Кратные дзета-значения Текст научной статьи по специальности «Математика»

По построению 1(С) = 1(А)+1(В)+31Т([А]). Поскольку Т([А]) = Т([В]), то 1(Т([А])) ^ 3 шт(1(А), 1(В)), а по лемме 5 имеем 1(А) ^ \12(А) + 131(А), 1(В) ^ \12(В) + 131(В). Отсюда следует, что 1(С) ^

\(l2(A) + 12(В)) + 9min(1(A), 1(B)) + 13 (1(A) + 1(B)). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламбек И. Математическое исследование структуры предложения // Математическая лингвистика: Сб. пер. / Под ред. Ю. А. Шрейдера и др. М.: Мир, 1964. 47-68.

2. Foret A. Conjoinability and unification in Lambek categorial grammars // New Perspectives in Logic and Formal Linguisitics: Proc. V Roma Workshop. Roma: Bulzoni, 2001.

3. Pentus M. Equivalent types in Lambek calculus and linear logic. Препринт № 2 Матем. ин-та РАН, отдел матем. логики. М., 1992.

4. Foret A. On the computation of joins for non-associative Lambek categorial grammars // Proc. 17th Int. Workshop on Unification. Valencia, Spain, June 8-9, 2003. Valencia, 2003.

Поступила в редакцию 28.04.2010

УДК 511.331.1+517.588

КРАТНЫЕ ДЗЕТА-ЗНАЧЕНИЯ Е. А. Уланский1

В статье предлагается более широкое определение кратных дзета-значений. Доказывается сохранение всех свойств, известных для кратных дзета-значений в смысле их классического определения.

Ключевые слова: кратные дзета-значения, обобщенные полилогарифмы, шаффл-про-изведение, стаффл-произведение.

The definition of multiple zeta values is extended in the paper. The preservation of the main properties known for multiple zeta values in the sense of their classic definition is proved.

Key words: multiple zeta values, generalized polylogarithms, shuffle, stuffle.

Со времен Эйлера не угасает интерес к исследованию свойств дзета-значений, т.е. значений в целых точках дзета-функции Римана

те n=1

В настоящее время исследуются два обобщения дзета-функции:

C(Sl ,S2,...,Sl)= „^„J st, (1)

/¿1 /¿2 ♦ ♦ ♦ //

n±>n2>--->ni^1

C(si,s2,...,Sl)= £ --Щ. (2)

п,1 п22 ...и.

Числа в1,...,в1 в рамках настоящей работы будут натуральными, причем ^ 2, что необходимо для сходимости рядов (1), (2), суммы которых называются кратными дзета-значениями (в случае сумм (2) — нестрогими кратными дзета-значениями).

1 Уланский Евгений Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: ulanskiy@mail.ru.

Существует альтернативный способ обозначения кратных дзета-значений, иногда более удобный. Если сопоставить каждому натуральному числу в многочлен (моном) Х0~1Х\ от двух некоммутирующих переменных Хо,Х\, то можно положить

С(Х01-1Х1Х02-1 Х1 ... Х001~1Х1) — С(в1, в2,..., в1), (3)

С *(Х01"1Х1Х02"1 Х1 ... Х0-1Х1) = С *(в1 ,в2, ...,в]). (4)

Пусть X0 обозначает линейное пространство над полем образуемое мономами, начинающимися с Хо и заканчивающимися на Х1. Можно рассматривать С и С * как отображения из X0 в М, задаваемые равенствами (3) и (4) и распространяющиеся на все пространство X0 по линейности.

Произвольное кратное дзета-значение (2) может быть линейно выражено через некоторые кратные дзета-значения (1) и наоборот. Например, раскрывая нестрогие неравенства при суммировании в ряде (2), легко вывести формулу

С (Хо Х 1 . . . Хо Х 1Х0 Х 1) — С (Хо (Хо ++ Х 1) . . . Хо (Хо ++ Х 1)Х0 Х 1).

В дальнейшем будет использоваться сокращенная запись Х1/2 вместо Хо + Х1. Если рассматривать Х1/2 как третью переменную, то можно определить линейное пространство У над полем образуемое мономами от трех переменных Хо,Х/, Х1, а также нулевым (или пустым) мономом 0. Так же определяются линейное пространство У1, при построении которого используются лишь 0 и мономы, заканчивающиеся на Х1, и пространство Уо, при построении которого используются 0 и мономы, начинающиеся с Хо и заканчивающиеся на Х1. Пусть С(0) — 1, а в остальном отображение С : Уо ^ М определяется так же, как и ранее, с учетом равенства Х1/2 — Хо + Х1. В частности, если вместо " >" и " писать соответственно " >1" и " >1/2", то при 11,..., Ц-1 € {1/2,1} и в1,..., в1, определенных выше, будет иметь место равенство

{ /у> ^ 1 ^ /у> . /у>"^2 ^ Гр . Гр ^ 1 Гр . 'У* .« ^ --__/

Ц^О -Ьг2 ■ ■ ■ XI) — ^ „81 82 «Г \°>

П] ¡¿2 ...II] П1>11 П2>12 —>11_1 П>1 1 2 ]

Равенство (5) можно назвать универсальным определением кратного дзета-значения, поскольку при I — 1 данный объект точно так же, как (1) и (2), сводится к обыкновенному дзета-значению, кроме того, выбор ¿1 — ... — 1—1 — 1 приводит в точности к ряду (1), а выбор ¿1 — ... — г—1 — 1/2 — к ряду (2). Таким образом, при новом определении увеличивается количество кратных дзета-значений по сравнению с определениями (1) и (2).

В случае предлагаемого расширения (5) понятия кратного дзета-значения можно обобщить теорему о дуальности, справедливую для строгих, но не выполняющуюся в классе нестрогих дзета-значений. Дуальным моному V — Хг1 Хг2 . . . Хгк_ 1 Хгк € У называется моном Т(у) — Х—гкХ—1к_ 1 . . . Х1_г2Х1_г1. При этом если V € Уо, то и т(у) € Уо.

Теорема 1. Пусть V € У°, тогда С (у) — С (т (у)).

Эта теорема будет доказана по схеме работы [1]. При ¿1,..., ¿г_1 € {1/2,1} и произвольных (допускается в1 — 1) натуральных в1,...,в] определяются функции, которые называются обобщенными полилогарифмами :

Егп1

—«1—«г-Щ'

-и -ч~и --*2 " и — ^ ¡1 ¡2 ...П]

П1>11 П2 >12 ■■■>_ П>1 1 2 ]

При этом Ы@(г) — 1. По линейности обобщенные полилогарифмы определяются на всем пространстве У1. Также полагается

Ш0® = = 1и^Ту иг® = ^

Лемма 1. Пусть г е {0,1/2,1} и V & V1, тогда =

Доказательство. Ввиду линейности можно считать, что V — моном. При г — 0 в определении (6) выполнено в1 > 1 и утверждение леммы очевидно. Случаи г — 1/2 и г — 1 соответствуют в1 — 1 и разбираются одинаково. Достаточно доказать утверждение леммы лишь для г — 1. Пусть при этом V —

1 в1 — 1 — 1 —1 т х0 х%2 ... Хо _1 Хо Х1. тогда

Ат- ( \ V -г"1 _ ч ^ г111'1

Тх хЛг)~Тх ^ ^ птР.-.п*1 ~ ^

П1 >П2>12 ■■■>г1_1 1 2 1 П1>П2 >г2 ■■■>г1_1 1 2 1

___ г"2 1

- £ Е лт = ¿ВД-

и22 ...и,1 1 — г

, . .,-»,"•> I П И -П л I I

г2 ■■■>Ч_1'

"2>г2 ■■■>г, -| '¡>1 "1=^2 + 1 2 1

Лемма 1 доказана.

Следствие 1. Пусть ¿1,... ,1и-1 £ {0,1/2, 1}7 тогда

хг2 ■■■хгк_1 хц (г) = ! «п (^1)шг2 ...Ыгк_1 {¿к-1)<1(^к) ¿¿1 ...Ли.

хг1 хг2 ■■■хгк_1 Х1

г>г>2 >:>гк_1^к>о

Поскольку из самих определений (5) и (6) при V £ У0 следует (1) = £ (у), то верно

Следствие 2. Пусть г2,... ,1к-1 £ {0,1/2,1}, тогда

( (ХоХ%2 . ..Хгк_1 Х1) = J Шо^1)Ыг2 (¿2) . ..<гк_1 (¿к-1)<1^к) ¿¿1 ... Ак.

1>*1>*2 >:>гк_1>*к >о

Это тождество можно также вывести из результатов работы [1], пользуясь равенствами Х1/2 = Хо + Х1 и <1/2^) = Ыо(Ь) + Wl(í). Если в последнем интеграле выполнить замену переменных = 1 — ¿к+1— при ] = 1,...,к, то будет иметь место цепочка неравенств 1 > ¿1 > ¿2 > ... > ¿к_ 1 > ¿к > 0 и ввиду очевидного равенства <г(1 — ¿) = Ш1-г{Ь), г £ {0,1/2,1}, указанная замена переменных повлечет утверждение теоремы 1.

Для кратных дзета-значений (5), как и для обычных кратных дзета-значений, справедливы так называемые стандартные соотношения.

Шаффл-произведение определяется на мономах из У по правилам

1) V Ш 0 = 0 Ш V = V;

2) Хги Ш Х2 V = Хг(п Ш Х^ у)+Х2 (Хги Ш у), г] £{0,1/2,1}. На все пространство У эта операция продолжается по линейности.

Теорема 2. Пусть и^ £ Уо, тогда ((и Ш V) = ((и) ■ ((V).

Доказательство достаточно провести для мономов. Пусть и^ — мономы из У1. Достаточно показать, что при г,] £ {0,1/2,1} будет иметь место равенство

ь1хгмШ х2 V (г) = (г). (7)

Доказательство можно провести индукцией по сумме степеней мономов Хги и Х2V по совокупности переменных. Базой индукции будет служить очевидное равенство 0(г) = Ь^(г) ■ Ы0(г). Дифференцирование левой части (7) с учетом предположения индукции дает следующий результат:

с1 т . , ^ с1

= (л(г)ии(г)+ Шу(г)иХ1и(г) -и^г) = (их^(г)-их^(г)).

¿г

Остается заметить, что левая и правая части равенства (7) обращаются в нуль при г = 0, поэтому из совпадения их производных вытекает и все равенство (7). Теорема 2 доказана.

По существу, равенство (7) получается как представление произведения двух итерированных интегралов Чена (т.е. интегралов из следствия 1) в виде суммы таких же интегралов [2, 3].

Далее на пространстве У1 будет определено стаффл-произведение. Если известно, что все мономы какого-то элемента — £ У заканчиваются на одну и ту же переменную Хг, то для краткости будет обозначать элемент, получающийся сокращением этой последней переменной Хг, т.е. — = -'Хг. Пусть и^ — мономы из У, а также а,Ь £ М, г,] £ {1/2,1} и и = и'Хг, V = VХ^, и = и'Х1, V = v'x1. Тогда

1) и * 0 — 0 * и — и,

2) иХа-1 Х1 * vx0_1x1 — (и * vx0_1 Х1)/Х^Х^-1Х1 + (иХ^-1Х1 * V)'Х^ХЪо_1Х1 + (2г + 2] — 3)(и * V)'xiХа+Ь-1Х1. Если в п. 2 и — 0 или V — 0, то г или соответственно ] можно выбрать из {1/2,1} произвольным

образом. Эта кажущаяся неоднозначность определения не должна вводить в заблуждение: результат при любом выборе будет одинаков ввиду условленной выше договоренности Х1/2 — Хо + Х1. Следует также заметить, что при и^ € У1 верно и (и * V) € У1, и тогда запись (и * V)' будет иметь смысл. Операция стаффл-произведения продолжается на все пространство У1 по линейности. Теорема 3. Пусть и^ € У0, тогда С (и * V) — С (и) • С (V).

Доказательство достаточно провести для случая, когда и и V суть мономы. Заменой переменных и — У1. ..Уг при г — 1,...,к в интеграле из следствия 2 доказывается следующая

Лемма 2. Пусть в1,...,в] € М, в1 ^ 2, в1 + ... + в] — п и г1,..., г]-1 € {1/2,1}. Тогда

Г*2-1Г. [ ТТ • • •Уз • • • ¿У"

Ц^о *ьг1х0 хг2...х0 хг1_1х0 х\) — / II т П1 ■

7-1 1 — У1 ... У81+... + 8з 1 — У1 ...Уп [0,1]« 7-1 '

Следствие 3. Пусть элемент и из У является линейной комбинацией мономов одинаковой степени п — 1 по совокупности переменных и начинающихся с Хо. Тогда

СО^п) = J ¡(У1---Уп)-

¿У1... ¿У„

1 — У1...Уп

[0,1]«

где /(У1.. .Уп) есть рациональная функция над Q7 представляющая собой линейную комбинацию слага-

]-1 (у1 у _1

емых вида —1_ ^ у'—-7 возникающих в интегральном представлении в лемме 2, причем с этой

же самой функцией /(У1.. .Уп) при произвольных а € N и г € {1/2,1} будет выполняться равенство

} 1 — У1 ...Уп 1 — У1 ...Уп • Уп+1 . . . Уп+а

[0,1]«

тг 1 82 — 1 31 —1-1 8г — 1 Р1 — 1 Р2 — 1 Рк —1-1 Рк~ 1

I (лг^т^т, 1 I - Гр 1 Гр . гр 2 Гр . Гр Гр , гр 1 Гр _, п 1 - гр1 1 гр . гр1 2 гр . гр гр . Гр1 к гр _, рггр

-Lj._yv_._Li:> — 0 хг^хо х%2 ' ' ' 0 хц ^хо х 1 ч и — 0 хлхо 72 ' ' ' 0 7к 1 0 Х1,

в1 > 1, р1 > 1, в1 + ... + в] — п, р1 + ... + рк — т, а также г1,.. .,Ц-1,]1,...,]к-1 € {1/2,1}. Для доказательства теоремы необходимо воспользоваться индукцией по I + к, при этом для I — 0 или к — 0 утверждение очевидно, так как в этом случае и — 0 или V — 0 и С(0) — 1. Далее при I > 0 и к > 0 необходимо домножить обе части элементарного равенства

1 Ъ2к_1-1 а^-1 1 к + ~7~л-Чт,-:—+ (2гг_1+2^_1-3)-

(1 — а])(1 — Ък) (1 — Ък )(1 — а] Ък) (1 — а] )(1 — а]Ък) 1 — а]Ък

п2г1_1-1 п2г1_1 -1 Ъ271-1 Ъ23к_1-1 а1 ... а]-1 • Ъ1 ... Ък-1

на произведение ----;--—;-—-;----, после чего положить

Р (1 — ах)... (1 — а*_1) • (1 - 61)... (1 - Ък_г)'

а7 — У1 ...У81+...+83, ] — 1,...,l, Ъг — ...<Шр1+...+р., г — 1,...,k,

и проинтегрировать по гиперкубу [0,1]п+т. Если теперь обозначить

— 1 8о — 1 8^ 1 — 1 — Р1 — 1 Р2 — 1 Рк — 1— 1

1- 2- _ 1 2 _

И/ — 0 %1 о ^%2 ' ' ' г\ 2 0 — 0 о «а/72 ♦ ♦ ♦ 7к 2 0

и воспользоваться следствием 3 к лемме 2, то будет получено равенство

С (и) • С (V) — с ((и * V)' Хг_1 Х01-1Х1) + С ((и * V)'xjk_l Хрк-1Х1) + (2г-1 + 2]к-1 — 3)С ((и * V)'Хil_l Х01+Рк-1 Х1).

Согласно п. 2 определения стаффл-произведения, правая часть данного равенства в точности равна С (и * V). Теорема 3 доказана.

Впервые теорема 3 для классических кратных дзета-значений (1) была доказана М. Хоффманом в работе [4]. Приведенное выше доказательство следовало методу работы [5].

Не менее удобно использование переменной Х1/2 и для обозначения обобщенных полилогарифмов, которые, вообще говоря, могут быть определены для произвольных элементов линейного пространства У:

1П г

ит(г) = <

]

X

если — = Х3о, ] ^ 1;

IшМ ■ № , если — = ^ содержит переменную Х\.

о

Это определение распространяется и на элементы — £ У, которые содержат переменную Х1/2, но не содержат переменную Х1, для чего необходимо вспомнить, что Х1/2 = Хо + Х1. В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:

|и| — степень монома и по совокупности переменных (именуемая весом монома и); £к (и) — степень монома и по переменной Хк (при этом ¿1(и) называется длиной и). Замечание 1. Для произвольного V £ У полилогарифм Ь\хоУ (г) при г = 1, а полилогарифм Ь^ (г) при г = —1 принимают конечное значение, а если £1(V) > 0, то Ь^ (0) = 0.

Пусть к £ {0,1/2,1}. Отображения Ок ■ У ^ У определяются правилами

ак(0) = 0, сгк{хк) = хк, ак(хг) = хз_к_^ г ф к.

2

—г 1

Пусть также д0(г) = 91/2^) = 1-г, д^г) = -.

Теорема 4. Пусть к £ {0,1/2,1}, г £ С, 1г1 < 1, 1дк(г)| < 1 и — — произвольный моном из У. Тогда

Ыу)(9к(г)) = £ (—1)2кЫ+(2к-1)*к(и)С^иак{и)(г),

где

(ь^ (1/2) — Е (—1)2к 1 и|+(2к-1)£к(и)Сииа1 (и)(—1), если Ш=0; С1, у = < , и=0

[0, если £1(V) > 0,

(1), если V начинается с Хо; — Е (—если V начинается не с Хо,

иЬ='и, и=0

(1) — ^ (—1)Щи1+(2к-1)(-к(и)Со,(и)(1), если V начинается с Хо;

иЬ=у,и=0

Ь^( —1) — Е ( — 1)2кЫ+(2к-1У'к(и)Со,^'1а0(и)( — 1), если V начинается не с Хо.

иЬ=у,и=0

Сол! =

Доказательство проводится индукцией по весу монома При |—| =0 утверждение теоремы очевидно. Далее необходимо сравнить систему дифференциальных уравнений из леммы 1 со следующей:

( (I

») = - шк(г) ■ иь(дк(г)), —их^(дк(г)) = (-1)2к ■ Ыу(дк(г)), г ф к. (8)

Пусть — = ХгV. Случаи г = к и г = к разбираются одинаково, поэтому будет разобран лишь случай г = к. Пользуясь формулой (8) и предположением индукции, можно написать

ХгМг)) = (-1)2к ш (г) ■ £ (_ 1)2Л|«|+(2Л-г)гк{и)ск^иак{и) (г) =

йг 2

иъ=у

иЧ=хг гю,и'=0

и'П = 'Ш

Здесь была использована замена и' — Хги. Если теперь константу, возникающую при интегрировании данного равенства, обозначить через Ск,-Ш, то окончательно получится утверждение теоремы. При этом указанная константа Ск,-Ш находится в зависимости от вида и> подстановкой г — 0, г — 1 или г — —1, что допустимо, согласно замечанию 1. Теорема 4 доказана.

Следствие 4. Пусть z £ C, \z\ < 1,

l-z

< 1 и v — произвольный .моном из Y1. Тогда

=(-l)ilWLieiW(z).

Данный результат формулируется значительно сложнее, когда в записи монома v не используется переменная Ж1/2 (см. [6]).

Работа поддержана РФФИ, грант № 09-01-00743a.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Zagier D. Values of zeta functions and their applications // First European Congress of Mathematics. Boston: Birkhauser, 1994. Vol. II. 497-512.

2. Chen K.-T. Iterated integrals and exponential homomorphisms // Proc. London Math. Soc. 1954. 4, N 3. 502-512.

3. Chen K.-T. Integration of paths, geometric invariants and a generalized Baker-Hausdorff formula // Ann. Math. 1957. 65, N 1. 163-178.

4. Hoffman M.E. The algebra of multiple harmonic series //J. Algebra. 1997. 194. 477-495.

5. Уланский Е.А. Стаффл-соотношения для кратных дзета-значений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 2. 52-55.

6. Уланский Е.А. Тождества для обобщенных полилогарифмов // Матем. заметки. 2003. 73, № 4. 613-624.

Поступила в редакцию 26.05.2010

— 2

УДК 512.552.4

СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ АЛГЕБР, ДОПУСКАЮЩИХ СТАНДАРТНЫЕ БАЗИСЫ ИДЕАЛОВ

В. Н. Латышев1

В предыдущих работах автора был введен широкий класс ассоциативных алгебр, допускающих стандартные базисы идеалов. Они называются алгебрами со строгой фильтрацией. Этот класс включает в себя все известные примеры ассоциативных алгебр, идеалы которых обладают стандартными базисами. В работе автора доказано, что класс алгебр со строгой фильтрацией замкнут относительно прямых сумм и тензорных произведений. В настоящей работе показано, что он замкнут относительно свободных произведений алгебр.

Ключевые слова: стандартные базисы, алгебры со строгой фильтрацией, свободные произведения алгебр.

A wide class of associative algebras admitting standard bases of ideals was introduced in previous papers of the author. They are called algebras with strong filtration. This class includes all known examples of associative algebras whose ideals possess standard bases. It was proved by the author that the class of algebras with strong filtration is closed with respect to direct sums and tensorial products. It is shown in this paper that it is closed with respect to free products of algebras.

Key words: standard bases, algebras with strong filtration, free products of algebras.

1. Алгебры со строгой фильтрацией. Воспроизведем определение алгебры со строгой фильтрацией из работы [1].

1 Латышев Виктор Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: vnlatyshev@yandex. ru.