Коррекция несовместных систем линейных неравенств с матрицами блочной структуры по минимаксному критерию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.643.8:519.85

Н.З. Ле1

КОРРЕКЦИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С МАТРИЦАМИ БЛОЧНОЙ СТРУКТУРЫ ПО МИНИМАКСНОМУ КРИТЕРИЮ

Рассматриваются задачи коррекции несовместных систем линейных неравенств (СЛН) с матрицами блочной структуры по критериям минимаксной взвешенной евклидовой нормы блоков матрицы коррекции.

Ключевые слова: несовместная система линейных неравенств, матрица с блочной структурой, минимаксный критерий, декомпозиция.

1. Введение. Системы линейных алгебраических уравнений и неравенств находят широкое применение при построении информационных моделей различных систем. Как показывает практика, погрешности в экспериментальных данных, ошибки округления, а также противоречивость и нечеткость информации могут приводить к противоречивым (несобственным) моделям. Изучение методов коррекции несобственных моделей вызывает широкий интерес российских и зарубежных исследователей. Особенно сложными и интересными являются задачи коррекции несовместных систем уравнений и неравенств с заданными структурами матриц коэффициентов, что накладывает структурные ограничения на матрицы коррекции. Примером такой структуры являются матрицы блочного типа.

В качестве критерия величины изменения параметров будем рассматривать матричную норму

ИЛИ«, = ■

В настоящей статье в п. 2 даны постановки задач минимальной коррекции несовместной блочной СЛН по минимаксному критерию, в п. 3 исходные задачи сведены к общей экстремальной задаче и предложен метод их решения, в п. 4 исходные задачи сведены к последовательности вспомогательных задач линейного программирования и предложен метод декомпозиции Корнаи-Липтака для их решения.

2. Постановки задач коррекции СЛН с блочной структурой. Дана несовместная система линейных неравенств

Ах ^ Ь, х ^ О,

где матрица А € />>д/чЛ имеет следующую блочную структуру:

А1 0 ... О

А =

о а2 о ...

... о

о Ак

к к

Аа е ДТОоХЛГ, Ак е Д"1*™*, к 1.2.....К. причем £ тк = М, £ пк = Ж, ж = (хъ ...,хК)Т € Д*,

к=0 к=1

Ь= (Ьо, 61,..., Ьк)т € Дм, хк € Яп\ к = 1,2,...,К,Ьк€ Ят\ к = 0,1,..., К. Предполагаем подсистему

Аах < Ьо (1)

совместной.

1 Матем. ф-т МПГУ, асп., е-таП: ln.duyQmail.ru

Определим матрицы ///, € и векторы hk € Н'"'. такие, что системы

Л, + //,

О

О Ао +Но

о

о

о

А1 + Н1 О

о А2 + Н2 о

О Л д + // д

Ж1

£

bo bi

Ък

(2)

An

О

О Лд + //д

Ж1

bo h + hi

Ьк + hfc

(3)

совместны, а элементы матриц ///,. и векторов hk удовлетворяют условиям минимальности, которые формализованы в виде двух задач. Задача 1.

11 k i

max max /г,-,- ^ mm k=l,...,K i,j 1 JX

при условии (2), где h*j — элемент матрицы коррекции Н^. Задача 2.

max max k=l,...,K i,j

hk

—> mm

при условии (3), где ^ • — элемент расширенной матрицы коррекции [///,. —

3. Сведение задач 1, 2 к общей экстремальной задаче. Используя дополнительную переменную уо, уо ^ 0, совместную систему неравенств

А0х < Ьа

можно записать в виде

Аах = Ьа- уо-

Множество решений системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Ао и вектором правой части Ьо — уо (см. [1])

Х(Ао, Ьо — уо) = {% = х + Р • Дж},

где

х = А+(Ьо^уо), Р = 1-А+А0,

I — единичная матрица порядка Ж, Ах — произвольный вектор, Л.^" € ДЛГх™о — матрица, псевдообратная (обобщенная обратная по Муру-Пенроузу) к матрице А.0. Введем обозначения:

А+ = (ВЪ...,ВК)Т, Р = (РЪ...,РК)Т, х = (хъ...,хк)т,

где

В«€ДП'ХП", I) (г />>", чЛ . Хг = Вг(Ъ0 - уо), .г, г, + Р^.г. г = 1,..., К. (4)

Для задачи 1 систему неравенств (2) можно переписать как совокупность К систем линейных неравенств с неизвестной матрицей //,:

+ (5)

Используя дополнительные переменные у^ из (5) можно записать следующие равенства:

(Аг + Я*)®* + Уг = Ьи Уг ^ О,

Н^Хг Ь, - //, - Л,.г,. уг ^ 0. (6)

Решение уравнения (6) относительно неизвестной матрицы //,. обладающее минимальной нормой

I //,

'»Поо = ш'$:х{Щг\} 1 з*

существует при любом х^ф 0 и задается формулой [2]

Ч, = (к ^Уг^ А^Х^, у г ^ О,

где .$1 — вектор, двойственный к вектору хц относительно нормы | Имеем

II к — Уг — AiXi\\00

и-

IН,

г II 1,оо

(7)

(8)

ьг\\\

Пусть к = к — yi — AiXi, Ai = Ajl). Тогда, выполнив преобразования формул (4) и (8), получим

\Н„

к — Л, Д.г

г II 1,оо

В силу х ^ 0 формулу (9) можно переписать в виде

(к - Äi£\x)j

(9)

\Н„

max з

«Iii,ос

"I" IL (Pu Ах)

где 1Щ — вектор-столбец размерности щ, состоящий из единиц; ] = 1, 2,..., т%. Таким образом, задача 1 равносильна следующей задаче:

max s ^- —-—- ( —г щи

к=1,...,К { l^.Xi + (Pi, Ах) J Ах

а задача (10) сводится к задаче

и= max max \ (l^Si + 1«-(Pi, Дж))-1 • (k^ÄiAx)j > mi k=l,...,K j l г г J Да

которую можно записать как

и —> min,

Ах,и

-и ■ 1„н ■ (lnfii + 1щ(рь Ах)) ÄiAx,

и- 1тГ (1 l_Xi + lJH(Pi, Ах)) ^bi- ÄiAx, lJHXi + lJH(Pi,Ax) ^ 0, i = l,...,K, 0.

max

з

(bi - ÄiAx),

\

—> mm,

mm, Дж

(10)

(11)

(12)

Зафиксируем и = и ^ 0 достаточно большое, чтобы выполнялось ограничение задачи (12). Найдем решение и* ^ 11, задачи (12) с помощью метода одномерной минимизации на отрезке [0,й], которое будет оптимальным значением функции (11), на каждом шаге итерации проверяем совместность ограничений задачи (12), что эквивалентно решению ряда вспомогательных задач линейного программирования:

с • Ах —> min, Дж

-и • I,,,. • I,,. • Pj + • 1 /

-и • I и,. • I и • / • 1/

[Аж] <

bi 4" U 1 nli • 1П;Жг ~bi + и • 1 mi • \п x,i

(13)

% - 1 к . . . к tj

где с — вектор-столбец размерности Ж, состоящий из нулевых элементов; и — фиксированное значение.

Проводя аналогичные преобразования для задачи 2 и используя дополнительные переменные систему (3) можно переписать как К систем линейных равенств с неизвестной матрицей [///,. —

(Аг + Hi)Xi + Уг = Ьг + /ц

[щ - /,,•]

1

= — у% — А^Хг, Уг ^ 0.

(14)

Решение уравнения (14) относительно неизвестной матрицы [///,. — обладающее минимальной нормой

\Нг

Ы\ос = т?х{ кп }

3*

существует при любом хц и задается формулой

[Щ - кг) = (Ъг ^Уг^ А^Х^'Ш^,

(15)

где и)г — вектор, двойственный к вектору

\\Щ - к

относительно нормы 11.11 х;

_ \\Ьг ~ Уг ~ AiXi\\00

г II 1,ос

(16)

Пусть Ьг = Ьг — Уг — АгХг, Аг = Л,/ ', . Тогда, выполнив преобразования формулы (4) и (16), получим

(Ьг - АгА®),-

I Нг — 1ц

'г II 1,оо

Ьг — Аг Ах

Хг + /)А.г 1

тах з

Н™ - {_Р%ч ^^х) + 1

Таким образом, задача 2 сведена к следующей задаче:

(Ьг - Аг Ах),

тах

тах

з

к — 1;... 5 К | 1 ^ X 2 ......1...... 1 ^ - (-Р'1; ^^ X ) ......1...... 1

^ тт. Дж

Задача (17) сводится к задаче

й = тах тах < (1п.жг к=1,...,К з г

{(1^®г + 1Ах) + I)"1 • фг - АгАх)з } тт,

(17)

(18)

которую можно записать как

и —> 1Ш11,

Дж.к

-й • 1ТО4 • (1^®г + 1^_(Рг,Ах) + 1) < Ьг - А^Ах, и-1тГ (11_Хг + 1 ^.(Рг, А®) + 1) ^ Ьг - Аг Ах, !п,®г + А®) + 1 ^ 0, г = 1,

й > 0.

(19)

К,

Зафиксируем й = и" > 0 достаточно большие, чтобы выполнялось ограничение задачи (19). Найдем решение й* ^ и" задачи (19) с помощью метода одномерной минимизации на отрезке [0, и"], которое будет оптимальным значением функции (18), на каждом шаге итерации проверяем совместность ограничений задачи (19), что эквивалентно решению ряда вспомогательных задач линейного программирования:

с • Ах —> пип,

Дж

' IIII, ' I ■ Рг + А,

I Т

[А®] <

-й • 1 Гщ ' 1 п, ' Рг Аг

Ьг+й- 1тГ (1„.®г + 1) Лг + й- 1ТО4 • (1^ ®г + 1)

г = 1,..., К.

й — фиксированное значение.

Таким образом, исходные задачи 1, 2 сводятся к последовательности вспомогательных задач линейного программирования (13), (20) соответственно. Предположим, что Ах — решение задач (13), (20), тогда необходимо восстановить искомое решение х = х + РАх и матрицы коррекции //('. [Н* — к*] можно вычислить по формулам (7), (15).

Полученные результаты являются распространением на неравенства подхода работы [3] для блочных задач коррекции. Указанный подход связан общей формулой, поэтому для больших систем, в которых число переменных и связей измеряется сотнями, и даже тысячами, трудоемкость вычислительного алгоритма велика. Ниже предлагается новый подход, который использует идеи декомпозиции для решения исходных задач.

4. Применение метода декомпозиции Корнаи^Липтака для решения задач коррекции несовместных СЛН. Используя преобразования в п. 3, имеем

\Н,

II к — Уг — А^Хг

г II 1,оо

ьг\\\

1|я»

II 1,ос

Н^г — Уг ~ ^-гхг\

Таким образом, задача 1 равносильна следующей задаче:

тах к=1,...,К

тах \(Ьг - Уг - АгХг)3 \ _

^п^Хг

Задача (21) сводится к задаче

и= тах тах{(1^.Жг) 1 ■ \(bi

к=1,...,К з г

Уг

—г> тт

.40ж§;Ьо

АгХг)з 1} -)• тт ,

Лох^Ьо

которую можно записать как

и —> тт,

ж,и

и ' 1 То( ' ^ Ьг

' ^-тщ ' {^-тцхг) ^ Ьг

Уг

Аг

(21)

(22)

(23)

•-т,л'г/ 5>- "г

А0х < Ьо,

и ^ 0, Хг-,Уг -г5 0, % = 1, . . . , К.

Зафиксируем и = гI > 0 достаточно большое, чтобы выполнялось ограничение задачи (23). Найдем решение и* ^ и задачи (23) с помощью метода одномерной минимизации на отрезке [0,г1], которое будет оптимальным значением функции (22), на каждом шаге итерации проверяем совместность ограничений задачи (23), что эквивалентно решению ряда вспомогательных задач линейного программирования:

„т

-у •1 •1т -и •1 •1т

Аг А

Хг^О

[Хг] <

к ~ У г Лк - Уг)

(24)

А0Х < Ьо,

% = 1,

где Сг — вектор-столбец размерности щ, состоящий из нулевых элементов; и — фиксированное значение.

Для расширенной матрицы коррекции путем аналогичных преобразований задача 2 сведена к за-

даче

и = тах тах к=1,...,К з

{(1

г

1) 1 • | (Ьг^Уг^ AiXi)j 1} -)• min ,

A0x^b0

(25)

которую можно записать как

Aj Xj.

(26)

и —> mm,

х,й

-Ü • lTOi • (1щхг + 1) ^Ьг-уг

й ' 1 rrii ' (^n,iXi "I' ^ bi — Уг — АгХ

А0ж < Ь0,

0 0, Xi,yi ^ 0, г = 1,..., К.

Пусть и = и' > 0 — фиксированное значение, которое удовлетворяет ограничениям (26), тогда решение ü* ^ и' задачи (25) можно искать методом одномерной минимизации, на каждом шаге итерации проверяется совместность ограничений задачи (26), что эквивалентно решению ряда вспомогательных задач линейного программирования:

С? ■ Хг —> min,

Xi^O

Ü ■ 1 r

-fl • 1 -1т -V ■ 1 -1T

А;

Lrrii i' bi Уг Ü • lTOi - (bj - Уг)

(27)

А0ж < Ъо, г = 1,..., К.

Таким образом, исходные задачи 1 и 2 сводятся к последовательности вспомогательных задач линейного программирования (24) и (27) соответственно. Предположим (ж*,у*) — решение (24) и (27), тогда матрицы коррекции Н*, [Н* — Щ] можно вычислить по формулам (7), (15).

Применим метод декомпозиции Корнаи-Липтака [4] для решения вспомогательных задач линейного программирования (24) и (27). Задачи (24), (27) можно переписать в виде

т

с; • Хг —> mm,

-v ■1 •1т

и Tili п-

-U ■ 1

■г

Tili ' ±Tii лi

1 Т

Аг Аг

[Хг] <

h ~ У г

-{h - Vi)

(28)

AqX < Ъо,

% - 1 к . . . к tj

cj ■ x,i —> min,

Xi >0

-1~J -1 • 1Т

u Tili п

А,

Iis

•7, • 1 • 1 _ /4 ■

u Tili Iii 1,

[Xi] < А0ж < Ьо,

ü • lf U ' lrri.

Ь k ~ У i (bi - Уг)

(29)

i - 1 ► . . . ► tj

где и, и — константы.

Задачи (28) и (29) имеют общий вид, поэтому в данном пункте рассматривается подход декомпозиции Корнаи-Липтака решения (28), для задачи (29) аналогично.

Разобьем матрицу А0 на К подматриц А0..., Аок, где А0 € ^ _ ...; к. Вводятся

то-мерные вектор-столбцы г = 1К, удовлетворяющие условию

к

< v

(30)

г=1

Сформулируем К задач линейного программирования:

cj • Xi min,

Xi^O A-QiXi ti.

' 11 i ' I III , ' I i, . "Ь ' 1 i

-„. . 1 ,-\Т_д.

аг ±nii ±т i

[xi] <

к - Vi -(bi-Vi)

(31)

Xi > 0.

Введем вектор £ = (¿1,... ,1к) и — множество векторов таких, что выполняется (30) и задачи (31) имеют решения.

Обозначим через г = 1,..., К, ограниченные многогранники в пространствах КПк:

Л / ,. — S ж ^

""< ' I /», ' I /; "Ь • 1 <

аг ±nii ±т i

- Vi

Лк ~ Vi)

, ^ 0 )■ .

Для задачи (31) введем функцию Лагранжа

к

К

L(x, t, А) = х^ + ^(А U - A0iXi),

i= 1

¿=1

где Жг € Mi, Aj € i?+°, г = 1

.ÜT.

Выбираются значения А и А, £ С , границы изменения переменных А^, 0 ^ А^ ^ А,

5 ¿г ^ г = 1,..., Л'. _ _

Введем два множества Мг и Пд:

к

Mt = jt ÖA = |а

t < t < i, ^¿г <

г=1

0

0 < А, < А, i G

и функционал А) вида

(p(t,\)= min L(x,t, А) = y^(Aj,ij) + У^ min (cf ^ АгА0г,Жг).

XiEM*

А"

А"

ж* ем*

г=1 г=1

Итак, имеем задачу о нахождении седловой точки функции cp(t,X):

max А) min, t G Mt. лепА

(32)

Задача (32) может решаться методом фиктивной игры Брауна. Тогда первый (максимизирующий) игрок на каждом шаге итеративного процесса решает задачу

к

->• тах, í € М*, (33)

г=1

где Аг фиксированы.

Задача (33) может быть представлена как то независимых подзадач:

к

max, t G Mt, s G [1 : т0],

(34)

г=1

где А® фиксированы.

Второй (минимизирующий) игрок в процессе итераций решает задачу о нахождении оптимальных двойственных переменных:

т

AoiXi ^ ti

■"< ' I /и, ' I п "Ь • 1 <

.1 . 1т _ &.

иг АТПг ±т I

[Жг] < Хг > О,

Щ ~ Уг

(35)

где ¿г фиксированы.

Задача (35) рассматривается как К независимых подсистем. Таким образом, метод декомпозиции для задач (28), (29) осуществляет декомпозицию на К + то подзадач.

Опишем предложенный алгоритм для задачи 1. На входе: А, Ь, е, е € Д. На выходе: х*к.

Начальная итерация (1 = 1).

Шаг 1. Фиксируем значение у ^ 0 и выбираются начальные значения А, достаточно большие.

Шаг 2. Найдем решение , ) задачи (34) по методу Брауна, получим решение (А^ , ¿¿^ )

задачи (33).

Шаг 3. Ищем решение х^ задачи (35) с помощью функции "поиск решения". Получаем начальное решение (и^^х^ ), г = 1,..., К.

Положим а = 0, с = г = 1,..., К.

Итерация номера I = к, к ^ 2.

Шаг 4- Вычисляется и^. Если (г^-1),является решением (35), то с = и^ =

иначе а = и^ =

Шаг 5. Найдем решение (Х^8 , ) задачи (34) по методу Брауна, получим решение (А® , ^ ) задачи (33).

Шаг 6. Найдем решение х^ задачи (35) с помощью функции "поиск решения".

Если выполняются условия: (и\1\х\1^) является решением (35) и |и^ — < е, то перейдем

к шагу 7, иначе: I = к + 1 и перейдем к шагу 4.

Шаг 7. ж® — искомая точка. Корректирующая матрица Н*, % = 1,..., К, вычисляется по формуле (7).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1997.

2. Горелик В. А., Ерохин В.И., Печенкин Р. В. Численные методы коррекции несобственных задач линейного программирования и структурных систем уравнений. М.: ВЦ РАН, 2006.

3.Горелик В. А., Ерохин В.И., Печенкин Р.В. Минимаксная матричная коррекция несовместимых систем линейных алгебраических уравнений с блочными матрицами коэффициентов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2006. № 5. С. 52-62.

4. Цурков В. И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: Наука, 1981.

Поступила в редакцию 18.05.11

CORRECTION OF INCONSISTENT SYSTEMS OF LINEAR INEQUALITIES WITH MATRICES OF BLOCK STRUCTURE WITH THE MINIMAX CRITERIA Le N. D.

We consider the problems of correcting incompatible systems of linear inequalities with matrices of block structure by the criteria of minimum sums of squared norms and weighted minimax of Euclidean norms of the correction block matrix.

Keywords: inconsistent systems of linear inequalities, matrix of block structure, minimax criteria, decomposition.