Корректность начально-краевой задачи для одной системы дифференциальных уравнений параболо-гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 3.1 (72.1)

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

март, 2020 г.

КОРРЕКТНОСТЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Жанбирова Гульмира Ариновна

ст. преп., Атырауский университет нефти и газа им. С. Утебаева,

Республика Казахстан, г. Атырау E-mail: [email protected]

Завьялова Галия Ислановна

ст. преп., Атырауский университет нефти и газа им. С. Утебаева,

Республика Казахстан, г. Атырау, E-mail: galiya- 75-10@bk. ru

Шабдиров Дарын Насипкалиевич

канд. физ.-мат. наук, профессор АУНГ, Атырауский университет нефти и газа им. С. Утебаева,

Республика Казахстан, г. Атырау E-mail: [email protected]

CORRECTNESS OF THE INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SINGLE SYSTEM OF PARABOLIC-HYPERBOLIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

Gulmira Zhanbirova

Senior lecturer, Atyrau University of Oil and Gas named after S. Utebayev,

The Republic of Kazakhstan, Atyrau

Galiya Zavyalova

Senior lecturer, Atyrau University of Oil and Gas named after S. Utebayev,

The Republic of Kazakhstan, Atyrau,

Daryn Shabdirov

Cand. Ph. D., Professor AUNG, Atyrau University of Oil and Gas named after S. Utebayev,

Republic of Kazakhstan, Atyrau,

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе методами теории дифференциальных уравнений исследуется начально-краевые задачи для одной системы составного типа, состоящей из системы параболического типа в одной области и системы гиперболического типа в другой области, имеющей с первой областью общую границу, и их асимптотические пределы (усредненные уравнения).

ABSTRACT

In this paper, the methods of the theory of differential equations are used to investigate initial boundary value problems for a composite system consisting of a parabolic system in one domain and a hyperbolic system in another domain that shares a boundary with the first domain, and their asymptotic limits (averaged equations).

Ключевые слова: системы параболического типа, гиперболическая система уравнений, усреднения дифференциальных уравнений, сходимости Нгуетсенга, математическое моделирование физических процессов в подземных грунтах.

Keywords: systems of parabolic type, hyperbolic system of equations, averaging of differential equations, Nguetseng convergence, mathematical modeling of physical processes in underground soils.

В области О I рассмотрим нелокальную (по времени) параболическую систему уравнений

Об определении вектор

функции

= (и+ ,....u+) . Если обозначить через ns тензор

£ д2и+ n a£ —= £

0

jkl=idxj

as.

д2и+

четвертого ранга с элементами a't

ijkl dtdx^

,то рассматрива-

емую систему уравнении можно записать в векторной форме

дх. i

n ди+Л

a £ я 1k=1 дхк

i = 1,...., n

д и+ dt2

(

■ = v-

Ns

1du_ ~öt

\

+ v[aiv-u+) (1)

Библиографическое описание: Жанбирова Г.А., Завьялова Г.И., Шабдиров Д.Н. Корректность начально-краевой задачи для одной системы дифференциальных уравнений параболо-гиперболического типа // Universum: Технические науки: электрон. научн. журн. 2020. № 3.1(72.1). URL: http://7universum.com/ru /tech/archive/item/9115

+

u

a

№ 3.1 (72.1)

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

март, 2020 г.

Будем предполагать, что

as0 = as0(x), Ns = Ns (x), a = a (x)

Аналогично, в области О ' рассмотрим гиперболическую систему уравнений

д

s д2и n

bs-L = у

0 dt2 jk,l=1dxj

i = 1,..., n

du- л bs —l-ijkl дх}

-blui ,

функции

об определении вектор и - = (и- ,....ип)

Если через М обозначить тензор четвертого ранга с элементами, ^ то данную систему уравнений можно записать в векторной форме

bSd2U- = V-í Ms:(Vu-)j-bxu

0 дг2

Как и выше предполагаем, что

Ь® = Ь0 (х), М" = М"( х), Ь = Ь1 (х)

(2)

(3)

На общей границе Г" областей О' и О " при выполнены условия согласования

u+(х,t) = u (x,t)

,du+

Ns:Vd^+Ja]V-u+'jl|-n = (Ms :Vu-)-n (4)

В (4) п - вектор к единичной нормали к границе Г", а I - единичная матрица (шаровой тензор).

Задача замыкается однородными граничными условиями на внешней границе 5 = д О и однородными начальными условиями. Если ввести обозначения

и = и+ при х еО®, и = и- при х еО£,

то эти условия примут вид

и(х,г) = 0, хе5, г > 0 (5) и (х,0 ) = и0 (х), ди (х,0 ) = 0, х еО

Нас будет интересовать поведение решений системы уравнений (1)-(5) при " ^ 0. Очевидно, что это поведение будет существенно зависеть от пове-

№(х) и М"(х)

дения тензоров четвертого ранга и скалярных функций

Пусть равномерно по всем x

lim< (x) = 0, \imbeü (x) = О,

s^O е->0

limMs (x ) = £b (x) M,

(7)

limNs (x) = 0, lim ~ Nss (x) = aa (x) N, (8)

s^O s^O s

N иМ

где - постоянные тензоры четвертого

ранга, функции а(х) и Ь(х) конечны при всех х еО

в и а

числа могут принимать значения из интервала

^ [2].

В настоящей работке мы исследуем случаи, когда

ß = &, 0 <a <ж 0 <ß<x>

%s (x),

(9) ( 10)

Определение 1. Пусть у ( ' есть характеристи-

О" у" (х) = 1

ческая функция области + в то есть Л 4 ' при

хеО" у"(х) = 0 _ хеО" ,

+ и при -. Тогда функция

и е L,((0,T);W'(Q))

такая, что

ди

,du%

iL2Q), ysV(—) е L(Q)

dt dt

называется обобщенным решением начально-краевой задачи (3)-(6) для системы дифференциальных уравнений (1)-(2), если выполнено интегральное тождество

I (-с'д^ + : У дг) + Ч(У-и) П): Уф +

1ат дг дг дг

+(1 -у ")(М " : Уи): Уф + и ■ф))dхdt = 0

(16)

для всякой гладкой финитной в области ^ при

ф( х л ^

0<t<T функции т , равной нулю при t = T[3]. В (16) положено

c0(x) = Zs a0(x)+(1-^s )b„s (x)

Основным результатом является следующая Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1 и 2. Тогда у начально - краевой задачи (1) - (6) существует единственное обобщенное решение и такое, что

a® (x), as (x), bs (x) и b{ (x) при s ^ 0

№ 3.1 (72.1)

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

март, 2020 г.

L (<

ди_ ~dt

+у

,ди_ ~dt

(17)

ß | |2 | |2 +ß (1 -Z_)|Vm_| + \u_\ )dxdt < CM2

где постоянная C не зависит от малого параметра £ .

Следует отметить, что решение ^ начально - краевой задачи (1) - (6) для фиксированного m £ < 0 обладает разными дифференциальными свойствами в области О£ и области О£ . Поэтому центральным моментом здесь является продолжение решения ^ из области О£ в область О£ и наоборот. Мы воспользуемся результатом, доказанным в работе [1]:

существует функция w£ е (Ог), такая, что ее сужение на подобласть О£ совпадает с ие , т.е.

Тогда при £ —^ 0последовательности | ы£^ и

| и£| решений начально- краевой задачи (1)-(6) сходятся (с точностью до подпоследовательностей) слабо в пространстве Ь2 (От) к функциям ы (х, t) и и (х, г) соответственно. При этом предельные функции ы (х, t) и и (х, г) удовлетворяют усредненной системе дифференциальных уравнений

ди ¥

aa(x)

C -Vv,

ЁИ = -a (x) V - — ai(X)V '

(18)

(19)

(1 - (x))(w_ (x, l) - u_(x, l) = 0 , (x, l) еПт

При этом справедливы оценки

\\w_ < C\\u_\\ , \\Vw_ < C \Vu_\\ II ll2,QT II 112,П_ II ll2,QT II Il2,n_

в которой постоянная С зависит только от геометрии ячейки Y и не зависит от £.

Аналогично, существует функция у£ е W1,0(От) такая, что ее сужение на подобласть О£ совпадает с

ди_ dt

т.е.

ды£

(1 - (х))(у£ (х, г) - — (х, г) = 0, (х, г) е Ог д1

При этом справедливы оценки

< C

ди _ ~öt

\\Vv_

< C

ди _ dt

однородному краевому условию

ди

--n = 0 .

дt

(20)

на границе 5 = дО с внешнейединичной нормалью п и начальному условию

у( х,0) = V (х) = -а (х)У- ы0 (х), х еО (21)

В формуле (18) симметричная матрица С(х) строго положительно определена и задается формулой

n

C( x) = £ V(*) К® ек

(22)

где е^ к=1,...,п - стандартный базис декартовой системы координат, а функции У®(у), к=1,...,п eсть решения следующей периодической краевой задачи

Vу - (N: V V(к)) -VvÖ(i) = ^

(23)

Показывается, что при _ ^0 последователь-

ность

!"*) (и-

{и } СХОДИТСЯ (с точностью до подио-

следовательности) слабо в пространстве

Ь2(ПТ),

м

функции и, а последовательность 4 ', где у£ =-с (х)У- ы£

сходится слабо и двухмасштабно в пространстве

Ь (О) л. и (х, г)

2 т к функции 4 у

Основным результатом является

Теорема 2. Пусть выполнены предположения 1 и

2 и

0 < а < да, ß = да

V -V(к) = 0 , y е Y, V(k)\ = 0

(24)

Исследуется предельный случай 0 < /3 < да. В этом случае показывается, что при £ — 0 последовательность | ы£| сходится (с точностью до подпоследовательности) слабо в пространстве Ь (Ог) к функции ц последовательность | и£| сходится слабо и двухмасштабно в пространстве Ь (Ог) к функции и (х, г), а последовательность продолжений { W £|

сходится слабо в W1'0(Оr) к функции w. Основной

результат главы формулируется в следующих утверждениях

Теорема 3. Пусть выполнены предположения 1 и

2 и

2,Q

2,Q

г

г

2,Q

2,Q

№ 3.1 (72.1)

UNIVERSUM:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

март, 2020 г.

0 < а < <», 0 < в < <».

Тогда при " ^ 0 последовательность | и" | и

| и" | решений начально- краевой задачи (1) - (6)

сходятся (с точностью до последовательностей), слабо в пространстве Ь2 (Ог) к функциям и (х, г) и и (х, г) соответственно, а последовательность продолжений | Ж" ] сходится слабо в Ж2'0(О) к функции w(х, г). При этом предельный функции и (х, г) и и (х, г) и w(х, г) удовлетворяют усредненной системе дифференциальных уравнений

V ■ (вЬ(х)Х0 : V™ + Цу) - тЬ (х)™ = 0 , (25) и = и0 (х) + т™ - С(х) ■ | Уу(х, т)й?т , (26) а(х)у + и + Ц(х): V™ = 0, (27)

и однородным краевым условиям

™ = 0, и ■ п = 0, (28)

5 = дО

на границе с внешней единичнои норма-

лью п.

В уравнениях (25) - (27)

m = jrZ( y)dy с( x) = ma( x) + (1 -

m)b(x),

тензор четвертого ранга N, матрицы D0 (x) и

D1(x) и скалярная функция лами

d ( x)

задаются форму-

X = M + /£ V^ W(kJ) ® (M: II(k,j))\Y :(VW

k ,j

D0 = — M:(VrW(0))Y_

(29)

(30)

d (x) =

-iV-W(0ЛY .

I \ y I

а (х) твЬ(хУ у ' - (32)

где функции Ж ' (у)' ^ = 1'.. п' Ж (у) есть решения следующих периодических краевых задач

V

•((1-x(y))(M: (Vyw(kj)) + II(k,j))) = 0, y e Y, j W(k J )dy = 0

V, •((1-

((1-x(y))(M : (VyW(0)) + II)) = 0,

y e Y, j W(0) dy = 0

(33)

(34)

2 и

Теорема 4. Пусть выполнены предположения 1 и

a = х>, 0 <ß <х>.

{ u*}

' ТЛ

Тогда при

* ^ 0

последовательности

И

решений начально - краевой задачи (1)-(6) сходятся (с точностью до подпоследовательностей)

г Ь (О) л. х, г)

слабо в пространстве 24 Т' к функциям 4 ' и

и(х, г) соответственно. При этом последователь-

и ( х, г)

ность

Ь (О) « л. х, г)

стве 2 Т к той же самой функции

сходится двухмасштабно в простран-

t). { W'}t

Последовательность продолжений

' схо-

дится слабо в

W1,0( о,)

к функции

w(x, t)

. Предель-

ные функции w(x, t) и и(x, t) удовлетворяют уравнению (25), уравнению

d (x) и + V • w + D (x) V = 0,

и однородному краевому условию w = 0.

(35)

(36)

-D = II + X (Vy • W(kJ))Y-(M: II(k, j)), 5 = dO

y / (31) на границе .

Список литературы:

1. Мейрманов А.М. Задача Стефана. - Новосибирск: Наука, 1986.-239 с.

2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М: Наука, 1967, - 736 с.

3. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. - М: Мир, 1968, - 427 с.

4. Акилов Г.П., Канторович Л.В. Функциональный анализ. -М: Наука 1984, - 750 с.

5. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск: Наука, 1983 - 319 с.