CC BY
29
УДК 530 : 517.956 ББК 22.311
Святослав Евгеньевич Холодовский,
доктор физико-математических наук, профессор, Забайкальский государственный университет, 672039, Россия, г. Чита, ул. Александре-Заводская, 30,
e-mail: hol47@yandex.ru
Краевые задачи в областях с наноструктурными границами (покрытиями). Теорема двойственности1
В статье рассмотрен класс краевых задач в полуцилиндре D — (х < 0) х (у £ Q С Rm), основанием которого х = 0 является многослойная плёнка, состоящая из чередующихся бесконечно тонких сильно- и слабопроницаемых прослоек. Рассмотрены граничные условия двух типов при заданном потенциале и при заданной нормальной скорости на внешней стороне плёнки. Доказано, что решение одной задачи выражается через решение другой задачи, при этом сильно- и слабопроницаемые прослойки меняются ролями.
Ключевые слова: краевые задачи, граничные многослойные плёнки, сильно-и слабопроницаемые прослойки.
Svyatoslav Yevgenyevich Kholodovskii,
Doctor of Physical and Mathematics, Professor, Transbaikal State University, 30 Aleksandro-Zavodskaya St., Chita, Russia, 672039,
e-mail: hol47@yandex.ru
Boundary Value Problems in Areas with Nano-structured Boundaries
(Coatings). Duality Theorem2
The article describes a class of boundary value problems in a half-cylinder D = (x < 0) x (y G Q С Rm) whose base x = 0 is a multilayer film consisting of alternating infinitely thin strongly and weakly permeable layers. The author considers the boundary conditions of the two types at a given potential and given normal speed at the outer side of the film. It is proved that the solution of one problem is expressed in terms of other problem at the same time strongly and weakly permeable layer switch roles.
Keywords: boundary value problem, boundary multilayer films, strongly and weakly permeable layers.
Согласно работам многих ученых, в том числе академика С. Ю. Глазьева [1], в настоящее время человечество с точки зрения своего экономического и научного развития вступило в новый этап, называемый нанотехнологическим укладом. Поэтому имеет большой практический и научный интерес исследование динамических процессов тепломассопере-носа в материалах содержащих наноразмерные многослойные плёночные покрытия. Указанные процессы в математических моделях приводят к краевым задачам математической физики в областях с обобщёнными граничными условиями на плёнках.
1 Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 2014/255 НИР 2603.14).
2The work was performed as part of the State job university Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project 2014/255 research 2603.14).
130
© Холодовский С. Б., 2015
Рассмотрим в пространстве (х, yi,..., ym) G Rm+1 полуцилиндр D = (—00 < x < 0) x (y 6 Q С Rm), граница которого x — 0 (основание полуцилиндра) является многослойной плёнкой, состоящей из чередующихся сильно- и слабопроницаемых прослоек. Сильно- и слабопроницаемые прослойки моделируем бесконечно тонкими слоями соответственно с бесконечно большой и бесконечно малой проницаемостью [2]. При этом г-ая сильно проницаемая прослойка характеризуется параметром Ai, где kih —> Ai, Ii —> 0 - толщина (раскрытие), а ki —> 00 - проницаемость слоя, вырождающегося в сильно проницаемую прослойку. Аналогично параметр j-й слабопроницаемой прослойки Bj определяется как предел lj/kj —>■ Bj, где lj —> 0 - толщина, а kj —> 0 - проницаемость слоя, вырождающегося в слабопроницаемую прослойку [2].
Как показано в работе [2], на многослойной плёнке х = 0 можно рассматривать обобщённые граничные условия двух типов и соответственно два типа граничных задач: при заданном значении tp(y) искомого потенциала (условие 1-го типа) и при заданном значении ф(у) нормальной скорости (условие 2-го типа) на внешней стороне плёнки, т. е. при х = +0.
Пусть плёнка х = 0 состоит из 2п чередующихся сильно- и слабопроницаемых прослоек с параметрами соответственно Ai, В2,..., А2п-\, В2п, где А\ > 0 - параметр первой прослойки х = —0 и плёнку замыкает слабопроницаемая прослойка х = +0 с параметром В2 п > 0. Остальные параметры Ai, Bj > 0. При А\ — 0 или Вчп — 0 первая или соответственно последняя прослойка отсутствует. Рассмотрим для функции и(х, у) в полуцилиндре D класс задач 1-го типа
diu + Lu = 0, Mul(Xty)eS = 0, (1)
u + F2nu\x=-Q = ip(y), (2)
где дтх = дг /дхг] L - произвольный линейный дифференциальный оператор по переменным 2/i, т.е. оператор L не содержит производных по а; и коэффициенты при производных не зависят от х; S = (х < 0) х (у G 8Q) - боковая поверхность полуцилиндра D; М (как и L) является линейным оператором по переменным т/j, в частности М — оператор классических граничных условий 1-го, или 2-го, или 3-го рода; оператор F^n строится по рекуррентным формулам, полученным в работе [2]:
Fti-iu = F2i-2U, Gn-xu = A2i-id%(u + F2i-2u) + G2i-2u,
F2iu = B2i(dxu + G2i-iu) + F2i-iu, G2iu = G2i-iu, (3)
-^0 = Gq = 0, i = 1 ,...,n. Здесь операторы L, M считаются такими, что соответствующая классическая задача без плёнки (при идеальном контакте области D с внешней средой) вида
dlf + Lf = 0, Mfl(Xty)eS = 0, f\x=о = <р(у)
корректна. Для волнового уравнения (1) обобщённое граничное условие (2) соответствует наличию комбинации точечных масс при их упругом контакте на границе [3]-[5].
Наряду с данной задачей рассмотрим для функции v(x,y) в полуцилиндре D аналогичный класс задач 2-го типа
д2хи + Ьь = 0, Мь\{хм)е8 = о, (4)
дь + С2пУ\х=-о = Ф{У), (5)
где оператор (?2п строится по рекуррентным формулам [2]:
-^¿-1« = В2{-1(дхЬ + ё2{-2У) + Р2{-2У, =
Щцу = Ъг-ХУ, = А2гд1(у + + (6)
^о = Со = 0, г = 1 ,...,п. Здесь граница х = 0 является многослойной плёнкой, состоящей из чередующихся слабо- и сильно проницаемых прослоек с параметрами соответственно вида #1, А2, ...,В2п-1, А2п, где В\ > 0 - параметр первой слабопроницаемой прослойки х = —0, А2п > 0 - параметр последней сильно проницаемой прослойки ж = +0.
Отметим, что при отсутствии плёнок, т.е. при А$ = Bj — В{ — А^ — 0, граничные условия 1-го и 2-го типов (2), (5) совпадают с классическими граничными условиями соответственно 1-го и 2-го рода. Классическое граничное условие третьего рода является обобщённым граничным условием 1-го типа на однослойной слабопроницаемой плёнке (2). Задачи 1-го и 2-го типа связаны друг с другом в следующем смысле. Теорема двойственности. Если функция и(х, у) является решением задачи 1-го типа (1), (2), то функция V = дхи является решением задачи 2-го типа (4), (5), в которой В{ = А{, А^ = В
ф(у) = -Ыу), (7)
и обратно, если у(х,у) является решением задачи 2-го типа (4), (5), то функция и = дху является решением задачи 1-го типа (1), (2), в которой А{ = В{, В3 = Aj, ср(у) = ф(у).
Другими словами, в указанных задачах сильно- и слабопроницаемые прослойки меняются ролями.
Доказательство. Пусть и(х,у) является решением задачи (1), (2). Дифференцируя условия задачи (1) по х, для функции и — дхи получим условия (4), при этом учли, что операторы ЬиМ,а также уравнение боковой поверхности Б не содержат переменной х. Применяя оператор Ь (по переменным у{) к граничному условию (2), с учетом равенства Ьи = —дхи (1) получим условие
%и + р2па%и\х=_0 = 11>(у), (8)
где 1р(у) = -Ь<р(у).
Для операторов Р^, (Т/, Gj (3), (6) выполняются равенства
= д^и, в^и = Щи, ] = 1,..., 2п, (9)
где V = дхи. Действительно, из формул (3), (6) следует Рхд1и =^1 у = 0, вщ = Ахй*и = Вгдху = Р2д1и = В2(дхи + в&и) = А2(д1и + = в2у, С2и = б^и = =
F2v, т.е. равенства (9) имеют место для j = 1,2. Пусть равенства (9) выполняются для j — 2i — 1, 2г. Тогда с учетом (3), (6) получим те же формулы при j — 2i + 1, 2i + 2 : F2i+1d2xu = F2idlu = G2iv = G2i+iv, G2i+iu = A2i+1(d%u + F2idlu) + G2iu = B2i+1(dxv + G2iv)+F2iv = F2i+1v, F2i+2dxu = Bm+^u+Gm+i^uJ+Fm^i^« - A2i+2(d%v+F2i+1d%v) + G2i+\v = G2i+2v, G2i+2u = G2i+iu = F2l+1v = F2i+2v, где^Д = Ai, Aj = Bj, т.е. равенства
(9) справедливы. Отсюда при j = 2п получим F2ndxu = G2nv. Тогда граничное условие (8) с учетом dxu = dxv примет вид граничного условия (5) для функции v = дхи, т. е. для функции v получили задачу 2-го типа (4), (5). Отсюда следует первое утверждение.
Пусть теперь функция v{x,y) является решением задачи (4), (5). Тогда из условий (4) следует, что функция u — dxv удовлетворят условиям (1). Для операторов Fj, Gj, Fj, Gj (3) и (6) выполняются равенства
Fjdlv = GjU, GjV = FjU, j = 1,..., 2n, (10)
где и = dxv. Действительно, из формул (3), (6) следует, что равенства (10) имеют место для j = 1,2 : Fid^v = B^v = А^и = Gin, G^v = fiu = 0, F2dlv = F^v = G\u — G2u, G2v — A2(d%v + Fidxv) — B2(dxu + G±u) — F2u. Полагая, что формулы
(10) выполняются ^для j = 2i — 1, 2г, с учетом (3), (6) получим те же формулы для j — 2г + 1, 2г + 2 : F^id^v — B2i+i(dxv + G2idxv) + F2{dxv — A2i+\ (д2хи + F2id2xu) + G2iu = G2i+iu, G2i+iv = G2iv = F2iu = F2i+iu, F2i+2dlv = F2i+1d%v = G2i+iu = G2i+2u, G2i+2vj= A2i+2(dlv+F2i+1dlv)+G2i+1v = B2i+2(dxu+G2i+1u)+F2i+1u =^+2и, где А{ = Bi: Bj = Aj, т. е. формулы (10) справедливы. Отсюда при j = 2п получим G2nv = F2nu. Тогда граничное условие (5) для функции и — дхи примет вид граничного условия (2), т. е. для функции и получили задачу 1-го типа (1), (2) при неизменной граничной функции tp(y) = ф(у). Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что зная решение v(x,y) задачи 2-го типа (4), (5), по формуле и = dxv можно найти решение задачи 1-го типа (1), (2) при сохранении граничной функции ф(у) = ср(у). Однако для нахождения решения задачи 2-го типа по известному решению и(х, у) задачи 1-го типа необходимо определить граничную функцию <р(у) по заданной граничной функции ip(y) из дифференциального уравнения (7): ф(у) = —Lip{y) (в статье [2] задача 2-го типа решена непосредственно).
Список литературы
1. Глазьев С. Ю., Харитонов В. В. Нанотехнологии как ключевой фактор нового технологического уклада в экономике: монография. М.: Тровант, 2009. 304 с.
2. Холодовский С. Е. О решении краевых задач в полупространстве, ограниченном многослойной плёнкой // Ученые записки ЗабГГПУ. Сер. Физика, математика, техника, технология. 2011. № 3 (38). С. 160-164.
3. Холодовский С. Е. Решение задачи о движении неограниченной разрывной струны (стержня) с упругим контактом // Ученые записки ЗабГУ. Сер. Физика, математика, техника, технология. 2013. № 3 (50). С. 132-139.
4. Холодовский С. Е., Потехо А. О. Решение краевой задачи о движении полуограниченной струны с граничным условием третьего рода // Ученые записки ЗабГУ. Сер. Физика, математика, техника, технология. 2013. № 3 (50). С. 140-145.
5. Kholodovskii S. Е. Effective Solution of the Problem of Motion of an Infinite String with an Attached Point Mass // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2015. Vol. 55. No. 1. P. 101-108.
References
1. Glaz'ev S. Yu., Kharitonov V. V. Nanotekhnologii как klyuchevoi faktor novogo tekhnologicheskogo uklada v ekonomike: Monografiya. M.: Trovant, 2009 g. 304 s.
2. Kholodovskii S. E. О reshenii kraevykh zadach v poluprostranstve, ogranichennom mnogosloinoi plenkoi // Uchenye zapiski ZabGGPU. Ser. Fizika, matematika, tekhnika, tekhnologiya. 2011. № 3 (38). S. 160 164.
3. Kholodovskii S. E. Reshenie zadachi о dvizhenii neogranichennoi razryvnoi struny (sterzhnya) s uprugim kontaktom // Uchenye zapiski ZabGU. Ser. Fizika, matematika, tekhnika, tekhnologiya. 2013. № 3 (50). S. 132-139.
4. Kholodovskii S. E., Potekho A. O. Reshenie kraevoi zadachi о dvizhenii poluogranichennoi struny s granichnym usloviem tret'ego roda // Uchenye zapiski ZabGU. Ser. Fizika, matematika, tekhnika, tekhnologiya. 2013. № 3 (50). S. 140-145.
5. Kholodovskii S. E. Effective Solution of the Problem of Motion of an Infinite String with an Attached Point Mass // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2015. Vol. 55. No. 1. P. 101-108.
Статья поступила в редакцию 13.04-2015
