CC BY
41
КРАТНОМАСШТАБНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ЗЛАМАЛА*
H. А. Лебединская1, Д. М. Лебединский1
I. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
Для линейной аппроксимации функции, заданной в некоторой области, обычно используется конечномерное векторное пространство аппроксимирующих функций, из которого выбирается подходящая. Если затем возникает необходимость уточнить аппроксимацию, выбирается другое пространство большей размерности, и поиск производится в нем.
Обычно пространство аппроксимирующих функций связано с некоторой геометрической структурой, построенной в области задания аппроксимируемой функции. В одномерном случае это сетка (упорядоченный набор различных точек на интервале задания функции), в двумерном случае — триангуляция области задания функции. Для уточнения аппроксимации геометрическая структура расширяется (добавляются новые узлы, ребра, треугольники), и берется пространство аппроксимирующих функций, связанное с расширенной структурой.
В некоторых случаях новое пространство аппроксимирующих функций содержит в себе старое. Тогда старые базисные функции можно представить как линейные комбинации новых — такое разложение называют кратномасштабным.
Наличие кратномасштабного разложения позволяет уменьшить трудоемкость поиска уточнения аппроксимации искомой функции при численном решении функциональных уравнений, таких как краевые задачи для уравнений в частных производных.
Для одномерных сплайнов на неравномерной сетке кратномасштабное разложение было получено Ю. К. Демьяновичем [1]. Для двумерных квадратичных С1 -сплайнов на треугольнике такое разложение получено в работе [2]. Однако, там рассматривалось равномерное измельчение триангуляции, т. е. одновременное и одинаковое подразбиение всех входящих в ее состав треугольников.
Данная работа посвящена выводу кратномасштабного разложения для аппроксимации Зламала (см. [3]) в стиле работы [4], т. е. при добавлении в исходную триангуляцию одного нового узла на одно из ребер. Рассматриваются случаи, когда данное ребро расположено на границе или внутри области.
Такой подход позволяет строить неравномерное измельчение триангуляции, сгущая ее там, где это требуется геометрией области и свойствами коэффициентов решаемой задачи. Кроме того, если подразбиваемые треугольники находятся достаточно далеко друг от друга, формулы декомпозиции и реконструкции можно применять для разных операций добавления или удаления узлов одновременно, т. е. наборы пересчитываемых при этом коэффициентов не пересекаются.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00451 и 07-01-00269).
© Н. А. Лебединская, Д. М. Лебединский, 2009
1. Вложенность пространств аппроксимирующих функций. Для построения аппроксимации применяются элементы Зламала на каждом треугольнике, входящем в триангуляцию. Это означает, что приближение конкретной функции строится как результат интерполяции по вершинам треугольника, а также серединам его сторон при помощи многочлена степени не выше двух. Если Т — некоторая триангуляция плоской области, обозначим через Хт пространство аппроксимирующих функций, а через Ут — пространство кусочно-полиномиальных (полиномиальных на каждом элементарном треугольнике) степени не выше двух непрерывных функций.
Лемма 1 Хт = Ут •
Доказательство. Известно, что любая аппроксимация при помощи элемента Зламала кусочно-полиномиальна степени не выше двух и непрерывна, так что Хт С Ут. Обратно, аппроксимация при помощи элемента Зламала любой функции ] Є Ут совпадает с f. Значит, Ут С Хт, и лемма доказана.
Теорема 1 Если триангуляция Т' получена из триангуляции Т добавлением узла х на ребро у, причем добавляются также входящие в узел х ребра из противолежащих ребру у вершин тех двух треугольников, которые ребро у разделяет (или одного треугольника, если у лежит на границе области), то Хт С Хт' •
Доказательство. Очевидно, Ут С Ут', и, принимая во внимание лемму 1, получаем требуемое.
2. Кратномасштабное разложение. Сначала введем некоторые обозначения. Пусть Т — триангуляция плоской области, содержащая п узлов, обозначаемых в дальнейшем п\,... , ип. Базисные функции аппроксимации Зламала, отвечающие узлам щ, будут обозначаться Zт,г; отвечающие ребрам с концами и*, иу — 2тц.
Пусть ш Є (0,1) и Т содержит ребро в с концами и і и и^. Рассмотрим новый узел ио = (1 — ш)иі + ши2 Є в. В зависимости от расположения в в Т возможны два случая.
А. Ребро в лежит на границе области. Пусть из — вершина треугольника, содержащего в, и Т' —новая триангуляция, полученная из Т добавлением узла ио, ребра с концами ио и из, причем треугольник из Т с вершинами иі, и2, из разделяется на два с вершинами ио, иі, из и ио, и2, из. Также Zтч и Zт'ц будут обозначать базисные функции аппроксимации Зламала, соответствующие узлам и* и ребрам с концами и*, иу в триангуляции Т'. Формулы кратномасштабного разложения могут быть получены путем построения аппроксимации функций Zтi и Zт,гj при помощи линейных комбинаций Zт' і и ZтЧу. Из соображений, аналогичных приведенным в предыдущем разделе, эта аппроксимация будет точной.
Итак, кратномасштабное разложение в этом случае выглядит следующим образом:
гТ,1 = %Т>, 1 + (1 — 2')(^ _ ---^-----^Т',02 —
----—--^г'.оз + (1 — ^)(1 — 2 ш)Zт>,o,
? ^ , ^(1 + ш) ш{1 -ш)
Лт,2 — ^Т',2 Н----2--- т'>02-------2-- ’01 _
ш(1 — ш) „ , ч „
------2---%т', оз + и(2и; — 1)Ит'1о,
Zт,i = Zт',i при і > 3,
Ят, 12 = (2 — ш)шZт',01 + (1 — ш2)Ят',02+
+ ш(1 — ш)Ят' ,оз + 4ш(1 — ш)Ят ',о,
Ят, 13 = Ят',13 + (1 — ш)Ят>,оз,
Ят, 23 = Ят',23 + шЯт',03,
Ятц = Ятпри * > 3 или _?’ > 3.
Б. Ребро в не лежит на границе области. К ситуации предыдущего случая добав-
ляется и4 —вершина второго треугольника из Т, стороной которого также является в. В Т' нужно еще добавить ребро с концами ио и и4, и разделить треугольник из Т с вершинами и1, и2, и4 на два с вершинами ио, и1, и4 и ио, и2, и4. Как и в случае А, формулы кратномасштабного разложения могут быть получены путем построения аппроксимации функций Ят,г и Ятц при помощи линейных комбинаций Ятч и Ят' ц.
Итак, кратномасштабное разложение в данном случае выглядит следующим образом:
гТ,1 = %Т>, 1 + (1 — 2')^ _ 01-^---^Т',02 —
ш(1 — ш) „ ш(1 — ш) „ ,
----2------%т’, оз-------^-------- т'>04 + (1 — а’)(1 — 2ш)%т',о,
г ^ , ^(1+ш)
^Т,2 — ^Т' ,2 Н----2----^Т' ,02-----2---------------------------------^Т',01 —
^(1-^) ^(1 -и) гу , ,0
----2------^т',оз--------2-^"Г',04 + ш{гш — 1 )Лт>,о,
Ят,г = Ят\г при г > 3,
Ят, 12 = (2 — ш)шЯт',01 + (1 — ш2)Ят',02+
+ ш(1 — ш)Ят ',03 + ш(1 — ш)Ят' ,04 + 4ш(1 — ш)Ят ' ,о,
Ят,13 = Ят', 13 + (1 — ш)Ят',о3,
Ят, 23 = Ят',23 + шЯт',03,
Ят, 14 = Ят',14 + (1 — ш)Ят',04,
Ят, 24 = Ят',24 + шЯт',04,
Ят,®^ = Ят',*; при г > 4 или _?’ > 4.
3. Формулы декомпозиции и реконструкции. Как и в предыдущем разделе, здесь рассматриваются два случая в зависимости от того, лежит ребро в на границе области или нет. В обоих случаях Хт' = Хт © Ш, т. е. через Ш обозначено дополнительное прямое слагаемое; в разных случаях оно будет разным. При рассмотрении разложения конкретного элемента / € Хт' через а®, а^ обозначаются коэффициенты в базисах Ят,®, Ятц и базисе пространства Ш (в обоих случаях состоящего из некоторых функций Ят',®, Ят'ц), а через а®, а- —коэффициенты в базисе из функций Ят',®,
Ят'ц. Естественно, базисные функции с двумя индексами, равно как и соответству-
ющие коэффициенты, рассматриваются только в том случае, если в соответствующей триангуляции имеется ребро между узлами с указанными в индексах номерами. Например, в Т' нет ребра между узлами 1 и 2 и, следовательно, нет базисной функции Ят', 12, нет и коэффициента а^.
А. В первом случае в качестве базиса Ш можно выбрать функции Ят',01, Ят',о2, Ят',03. Формулы реконструкции получаются непосредственно из кратномасштабного
разложения и выглядят так:
ао — (1 — ш)(1 — 2ш)а1 + ш(2ш — 1)а2 + 4ш(1 — ш)а12,
а® = а® при г > 1,
/ ш ш(1 — ш)
а01 = (1 — —) (1 — ш)а 1---------------------а2 + (2 — си)и;а12 + аи,
/ ш(1 — ш) ш(1 + ш) 2
«02 =-----------о-------------------------а1 ^-о-а2 + (1 — ^ )а12 + «02,
аПп — —
ш(1 — ш) ш(1 — ш)
Я1-----------------а,2 + ш{1 — си)а\2 +
103
22
+ (1 — ш)а13 + ша23 + ао3, а^ = а^ при 1 < г < ] < и,] > 2.
Формулы декомпозиции получаются обращением формул реконструкции и выглядят так:
а® = а® при г > 1, а®^ = а^ при 1 < г < ] < и,] > 2,
1 / 1 — 2ш / 2ш — 1 /
012 “ 4и>(1 — и) Я° ~ ~ ф^)а2’
/ 2 — ш / ш — 2 / ш2 /
001 = 001 “ 4(Т^) а° + ~Я1 + 4(Г^) “2’
/ 1+ ш / (1 — ш)2 / 1+ ш /
а°2 = а02 - ~^~ао + 4и; а1 4 ^27
/ 1 / 1 — ш / ш / / /
аоз = а03 — -а0 Н - а1 + —а2 — (1 — и)а,13 — ша23.
Б. Во втором случае в качестве базиса Ш можно выбрать функции Ят',01, Ят',о2, Ят',о3, Ят',о4. Формулы реконструкции получаются непосредственно из кратномасштабного разложения и выглядят так:
ао = (1 — ш)(1 — 2ш)а1 + ш(2ш — 1)а2 + 4ш(1 — ш)а12,
а® = а® при г > 1,
/ ш ш(1 — ш)
а01 = (1 — — и>)а1---------0,2 + (2 — ш)ша\2 + ао1,
/ ш(1 — ш) ш(1 + ш) 2
а02 =------о-------------------а1 -о-а2 + (1 — Ш )а12 + а02,
2
ш(1 — ш) ш(1 — ш)
те
+ (1 — ш)а13 + ша23 + ао3, ш(1 — ш) ш(1 — ш)
Я1-----------------0,2 + ш{1 — си)о12 +
Опл — —
О!-----------------02 + ш{1 — си)о12 +
04
22
+ (1 — ш)а14 + ша24 + ао4,
= а,ц при 1 < г < ] < и,] > 2.
Формулы декомпозиции получаются обращением формул реконструкции и выглядят так:
ai = ai при i > 1,
aij = aij при 1 < i < j < n,j > 2,
1 / 1 - 2w / 2w - 1 /
012 “ 4iv(l — и) a° ~ ~^Tai ~ 4(1^)'32
/ 2 — U / U — 2 / W2
aoi = agi — ТГл-------\ ao ^----л—ai
ao2 a О ' to
ao3 = ao3
ao4 = ao4
4(1 — w) 0 4 1 4(1 — w) 21
1+ W / (1 — u)2 / 1+ U /
—^----ao H----^-------al-----^----a2,
4u 0 4u 1 4
1 / 1 — и / и / , /
4°° ^ 4 ai ~4°2 ~ ( w)ai3 _ wa23,
1 / 1 — и / и / w /
4a° ^ 4 a! + Ia2 “ ^ “ ш)аЫ - wa24-
При проверке формул использовалась система аналитических вычислений MuPAD 2.5.3 под Linux.
Литература
1. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке // Докл. РАН 2002. Т. 382, №3. C. 313-316.
2. D&hlen M., Lyche T., M0rken K., Schneider R., Seidel H.-P. Multiresolution analysis over triangles based on quadratic Hermite interpolation // J. Comput. Appl. Math. Vol. 119. 2000. P. 97114.
3. Демьянович Ю. К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 356 с.
4. Демьянович Ю. К., Зимин А. В. Всплесковое (вейвлетное) разложение пространств периодических B-сплайнов второй степени на неравномерной сетке // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2006. №3. С. 72-83.
Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.
