CC BY
52
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 5-12
Математика
УДК 517.956.4
Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя и интегральным условием первого рода
И. Б. Гарипов, Р. М. Мавлявиев
Аннотация. Рассматривается краевая задача с интегральным условием первого рода для параболического уравнения с оператором Бесселя и доказывается её эквивалентность краевой задаче для этого же уравнения с обычным локальным граничным условием. Доказывается единственность ее решения. Решение задачи получено в явном виде.
Ключевые слова: параболическое уравнение, нелокальное интегральное условие, оператор Бесселя.
1. Постановка задачи
Пусть От = {(х,г) : 0 < х < I, 0 <г * Т} — прямоугольная область в координатной плоскости Охг.
В области От рассмотрим параболическое уравнение с оператором Бесселя вида
Ьв и = иг — Вх и = 0, (1)
где Вх = х-кдх (хкдх) = дХх2 + Хдх — оператор Бесселя, 0 < к < 1. Задача. Найти функцию и(х,г), удовлетворяющую условиям:
и(х,і) Є С^ХСт) п С2х:1(От), (2)
Ьви = 0, (х,г) Є От, (3)
и(х, 0) = ф(х), 0 * х * I, (4)
и(0,ь) = 0, 0 * г * т, (5)
I
Іф'і)хкіх=0' 0* ‘ *Т (6)
о
где функция ф(х) задана, и выполняется условие согласования
1
/ф(х)х‘йх = ° (7)
0
Гиперболическое уравнение с оператором Бесселя
Щг — Вхи = 0
с нелокальным интегральным условием (6) изучено в работах [1, 2].
Лемма 1. Если выполняется условие согласования (7), то задачи (2)-(6) и (2)-(5),
и,х(1,г) = 0, о < г < т, (8)
эквивалентны.
Доказательство. Пусть и(х,Ь) — решение задачи (2)-(6). Тогда это решение удовлетворяет условию (6). Дифференцируя это условие один раз по г, получим
/и‘(х'()'лх=0 (9)
Заменяя в равенстве (9) подынтегральную функцию иг(х,г) на её значение из (1), получим
1 1
J иг(х,г)хкйх = J Вхи(х,г)хкйх = I х к д- ^хк хкйх =
х
00
1 1 = ' д(хк ёщ)^ = (хк ёщ)
7 дх у дх) \ дх)
0
= 1к их(1, г).
0
Отсюда и из равенства (9) следует, что их(1,г) = 0.
Пусть теперь и(х, г) — решение задачи (2)-(5), (8). Уравнение (3) запишем в виде
Щ =х-к д(хк д(10)
Умножив уравнение (10) на хк и интегрируя по х на отрезке [0; I], получим
1 1
к д к ди к ди
иг х йх = — х — йх = х —
,] ) дх \ дх) \ дх)
00
= I Щх(М).
0
1
Отсюда и из условия (8) следует, что
і
к
о
Интегрируя равенство (11) по г, получим
і
к
/ Мх,і>хкіх = о. (щ
Іф'і)хк іх =с
Полагая здесь г = 0, с учетом условия согласования (7) получим с = 0 и, следовательно, выполняется условие (6). Эквивалентность задач доказана.
2. Единственность решения
Теорема 1. Задача (2)-(6) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть существуют два решения и1(х,Ь) и и2(х,г) задачи (2)-(7). Тогда их разность у(х,Ь) = и1(х,Ь) — и2(х,г) будет являться решением следующей краевой задачи:
v(x,t) е С1Х’°° (От) п (От), (12)
ЬвV = 0, (х,Ь) е От, (13)
v(x, 0) = 0, 0 ^ х ^ I, (14)
v(о,t) = о, 0 ^ г ^ т, (15)
1
/v(-,t)-k=0, 0 < 4 <т. (16)
о
Уравнение (13) запишем в виде
{хк
Умножая данное уравнение на 2хкV и учитывая, что 2отг = дц (V2), получим . .
хк дТ ^2(х,т V =2^х,т) дх \хк дхх(,и(х,т))) ■
Из равенства функций следует равенство определенных интегралов
1 г 1 г
\ Ухк дТ (у2(х,Т)) йтйх = ^У У v(x,Т) дх {хк дх ^(х,Т ))^ йтйх.
о о о о
В правой части поменяем порядок интегрирования:
1 г г г 1
//хкдТ (v2(x,т))йтйх = 2/ /v(х,т)дх {хкдх ^(х,т)))
0 0 0 0
Из начального условия (14) следует, что
і і
д [
хк — (у2(х,г)) ітіх = хкУ2(х,г)іх.
дт ,]
0 0 0 Внутренний интеграл в правой части (17) возьмем по частям:
1
д ( к д
і”(х’т ] 1{хк дх (ф’т >0іх =
д
= у(х,т)хк дх ^(х,т))
і і
— /хк{ дх(у(х,т») іх'
оо
Из краевых условий (15), (16) и на основании леммы 1 получим
1
= 0.
кд
ь(х,т)х дх (у(х,т))
о
Таким образом, уравнение (17) принимает вид
іт.
(17)
У хк У2(х,і)іх + У хк дх (у(х,т ))^ іхіт = 0.
0 0 0
Каждое слагаемое последнего равенства неотрицательно. Следовательно, они равны нулю. Так как функция v(x,t) непрерывна, то из равенства
1
к2
Iх ,,х (ММ. = 0
о
следует, что
v(x, г) = 0. Отсюда получим, что и1(х,г) = и2(х,г).
3. Существование решения
і і і
X
Для доказательства существования решения задачи (2)-(6) достаточно доказать существование решения задачи (2)-(5), (8).
Согласно методу Фурье, частные решения уравнения (3) ищем в виде
и(х,Ь) = X (х)Т (Ь), (18)
где X(х) и Т(Ь) — пока неопределенные функции. Подставляя функцию (18) в уравнение (3), получим
Т + Л2Т = 0, (19)
-
X" + -X' + Л2Х = 0. (20)
х
Чтобы частное решение (18), отличное от тождественного нуля, удовлетворяло граничным условиям (5) и (8), необходимо потребовать выполнение условий
X (0) = 0, X/(l) = 0. (21)
Известно [3], что уравнение (20) с помощью замены переменных по фор-
мулам
1 — к
X =( Л) 1 * х = Л' (22)
приводится к уравнению Бесселя
х2%" + хЯ г2 - (- -1) ) % = 0, (23)
общим решением которого является функция
% = С1к—1 (х) + С2 1— (х), (24)
2 2
где 1к—1 (х), 11—к (х) — бесселевы функции первого рода порядка и ^к
соответственно. Возвращаясь к старым переменным в функции (24), с учетом формул (22) получим
к—1 , к—1 ,
X = С1Х 2 1 к—1 (Лх) + С2х 2 11—к (Лх), (25)
2 2
где С1, С2, Л — произвольные постоянные. Их найдем из требования, чтобы общее решение (25) удовлетворяло условиям (21). С этой целью подставим функцию (25) в условия (21). Получаем
к 1 к 1 X = -С]_Лх~1 к+1 (Лх) + С2Лх~1_ к+1 (Лх).
2 2
Если воспользоваться представлением функций Бесселя в виде ряда,
к1
то видно, что для 0 < к < 1 при х ^ 0 функция X1(x) = х~ 1 — (Лх)
2
к1
остается ограниченной, тогда как значение функции X2(x) = х ^ 11—к (Лх)
2
в точке х = 0 равно нулю. Поэтому положим С1 = 0. Тогда из второго граничного условия (21) получим
1_ к+1 (Л I) = 0. (26)
2
Известно [4], что уравнение (26) имеет счетное множество вещественных
корней. Обозначим через рп, п = 1, 2, 3,..., корни уравнения 1 _ к+1 (р) = 0.
2
Тогда собственным значениям Лп = ^, п = 1, 2, 3,..., будут соответствовать собственные функции
Xn = х~ к— 1 — (у х^, п = 1, 2, 3,... (27)
Лемма 2. Функции (27) ортогональны с весом хк и образуют полную систему.
Доказательство. Ортогональность с весом очевидна [5]:
I I
ín(x)Xm(x)x’"ax = I х 'к— 11—к (Ррпх^ х-к—г 1 ^ ^ I
У Хп(х)Хт(х)хк йх = J X 2 3 — Х 2 3 — Хк йX =
0
I
У 3і-к х^ 3і-к х) хйх =
00 I
'1-М 3 1-к ^~^х
0
{0, п = т;
Т (і - (—^) 312І (-n), п = т (28)
Докажем полноту этой системы. Предположим, что существует функция V(х), отличная от тождественного нуля и ортогональная всем функциям (27):
і
У х 2 31-к х^ V (х)йх = 0.
0
Известно [3], что система -Ц 1-к х) | полна в Ь2(0, I) и, следовательно,
— к — 1 , ч
х 2 V(х) = 0,
что выполнимо лишь для функции V(х), равной нулю почти всюду на (0,1). Это и доказывает полноту системы (27).
Пусть функция f (х) представима в виде ряда
/ (х) = £ апх 2 3ь-к х^ . (29)
п=1
Умножая обе части разложения (29) на х~+2~3і-к Пх) и интегрируя по
отрезку [0,1], с учетом формулы (28), получим
і
2
12 (1 (—} ) 3%к(-п)
У /(х)х 2 3і-к х^ йх, п = 1,2,3,
а
п
Пп(х,і] = Хп(х)Тп(і] = Апх V ,] — х^в (*, (30)
Значениям параметра Л = Лп = соответствуют следующие решения уравнения (19)
т = лпв-( ёт )2 *,
где Лп - произвольные постоянные. Итак, все функции
к -1 _ / ип \ ( Рп\ 2 +
т
удовлетворяют уравнению (3) и граничным условиям (5) и (8) при любых постоянных Лп.
Составим ряд
^ 2
«(х, £) = ^ Лпх-к-тз 1_к х) е-(^) г. (31)
п=1
Требуя выполнения начального условия (4), получим
ГО
и(х, 0) = ф(ж) = £ Лпх-к-т з^ х^ . (32)
п=1
Ряд (32) представляет собой разложение заданной функции ф(х) в ряд по функциям Бесселя в интервале (0,1). Коэффициенты разложения (32) определяются по формулам
I
Лп = —т----- ---—)---------- ф(х)х~+.] 1-к ( ^х ) йх, п = 1,2,3,...
12 (1 - ^м) Г
(33)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Если функция ф(х) € С2[0,1] и ф(1) = 0, ф(0) = ф'(0) = 0,
то существует единственное решение задачи (2)-(6), и оно определяется как сумма ряда (31), коэффициенты которого вычисляются по формулам (33).
Список литературы
1. Бейлин С.А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием // Матем. заметки ЯГУ. 2004. Т.11, №2. С.22—29.
2. Зайцева Н.В. Смешанная задача для одного В-гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.39-50.
3. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: И.Л., 1949. 799 с.
4. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 384 с.
5. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.
Гарипов Ильнур Бурханович (ilnur_garipov@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет.
Мавлявиев Ринат Мизхатович (mavly72@mail.ru), старший преподаватель, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет.
Boundary problem for the parabolic equation with the Bessel operator and integral condition of the first kind
I.B. Garipov, R. M. Mavlyaviev
Abstract. We consider a boundary problem with an integral condition of the first kind for the parabolic equation with the Bessel operator and prove its equivalence to the boundary problem for the same equation with the usual local boundary condition. We obtain a solution of the problem in an explicit form and prove the uniqueness of the solution.
Keywords: parabolic equation, nonlocal integral condition, Bessel operator.
Garipov Ilnur (ilnur_garipov@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associated professor, department of higher mathematics and mathematical modeling, Kazan (Volga region) Federal University.
Mavlyaviev Rinat (mavly72@mail.ru), senior teacher,department of higher mathematics and mathematical modeling, Kazan (Volga region) Federal University.
Поступила 24.01.2013
