CC BY
12УДК 537.874
Denis A. Balashov1, Oleg P. Nikotin2, Stanislav A. Nilow3
KOSSEL DIFFRACTION IN A GERMANIUM CRYSTAL
St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), 26, Moskovsky Pr., St Petersburg, 190013, Russia e-mail: denis9046356610@gmail.com
The Kossel diffraction of X-rays in a germanium crystal was excited by electrons. Measurements of the intensity distributions for the profiles of the Kossel lines were carried out separately on Ka1 and Ka2 characteristic x-ray radiation of germanium with spectral width less than the natural width. For this purpose, a diffraction spectrometer with two perfect calcite crystals was used. The profiles of the Kossel lines were analyzed using the formalism adopted in Fourier spectroscopy for the processing of discrete interferograms with a phase error. Thus, for the analysis we used a method different from the standard method of investigation in the framework of the stationary radiation scattering model. The results obtained for the values of the effective angular width in the phenomenon of Kos-sel diffraction turned out to be two times larger than the width of the Darwinian distribution for Bragg reflections of monochromatic X-rays in germanium.
Keywords: germanium, Kossel line profiles, characteristic X-rays, diffractometer, interferogram, angular width, distribution of the intensity.
Введение
Многочисленные работы по косселевской дифракции, появившиеся в последние десятилетия, являются примером расширения возможностей рентгенострук-турного и рентгеноспектрального анализа вещества, фундаментальных исследований взаимодействия рентгеновского излучения с материальной средой на атомарном уровне. Эти новые возможности связаны, прежде всего, с появлением синхротронных источников рентгеновского излучения. В прикладном аспекте кос-селевская дифракция и микродифракция применяется в современном материаловедении для прецизионных измерений постоянных решётки кристаллов, определения симметрии, напряжений и деформаций, возникающих в микрообластях кристаллов из-за внешних воздействий (механических, температурных, радиационных) [1-4]. Дополнительный детальный интерес к физике явления возник в связи с анализом профиля интенсивности или углового распределения интенсивности коссе-левских квантов вблизи так называемых «косселевских линий», и масштаба превышения этой интенсивности над фоновым уровнем. Обсуждение этой проблемы в теоретическом плане проводилось чаще всего в модели динамической теории рассеяния рентгеновских лучей в стационарном варианте теории рассеяния. Это приближение, в котором стационарная возбуждающая волна электромагнитного излучения, исходящая из внутренне-
Д.А. Балашов1, О.П. Никотин2, С.А. Нилов3
КОССЕЛЕВСКАЯ ДИФРАКЦИЯ В КРИСТАЛЛЕ ГЕРМАНИЯ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: denis9046356610@gmail.com
Косселевская дифракция рентгеновских лучей в германиевом кристалле возбуждалась электронами. Измерение распределений интенсивности для профилей косселевских линий проводилось раздельно на Kai и Ka2 характеристическом рентгеновском излучении германия при спектральной ширине меньше естественной. С этой целью был применен дифракционный спектрометр с двумя совершенными кристаллами кальцита. Профили косселевских линий анализировались с использованием формализма принятого в фурье-спектроскопии для обработки дискретных интерферограмм с фазовой ошибкой. Таким образом, для анализа использовался метод, отличающийся от стандартного метода рассмотрения в рамках модели стационарного рассеяния излучения. Полученные результаты для значений эффективной угловой ширины в явлении косселевской дифракции оказались в два раза больше, чем значение ширины дарвиновского распределения для брегговских отражений монохроматических рентгеновских лучей в германии.
Ключевые слова: германий, профиль косселевских линий, рентгеновское характеристическое излучение, диф-рактометр, интерферограмма, угловая ширина, распределение интенсивности.
го источника, находящегося в кристалле, дифрагируя на периодическом распределении его электронов, создаёт вторичное, смещённое по фазе, но также стационарное и когерентное электромагнитное волновое поле с характерным периодическим распределением интенсивности, соотнесённым с кристаллографической структурой кристалла. Такая, по существу классическая, волновая картина явления даёт хорошее описание обсуждаемого явления [5-8]. В рамках этого подхода и с использованием оптической теоремы обратимости для упругого рассеяния рентгеновских лучей были получены успешные описания вариаций интенсивности косселевских профилей. Это позволило эффективно использовать новые экспериментальные возможности, связанные с синхротронны-ми источниками рентгеновского излучения, для детального изучения реальной структуры кристаллов. В этой модели находят своё объяснение также и эксперименты по измерению методом стоячих рентгеновских волн выхода вторичных излучений (фотоэлектронов, электронов Оже, флюоресцентного излучения).
Более строгая модель в рамках квантовой электродинамики рассматривалась в работах [9-11]. Работы [12, 13] посвящёны аномальной косселевской дифракции.
Современная техника регистрации косселевских картин применяет вместо фотопластинок двумерные многопиксельные детекторы с пространственным разре-
1 Балашов Денис Ариэльевич, студент, каф. радиационной технологии, e-mail: denis9046356610@gmail.com Denis A. Balashov, student, Department of Radiation Technology
2 Олег Павлович Никотин, канд. хим. наук, доцент, каф. радиационной технологии Oleg P. Nikotin, PhD (Chem), associate professor, Department of Radiation Technologу
3 Станислав Алексеевич Нилов, инженер, отдел радиационной безопасности, e-mail: Nilowsa@mail.ru Stanislav A. Nilow, engineer, Department of Radiation Security
Дата поступления - 24 октября 2017 года
шением в несколько десятков или десяток микрометров с суммарным количеством пикселей свыше 106. Первичные рентгеновские лучи синхротронных источников для получения косселевских картин коллимируются и моно-хроматизируются соответствующим образом рентгеновскими «оптическими» элементами, создавая поток фотонов, имеющий разброс по энергии, не превышающий 1-2 эВ и фокусируемый на поверхность образца практически в точку микрометровых размеров. В случае электронного возбуждения при получении косселевских картин используются установки, совмещённые с электронными микроскопами, обеспечивающими микроскопические размеры излучающей области кристалла. В любом из этих вариантов угловое и энергетическое разрешение при съёмке косселевского профиля ограничено не только расстоянием источник - детектор, пространственным разрешением детектора, фокусировкой возбуждения, но и неопределённостью области когерентно образующей косселевский эффект. Поэтому в ряде работ в качестве анализатора явления применялись однокристальные дифрактометры, задающие определённое угловое и энергетическое разрешение и позволяющие существенно снизить ограничение на размер области возбуждения при съёмке профиля косселевской линии.
Экспериментальная часть
В данной работе наблюдались профили линий Косселя, возбуждаемые при нескольких значениях энергии электронов в рентгеновской трубке, антикатодом которой являлся монокристалл германия. Рентгеновская трубка имела конструкцию, позволявшую изменять позицию антикатода с шагом в несколько угловых секунд вокруг вертикальной оси. Особенностью метода является использование для регистрации профилей косселевских линий двухкристального дифракционного спектрометра с совершенными кристаллами кальцита в антипараллельной геометрии (1,1) для кристаллических плоскостей (211) с комплементарными поверхностями скола. Помимо повышенной степени разрешения по углу такая схема позволяла проводить измерения раздельно как на Ка1, так и на Ка2, характеристическом излучении германия при существенном сжатии спектра регистрируемых фотонов по сравнению с естественной шириной характеристических спектров. На рисунке 1 приведено упрощенное изображение использованного в работе варианта схемы функционирования трёхосевого многокристального рентгеновского спектрометра, спроектированного и осуществлённого в СПГТИ(ТУ) [14].
составляет две угловые секунды. Имелась возможность более детального ручного пошагового «кнопочного» управления сеттингами осей. Разборная рентгеновская трубка с непрерывной откачкой выполнена по оригинальному проекту.
Сцинтилляционный детектор рентгеновских квантов, сжатых по спектральному разбросу двухкри-стальным спектрометром относительно естественной ширины линии характеристического излучения, находившийся на расстоянии 0,8 метра от их источника в рентгеновской трубке, имел возможность вертикального смещения, что позволяло проводить двумерные угловые измерения. Эти измерения интересны в случае анализа явлений на пересечении косселевских конусов от различных систем кристаллических плоскостей, например, (111) и (220). Использование двухкристального спектрометра и щелевой вертикальной и горизонтальной коллимации квантов позволило получить помимо повышенного углового и спектрального разрешения также и возможность выделения на поверхности монокристалла площадки заданной величины, создавая значительный выигрыш в интенсивности, составляющий несколько порядков по сравнению с традиционной схемой измерений, использующей источник микронных размеров.
Применённая в работе для измерения косселевской дифракции схема с двухкристальным спектрометром позволила осуществить для этой цели отбор фотонов, обладающих максимальной индивидуализацией угловых характеристик распространения, спектральных и поляризационных свойств в пределах имеющихся возможностей установки. Представлялось интересным сравнение параметров профилей косселевских линий, получаемых в этих условиях, с получаемыми в иных вариантах регистрации.
Сканирование поверхности монокристалла германия в нашей установке достигается перемещением щелевых коллиматоров без изменения положения тракта регистрации и монокристалла и может быть квалифицировано как обращённая съёмка рентгеновских то-пограмм по методу Ланга (Лэнг) [15] для обнаружения межблочных границ с дополнительной возможностью анализа по характерным искажениям формы профиля косселевской линии. Рисунок 2 иллюстрирует сканирование поверхности монокристалла вдоль горизонтального направления.
Рисунок 1. Схема многокристального (двухкристального) рентгеновского спектрометра и разборной рентгеновской трубки
Оси спектрометра с гониометрическими столиками и угловая позиция подвижной рентгеновской трубки управляются цифровыми устройствами. Шаг дискретизации угловых сеттингов в цифровом режиме управления
Рисунок 2. Схема сканирования поверхности кристалла германия
Пластина монокристалла германия толщиной 1,5 мм и размером 15 х 15 мм была припаяна к плоской поверхности медного водоохлаждаемого анода индиевым припоем для эффективного теплоотвода и дополнительно закреплена. Ориентация плоской поверхности кристалла соответствовала ориентации плоскости (111) с погрешностью не более 0,5°. Предварительно перед монтажом кристалла германия на его поверхности методом фигур травления были обнаружены границы между достаточно крупными блоками с линейными размерами в пределах нескольких миллиметров. Эти границы относительно друг друга составляли фигуры правильных треугольников, и их наличие позволило определить относительное расположение линии пересечений кристаллических плоскостей (111) и (220) монокристаллической пластины. Вследствие этого
кристалл был ориентирован на антикатоде рентгеновской трубки таким образом, чтобы это направление находилось в горизонтальной плоскости установки в доступном для измерения рентгеновских фотонов угловом интервале по вертикали. В принципе, это дает возможность наблюдения явлений косселевской дифракции вблизи пересечения соответствующих косселевских конусов.
Результаты экспериментов, их анализ и обсуждение
Были измерены профили линий Косселя в десятках последовательных положений вертикальной щели коллиматора шириной 0,1 мм, что позволило получить топо-грамму поверхности монокристалла германия, снятую по нашему методу. Примеры характерных профилей косселевских линий приведены на рисунках 3 а-в. Профили, изображенные на рисунках 3а и 3в, соответствуют пересечению границ между блоками, которые были выявлены селективным травлением поверхности монокристалла, упомянутым выше. Вариант профиля, представленный на рисунке 3б, соответствует промежуточной области между границами блока монокристалла, обладающей неискажённой структурой.
Измерения профилей линий Косселя в области кристалла с неискажённой структурой проводились при энергиях возбуждающих характеристическое излучение электронов - 12 кэВ, 14 кэВ, 16 кэВ, 18 кэВ. Пробег электронов указанных энергий в материале кристалла сравним с экстинкционной длиной для характеристического излучения, что упрощает рассмотрение динамических дифракционных явлений. Возбуждение электронами Кио-низованных состояний атомов интересно также и тем, что носит мгновенный, ударный характер и потому совершенно не избирательно по отношению к различным каналам девозбуждения атомов, приводя к максимально возможным интерференционным эффектам между ними в процессе распада таким образом возбуждённых состояний.
Применение модельной функции для описания формы профиля линии Косселя
Профили линий Косселя в данной работе наблюдались в симметричном брегговском случае обратного рассеяния. Традиционная схема описания явления для этого случая представлена рисунке 4, где показан образ расходящейся сферической волны, которая может быть сопоставлена с известным приближением каждому из внутренних источников фотонов, то есть каждому из ионизованных атомов, испускающих характеристическое излучение.
I = |А0+АВ|2 От, ч\
/
ЧУ//ЛГ
ччч^У
Рисунок 3. Зависимость интенсивности Kai излучения германия от угловой координаты антикатода (т.е. от угла выхода излучения) при различном положении щели коллиматора: а - при 7,80 мм, б - при 7,90 мм, в - при 8,40 мм
Рисунок 4. Геометрическая схема формирования дифракционного конуса (линии Косселя) от кристаллической плоскости (111) с видом профиля этой линии
Часть этой волны рассеивается решёткой атомов перед тем как достигнуть поверхность детектора фотонов, а другая достигает поверхность детектора без рассеяния. Эти части интерферируют и дают значительные вариации в угловых зависимостях интенсивности косселевских линий, что и позволяет получить фазовую информацию о процессе рассеяния излучения на атомах структуры. Такие явления наблюдаются в направлениях выхода излучения, для которых удовлетворяются брегговские условия, что приводит к появлению интерференционных явлений в пространстве в виде характерных конусов распространения с углом раскрытия 180° - 20Бр. Конусы имеют оси, перпендикулярные соответствующим системам кристаллических плоскостей, в нашем случае ось конуса Qhki перпендикулярна плоскости (111). Анализ в этой схеме посредством динамической дифракционной теории рассеяния рентгеновских лучей успешно используется для описания явлений косселевской дифракции в рамках стационарной теории рассеяния, то есть в модели, в которой стационарная возбуждающая волна излучения, дифрагируя на атомных электронах в кристалле, создаёт смещённые по фазе стационарные волны.
В данной работе для случая наблюдения профиля линий Косселя в симметричном брегговском варианте в области обратного рассеяния применялась модель описания, основанная на формализме фурье-спектроскопии традиционной оптики или интерферометрии упруго рассеянных фотонов. Модель использует образ дискретной интерферо-граммы с неопределённостью нулевого отсчёта разности хода и аподизацией благодаря конечному времени жизни излучающих атомов. Такой приём позволяет косвенно при-
влечь к анализу излучения косселевских фотонов временную составляющую и привнести в модель элемент нестационарной теории явления.
Приняв для каждого излучаемого косселевско-го фотона наличие двух вероятных путей к детектору без рассеяния и с рассеянием, приводящим к фазовому сдвигу на 180°, можно полагать, что интерферограмма в понятиях фурье-спектроскопии может иметь максимальную фазовую ошибку, равную в среднем V периода изменения фазы [16]. При съёмке профиля косселевской линии происходит инструментальное фурье-преобразование интерферограм-мы, которое может быть представлено моделью, принятой в фурье-спектроскопии для описания искажения спектра источника, имеющего форму лоренцевой кривой, из-за фазовой ошибки при отсчёте нулевой разности хода интерфе-рограммы.
Математически эта модель может быть представлена соотношением
= (g-ffe)2+£2 • [ехр(2тг£/?)] [cos(2na0ß) + ^sm(2ncT0ß)],(1)
где Goß - величина, определяющая отклонение от лорен-цевой кривой и задающая значение фазовой ошибки исходной интерферограммы; g - угол выхода косселевского излучения; Go - «брегговский» угол выхода косселевского излучения; s - полуширина на полувысоте лоренцевского углового распределения.
Подгонка модельных функций к экспериментальным кривым даёт два параметра. Это ширина на полувысоте лоренцевой функции, которую можно связать в нашей модели с угловым распределением функции влияния косселевского явления на излучающие атомы с изменением времени жизни и ширины соответствующих уровней. Второй параметр - это усреднённая фазовая ошибка, связанная с асимметрией профиля линии Коссе-ля. Пример экспериментальной кривой и моделирующей функции представлен на рисунке 5.
Рисунок 5. Экспериментальный профиль косселевской линии (1) и модельная функция (2)
Интерферограмма косселевского явления связана с теми распадами Кионизованных внутри кристалла атомами, которые создают состояния возбуждений электромагнитного поля в кристалле - фотоны, обладающие значительной пространственно-временной корреляцией как с периодической средой кристалла, так и с их источниками. В этих состояниях содержится информация и о степени упорядоченности кристаллической среды, окружающей внутренние источники фотонов, и о влиянии упорядоченной среды на процессы излучения фотонов и в пространственном и во временном отношении. Корреляционные и резонансные взаимодействия такого рода рассматривались в работах [9, 10] для распределённых в кристаллах мёссбауэровских источников.
Угловые и спектральные характеристики выходящего из кристалла косселевского излучения содержат такую информацию в картинах получаемых профилей линий, которые можно интерпретировать в рамках предлагаемого использования формализма фурье-спектроскопии как фурье-преобразование соответствующих интерферограмм.
Анализ этих профилей с разрешением, создаваемым двух-кристальным спектрометром, обеспечивает отбор монохроматических возбуждённых состояний электромагнитного поля, сжатых по спектру относительно характеристического излучения и обладающих соответствующей пространственно-временной корреляцией со средой и излучателями, что позволяет проводить уточнённый анализ этих профилей.
Применяя такую модель анализа восстановленного углового распределения косселевских фотонов в виде лоренцевых кривых для случая несовершенного мозаичного кристалла, можно получить данные об ориентационном разбросе кристаллитов мозаики поверхностного слоя кристаллической среды, так как в данном случае этот разброс определяет угловое расширение распределений.
В случае совершенного кристалла ширина этого распределения должна уменьшаться и достигать определённого минимума, оценка которого может быть сделана посредством расчёта по динамической дифракционной теории полной ширины на полувысоте известного распределения Дарвина [17].
^шпв _
2V2.
ч
7Г V
,
(2)
где dhki - межплоскостное расстояние для системы кристаллических плоскостей (hkl), относительно которых измеряется профиль косселевской линии; m - порядок отражения; ro - классическая длина рассеяния электрона; - соответствующая структурная амплитуда рассеяния; Vc - объём элементарной ячейки кристалла.
Для монокристалла германия и системы кристаллических плоскостей (111) ширина в угловом варианте составляет четырнадцать угловых секунд, а полученные в работе минимальные значения угловых ширин на полувысоте лоренцевых кривых в два раза превышают это значение (см. таблицу). Съемка косселевских линий проводилась при энергии электронов 16 кэВ, плотности тока 2 мА/см2, температура в зале установки поддерживалась в пределах (19,0±0,1) °С.
Таблица. Три примера полных ширин лоренцевых распределений, восстановленных по экспериментальным профилям косселевских линий
№ обр. Характеристический спектр германия Полная ширина на полувысоте, угл. сек.
1 Kai 26,4
2 Ka2 25,2
3 Ka3 28,8
Близкие к полученным значениям параметров профили линий Косселя были приведены в работе [18]. Эти величины фактически являются шириной свёртки «истинной» лоренцевой кривой и некоторой обобщённой функции аппаратного разрешения применённого метода.
Выводы
Существенное превышение значений параметров, полученных экспериментально и обработанных с помощью предложенной модели, относительно дарвиновской ширины может свидетельствовать о специфическом «косселевском» влиянии решётки кристалла на время жизни Кионизованных состояний атомов германия, то есть о наличии интерференционного взаимодействия уровней возбуждённых атомов, распадающихся по каналам с излучением Kai и Ка2 фотонов, и о возможном сопутствующем изменении ширины соответствующих уровней.
Литература
1. Лидер В.В. Метод широко расходящегося рентгеновского пучка (метод Косселя) // Кристаллография. 2011. Т. 56. Вып. 2. С. 195-216.
2. Bouscaud D., Perci R., Berveiller S., Patoor E. Estimation of the electron beam-induced specimen heating and emitted X-rays spatial resolution by Kossel microdiffraction
in a scanning electron microscope // Ultramicroscopy. 2012. V. 15. P. 115-119.
3. Bouscaud D., Morawiec A., Perci R., Berveiller S., Patoor E. Strain resolution of scanning electron microscopy based Kossel microdiffraction // Journal of Applied Crystallography. 2014. No. 5. P. 1699-1707.
4. Faigel G., Bortel G., Tegze M. Experimental phase determination of the structure factor from Kossel line profile // Scientific Reports. 2016. V. 6. No. 22904. P. 1-8.
5. CowleyJ.M. The Derivation of Structural Information from Absorption Effects in X-ray Diffraction // Acta Cryst. 1964. V. 17. No. 33. P. 33-40.
6. Stephan D., Blau W, Ullrich H.-J. G.E.R. Schulze Helldunkel-Struktur der Kossel-Interferenzlinien und Kristallstrukturanalyse (I) // Kristall und Technik. 1974. Bd. 9. No. 7. P. 707-727.
7. Stephan D., Ullrich H.-J. G.E.R. Schulze HelldunkelStruktur der Kossel-Interferenzlinien und KristallstrukturAnalyse (I) // Kristall und Technik. 1976. Bd. 11. No. 5. P. 475500.
8. Stephan D., Geist V. Theoretische Intensitatsprofile von Kossel-Linien und Vergleich mit experimentellen Linienprofilen // Technik der Physik. 1986. Bd. 34. No. 3. P. 153-167.
9. Hannon J.P., CarronN.J., TrammellG.T. Mossbauer diffraction. III. Emission of Mossbauer y rays from crystals. A. General theory // Phys. Rev. B. 1974. V. 9. No. 7. P. 2791-2809.
10. Hannon J.P., Carron N.J., Trammell G.T. Mossbauer diffraction. III. Emission of Mossbauer y rays from crystals. B. Dynamical solutions // Phys. Rev. B. 1974. V. 9. No. 7. P. 2810-2831.
11. Dzyublik A.Ya., Spivak V.Yu. Laue Diffraction of Spherical Mossbauer Waves // Ukr. J. Phys. 2016. V. 61. No. 9. P. 826-834.
12. Афанасьев А.М., Ковальчук М.В., Чуев М.А., Медведев П.Г. Линии Косселя как новый тип источника рентгеновского излучения // Журн. эксперим. и теорет. физики. 2002. Т. 95. Вып. 3. С. 549-557.
13. Чуев М.А., Ковальчук М.В., Квардаков В.В., Медведев П.Г., Пашаев Э.М., Субботин И.А., Якунин С.С. Непосредственное наблюдение аномальных линий Косселя // Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики. 2010. Т. 91. Вып. 4. С. 204-209.
315. Лэнг А.Р. Рентгеновская топография - методы и интерпретация. Дифракционные и микроскопические методы в материаловедении: сб. ст. / пер. с англ. А.М. Глезера [и др.]. М.: Металлургия, 1984. С. 364-446.
16. Белл Р.Дж. Введение в фурье-спектроскопию: монография / пер. с англ. под ред. Г.Н. Жижина. М.: Мир, 1975. 380 с.
17. Als-Nielsen J., McMorrow D. Elements of Modern X-Ray Physics. Chichester, England.: J. Wiley, 2001. 315 p.
18. Gog Th, Novikov D., Falta J., Hille A., Materlik G. Kossel diffraction and X-ray standing Waves: two birds of one feather // Journal de Physique IV Colloque. 1994. 04. (C9). P. 9 -452.
References
1. Lider V.V. X-ray divergent-beam (Kossel) technique: A review / Crystallography reports. 2011., T.56. №.2. P. 169-189.
2. Bouscaud D., Perci R., Berveiller S., Patoor E. Estimation of the electron beam-induced specimen heating and emitted X-rays spatial resolution by Kossel microdiffraction in a scanning electron microscope // Ultramicroscopy. 2012. V. 15. P. 115-119.
3. Bouscaud D., Morawiec A., Perci R., Berveiller S., Patoor E. Strain resolution of scanning electron microscopy based Kossel microdiffraction // Journal of Applied Crystallography. 2014. No. 5. P. 1699-1707.
4. Faigel G., Bortel G., Tegze M. Experimental phase determination of the structure factor from Kossel line profile // Scientific Reports. 2016. V. 6. No. 22904. P. 1-8.
5. Cowley J.M. The Derivation of Structural Information from Absorption Effects in X-ray Diffraction // Acta Cryst. 1964. V. 17. No. 33. P. 33-40.
6. Stephan D., Blau W, Ullrich H.-J. G.E.R. Schulze Helldunkel-Struktur der Kossel-Interferenzlinien und Kristallstrukturanalyse (I) // Kristall und Technik. 1974. Bd. 9. No. 7. P. 707-727.
7. Stephan D., Ullrich H.-J. G.E.R. Schulze Helldunkel-Struktur der Kossel-Interferenzlinien und Kristallstruktur- Analyse (I) // Kristall und Technik. 1976. Bd. 11. No. 5. P. 475-500.
8. Stephan D., Geist V. Theoretische Intensitatsprofile von Kossel-Linien und Vergleich mit experimentellen Linienprofilen // Technik der Physik. 1986. Bd. 34. No. 3. P. 153-167.
9. Hannon J.P., Carron N.J., Trammell G.T. Mossbauer diffraction. III. Emission of Mossbauer y rays from crystals. A. General theory // Phys. Rev. B. 1974. V. 9. No. 7. P. 2791-2809.
10. Hannon J.P., Carron N.J., Trammell G.T. Mossbauer diffraction. III. Emission of Mossbauer y rays from crystals. B. Dynamical solutions // Phys. Rev. B. 1974. V. 9. No. 7. P. 2810-2831.
11. Dzyublik A.Ya., Spivak V.Yu. Laue Diffraction of Spherical Mossbauer Waves // Ukr. J. Phys. 2016. V. 61. No. 9. P. 826-834.
12. Afanas'ev. A.M, Chuev M.A., Kval'chuk M.V., Medvedev P.G. Kossel lines as a new type of x-ray source / Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2002. T.95. №.3. P. 472-479.
13. Chuev M.A., Medvedev P.G., Koval'chuk M.V., Kvardakov V.V., Pashaev E.M., Subbotin I.A., Yakunin S.N. Direct observation of anomalous Kossel lines // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters (JETP Letters). 2010. T.91. №.4. P. 191-195.
14. Nikotin O.P., Nilov S.A. Mnogoosevoy rentgenovskiy spektrometr dlya issledovaniya radiatsionnykh defektov, radiatsionnogo izlucheniya i rabotosposobnosti materialov atomnykh elektrostantsiy: sb. nauchn. tr. / redkol: YU.S. Vasil'yev (otv. red.) [i dr.] - L.: LPI im. Kalinina, 1990. -S. 84-90
15. LengA.R. Rentgenovskaya topografiya - metody i interpretatsiya// Difraktsionnyye i mikroskopicheskiye metody v materialovedenii: sb. st. / per.s angl. A.M. Glezera [i dr.]. M.: Metallurgiya, 1984. S. 364-446.
16. Bell R.Dzh. Vvedeniye v fur'ye-spektroskopiyu: monografiya / perev. s angl. pod red. G.N. Zhizhina. M.: Mir, 1975. S. 380
17. Als-Nielsen J., McMorrow D. Elements of Modern X-Ray Physics. Chichester, England.: J. Wiley, 2001. 315 p.
18. Gog Th, Novikov D., Falta J., Hille A., Materlik G. Kossel diffraction and X-ray standing Waves: two birds of one feather // Journal de Physique IV Colloque. 1994. 04. (C9). P. 9-452.
