CC BY
62
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 14-21
= Математика =
УДК 517.956.4
Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя с интегральным условием второго рода
И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев
Аннотация. Рассматривается краевая задача с интегральным условием второго рода для параболического уравнения с оператором Бесселя. Доказывается единственность ее решения. Решение задачи получено в явном виде.
Ключевые слова: параболическое уравнение, нелокальное
интегральное условие, оператор Бесселя.
1. Постановка задачи
Пусть От = {(ж,£): 0 < х < I, 0 <£ ^ Т} — прямоугольная область в координатной плоскости Ох£.
В области От рассмотрим параболическое уравнение с оператором Бесселя
Ьв и = щ — Вх и = 0, (1)
где Вх = х-к-§х (хкдХ) = дХ2 + х дх — оператор Бесселя, 0 < к < 1. Задача. Найти функцию и(х,£), удовлетворяющую условиям:
и(х,1) € сХ’0(От) П сХ’1 (От), (2)
Ьви = 0, (х,£) € От, (3)
и(х, 0) = <^(х), 0 ^ х ^ I, (4)
их(0,*) = 0, 0 ^ ^ < Т, (5)
их(1,£) + У u(x,^)xkйх = 0, 0 ^ ^ ^ Т, (6)
о
где <^(х) заданная функция.
Смешанная задача для гиперболического уравнения с интегральным условием Неймана и нелокальным интегральным условием была ранее рассмотрена в работе [1], где доказана корректность данной задачи. В
работах [2, 3] введен термин «условия первого рода» и доказаны леммы об эквивалентности условий I и II рода.
Гиперболическое уравнение с оператором Бесселя и с нелокальным интегральным условием первого рода изучено в работах [4, 5].
Параболическое уравнение с оператором Бесселя и с нелокальным интегральным условием первого рода изучено в работе [6].
2. Единственность решения
Теорема 1. Задача (2) - (6) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть существуют два решения и(ж, і) и и2(ж, і) задачи (2) - (6). Тогда их разность ^(ж,£) = иі(ж,і) — и2(ж,і) будет являться решением следующей краевой задачи:
и(М) Є С*;0,(От) П С*1 (От),
ЬвV = 0, (ж, і) Є От,
■и(ж, 0) = 0, 0 ^ ж ^ I,
^(0, і) = 0, 0 ^ і ^ Т,
і
V*(І, і) + / v(ж, і)жкгіж = 0, 0 ^ і ^ Т.
(7)
(8) (9)
(10)
(11)
Уравнение (8) запишем в виде
-к д ( к дv V* = ж — ж — дж дж
(12)
Умножив данное уравнение на 2ж^V и учитывая, что 2от* = д* (V2),
получим
ж*дТ ^2(ж,т ^ =2v(ж,r) дж (ж* дж(v(ж,r )0 ■
Из равенства функций следует равенство определенных интегралов 1ь 1ь
I I Хк д~” (^2(х,Т)) ^Т^Ж = 2 I ! -и(ж,Т) ^-к (»(-,Т))^ ^т^ж.
0 0 0 0
В правой части этого равенства поменяем порядок интегрирования
і * * г і
У У жЙ дТ ^2(ж,Т)) ^т^ж = ^ У v(ж,r) дж ^жй дЖ (v(ж,r))^ ^ж
0 0 о [о
^т.
(13)
Из начального условия (9) следует, что
і *
У У -к дЖ (-у2(ж,т)) ^т^ж = У жк-и2(ж,^ж.
0 0 0
Внутренний интеграл в правой части равенства (13) возьмем по частям
I
/,,(ж'т > 1(ж‘ д; (,,(ж'т >0,гж =
д
= v(ж,т)жk — (v(ж,т))
і і
(14)
— / жк(дж(v(ж,т)0 ^ 00
Умножив уравнение (12) на жк и интегрируя по ж на отрезке [0; 1], получим
і і
[ к Л /д / к / к дv\
/V* ж^ж = — ж — Ыж = ж — I
дж дж
дж
= 1к ^(1,і).
00
Заменяя в условии (11) (1,^) на его значение из (15), имеем
пк/„(м)жк *, + / «С*,і)*к * = 0
(15)
(16)
Полагая в (16)
v(ж, і)жк ^ж = -ш(і),
получим дифференциальное уравнение
■ш;(£) + 1к -ш(£) = 0, общее решение которого имеет вид
Следовательно,
Ці) = Се-ік *.
і
У v(ж,і)жk гіж = Се-ік *.
і
і
/„^ & = 0. (17)
В силу начального условия (9), получим
1
иул, ь^жк"
0
Из (17) и из условия (11) следует, что
и*(М) = 0. (18)
Таким образом, из условий (10) и (18) получим
і
д
■и(ж, т )жк — (-и(ж, т))
= 0.
0
Поэтому уравнение (13) принимает вид і ь і
д
У жк -и2(ж,£)^ж + ^У У дх (^(ж,т ))^ ^ж^т = 0.
0 0 0
Каждое слагаемое последнего равенства неотрицательно. Следовательно, они равны нулю. Так как функция -и(ж,£) непрерывна, то из равенства
і
/ж‘ ”2(м),ь = °-
следует, что
■и(ж, ■£) = 0.
Отсюда получим, что щ(ж,£) = и2(ж,£). Теорема 1 доказана.
3. Существование решения
Согласно методу Фурье частные решения уравнения (3) ищем в виде
«(ж,£) = X (ж)Т (£), (19)
где X(ж) и Т(£) — пока неопределенные функции. Подставляя функцию (19) в уравнение (3), получим
Т' + Л2Т = 0, (20)
-
X" + -X' + Л2Х = 0. (21)
ж
Чтобы частное решение (19), отличное от тождественного нуля, удовлетворяло граничным условиям (5) и (6), необходимо потребовать выполнение условий
X' (0) = 0, (22)
і
Х;(1) + ^ X(ж)жкйж = 0. (23)
0
Известно [7], что уравнение (21) с помощью замены переменных по формулам
1 — к
X =(Л) Т * ж = Л, (24)
приводится к уравнению Бесселя
" + zZ, + ( г2 - (к л ^ ) 2 = 0, (25)
4
общим решением которого является функция
2 = Сі3*-і (г) + С2Гк-1 (г), (26)
2 2
где 3к-і (г), Ук-і (г) — бесселевы функции первого и второго родов порядка
2 2
к_-1 • Возвращаясь к старым переменным в функции (26), с учетом формул (24) получим
X = С1ж-~ 3к-і (Лж) + С2ж_~ Ук-і (Аж), (27)
2 2
где Сі, С2, Л — произвольные постоянные. Их найдем из требования, чтобы
общее решение (27) удовлетворяло условиям (22) и (23). С этой целью
подставим функцию (27) в условия (22) и (23). Получим
. к — і к-і
X = —С1Лж 2 3к+і (Лж) — С2Лж 2 Ук+і (Лж).
2 2
Так как в силу известной асимптотической формулы функции Бесселя
к — і к —і
[7] ж 2 3к+і (Лж) ^ 0, ж 2 Ук+і (Лж) ^ то при ж ^ 0 , то для выполнения
2 2 граничного условия (22) должно быть С2 = 0. Тогда из граничного условия
(23) получим
і
к—і [ , к + і
—ЛІ 2 3к+і (Л1)+ 3к-і (Лж)ж 2 гіж = 0. (28)
2 ] 2
0
Вычисляя интеграл в (28) и учитывая известную формулу [8]
й
^ж
получим
— (жр3р (ж)) = жр3р-1 (ж), (29)
3 к+1 (Л1) = 0. (30)
2
Известно [8], что уравнение (30) имеет бесчисленное множество вещественных корней. Обозначим через ^га, п = 1, 2, 3,... корни уравнения
3к+1 (^) = 0. Тогда собственным значениям Лп = , п = 1, 2, 3,... будут
2 1 соответствовать собственные функции
к—1
3)
2
Лемма 1. Функции (31) ортогональны с весом жк и образуют полную систему.
Доказательство. Ортогональность с весом очевидна [9]
Хп = ж 2 3^ж^ , п = 1, 2, 3,... (31)
У Хга(ж)Хр(ж)жк^ж = У ж 2 3^^ж^ ж 2 3^ж^ жк^ж
00 і
= / 3к-і Г ^ж! 3к-і Г ж! ж^ж =
0
{0, п = т;
12 (1 - 31^1 (^ п = т. (32)
Докажем полноту этой системы. Предположим, что существует функция V(ж), отличная от тождественного нуля и ортогональная всем функциям (31):
1
У ж-“2“ 3к-1 ж^ V(ж)^ж = 0.
0
Известно [7], что система 13“-1 ж) | полна в Ь2(0,1) и, следовательно,
_ к —1
ж 2 V(ж) = 0,
что выполнима лишь для V(ж), равной нулю почти всюду на (0,1). Это и доказывает полноту системы (31).
Пусть функция /(ж) представима в виде ряда
ГО
/(ж) = ^ агаж_~ї~ 3к-і ж^ . (33)
П=1
к+1
2
Умножая обе части разложения (33) на ж 2 3“^1 ж) и интегрируя по
отрезку [0,1], с учетом формулы (32) получим
йга —
I2 (1 —
і
г------;----2Т\----------- I /(ж)ж~+~ 3к-1 (^ж^ гіж, п = 1,2,3,...
Значениям параметра Л = Л„ = ^ соответствуют следующие решения уравнения (20)
Т = А„е-( ^ )2 *, где — произвольные постоянные. Итак, все функции
«п(м) = Х„(ж)Т„(£) = А„ж-“з17^„ж) е-() * (34)
удовлетворяют уравнению (3) и граничным условиям (5) и (6) при любых постоянных А„.
Составим ряд
^ 2 и(ж,;) = £ А„ж-7к-1 ^ж^ е-(^) *. (35)
„=1
Требуя выполнения начального условия (4), получим
и(ж, 0) = <^(ж) = ^ А„ж 2 7^ ^ж^ . (36)
„=1
Написанный ряд представляет собою разложение заданной функции <^(ж) в ряд по функциям Бесселя в интервале (0,1). Коэффициенты разложения
(36) определяются по формулам
А„ = —(---------—2-)---------- I ^(.ж)ж 2 7к^1 ( ж) <!ж, п = 1,2,3,...
к '2 ГЬ (к,,)7 2 у 1
2
(37)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Если функция <^(ж) € С2[0,1] и ^>;(1) = 0, ^>(0) = ^>;(0) = 0, то существует единственное решение задачи (2) - (6), и оно определяется как сумма ряда (35), коэффициенты которого вычисляются по формулам
(37).
Список литературы
1. Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 3. С. 435-445.
2. Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Изв. вузов. Математика. 2012. № 4. С. 74-83.
3. Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями I рода с ядрами, зависящими от времени // Изв. вузов. Математика. 2012. № 10. С. 32-44.
4. Бейлин С.А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием // Матем. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11. № 2. С. 22-29.
5. Зайцева Н.В. Смешанная задача для одного В-гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 39-50.
6. Гарипов И.Б., Мавлявиев Р.М. Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя с интегральным условием первого рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 5-12.
7. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949. 799 с.
8. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 384 с.
9. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.
Гарипов Ильнур Бурханович (ilnur_garipov@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет.
Мавлявиев Ринат Мизхатович (mavly72@mail.ru), старший преподаватель, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет.
Boundary problem for the parabolic equation with the Bessel operator with an integral condition of the second kind
I.B. Garipov, R. M. Mavlyaviev
Abstract. We consider a boundary problem with an integral condition of the second kind for the parabolic equation with the Bessel operator. We obtain a solution of the problem in an explicit form and prove the uniqueness of the solution.
Keywords: parabolic equation, nonlocal integral condition, Bessel operator.
Garipov Ilnur (ilnur_garipov@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of higher mathematics and mathematical modeling, Kazan (Volga region) Federal University.
Mavlyaviev Rinat (mavly72@mail.ru), senior teacher, department of higher mathematics and mathematical modeling, Kazan (Volga region) Federal University.
Поступила 27.12.2013
