CC BY
1370 The scientific heritage No 44 (2020)
КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Приходько А.И.
доктор технических наук, профессор кафедры оптоэлектроники Кубанский государственный университет
Стрикица Н.В.
Студент, Кубанский государственный университет
CORRELATION-SPECTRAL CHARACTERISTICS OF SIGNALS WITH RECTANGULAR QUADRATURE AMPLITUDE MODULATION
Prikhodko A.
Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Optoelectronics
Kuban State University Strikitsa N.
Student, Kuban State University
Аннотация
Рассмотрены сигналы с квадратурной амплитудной модуляцией. Получены аналитические выражения, определяющие корреляционно-спектральные характеристики сигналов с прямоугольным сигнальным созвездием. Представлены результаты расчетов.
Abstract
Signals with quadrature amplitude modulation are considered. Analytical expressions are obtained that determine the correlation-spectral characteristics of signals with a rectangular signal constellation. The results of calculations are presented.
Ключевые слова: квадратурная амплитудная модуляция, сигнальное созвездие, автокорреляционная функция, спектральная плотность мощности.
Keywords: quadrature amplitude modulation, signal constellation, autocorrelation function, power spectral density.
Квадратурная амплитудная модуляция (КАМ) представляет собой перспективный метод передачи информации в современных цифровых телекоммуникационных системах [1-3].
Сигнал с М-ичной КАМ на интервале 0 < t < T задается формулой
U (t) = UÇ cos(co01 + ф0 ) - US sin(co01 + ф0 ), i =1, 2, ..., М, (1)
где U c и U s - соответственно амплитуды синфазной и квадратурной составляющих сигнала, отвечающие передаче кодированной кодом Грея комбинации Рг = (|3Л Рг2 ... |3;ш ) из т = log2 M двоичных символов;
M = 2m (m = 2, 3, ...). (2)
ш0 - несущая частота; ф0 - мгновенная начальная фаза; T - длительность элемента сигнала.
Обозначая
UÇ = A cos ф, US = A sin ф
сигнал (1) также можно представить в виде
Щ (t) = A cos(w01 + ф + ф0 ) , i = 1, 2, М, (3)
где амплитуда A и фаза ф составляют
I-2-~ IJS
A 4(UÇ )2 + (US )2 , ф<- = arctg ^ . (4)
В силу того, что в (3) каждой i-й комбинации отвечает свое значение амплитуды A и фазы ф несущего колебания, сигналы с КАМ иногда называют сигналами с амплитудно-фазовой модуляцией.
Наиболее широкое применение в практических приложениях получили сигналы с прямоугольным и квадратным созвездием (сигналы с прямоугольной и квадратной КАМ) в силу простоты их технической реализации.
Для прямоугольной КАМ число уровней квадратурной и синфазной составляющей Mс и M, соответственно определяются равенствами
M = 2m, M = 2ms, m, m = i, 2, ..., (5)
размер созвездия находится по формуле
м = mcms = 2m+m) (6)
и при значениях символов для этих составляющих
ai = 2i - (Mc +1) (7)
и
а; = 2i - (Ms +1) (8)
сигнал (1) принимает вид
U (t) = U0 [а^ cos((D0t + ф0) - а; sin(Q0t + ф0) J. (9)
В этом случае комбинации из m = log2 M двоичных символов информационной последовательности разбиваются на два блока по m и m символов при
m + m = m, (io)
раздельно преобразуются в код Грея, и одному блоку i-й комбинации соответствует амплитуда Uf = aUo синфазной, а другому блоку - амплитуда U¡' = a;U0 квадратурной составляющей сигнала
(1), (9).
Для квадратной КАМ, представляющей собой частный случай прямоугольной, m = ms и согласно (5), (6), (10) размер созвездия составляет
м = M2 = M2S = 22m, m = 1, 2, ... (11)
На рис. 1 представлены варианты созвездий сигналов с КАМ: на рис. 1, а - прямоугольное сигнальное
созвездие при М = 8 (созвездие прямоугольной КАМ-8), а на рис. 1, б - квадратное созвездие при М = 16 (созвездие квадратной КАМ-16).
На рис. 1, а, б снизу под созвездиями указаны двоичные комбинации первого кодового блока из Ш символов, соответствующего синфазной составляющей, а слева - комбинации второго блока, отвечающего квадратурной составляющей сигнала и содержащего Щ символов. Для прямоугольной КАМ-8 число символов в блоках составляет Шс = 2 , Щ = 1, а для квадратной КАМ-16 блоки имеют одинаковую длину, равную Шс = Ш6, = 2 .
000 ■ ■ • ■ ■ 010 ■ ■ • ■ ■ 110 ■ ■ * ■ ■ 100
001 ■ ■ ♦ ■ ■ 011 ■ ■ ♦ ■ ■ 111 ■ ■ ♦ ■ ■ 101 ■ ■ ♦ ■ ■
00 01 11 10
а
00
01
11
10
0000 0100 — *— 1100 —*— 1000 —*...
0001 0101 1101 1001
0011 0111 1111 1011
0010 0110 1110 1010
Рис. 1. Сигнальные созвездия сигналов с КАМ: а - при M = 8; б - при M = 16
00 01 11 10
б
При M = 4 сигнал с квадратной КАМ сводится к сигналу с квадратурной (четырехфазной) фазовой
манипуляцией и амплитуда, которого увеличена в л/2 раза.
Выражения для спектральной плотности мощности (СПМ) сигналов с квадратной КАМ получены в [1-3].
Цель работы - определение корреляционно-спектральных характеристик сигналов с прямоугольной КАМ.
На бесконечном интервале времени сигнал (9) с прямоугольной КАМ можно представить в виде
(t) = Uo £ akS(t - kT) C0S(<V + Фс ) -
k=-ад
-Uo £ (t - kT)sin(<V + Фс)
k =-ад
или
UKAM (t) = U0 [^ (t) COs(<V + ф0 ) - S, (t) sin(Q0i + ф0 )] , где манипулирующие сигналы Sc (t) , ss (t) определяются выражениями
Sc (t) = £ ackg(t - kT)s
k=-ад ад
(t) = £ aSg(t - kT)s
^ ) =
^=-ад
а символы аск и а^ принимают значения (7) и (8). В соответствии с (12) комплексный сигнал определяется выражением
(12)
(13)
(14)
(15)
¿kam (0 = ^0
£ alg(t - kT) + j £ aSg(t - kT)
k=-ад
k=-ад
7j (<ot+Фо)
а его комплексная огибающая имеет вид
4лм (0 = ^0
или
ЕЕ akg(t - kT) + j £ akg(t - kT)
_k=-ад k=-ад
ад
jo
k=-ад
где коэффициенты Ck составляют
(16)
(17)
ck =ak +J®k-
Определение корреляционно-спектральных характеристик проведем при следующих общепринятых предположениях [2, 3]:
- случайная последовательность { } представляет собой стационарную в широком смысле последовательность некоррелированных символов (17);
- мгновенная начальная фаза ф0 сигнала (16) является не зависящей от последовательности {¿¿}
случайной величиной с равномерной плотностью распределения вероятностей на интервале от -п до п.
С учетом этих предположений легко показать, что математическое ожидание комплексного процесса (16) равно нулю
m{vkam(0} = O,
а его автокорреляционная функция (АКФ)
г (т) =m{v (t + t)v (7)1
VKAM V / ^ KAM V ' KAM V у J
задается формулой [2]
К (j) =
VKAM 4 y
Ül
Ulm]
\\
1-J
T
+ m.
при |т| < T, при kl > T,
(18)
где ть и a^ - математическое ожидание и дисперсия последовательности { Ск }
соответственно.
Из (17) следует, что математическое ожидание и дисперсия последовательности \ск } в (18) определяются выражениями
ад
ад
I Mc I Ms
m, =-У аЧ +-У<
c Mct? 1 м tr г
ч2 I . ,2
- \m.\
1 M i M,
=— I («Г )2 + — I («? )2
c mc ^ Ms Подстановка значений (7) и (8) в (19) и (20) с учетом известных формул
M 1
S i = - M (M +1)
M 1
S i2 = - M (M + 1)(2M +1)
показывает, что
6
ш = О
а2 =
- (mc + M2 - 2).
Подставляя (21) и (22) в (18), получаем, что АКФ имеет вид
, = иi(M + MS- 2) г Ш
''kam ^ ' 2 ^ y
i < T.
Графики АКФ (23) при различных значениях M показаны на рис. 2.
К (т)
и
10 8 6 4 2 0
M = 16 ч /
M = 8s/ /
//M= 4 \\
-1
1 i / T
(19)
(20)
(21) (22)
(23)
1=1
и
1=1
0
Рис. 2. АКФ комплексной огибающей сигналов с КАМ
В соответствии с равенством гкдм(т) = — Re А ^ (х)е,")"т
и формулой Эйлера
e = cos а + J sin а из (23) следует, что АКФ сигнала с прямоугольной КАМ определяется выражением
и2 (Mc2 + M2 - 2)f kh
(i)=-Ч;—-11 - Щ
ГКАМ ( 1'
cos шп1, 1 < T,
cosшп1, i < T.
а для сигнала с квадратной КАМ согласно (11) составляет
г w=U2(M -1) fi 'КАМ( V о 1 Т
3 V 1 J
Согласно (24) средняя мощность сигнала с прямоугольной КАМ равна
U2 (м2 + м2 - 2)
P = г (0) = ———c-;--
1 КАМ 'КАМ(0) ^ .
(24)
(25)
Поскольку максимальная амплитуда сигнала (12) согласно (4), (7)-(9) равна
Umax = U0J(M~C -1) + (Ms -1) , формула (26) показывает, что пик-фактор сигнала с прямоугольной КАМ
U2
п2 =
KAM
т2
max
определяется выражением
nKAM б
(Mc -1)2 + (Ms -1)2
(27)
и в З
M] + M] - 2
(Mc -1)2 + (M" -1)2 IM +M" - 2] раза превышает пик-фактор гармонического сиг-
нала. В соответствии с (11), (27) пик-фактор сигнала с квадратной КАМ равен
-1
nKAM 6VM+1
(2S)
и в
з [4M -1) i (y/M +1) раза больше пик-фактора гармонического
сигнала.
Вычисляя преобразование Фурье АКФ (23), получаем, что спектральная плотность мощности (СПМ) комплексной огибающей (16) имеет вид
u0t(m2 + m2 -cvsin^2
R (/) =
VR-ДМ S
1
з
f
(29)
Из (29) и равенства (f) = — Rkam (f — f ) следует, что односторонняя СПМ сигнала с КАМ
определяется выражением
RK+AM (f ) =
Uo2T (Mc2 + m2 - 2)
б
sin - fo)T
<f - fo)T
(3O)
и согласно (11) для квадратной КАМ составляет
RK+AM (f ) =
u02t(m -1)
sin <f - fo)T
<f - fo)t
(31)
В соответствии с равенством T = T^ = T l°§2 M СПМ (30) и (31) можно представить в виде
RAM (f ) =■
U02mTb (M2 + M" - 2)
sin <f - f0 )mTb </■- f0 )mTb
(32)
R+AM (f ) =
u2mtb (m -1)
З
sin <f - fo)mTb «(f - f0)mTb
(33)
где Т - длительность бита.
Графики СПМ (32), (33) при различных M представлены на рис. 3.
2
2
З
2
б
и
2
Рис. 3. СПМ сигналов с КАМ
Формулы (32) и (33) показывают, что при одинаковой скорости передачи информации R = 1/1 эффективная ширина спектра сигнала с КАМ оказывается в m = log2 M раз уже эффективной ширины спектра сигнала с двоичной амплитудной или фазовой манипуляцией.
Список литературы
1. Ha T.T. Theory and Design of Digital Communication Systems / T.T. Ha. - New York: Cambridge University Press, 2011. - 634 p.
2. Simon M.K. Digital Communication Techniques: Signal Design and Detection / M.K. Simon,
S.M. Hinedi, W.C. Lindsey. - Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1994. - 888 p.
3. Xiong F. Digital Modulation Techniques / F. Xiong. - Boston - London: Artech House, 2006. -1017 p.
