CC BY
9
2.3. О ПОСТРОЕНИИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДЕКОМПОЗИЦИОННОГО АЛГОРИТМА НА БАЗЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ АДАПТИВНОГО АЛГОРИТМА ЭЛЛИПСОИДОВ
Лапиков Игорь Игоревич, сотрудник лаборатории НКО «ФСРБИТ», НКО «Фонд содействия развитию безопасных информационных технологий». Е-mail: [email protected]
Специальность: 05.13.19 - «Методы и системы защиты информации, информационная безопасность».
Аннотация. В статье развивается концепция адаптивного алгоритма решения систем линейных неравенств с '-значными неизвестными, основанного на идеях метода эллипсоидов Хачияна. Глубокое исследование практических аспектов применения и сходимости адаптивного алгоритма эллипсоидов позволило выявить дополнительные критерии выхода, которые существенно ускоряют его работу, особенно в случае доказательства несовместности системы неравенств. На базе полученных результатов строится пространственно-декомпозиционный алгоритм, в основе которого лежит пространсвенная декомпозиция начальной области локализации решений системы линейных неравенств с '-значными неизвестными и геометрическое распараллеливание адаптивного алгоритма эллипсоидов.
Ключевые слова: системы линейных неравенств, '-значная логика, метод эллипсоидов, геометрическое распараллеливание, адаптивный алгоритм эллипсоидов, пространственная декомпозиция, ПД-алгоритм.
2.3. ABOUT THE CONSTRUCTION OF SPATIAL-DECOMPOSITION ALGORITHM BASED ON THE ELLIPSOIDS ADAPTIVE ALGORITHM GEOMETRIC PARALLELIZATION
Lapikov Igor I., employee of NPO «FSTRBIT»,NPO «FSTRBIT», e-mail: [email protected]
Abstract. The article considers the concept of an adaptive algorithm for solving systems of linear inequalities with '-valued unknowns based on the ideas of the Hachiyans ellipsoids method. In-depth study of the ellipsoids adaptive algorithm application practical aspects and convergence allowed us to identify additional exit criteria, which significantly accelerate its work, particularly in the proof of inequalities systems incompatibility case. On the basis of the obtained results, a spatial-decomposition algorithm, which based on the spatial decomposition of linear inequalities with '-valued unknowns system solutions initial localization region and the ellipsoids adaptive algorithm geometric parallelization, is constructed.
Keywords: systems of linear inequalities systems, '-valued logic, ellipsoid method, geometric parallelization, the ellipsoids adaptive algorithm, spatial decomposition, SD-algorithm.
В статье развивается предложенная в [1] концепция адаптивного алгоритма решения систем линейных неравенств с '-значными неизвестными, основанного на идеях метода эллипсоидов Хачияна. Глубокое исследование аспектов практического применения и сходимости адаптивного алгоритма эллипсоидов позволило выявить дополнительные критерии выхода, которые существенно ускоряют его работу, особенно в случае доказательства несовместности системы неравенств. Полученные результаты позволили на базе геометрического распараллеливания построить пространственно-декомпозиционный алгоритм.
Предложенный Л.Г. Хачияном в [2] алгоритм определения совместности или несовместности системы линейных неравенств из т > 2 линейных неравенств вида (1) относительно п > 2 действительных неизвестных
1 Х1 + ... + а1пхп < V
(1)
,1 х1 + ... + атпХп < ьт .
с целыми коэффициентами ац, Ь позволил классифицировать задачу как принадлежащую к классу полиномиальных. Для системы (1) было введено понятие «длины входа системы»
Ei
-Е iog2
1)+log mn
1, (2)
характеризующее число символов, необходимых для записи в двоичном виде системы (1). Сложность алгоритма характеризуется максимальным количеством итераций
w = 6n2L,
(3)
зависящим от I.
Возвращаясь к задаче проверки совместности и последующего отыскания решений совместной системы (1) необходимо подчеркнуть, что с практической точки зрения особый интерес представляет рассмотрение систем такого вида
с к-значными неизвестными, поскольку в анализу систем такого вида сводится широкий класс задач защиты информации, что описано в работах [3, 4, 5]. В [1] изложена концепция построения адаптивного алгоритма решения систем неравенств с к-значными неизвестными, основанная на идеях метода эллипсоидов Л.Г. Хачияна. В частности, показана принципиальная возможность сокращения начальной области локализации многогранника решений с исходного л-мерного шара радиусом Я = 21 до шара радиусом
С
(к -1)>/л
2
Значение Я0' определяется спецификой исходной задачи, когда все потенциальные решения системы (1) лежат в л-мерной к-звенной решетке V¡", которая в свою очередь вкладывается в шар, указанного радиуса с центром в точке
к -1 2 '
к -1! 2 I
где к-значность логики. Стоит отметить, что исследование систем линейных неравенств с к-значными неизвестными, проведенное, в частности, в задаче восстановления по старшей координатной последовательности [6] линейной ре-курренты показало возможность потери решения системы в ходе работы алгоритма, если оно лежит на границе сферы радиусом Я0'. Для случая к = 5, л = 2 в решетке У52 граничные решения выделены и обозначены (рис. 1).
Рис. 1. Граничные решения в решетке V¡2
Для устранения данного недостатка предлагается на начальной итерации в качестве исходного радиуса вместо
(к
использовать значение
(к -1)л/П
2
1 +
16п
2 I'
(4)
где значение коэффициента растяжения
1
1 + "
16"2
взято из леммы 5 работы [8].
Очевидно, что данное уточнение не повлияет существенно на работу адаптивного алгоритма эллипсоидов, но сведет к минимуму возможность потери граничных решений.
Напомним, что основная идея адаптивного алгоритма состоит в поледовательном построении эллипсоидов убывающего объема Е., задаваемых парой (х., В.), где х; е R - центр эллипсоида, а В. - вещественная матрица, задающая эллипсоид. Для адаптивного алгоритма справедлива теорема.
Теорема. Если многогранник решений системы неравенств (1) с к-значными неизвестными целиком лежит внутри гипершара 5 радиусом Я < 0,5, то адаптивный алгоритм за полиномиальное время определит факт совместности, либо несовместности системы и в случае совместности найдет единственное целочисленное решение.
Доказател ьство
Система неравенств (1), рассмотренная как система неравенств в действительной области, полностью удовлетворяет условиям исходного алгоритма Хачияна. Следовательно, через 6л21 шагов алгоритм даст ответ, совместна система или нет, и в случае совместности найдет некоторое действительное решение X(0) = (х?, х?,... , х"1).
По условию точка X(0) лежит внутри гипершара 5 радиусом Я < 0,5. Если гипершар 5 содержит целочисленную точку е(0) = (е° е?,..., е°), то справедливо
К' - 80 < 0,5;
х20 -80 <0,5; . . . ; I х°0 -80 <0,5 (5)
и адаптивный алгоритм на основании действительного решения X(0) путем округления найдет целочисленное решение е(0) = (е1, е02,... , е").
Другие отличия адаптивного алгоритма от исходного алгоритма Хачияна такие как уменьшение радиуса исходной локализации и дополнительные критерии выхода приводят только к снижению оценки w = 6л 21 и не влияют на сам факт ее полиномиального характера.
В работе [7] было предложено геометрическое распараллеливание адаптивного алгоритма за счет пространственной декомпозиции начальной локализации области решений, которая осуществлялась за счет разбиения исходной л-мерной к-звенной решетки V £ на t областей V ¡¡(1), V £(2),... , V
и ^ о-
(6)
где t - некоторый параметр, характеризующий количество потоков работы, зависящих от вычислительной мощности ЭВМ. Каждый элемент пространственной декомпозиции V' (.) выбирается так, что он целиком вкладывается в некий гиперкуб с ребром Ь или целиком составляет этот гиперкуб, и затем погружается в соответствующий шар радиусом >:
V ' и) с 50.>, Я0Л < «о.
(7)
Шары 5?1', 5?2), ... , рассматриваются как исходные области локализации для t ветвей метода эллипсоидов. Покажем возможность построения пространственно-декомпозиционного алгоритма (ПД-алгоритма) на базе геометрического распараллеливания адаптивного алгоритма эллипсоидов.
Пусть дана произвольная система линейных неравенств вида (1), тогда все возможные решения данной системы локализуются в л-мерной к-звенной решетке V кл, которая
х
о
Я
2
1
может быть вложена в гиперкуб в пространстве Вп с ребром а = к - 1, вокруг которого описывается п-мерный шар радиусом Я0. Предлагаемая методика распараллеливания, основана на разбиении (6) и локализации каждой из t областей внутри п-мерного шара радиусом Я0 с центром в точке Х0 ']:
-
bsfn
1
16n2
(8)
где Ь - ребро гиперкуба, в который вкладывается элемент разбиения У'и). Выбор параметров Ь и Я,'1 определяется видом разбиения (6). Заметим, что увеличение Я,^ 1
в 1 +--- раз объясняется теми же причинами, что и для
16п2
исходного адаптивного алгоритма эллипсоидов и было описано выше.
Рассмотрим естественное мозаичное разбиение путем дробления каждого ребра на I частей, тогда
b = а-I
-л/п
"2Т
2R
(JV
(9)
имеют вид
*о [ Sj
b+,
(10)
выигрыш это на практике было не всегда так, поскольку не были выработаны дополнительные критерии выхода и большинство потоков ПД-алгоритма работали полные w = 6n2L, итераций, где L соответствует (2). Дополнительные исследования в этой области позволили уточнить оценки величины максимального количества итераций, на основе анализа структуры системы (1), а также сходимости алгоритма. В работе [2] показано, что определитель матрицы Bv характеризует объем задаваемого ей эллипсоида |det Bv| ~ mes (Ev). Из логики алгоритма Хачияна вытекает, что если
|det ßl < d
(11)
Отсюда получим, что общее количество элементов разбиения, а следовательно потоков, равно t = Iп. В дальнейшем коэффициент I будем называть коэффициентом пространственной декомпозиции. Каждый шар, содержащий элемент такого разбиения будет иметь радиус и соответствующая стартовая задача метода эллипсоидов будет характеризоваться матрицей В0 = diag [Я,^, - , Я,^] размерности п х п. При этом отличаться будут центры шаров, каждый из которых будет совпадать с центром гиперкуба с ребром Ь разбиения Vпк(у). Очевидно, что, если каждое ребро длины а исходного гиперкуба, в который вкладывается п-мерная к-звенная решетка V'", разбивается на I частей длины Ь, то координаты центров гиперкубов, в которые вкладывается элемент V Н]),
для некоторого d и невязка б(Х^) > 2— + 1, то система несовместна, где V - номер итерации. Специфика рассматриваемой задачи, когда ведется поиск к-значного решения, делает критерий несовместности системы на основании (11) предпочтительным в сравнении с предложенным Хачияном [2] критерием несовместности по невязке системы. Строго говоря, если выполняется условие (11), то можно говорить, что в ходе своей работы адаптивный алгоритм локализовал область возможных решений в гипершаре радиусом Я < 0,5 и, следовательно, выполняются условия Теоремы и, если решение системы (1) существует, то оно будет найдено путем округления, иначе можно утверждать о несовместности системы (1). На рассмотренных в процессе эмпирических исследований примерах параметр d был оценен как d = 10-9 и при выполнении условия (11) наблюдалось практическое отсутствие движения центра эллипсоида Х^^ на V + 1 и последующих итерациях.
Еще одним дополнительным критерием выхода, ведущим к уточнению величины w в зависимости от области начальной локализации, может быть использование оценки, полученной в [9] для алгоритма решения задачи выпуклого программирования:
= 3 nh 2
(12)
где ^ = (0, - , ^ I = 1, п.
Значение hфин, при котором центр шара не выходит за рамки решетки Vпк, вычисляется из неравенства Ь/2 + hфинb < а, следовательно hфин = [/- 0,5], где [] - взятие целой части.
Далее после инициализации входных параметров работы каждого из потоков Х0[50')] - центр п-мерного гипершара 50(-') и В0 в нем запускается адаптивный алгоритм эллипсоидов до первого успешного завершения. Успешным считается завершение потока, при котором найдено решение системы (1). Неудачным считается завершение работы потока адаптивного алгоритма, при котором решение системы (1) не найдено. Остановка потока адаптивного алгоритма осуществляется в соответствии с логикой алгоритма Хачияна, модифицированного введением дополнительного критерия выхода по отрицательной невязке системы линейных неравенств [1]. Если все инициализированные потоки завершаются неудачей, то можно утверждать, что система (1) не имеет решений. При первом успешном завершении происходит автоматическое прекращение работы всех инициализированных потоков.
Стоит отметить, несмотря на то, что по идее геометрическое распараллеливание должно давать временной
где п - количество неизвестных системы (1); Ца) = а| + 1 -число битов в двоичной записи числа а; d - степень задачи, h - максимальный по модулю коэффициент СЛН; М. - количество ненулевых коэффициентов /-го неравенства системы, N = тах{М/}; i = 1, т ; Я - натуральная граница решений; е е (0, 1) - требуемая точность задачи (для систем вида (1) достаточна точность е = 10-9). Очевидно, что для систем вида (1) с к-значными неизвестными оценка w' имеет вид:
1098hN( k -1)
I
(13)
поскольку для линейных неравенств степень задачи d равна 1, натуральная граница решений Я определяется логикой задачи к и количеством разбиений ребра исходной решетки Vk"l.
При определении несовместности (1) в одной из областей пространственной декомпозиции V ¡¡Ц), также отмечается другой признак несоблюдения леммы 5 работы [8], доказательство которой приведено в работе [9], в которой утверждается, что
mes Ev
det ßv
mesEv
det Bv
-< 2
-1/2 n
(14)
0
8d hNR
к
Для некоторых типов систем линейных неравенств, в частности несовместных, наблюдается сначала убывание |det В "|, а затем его рост, что свидетельствует о необходимости остановки алгоритма. На практике данный критерий дает значимый выигрыш при использовании как в адаптивном алгоритме, так и построенном на его базе ПД-алгоритме. В дальнейшем завершения работы адаптивного алгоритма по невыполнению условия (14) будем называть критерием выхода по соотношению объемов. Стоим отметить, что невыполнение условия (14) не всегда свидетельствует о несовместности СЛН. В частности, в ряде практических задач получаются системы линейных неравенств, многогранник решений которых в действительной и к-значной области Р не пуст и совпадает, но единственное решение системы может быть найдено только при округлении. По этой причине полученное в результате работы адаптивного алгоритма необходимо проверить на принадлежность к многограннику решений и только тогда можно утверждать о несовместности рассматриваемой системы неравенств. Одна из система этого класса рассматривается в примере 1.
Дадим формальное описание ПД-алгоритма на основе геометрического распараллеливания адаптивного алгоритма эллипсоидов.
ПД-алгоритм решения систем линейных неравенств с Узнанными неизвестными
1 этап. Инициализация
1.1. Инициализация коэффициента пространственной декомпозиции I и начальных параметров адаптивного алгоритма: матрицы коэффициентов А, вектора свободных членов Ь, к-значности логики, начального радиуса
j(').
by/n
1
16n2
длины входа I, оценок максимального количества итераций работы алгоритма w = 6л 21,
1098hN (k-1)
l
и критериев выхода из алгоритма.
1.2. Инициализация л-мерных гипершаров 5^1 у = 1, t начальной итерации с параметрами
b+V.....b+h„b|
где ^ = (а ..., ^ин); i = 1, п; = [/ - ад; В? = diag [«'> ... , %>].
2 этап. Поиск решения или доказательство несовместности системы АХ < Ь в каждой из областей пространственной декомпозиции ^ЦЦ)
2.1. В каждом из t потоков (в зависимости от мощности ЭВМ одновременно или группами по в > 2 штук) запускаем копию адаптивного алгоритма эллипсоидов.
2.2. При. < t инициализируем новую копию адаптивного алгоритма, иначе 2.7.
2.3. Работа адаптивного алгоритма в j-м потоке.
2.3.1. Вычисление невязки системы линейных неравенств и невязку алгоритма на v-й итерации по формулам 0(7") = max. = 1 _ m{AT- b} и 0v = min {0v - 1# 0[Xv- 1]}.
2.3.2. Проверка выполнения критериев выхода.
2.3.2.1. Критерий выхода по отрицательной невязке системы линейных неравенств в центре эллипсоида 0(xv).
2.3.2.2. Нулевое значение вектора r|v = BTvA7T, что означает вырожденность матрицы эллипсоида Bv.
2.3.2.3. Проверка условия |detBv| < 10-9.
2.3.2.4. Проверка условия
Idet Bv Idet Bv-
г> 2
-1/2 n
2.3.2.5. Выполнение V > w' итераций.
2.3.2.6. Выполнение V > w = 6лг1 итераций.
Если критерий сработал перейти на шаг 2.4, иначе - 2.3.3. 2.3.3. Инициализация параметров нового эллипсоида
П =ВТАт ,
'V V IV
где ^ = а^тах. = 1 . т{Ах„ - Ь|}, вектора
П1П1
ПА
nnni ... П„П„
Вычисление параметров нового эллипсоида
_ - B -1 П -1
xv ~ xv - 1 / ,„411 II
(n +1) П -1
16n2
-1)
n-1 I n +1)
Bv - 1П v -
Перейти к шагу 2.3.1
2.4. Выход из алгоритма: вектор решений
X(j) = (x,, x,,... , x ),
оконч v 1 2' ' n"
полученный в результате перехода от действительного к локализованному в эллипсоиде последней итерации ¿•-значному решению.
2.5. Проверка полученного решения X= (x , x2, ... , xn). Если X(j) - решение системы AX- < b, то перейти на шаг 2.6,
оконч
иначе перейти к - 2.2 и инициализировать новый поток.
2.6. Прерывание работы всех копий адаптивного алгоритма, вывести полученное решение X(j) на экран. Пере-
оконч
йти к шагу 2.8.
2.7. Вывести сообщение о том, что система AX < b - несовместна. Перейти к шагу 2.8.
2.8. Завершение работы.
Продемонстрируем работоспособность введенных критериев выхода для адаптивного и пространственно-декомпозиционного алгоритмов на примерах. Для этого рассмотрим два примера. Для примеров будет приведена временная оценка результатов работы, полученная в программной реализации описанных алгоритмов на языке C# с использованием класса Stopwatch (System.Diagnostics) на процессоре Intel® Core™ i5-2500K.
и
1
n
B
0
v
2
Пример 1. Пусть дана система линейных неравенств с 8-значными неизвестными ху е {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
19 < 5x1 5x2 + x7 11 < 5x3 16 < 5 x4 23 < 5x0 23 < 5x1 5x2 + x5 7 < 5x3 + 14 < 5x4 19 < 5x0 26 < 5x1 11 < 5x2
5x3 + x11
11 < 5x4 19 < 5x0 26 < 5x1 7 < 5x, +
-x5 + x12 < 22,
x6 + x13 < 22,
x14 < 6,
- x8 + x15 < 13, -x9 + x16 < 18,
-x10 + x17 < 25,
x11 + x12 < 25,
x13 < 6
x6 + x14 < 10,
-x7 + x8 + x16 < 22, _ x9 + x17 ,
-x10 + x12 < 13,
(15)
x
x6 + x
-x^ + x.
x14 < 13,
класса Stopwatch (System.Diagnostics) на процессоре Intel® Core™ i5-2500K в колонке «результат на выходе адаптивного алгоритма» записан, полученный в результате округления выходной вектор Хоконч; в колонке «Маркер корректности решения» описан результат проверки корректности решения системы (15) путем подстановки. Рассмотрим пример работы ПД-алгоритма.
Пример 2. Пусть дана система линейных неравенств с 8-значными неизвестными x е {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:
-xi -9 x1 -9x1 54 x.
9x2 + 54x3 < 223, 9x2 - 54x3 <-170, - x2 + 54x4 < 270, + x2 - 54x4 <-217,
(16)
Адаптивный алгоритм находит решение системы (15) за 2850 итераций с выходом по соотношению объемов за 1,023 с. Для более полной иллюстрации работоспособности новых критериев выхода используем версию адаптивного алгоритма, в которой остановка работы будет осуществляется только по классическим критерия выхода метода эллипсоидов Хачияна [2]. При срабатывании других критериев выхода будем просто фиксировать параметры центра эллипсоидов. Результаты исследования приведены в табл. 1.
В табл. 1 один результаты представлены следующим образом: в колонке «номер итерации» указан номер итерации, на которой осуществлена остановка по критерию; в колонке «Критерий выхода» описывается сработавший критерий выхода из адаптивного алгоритма; в графе «Время работы (с)» указано время работы программной реализации адаптивного алгоритма на языке С# с использованием
Для реализации ПД-алгоритма каждое ребро 4-мерного куба разобьем на две части, тогда все 4-хмерная 8-звенная решетка разобьется на 16 гиперкубов, в которые вкладываются элементы разбиения V84(/'), соответствующие 16 каналам распараллеливания. Результаты работы каждого потока ПД-алгоритма представлены последовательно по всем 16 потокам в табл. 2. Для более глубокого понимания особенностей работы методики распараллеливания вычисления проведены для всех 16-ти потоков, а не до первого успешного завершения.
В табл. 2 для каждого /-го потока (/ = 1, 16 ) указаны центры исходных шаров локализации, координаты точек остановки алгоритма, в колонке «Маркер корректности решения» описан результат проверки корректности решения системы (16) путем подстановки, в колонке «количество итераций» и «критерий выхода» соответственно количество итераций, которые проработал поток ПД-алгоритма, и критерий выхода, по которому произошла остановка потока (нумерация критериев выхода приведена в соответствии с описанием ПД-алгоритма).
Такими образом, в результате проведенного исследования был построен ПД-алгоритм, основанный на геометрическом распараллеливании адаптивного алгоритма эллипсоидов решения систем линейных неравенств с к-значными неизвестными, введены два дополнительных критерия выхода значительно ускоряющих работу каждого из потоков ПД-алгоритма, корректность которых доказана продемонстрирована на практических примерах.
Таблица 1
Исследование корректности критериев выхода
Номер итерации Критерий выхода Время работы,с Результат на выходе адаптивного алгоритма Маркер корректности решения
2850 Невыполнение |det Ву | < d 1,023 (3, 4, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 0, 5, 0, 1, 2, 3, 4) +
11 569 Выход по соотношению объемов 4,335 (3, 4, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 0, 5, 0, 1, 2, 3, 4) +
19 737 Выполнение V < да' итераций 7,494 (3, 4, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 0, 5, 0, 1, 2, 3, 4) +
338 498 Нулевое значение вектора пу = ВТ А/ 77,22 (3, 4, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 0, 5, 0, 1, 2, 3, 4) +
19 < 5x0
x3 - 9x4 < 378
54x2 + 9x3 -x4 <-269.
x17 < 10Ш
Таблица 2
Результаты работы ПД-алгоритма
Номер потока / Координаты центра исходного шара локализации Х() Результат на выходе адаптивного алгоритма X (оКонч Маркер корректности решения Количество итераций Критерий выхода
1 (1,75; 1,75; 1,75; 1,75) (6; 5; 2; 3) - 120 2.3.2.3
2 (1,75; 1,75; 1,75; 5,25) (5; 5; 1; 5) - 114 2.3.2.3
3 (1,75; 1,75; 5,25; 1,75) (6; 5; 3; 3) - 123 2.3.2.3
4 (1,75; 1,75; 5,25; 5,25) (5; 4; 3; 5) - 116 2.3.2.3
5 (1,75; 5,25; 1,75; 1,75) (6; 5; 2; 3) - 111 2.3.2.3
6 (1,75; 5,25; 1,75; 5,25) (5; 5; 2; 5) - 109 2.3.2.3
7 (1,75; 5,25; 5,25; 1,75) (6; 5; 3; 3) - 114 2.3.2.3
8 (1,75; 5,25; 5,25; 5,25) (5; 5; 4; 5) - 110 2.3.2.3
9 (5,25; 1,75; 1,75; 1,75) (7; 5; 3; 3) - 17 2.3.2.1
10 (5,25; 1,75; 1,75; 5,25) (7; 6; 3; 3) + 18 2.3.2.1
11 (5,25; 1,75; 5,25; 1,75) (8; 5; 3; 3) - 126 2.3.2.3
12 (5,25; 1,75; 5,25; 5,25) (7; 5; 3; 4) - 125 2.3.2.3
13 (5,25; 5,25; 1,75; 1,75) (7; 5; 2; 3) - 6 2.3.2.1
14 (5,25; 5,25; 1,75; 5,25) (7; 5; 2; 4) + 6 2.3.2.1
15 (5,25; 5,25; 5,25; 1,75) (7; 6; 3; 3) + 10 2.3.2.1
16 (5,25; 5,25; 5,25; 5,25) (7; 6; 3; 3) + 10 2.3.2.1
Литература
1. Лапиков И.И., Никонов В.Г. Адаптивный алгоритм решений систем неравенств с к-значными неизвестными. // Труды Военно-космической академии им. А.Ф. Можайского. Вып. № 1. СПБ.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2016. С. 88-94
2. Хачиян Л.Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании // Докл. АН СССР. Т. 244, № 5, 1978. С. 1093-1096.
3. Балакин Г.В., Никонов В.Г. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений // Обзор прикл. промышленной матем. Сер. «Дискрет. матем.». Т. 1, № 3, 1994. С. 389-401.
4. Никонов Н.В., Рыбников К.К. Прикладные задачи, сводящиеся к анализу и решению систем линейных неравенств. Метод разделяющих плоскостей // Вестник МГУЛ «Лесной вестник», № 2 (22), 2002. С. 191-195.
5. Никонов В.Г., Никонов Н.В. Особенности пороговых представлений к-значных функций // Тр. по дискр. матем. Т. 11, 2008. С. 60-85.
6. Лапиков И.И. Применение полиэдрального метода для восстановления линейной рекурренты, реализованной линейным регистром сдвига с трехчленным законом обратной связи, по ее старшей координатной последовательности // Труды СПИИРАН, № 3 (58), 2018 (принята к печати).
7. Лапиков И.И. О возможности геометрического распараллеливания адаптивного алгоритма решения систем неравенств с к-знач-ными неизвестными на базе метода эллипсоидов Хачияна // Системы управления и информационные технологии. № 2, 2016. С. 14-19.
8. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 20, 1980.
9. Хачиян Л.Г. Сложность выпуклых задач вещественного и целочисленного полиномиального программирования: дисс. ... доктора физ.-мат. наук: 05.13.02. - Москва, 1983. 252 с.
