей.

Однако формирование операционных моделей-аналогов физических цепей до настоящего времени не обосновывалось каким-либо математическим оформлением числовых, функциональных структур, служащих диапазонной основой операционных аналогий. Отсутствие же сведений, касающихся указанной основы, может приводить к возникновению существенной неадекватности операционных описаний, что, в свою очередь, может отрицательно сказываться на качестве разработки, контроля, совершенствования моделируемых объектов. Цель настоящей работы состоит в выявлении вещественно-числовых и вещественно-функциональных множеств, элементы которых выбираются при моделировании физических цепей для значимого воспроизведения критериев подобия, применяемых для построения операционно-модельных схем с учетом их параметрической специфики.

Применительно к модели произвольной физической цепи взаимосвязь величин-аналогов в критериях подобия осуществляется посредствам операций умножения (со множителями типа Па):

д=дс=Саис, и=ик=Яа1я у=уъ=1а1ъ. (1)

Здесь дс, ис - величины-аналоги электрических заряда и напряжения, выделяемые в емкостном элементе; иЯ, 1Я - величины-аналоги электрических напряжений и тока, выделяемые в резистивном элементе; уь, 1ь- величины-аналоги потокосцепления и тока, выделяемые в индуктивном

элементе. Итак, обозначения величин q, г, и, у снабжены индексами, указывающими на их принадлежность моделям тех или иных параметрических элементов.

Схемно-операционное представление критериев (1), выполняемое звеньями емкостного, резистивного и индуктивного типов, иллюстрирует рис. 1. Кроме того, к критериям подобия величин физических цепей относятся выражения временного дифференцирования и интегрирования вида

г = q = dq|dt; г = Ж/А = й2q|dt2; и = йи/А; (2)

q = |idt^; г = | г dt; и = | и dt; у = | udt, (3)

1. 1\ 1\ I,

где 1, - конечный интервал действия, наблюдения величин-аналогов; начальный момент интервала I обозначим через ^

и=ис q=qс /=/с и=ия г=к

са Ка Ьа

У= У ь ---------►

а б в

Рис. 1. Схемно-операционное изображение емкостного (а), резистивного (б), индуктивного (в)

параметрических звеньев

На рис. 2 изображены схемно-операционные модельные звенья дифференцирования (а) и интегрирования (б) обобщенной величины ввх е{ q,/, и } . Полагается также, что выходная

величина звена вых е { q,/, и, и ,у } ; = d(•)/dt - операторный коэффициент дифферен-

цирования; к,, = \ (М, - операторный коэффициент интегрирования; позиция вида (■) предна-

1,

значена для размещения символа величины, играющей роль входной применительно к данной операции.

ввх ввых ввх к веых

а б

Рис.2. Схемно-операционное изображение дифференцирующего (а) и интегрирующего (б) звеньев

Из выражений (1)-(3) нетрудно получить следующие соотношения:

г = гс = d(Саис)/dt = СаЫс + С'аис ; (4)

и = иь = d(Ьагь )/Л = Ьагь + Ьагь '; (5)

ис = duс|dt, Са = dCa/dt, гь = diь/dt, Ьа = dЬa|dt.

Допущение о постоянстве или квазипостоянстве параметров типа Па = dПа / dt позволяет привести соотношения (4)-(5) к частному виду гс = саис, иь = Ьагь.

Из критериальных выражений (1)-(5) следует, что входящие в них величины г, г, и, уполу-чаются путем временного дифференцирования и временного интегрирования аналогов заряда и напряжения ^,и), которые имеет смысл именовать образующими величинами - аналогами. Образующие и производные величины аналоги выдаются источниками, способными реально развивать конечную мощность, поэтому и сами они могут считаться конечными.

Свойства величин - аналогов, связанных с описанием действия индуктивного и емкостного параметрических параметров, согласуются с законами коммутации [3], сфера приложения сущ-

ности которых выходит за электротехнические рамки и имеет более общий характер. Согласно таким обобщенным законам ни ток - аналог индуктивного элемента гь,, ни напряжение - аналог емкостного элемента иС не могут изменяться скачкообразно.

Нормированная форма критериев подобия величин, относящихся к цепям различной природы, получается путем деления компонентов соотношений (1) - (5) на соответствующие физические единицы. Итак, критерии подобия могут быть изоморфно представлены:

1) для емкостного параметрического элемента - соотношениями

V = ^ис, Vгс = у'сУис + УсУис; ^ = 0 ^ У/с = УсУис; (6)

2) для резистивного элемента - соотношением

3) для индуктивного элемента - соотношениями

(7)

V = VLV,l

VL = 0 ^ VuL = VLViL •

(8)

Здесь ф°рма любой величины типа v8n е {vqC , VuC , V,C, Vu C , VuR, V,R, VVL , V,L> VuL, V,L} и л^ОТО параметра, относящегося к типам Vn e{vC , vr , vl }, vп е {vc, vl} , безразмерна, поскольку

Па

__ а

' вП

v =—П—, V =-

Па •

tfJ 1[Вп ] “ 1[ П'а ]’

вп е {4c,uc,¡с,uR,Ir, Vl,,uL}, вп е{uc,4}.

v = -^-, V =

“ 1[вп ] п 1[Па ]

VuR = VRV,R

uL = VLViL + VLViL

V

Выражения для величин viC и vuL взаимно симметричны по парам индексов C-L, u-i; совокупная замена указанных индексов в одном из них (на парные индексы) позволяет сразу полу-

чить другое.

Безразмерные критериальные величины, входящие в соотношения (6) - (8), оказывается возможным распределить по множествам, свойства которых отвечают требованиям конечности. Такое распределение отображает следующие включения принадлежности (рис. 3):

Vucе MciIt; (9)

VqC , VuC , VL VvL е MC 0It • (10)

V,C, VuR, ViR, VL VuL е MQIt • (11)

Md1, С Mceh С MQIt = I,

где Мс111: , Мс01ь Мв11 - множества элементов из пространств соответственно непрерывно дифференцируемых функций (С1[,0,,]), непрерывных функций (С0[,0,,]), кусочно - непрерывных функций ^^оЛ]) [4]. Полагая сначала параметры типа Уп(Па) постоянными либо квазипостоянными, отнесем их значения к рассмотренной прямой Я [5,6].

Входы - выходы множества МУ<1г=Мд1г (рис. 3) связаны с типами выбираемых из него величин согласно характеру включений (9) - (11); ОУ/ (/=1,...,5) - блок операций умножения парных величин, поступающих на его входы. Типы входных величин блоков умножения составляют множество Гвхоу = {Уис,Уис,Уь,уя,у/ь}, а типы выходных величин данных блоков -

множество Гвыхоу = {^с , Угс, УиЯ, V , ¥иь }.

В случае принятия каким-либо параметром Уп бесконечно большого значения (уп = ±¥) при любом конечном выходе ве^1хоу/ е Ге^1хоу, который он обязан иметь согласно

заданным выше исходным требованиям, конечная входная величина данного блока умножения ввхоу/ е Гвхоу не может принимать никаких значений, кроме нулевого.

Схема связи исходных множеств критериальных величин и переменных параметров типа Уп(^, относящихся к математическому выражению критериев подобия, приведена на рис. 4. Воспроизведение этих критериев предусматривает использование блоков как операций умно-

жения (0У1,..., 0У7), так и операций суммирования (21, 22), при этом учитывается влияние производных С'а, Ь'а (в безразмерной форме - ус , уь ).

Я

Ус

I

Уя

Уь

т

г

УиС

У иС

т

Уь

Угя

Уь

ОУ1 ОУ2 ОУ3 ОУ4 ОУ5

т

У*]С у УгС у УиЯ у Ууь ▼ УиЬ

ко вх.1 ко вх.3 ко вх.4 ко вх.2 ко вх.5

вх.1

вх.2

вх.3

вх.4

вх.5

Мсо1г

М^г

Рис. 3. Взаимосвязи критериев подобия со множествами критериальных величин и постоянных

параметров

Множество входных величин блоков умножения (Гвхоу) остается здесь тем же, что и в предыдущем варианте связи критериев подобия и множествами реализации используемых величин и параметров, т.е. Г вхоу = Гвхоу , а все возможные величины типов

УС1 = \С , Ъ0 Е Кс . УиС . ^гЬ . V {уиС } ^ Е ЬгС.VиЯ ’ У,Я Уь^иь)^ ^С0 }

таким же образом, что и прежде, составляют множество МУь1г, являющееся множеством кусочно-непрерывных функций Мд11 с подмножествами МС11г, МС01г. Множество используемых

здесь переменных параметров Муп1( представляет собой объединение множества Мд1г с бесконечно большими значениями, принимаемыми параметрами типа V п на множестве локальных подинтервалов (типа АТ) интервала 1(:

Мт^ = Мд1г и{±~|д г, А г =[Т<„ Т > Х0 > Т0 ]} ; Т о, Т Е I,.

Дифференцирование временных зависимостей конечных уровней из множества Муп1( дает функции, вновь относящиеся к данному множеству, что относится и к результатам дифференцирования, имеющим бесконечные уровни. В каждом сечении множества Муп1г, приходящегося на произвольный момент г = т е 1(, набор получаемых при этом значений Муп1( |т является

ни чем иным, как расширенной прямой Я . Критерии подобия и множества их компонентов, соответствующие постоянству значений модельных параметров, представляют собой, таким образом, частный случай рассматриваемого критериально-множественного варианта, способного учитывать наличие производных пС,п£ (рис. 4).

ко вх.3

ко вх. 5

Рис. 4. Взаимосвязи критериев подобия со множествами критериальных величин

и переменных параметров

Переход к множествам с размерными величинами (MeIt) и параметрами (MnIt), изоморфным и по отношению к MveIt и MvnIt, выполняется путем указания физических размерностей величин из MbIt, параметров из MTJIt, т.е. с помощью умножения элементов безразмерного множества на соответствующую физическую единицу. При действии в каком-либо соединении модельных параметрических звеньев единой величины-аналога её реализации выбираются из того допустимого множества, которое накладывает на нее большие ограничения, и здесь учитывается, что в порядке ужесточения требований к дифференцируемости своих элементов следуют множества MQIt,MC0It,MC1It. Так, применительно к ситуации прохождения тока-

аналога i через последовательное соединение индуктивного и резистивного элементов, к которому приложено напряжение-аналог и, в случае La = const действительны следующие соотношения:

LJ' + Rai = u; Lai ' = UL > Rai = UR > i = iL = iR .

Согласно схеме взаимосвязей множеств величин и параметров с критериями подобия (составленной с учетом требований законов коммутации) для величин iL,iR, выражаемых в нормированной форме, имеем:

ViL е MC0It’ ViR е MQIt ;

рабочим множеством, регулирующим значения vi = i/l[i], здесь выбирается MC0It. Нормированные же величины vuL,vuR принадлежат множеству MgIt, к которому следует отнести и величину vu = u/l[u ] .

Кроме параметров типа Уп (Па) в выражения критериев подобия могут входить также обратные параметры, вида Упобр = 1\, Паобр = 1/Па, причем

VuC = V1/CVqC = v 1/C j V-A v1/c = (1/Ca У ( [1 / Ca ] ) ; ViR = VGVuR’ VG = G/ ( AG] I G = 1/R

It

ViL = V1/LV4L = V1L j VuLdt, v1L = (l/La )/(l[1/La ]).

It

Все реализации параметров типа vno6p (Паобр ) принадлежат тем же множествам, которые реализуют тип параметров vn (Па). В частности, для случая vn = const (vn е R) имеем vno6p е R , а для варианта vI¡ = ^(t) = var, ^(t)е MvJt выполняется условие vTlo6p (t)е MmIt.

Схемы, которые отражают взаимосвязи множеств, реализующих параметры типа vIlo6p, величин типа vB и критериев подобия, строятся согласно тому же подходу, что и схемы взаимосвязей критериев подобия с участием множества, обеспечивающего реализацию первоначально рассмотренных параметров-аналогов типа Vп. При рассмотрении величин, связанных с выработкой модельных аналогий электрической, магнитной, механической, гидравлической (пневматической) цепей [2], обращает на себя внимание тот факт, что произведение величин-аналогов напряжения и тока каждый раз представляет собой мощность р, развиваемую данной цепью. Поэтому при построении операционных моделей-аналогов физических цепей возможно также использование энергетического критерия подобия

p = ui; vр = vuvi; vp = p/(i[p] )e MQIt; p е MpIt ={1[p]vq; vq е MQIt }.

Итак, результатами отраженного в настоящей работе исследования следует считать, во-первых, получение совокупности критериев подобия физических цепей, специально ориентированных на базовые типы внутрицепных параметрических элементов, и, во-вторых, определение связей между критериями подобия и множествами различных реализаций модельных величин и параметров.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ОстровскийЛ.А. Основы общей теории электроизмерительных устройств. Л.: Энергия, 1971. 544с.

2. Зарипов М.Ф., Никонов А.И., Петрова И.Ю. Элементы теории информационных моделей преобразователей с распределенными параметрами. Уфа: Башкир.филиал АН СССР, 1983.156с.

3. БессоновЛА. Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 1964. 751с.

4. Треногин В А. Функциональный анализ: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1980. 496с.

5. Рудин У. Основы математического анализа / Пер.с англ. М.: Мир, 1966. 319с.

6. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов: Пер. с англ. М.: Мир, 1983.432 с.

Поступила 7.12.2003 г.