Конвективный теплообмен в круглой трубе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.1.016.4

Н. С. Казанцева, Н. Х. Зиннатуллин

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В КРУГЛОЙ ТРУБЕ

Ключевые слова: гидродинамический и тепловой пограничные слои, режимы течения, коэффициент теплоотдачи,

физическое моделирование, критерий Нуссельта.

Рассмотрена теплоотдача при ламинарном и турбулентном движении теплоносителя. Представлены зависимости для расчета критерия Нуссельта, полученные теоретически и методом физического моделирования. Предлагается уточнение критериального уравнения.

Keywords: hydrodynamic and thermal boundary layers, current modes, heat-transfer coefficient, physical model operation, Nusselt's

criterion.

The thermolysis is considered at laminar and heat carrier eddy. Dependences for calculation of criterion of Nusselt, received theoretically and a method of physical model operation are presented. Specification of the criteria equation is offered.

В химической технологии и энергетике для перемещения теплоносителей применяются в основном трубопроводы круглого сечения. При этом реализуется ламинарный или турбулентный режимы течения теплоносителей [1-2].

1. Теплоотдача при ламинарном течении теплоносителя

При движении потока жидкости в трубе образуются гидродинамический и тепловой начальные участки Ьг и Ьт. Начальные участки заканчиваются тогда, когда пограничные слои полностью заполнят всё сечение трубы. С этого момента начинаются гидродинамические и тепловые стабилизированные участки.

Математическая модель начального участка теплообмена состоит из уравнений движений, энергии и соответствующих граничных условий. Эта модель была реализована такими видными исследователями, как Гретц и Нуссельт, Лауверьер и Лейбен-зон, Кутателадзе и Лыков и другими [3-6]. Задачу в наиболее сложной постановке решил Л.С. Лейбензон: он учел в правой части уравнения Фурье-Кирхгофа и диссипативный член, и член учитывающий прирост продольного потока тепла теплопроводностью.

Результаты решений соответствующих уравнений при тепловых граничных условиях первого рода (Тст = const) для длины участка термической стабилизации (начальный участок) можно представить следующим образом:

— = A-Re, — = A-Re-Pr, (1)

d d

где d - диаметр трубопровода, Re - критерий Рейнольдса, Pr - критерий Прандтля. Значение множителя А меняется от 0,03 до 0,065 в зависимости от принятых методов приближенного решения уравнений. Для жидкостей Pr>1, поэтому тепловой пограничный слой будет находиться внутри гидродинамического. Это обстоятельство позволило упростить математическую модель начального участка теплообмена. Считать, что жидкость поступает в трубу с развитым параболическим профилем скорости. Для локального и среднего числа Нуссельта были получены формулы:

= (2)

FE = "=1,55<£-£r=, (3)

где а - коэффициент теплоотдачи, X - коэффициент

молекулярной теплопроводности, Ре - критерий

,1 it..

Пекле. Формула (2) в области ' —J<0,01 хорошо

описывает результаты точного решения, записанного в виде бесконечных рядов, и её можно использовать как интерполяционное выражение. Как видно из формулы (2) на начальном термическом участке локальное значение Nu уменьшается по мере удаления от входа. Вдали от входа (Ь>Ьт) локальное и среднее значение критерия Нуссельта стремятся к 3,66. Следовательно, стабилизированный теплообмен для потока жидкости, обладающей неизменными теплофизическими свойствами, при тепловых граничных условиях первого рода характеризуется постоянным значением критерия Нуссельта: Nu=3,66. А для тепловых граничных условий второго рода (тепловой поток q = const) получено Nu=4,36.

В работе [7] приведен анализ работ, выполненных с учетом зависимости вязкости жидкости от температуры. В одних работах учитывалось изменение температуры потока жидкости только по длине трубы, в других задача решалась без учета инерционных членов уравнения движения в предположении, что распределение температуры в потоке сохраняется таким же, как при постоянной вязкости.

Б.С. Петухов исследовал гидродинамический и тепловой начальные участки, принимая зависимость вязкости жидкости от температуры в следующем виде:

- = А0 + АД + А2Т2 + ... +АПТП. (4)

При решении уравнений гидродинамического и теплового пограничных слоев был использован метод интегральных соотношений Кармана-Польгаузена. Приближенное решение этих уравнений при тепловых граничных условиях первого рода

позволило получить для критерия Нуссельта следующее выражение:

Ыи =

(5)

где

к = = -

безразмерная толщина теплового

пограничного слоя, 5т - толщина теплового пограничного слоя, - радиус трубы.

Необходимо отметить, что формула (5) была для получена для случая, когда 5Т<<К0. Поэтому по формуле (5) нельзя определить значение критерия Нуссельта для участка

стабилизированного теплообмена. Как указано в работе [8], в случае учета зависимости вязкости от температуры уменьшение числа № происходит и в области тепловой стабилизации, хотя и гораздо слабее, чем на термически начальном участке. При — : - число Ки стремится к своему предельному значению Ки=3,66.

Аналогичные результаты получены и для тепловых граничных условий второго рода. Неизо-термичность процесса может быть учтена введением в изотермическое решение поправочного комплекса ет. Витакер для критерия Нуссельта с учетом £Т получил следующую формулу:

гидродинамического пограничных слоев совпадают и растут гораздо быстрее, чем в ламинарном.

Для решения этой задачи необходимо располагать данными по профилю скорости для всех зон (ламинарный подслой, пристенная область, турбулентное ядро), турбулентной вязкости и числу Рг. Уравнение энергии, записанное в приближении пограничного слоя, решалось различными приближенными методами. Этим объясняется существование различных формул для определения критерия Нуссельта.

С.С. Кутателадзе для двухслойной модели -ламинарный подслой-турбулентное ядро - была получена следующая формула [3]:

АГы = 0,1

(8)

справедливая для газов и жидкостей при Рг<5. Здесь 4 - коэффициент гидравлического сопротивления. Им же в работе [9] для расчета Ки в области Рг>200 была предложена формула:

В работе [3] приводятся формулы Рибо 1Чи = Рс-

» -Г1

(9)

(10)

Ыи

(6)

где £т

кОЛ.4

= £—) , [Л,ф и [Л,ст - соответственно ^ст

коэффициенты динамической вязкости среды при температуре потока и стенки.

При расчете длинных труб влияние начального теплового участка на среднее значение критерия Нуссельта при Тст = constможно учитывать по формуле А.И.Разинова [6]:

Ыи

(7)

Как видно из формулы (7) при Ь>>ЬТ значение Ки стремится к 3,66

2. Теплоотдача при турбулентном течении теплоносителя

Процессы переноса энергии и количества движения в ядре турбулентного потока протекают с большой скоростью. Поэтому определяющую роль играют явления переноса в пограничном слое: именно там сосредоточено основное термическое сопротивление процесса.

На входе жидкости в трубу образуется ламинарный гидродинамический, далее

турбулентный пограничный слой с вязким подслоем. На начальном участке турбулентный режим движения жидкости всегда сочетается с ламинарным. Это обстоятельство усложняет и без того непростую задачу анализа турбулентного переноса субстанций. В развитом турбулентном пограничном слое толщины теплового и

-1

, (11)

и Б.С. Петухова и В.В. Кириллова

Ыи = £ ■ РгЙе [з&Д (рг! - 1) + 0,5

справедливые в области 0,7<Рг<200.

Б.С. Петуховым в работе [10] была получена для расчета Ки усовершенствованная

формула в виде:

Ыи = - РгЕе

в

где к^) = 1+3,4?, к2(Рг) = 11,7+1,8Ргз, $ =

0,11 Л ~ шероховатость внутренней

поверхности трубы.

Однако, в вышеприведенных формулах не учитывается неизотермичность процесса, т.е. изменение вязкости теплоносителя от температуры. Неизотермичность процесса может быть учтена введением в формулу по определению Ки комплекса

г-^;:--. Показатель

степени

зависит от

направления потока тепла: при охлаждении теплоносителя п=0,25, при нагревании - п=0,11.

Вышеприведенные формулы (8-12) справедливы для участка стабилизированного теплообмена. Повышенную теплоотдачу на термически начальном участке трубы можно учитывать введением в расчетные формулы поправочного коэффициента £ь. Длины участков термической и гидродинамической стабилизации небольшие и примерно равны ЬГ = ЬТ ~ 15 [6].

п

Однако, их влияние на процесс, как показано экспериментальными исследованиями

ИГ.Аладьева [10], достигает до - = 50.

й

1-

Таблица 1 - Поправка '¿\, = /(-, Ке) на термически

начальный участок при турбулентном течении теплоносителя в трубах

Яе £ <2

1 2 5 10 15 20 30 40 50

1104 1,65 1,50 1,34 1,23 1,17 1,13 1,07 1,03 1

2-104 1,51 1,40 1,27 1,18 1,13 1,10 1,05 1,02 1

5104 1,34 1,27 1,18 1,13 1,10 1,08 1,04 1,02 1

1105 1,28 1,22 1,15 1,10 1,08 1,06 1,03 1,02 1

1106 1,14 1,11 1,08 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1

3. Физическое моделирование процесса

Наряду с теоретическими решениями задачи конвективного теплообмена в круглой трубе было выполнено физическое моделирование процесса [6,11-13]. Теоретические решения были приближенными, поэтому они не всегда отражали реальную картину происходящих процессов.

Анализ экспериментальных работ конвективного теплообмена при турбулентном движении теплоносителя в трубах приведен в работе [14]. Вид критериального уравнения определяется из положений теории подобия, а необходимые коэффициенты уравнения - из эксперимента. Диттиус и Болтер предложили критериальное уравнение в виде[15]:

1Чи = 0,023Кв°-3Рг°-4. (13)

Эта формула может быть использована при 0,5<Рг<25 и не очень высоких Яе. Формула (13) не учитывает влияния на расчеты термически начального участка. При высоких Яе и Рг рассчитанный коэффициент теплоотдачи а может отличаться от действительного на 30% и более.

Для полностью стабилизированного потока критерий Нуссельта определяется по формуле М.А. Михеева [16]:

1Ми = 0,021 Еес*Ргмз ■ Еь. (14)

Здесь Ргср, Ргст - соответственно критерии Прандтля при температуре потока теплоносителя и стенки трубопровода. Формула выполняется при

104<Яе<105 и 0,5<Рг<200.

Д.А. Самсоновым получено уточненное критериальное уравнение теплоотдачи при течении пара в трубе путем экспериментальных исследований с использованием эталонного датчика плотности теплового потока, имеющего погрешность не более 1,5% [17-18]:

ь*"- , (15)

где показатель степени п меняется от 0,79 до 0,82.

Таблица 2

Яе10-4 2,5+4,5 4,5+20 20+35 35+40

п 0,79 0,80 0,81 0,82

Сравнение расчетных данных по Ки, полученных по критериальному уравнению Михеева (14) и теоретической зависимости Петухова (11) с экспериментальными данными Самсонова в диапазоне чисел Рейнольдса от 2,5-104 до 4-105 и при Рг =1 показали, что расхождения достигают до 20+30%.

Учитывая высокую метрологическую обеспеченность проведенных экспериментальных исследований, можно сказать, что формулы Михеева и Петухова нуждаются в некоторой корректировке.

Рассмотрим более подробно физическое моделирование. Необходимым условием процессов переноса теплоты является соблюдение гидродинамического и геометрического подобий [13]. Тогда общее критериальное уравнение теплоотдачи будет иметь вид:

^(Ро, Ыи, Ре, Но , Рг, Еи, Яе, Г) = 0, (16)

где Бо - критерий Фурье, Но - критерий гомохронности, Бг - критерий Фруда, Еи - критерий Эйлера, Г;- геометрические симплексы (1=1, 2...).

Определяемым критерием в данном случае является критерий Ки:

Ыи = ф(Ро, Ре, Но, Рг, Еи, Яе, Г) (17)

Для случая, когда тепловые и гидромеханические процессы стационарные и жидкость течет по горизонтальной трубе круглого сечения, получим:

Ыи =ф(Ре, Еи, Яе, (18)

В известных формулах Диттиуса-Болтера и Михеева в общее критериальное уравнение критерий Эйлера Еи не входит. Предполагается, что имеется однозначная связь между критериями Еи и Яе в виде Еи=Г(Яе). Между тем, для этого случая связь между критериями Еи и Яе имеет вид:

Еи= ЯКе, -)■ (!9)

с с

Из опыта известно, что критерий Еи прямо £

пропорционально зависит от - поэтому:

с

Еи=^е, (20)

В диапазоне чисел Рейнольдса 15^<Яе<300-

й л

связь между симплексом - и коэффициентом

гидравлического сопротивления 4 определяется по формуле Альтшуля:

а в диапазоне Яе>300- по формуле Шиф-ринсона:

5=0,1. (22)

Поэтому критериальная зависимость (18) должна быть преобразована к виду

Nu = ф(Рг, Re, О (23)

Влияние на процесс переноса теплоты термически начального участка учитывается поправочным коэффициентом sL, а

неизотермичность - комплексом —Lj

В формуле Петухова (12) коэффициент гидравлического сопротивления £ присутствует.

Литература

1. К.А. Журавлева, А.А. Назаров, С.И. Поникаров. Вестник Казанского технологического уни-верситета, т.15, 23, 36-38(2012);

2. Н.Х. Зиннатуллин, Р.Ф.Исмагилова, А.И.Гурьяов, А.А. Синявин Вестник Казанского технологического университета, т.15, 2, 62-66 (2012);

3. С.С. Кутателадзе Основы теории теплообмена. Атомизвест, М., 1979. - 456с;

4. А.А. Померанцев Курс лекций по теории тепломассообмена. Высш.школа, Москва, 1965. - 350с;

5. А.В. Лыков. Тепломассообмен. Энергия, М., 1978. -480с;

6. А.И. Разинов, О.В. Маминов, Г.С. Дьяконов Теоретические основы процессов химической технологии. Издательство КГТУ, Казань, 2005. - 362с;

7. Б.С. Петухов Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. Энергия, М., 1967. - 412с;

8. Янг Ванцзу Теплопередача (русский перевод) Trans, ASME, Ser.C, 4, 95-105, 1962;

9. С.С. Кутателадзе Теплопередача и гидродин-мическое сопротивление. Справочник. Энергоатом-издат, М., 1990. - 420с;

10. Б.С. Петухов Теплоэнергетика, 4, 63-69, 1985.

11. О.Н. Брюханов, С.Н. Шевченко Тепломассообмен. Изд-во АСВ, М., 2005. - 460с;

12. Ф.Ф.Цветков, Б.А.Григорьев Тепломассообмен. Изд.дом МЭИ, М., 2006. - 550с;

13. Ю.И.Дытнерский Процессы и аппараты химической технологии. Химия, М., 1995. - 400с.

14. Д.А. Самсонов Диссертация кандидата технических наук. КГЭУ, Казань, 2012. - 130с;

15. И.С. Коченов, С.И. Коченов Теплоэнергетика, 10, 2227, 1992;

16. М.А. Михеев Основы теплопередачи. Энергия, М., 1973. - 370с;

17. Л.М. Дыскин, Д.А. Самсонов, Приволжский научный журнал, 1, 81-84, 2012;

18. Л.М. Дыскин, Д.А. Самсонов, Промышленная энергетика, 5, 20-22, 2011.

© Н. С. Казанцева - студ. КГЭУ, kns1993@mail.ru; Н. Х. Зиннатуллин - д-р техн. наук, проф. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ.