Конвективный теплообмен в каналах с переменным поперечным сечением Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1992-6502 (P ri nt)_

2016. Т. 20, № 3 (73). С. 58-64

Ъьомшь QjrAQnQj

ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru

УДК 536.24

Конвективный теплообмен в каналах с переменным поперечным сечением

и. с. Елисеев 1, н. м. Цирельман 2

1 at-t@ugatu.ac.ru, 2 at-t@ugatu.ac.ru ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)

Поступила в редакцию 26.10.2016.

Аннотация. Для линейных задач конвективного теплообмена с переменными теплофизическими свойствами движущейся среды, скоростью потока, параметрами граничных условий, мощностью объемного тепловыделения и переменными в направлении течения формой и площадью поперечного сечения канала при симметризации закона ее изменения в направлении течения здесь получен функционал свертки. С его использованием построены формулы для приближенного аналитического определения температурных полей. В качестве примера описано нахождение температурных полей в плоском и круглом каналах.

Ключевые слова: конвекция; теплоотдача; канал; математическая модель; симметризация закона изменения площади поперечного сечения; функционал типа свертки; уравнения Эйлера; приближенные решения.

ВВЕДЕНИЕ

Получение решений краевых задач конвективного теплообмена в каналах с изменяющимися в направлении течения 0х формой и площадью поперечного сечения (в нецилиндрических областях) встречает значительные трудности, и оно принципиально отличается от хорошо изученного определения температурных полей в каналах с постоянными формой и площадью поперечного сечения (в цилиндрических областях) [1-8]. Вследствие зависимости характеристического размера области переноса теплоты от ее расстояния в направлении течения жидкости (газа) потока к этому типу задач могли бы быть применены лишь специальные методы исследования, показанные для процесса нестационарной теплопроводности в твердых телах с подвижной внешней границей в работах, например, [9-13]. Решать задачи конвективного теплообмена с использованием функционала свертки можно и не «выпрямляя» нецилиндрическую область в цилиндрическую, как это было показано авторами в [14], а применив операцию симметризации закона изменения площади поперечного сечения по длине канала.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В КАНАЛАХ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОЩАДЬЮ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Покажем эффективность метода применительно к нахождению температурных полей в плоском (т=1) и круглом (т=2) каналах для граничных условий первого, второго и третьего рода.

Математическая модель изучаемого процесса включает в себя:

- уравнение конвективного теплообмена относительно искомой температуры Т {у, х)

уm—1(w • gradXc(у, х) Т) =

ду

У, х )уm

_! дТ_

ду

+ qv(у,х)у

m — 1

о < у < ъ(х\ х > о, ,w);

(i)

- распределение температуры во входном сечении канала

Т{у,0) = Теп {у), у е {0,¿{0)); (2)

- условия на внешней границе канала у = Ь(х), когда на ней заданы

а) температура TW (х)

Т{ь{х), х) = TW (х), х > 0, (3i)

б) или плотность теплового потока q^ (х)

- Ць(х),

х), х)

f

5у

= qw (х), х > 0, (3ii)

У = ь(х)

в) или интенсивность внешней теплоотдачи а(х) и температура среды, омывающей канал снаружи Ту (х)

- Ь(Ь(х)

х), х )

f

5у

У

=Ь(х)=

= а(х)[т(Ь(х), х)- Tf (х)J, х > 0, (3Ш)

V

- условие симметрии температурного поля

дТ

су

У = 0

= 0, х > 0.

(4)

В приведенных выше формулах обозначены: w - вектор скорости потока, С и X - объемная теплоемкость и теплопроводность среды, ^ - мощность источника объемного тепловыделения, Ь(х) - полутолщина плоского (т=1) или внешний радиус круглого (т=2) каналов, а индексы I, II, III здесь и в дальнейшем относятся к граничным условиям первого, второго и третьего рода.

С учетом того, что вектор скорости w имеет проекции wi и W2 на оси 0х и 0у, уравнение энергии Фурье-Кирхгофа преобразуется к виду

д

д

(

дТ

\

+

д/Т) = f f2дТ

дх ду ^ ду _

+ /здТ + fT + f5 (У, х), ду

гДе fi = f2 x) = Уm—x^

(1')

,m—1

f3 =—W2C1,f4 = w'xCi — W2Cу • ym fs (У, x) = qv (У, x )ym—1, C1 = C(у, х )у m—1

Для приведения граничных условий (З1), (3п), (3ш) на внешней поверхности канала к однородным используем линейные подстановки = и(

2

Т (у,х) = и(у,х)+Tw (х), (5i)

Т (у, х ) = и(у, х )— у 2qw (х )/(2X (ь(х), х)ь(х )), (5П) Т(у, х) = и(у, х) + Тг(х), х > 0 . (5ш)

Тогда относительно искомой функции и(у, х) получаем уравнение процесса

-|[f' "]4

дх ду

ди J 2 Т-

ду

+ f3U' у + f4U + Qv(У, x),

0 < у < Ь(х), х > 0

(1")

с входным условием на интервале у е (0,b(0))

u(y,0) = Ten (у)-Tw (0), (2'i)

u(y,0) = Ten (у)+ у^ (0)/(2X(b(0),0)b(0)), (2'n)

u(y,0) = Ten (у)-Tf (0) (2'iii)

и с граничными условиями в у = b(x) и в у = 0 для х > 0 в виде

u(b(x), х ) = 0, (5'i)

ды

ду

= 0,

(5'ii)

— Xj (Ь(х), х

ду

у = Ь(х)

= а1(х)и(Ь(х), х), (5'ш)

у = Ь(х)

ди ду

у = 0

= 0, х > 0 .

(4')

Заметим, что в

um—1f

(5' iii) имеем ( x) = bm-1( x)a( x) .

В уравнении (1") модифицированная мощность источника объемного тепловыделения Qv (у,х) для граничных условий первого, второго и третьего рода соответственно такова:

QV \у, х)= qv (у, х )уm-1 - f (у, x)TW (х)- fu (у, х)Tw (х)+fTw, (61) Q^ )(у, х)= qv (у, х)у m-1 -qw(х) д

+

Х(Ь(х), х )• Ь(х ) ду

/1 (у, х)у2 Г qw (х)

[у/2(У, х )J

2X (Ь(х), х )Ь( x)

+

+

+ fu

у qw (х

(х )

2Х(Ь(х), х)Ь(x) '

(6 11)

Q^)(у, х )= qv (у, х )у m—1 — f1 (у, х)Т'(х) —

— firf (х)+ ^/4 Тj . (6iii)

Умножая почленно (1") на множитель

ц = exp

Jf2 KV.

приводим уравнение про-

цесса к дивергентному виду

~[/би(У,х)] = ^[/1и'у]+/8и + / , (1"')

дх ду

в котором

/6 = H/1, /1 = Н/2, /8 = Р'хА + Н/4,

/9 (У, Х) ,

причем условие (5ш) можно представить в виде

чди = Рг (х)и(ь(х), х),

У=Ь(х)

— f7 (Ь(x )> x)

ду

где

р2 (x) = «1( x^^x), x).

2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССА

Построить точные аналитические решения задачи (1)-(4) из-за сложностей математического характера не представляется возможным. Поэтому рассматривается построение приближенных решений вида

х

Дх)=&г (х)1,{х).

(7)

(=1

Такой подход предложен, например, в известной монографии [1]. В формуле (7) рассматриваются координатные функции хг- {у, х), удовлетворяющие однородным граничным условиям

= уг+1 - Ь'+1 (х), (8:)

Х(1П) = 1, Х™ = (' + 1)Ь(х)у' - У+1, ' = 2,3,... (8П) ХГ =а( х) У+1 -- Ь' (х)[а( х)Ь( х) + Х{Ь( х), х)(' +1)]. (8Ш) Функции У', {х) находим из условия обращения в нуль вариации функционала типа свертки, предварительно симметризовав функции Х {у, х) относительно Х/2 на промежутке (0Х) по правилу

[Х' (У, х), 0 < х < х/2, [Х' {У, X - х), X/2 < х < X.

При этом область ограниченная ха-

рактеристиками х = 0 и х = Х/2 и поверхностью 5 {х), дополняется до области 01{х), ограниченной характеристиками х = 0 и х = Х и поверхностью ^ {х), которая симметризована на уровне х = Х/2 относительно ^{х) (рис. 1).

/ (х)

Х' (У, х) = -

\

Х/2

X х

Рис. 1. График функции / (х), симметризованной относительно прямой х = Х/2

Введем в рассмотрение свертки двух видов:

а) для функций одной переменной

X

^ * в{х) = | ^(х)в(х - х^х, 0

б) для функций двух переменных

(^ * в){х ) = |

Ь (х)

| ^(у, х)0{у, х - х)йУ

dx.

Для уравнения (1"') с входными условиями и(у,0) = иеп (у) , определенными согласно (2'1)-(2''ш), и с граничными условиями (5':)-(5'ш), (4') соответствующие функционалы, экстремалями которых являются решения поставленной задачи в случае монотонного возрастания и кусочной гладкости 5(х) , имеют вид:

3(1) = 3(П) - 2/7(Ь (х),х)и'у(Ь (х),х) * и(Ь (х),х) ,

г(п) 7 ди ^ ди з(п) = /7© д_+

ду ду

1

+ /б< +т/б>-/8М-2/9 © " +

Ь(0)

+

|/б(у,0)[и(у,0) - 2иеп (у)]и(у,х^у

1 и{Ь (х),х)/б{ь (х),х)* и{Ь (х),хЬ'(х), (9)

ди _ ди —

3(111) = /7 ди + р2 {х)и{Ь(х),х) * и{Ь(х),х)

ду ду

+

Ь(0)

+

|/б (у,0)[и(у,0) - 2иеп (у)]и{у, х^у + /б,<® и + {Ц2/~Хи®и)

+

- {/8и + 2/9 ) © и - 1 и{Ь(х), х)/б {Ь(х), х) *

* и{Ь(х),х¿(х) . (10)

Процедура перехода от краевой задачи (1)-(4) к ее вариационной постановке с использованием функционала свертки показана нами в ряде работ [например, 15].

Рассмотрев п-е приближение для случая граничных условий третьего рода на границе у=Ь(х), в (7) имеем

Х' ^ х)=а(х)+Ь (х) у+&(х) у'+1,

' = 1,2,..., (11)

где а

(х) = -Ь' (х)[^{Ь( х) , х)('' +1) + а( х)Ь( х)],

Ь (х) = 0, 8г(х) = а(х) .

При этом обращение в нуль первой вариации функционала (5к/1П)=0) означает, что функция и(у,х) при х е{0,х)\ {х /2} удовлетворяет уравнению

{/би)'

би) х

с

/7 ^]- /8u{У, х)-

ду I ду

0

0

0

0

" /9 +

/б,х /б

6,х

и(У, х)

2

= 0

(12)

при условии во входном сечении канала

/б (у,0)[и(у,0) - иеп (у)]= 0, у е (0,Ь(0)), (13) условии симметрии (4') и приводимых ниже граничных условиях: (2"п) или (2"ш) для функционалов /П) или соответственно

2/1и'у\

у 1у=Ь( х)

/б (Ь (х), х)и(ь (х), х)> = 0,

Ь(х) - Ь'(х) /б(Ь (х),х)и(Ь(х),х)Ь(х) - Ь'(х)

(5"п)

- 2

I ди

1 ду

-Ри|

у=Ь( х )

у=Ь( х)

= 0

(5"ш)

С учетом свойств симметризованных при х е (0, X/2) функций, приводящих к равенствам

Ь(х) = Ь'(х) , /' = /б' , /б = /б, /1 = /1, /8 = /8, получаем уравнение исследуемого процесса

V" \f6u(У, х)] = ~ [/1иу ]+ /8и(У, х) + /9 (У, х), дх ду

0 < х < X/2, 0 < у < Ь(х) с условием во входном сечении канала

/б(у,0)[и(у,0)-иеп (у)]= 0, у е(0,Ь(0)), (13') с условием симметрии (4') и с граничными условиями (5'п) или (5'ш).

При этом условие (13') эквивалентно условию

и(у,0) = иеп (у), у е(0,Ь(0)), (14) если при у е (0;Ь(0)) имеет место неравенство м>1(у,0)С(у,0)Ф 0. (15)

Подставляя и1(у, х) = у1(х)х1(у, х) в уравнение (10), для граничных условий 111-го рода получаем для первого приближения относительно функции продольной координаты ^ уравнение

Лц(х№(х) = ап( хМ(х) + 4( х) (16) с начальным условием Ь(0)

V! (0) = | /б (У,0)иеп (У)Х1 (У,0)ёу / ^11(0) , (17) 0

в котором

Ь( х)

Аи( х) = | /б (у, х)^2 (у, х)ёу, 0

Ь( х)

4(х) = | /9 (у, х)%1 (у, х)ёу,

«11 (х) = {) /1 д^г] + [/8 (У, х) -

-/б',х(У,х)]^1(У, х) -/бХ1,х(У,х)\^У. При этом первое приближение для зависимой переменной и (у, х) получаем в виде

и1 (у,х) =

V (0) + }

А (х) а11(х)

ехр

,«11(П)

Ап(л)

ёц

ёх\х

х ехр|

•«11(х) ,Ап(х)

ёх

Х1(У, х).

(18)

3. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССА

В качестве примера приложения развитого здесь метода рассмотрим определение симметричного температурного поля в потоке жидкости (газа) в плоском канале при ширине 2 Ь0 входного сечения (при х = 0), среднерасходной скорости потока в нем w0 и проекциях вектора

скорости W на направление течения 0х и по нормали к нему 0у, равных

Ы ^ х) = ЩЬ0/Ь( х)

и

W2 (У, х) = W0Ь0Ь'(х)У/Ь2 (х) .

Нетрудно показать, что именно такое распределение скорости при постоянной плотности движущейся среды р удовлетворяет уравнению неразрывности потока

div W = 0

и уравнению движения идеальной (без трения) среды

р^ • grad)W = -gradр .

В последнем случае проекция градиента статического давления на направление 0х определяется по формуле

ф = PWo2ьo2 дх Ь3 (х)

(19)

Отметим также, что таким образом подобранные значения продольной составляющей скорости w1 соответствуют ее равномерному профилю в каждом поперечном сечении канала. Кроме того, пусть имеет место равномерное распределение во входном сечении канала тем-

0

0

пературы Т движущейся в нем среды с постоянной объемной теплоемкостью С при отсутствии источников объемного тепловыделения (^ = 0) и произвольной зависимости от координаты х коэффициента теплопроводности X = Х(х), постоянстве температуры Т^ со стороны среды, омывающей стенки канала снаружи, и при переменном коэффициенте теплоотдачи а( х).

Для примера формирования симметричного температурного поля в плоском канале (т=1, а=0) и скоростного профиля в нем, приведенного выше, установим вид функций

Хl, А1{х\ А{х), аи{х) и входное значение

У1(0) в формуле для Т(у, х) при постоянных значениях Теп, Т^, С, отсутствии источников

внутреннего тепловыделения (qv = 0) и X = Х(х), а = а(х) .

В этом случае для граничных условий третьего рода имеем

Х = а(х)у2 - Ь(х)[а(х)Ь(х) + 2Х(Ь(х),х)]. При этом в структуру щ (у, х) входят:

А1 {х) = 0, а = 0, =а( х), а = -Ь( х)[а( х)Ь( х) + 2Х(Ь( х), х)],

Ь( х)

Аи{х) = ^С | ехр{ку2 ){а12 + 2а^у2 + я2у4 )/у, >

Ь(х)

Ь( х)ехр{кЬ2)-2 | ехр {ку2 )у2 dy

0

- ^1С | {а1а1 + [а1ё1 + а1ё1 ]у2 + §1§1у4 }ехр(йу2,

ап = 2 ^Х( х)

Ь( х)

к = - С^0Ь0Ь'/{2ХЬ2).

в которых к =

Несводящиеся к элементарным функциям инте-

Ь(х) Ь(х)

гралы | ехр{ку2 )ау, | ехр {ку2 )у 2dy и

0 0

Ь(х)

| ехр {ку2 )у 4dy в формулах для А11(х) и а11(х)

0

могут быть вычислены с привлечением приводимых ниже формул соответственно:

Ь( х)4л

2л/-Е

ег^л/-Е при Е < 0,

- Ь( х)'Ч/л

2л/Ё

eгf {'ТЕ) при Е > 0,

Ь3 (х) Ь3 (х) л >—

——ехрЕ--—.--егы- Е при Е < 0,

2Е 4Е V Е

Ь3(х)

2Е

ехр Е +--1= eгf {'л/Е)

Л

при Е> 0

Ь (х)

4 Е2 Ь5 (х)

- ег^л/-Е + {2Е - 3)ехр Е

4Е

{2Е - 3)ехрЕ - 'eгf {'л/Е)

Е < 0,

Е > 0.

Здесь использованы: л/л '

2 х

функция eгf х = [ ехр{- ~2 ,

-/ТТ *

' - мнимая единица, Е = кЬ2 {х). Заметим, что в нашем случае Е =

- См>0\Ь' ( х) 2Х( х)

В работе [15] нами показано, что уже второе приближение к решению задач конвективного теплообмена в канале при использовании функционала типа свертки приводит к практическому совпадению с известными точными аналитическими решениями.

Кроме того, в нашей работе [16] доказана сходимость приближенных решений при использовании вариационного описания с функционалом свертки для аналогичного исследуемому процессу конвективного теплообмена в канале процесса нестационарной теплопроводности в пространстве квадратически интегрируемых функций и в пространстве непрерывных функций.

В заключение отметим, что развитый в настоящей работе метод расчета конвективного теплообмена может быть применен при наличии аналитических зависимостей для распределения скорости в каналах и иной известной формы их продольного сечения.

ВЫВОДЫ

В настоящей статье разработано и применено вариационное описание с функционалом типа свертки к определению температурных полей в движущейся среде в каналах с изменяющейся по направлению течения площадью поперечного сечения, когда мощность источников объемного тепловыделения и теплофизические свойства среды (объемная теплоемкость, коэффициент теплопроводности), а также параметры граничных условий произвольно зависят от координат. Тем самым расширен круг вопросов

и

0

теплофизической практики, при рассмотрении которых приходится сталкиваться с необходимостью решения уравнения Фурье-Кирхгофа (уравнения энергии) в нецилиндрических областях. При этом применение развитого вариационного описания с функционалом типа свертки для исследования конвективного теплообмена в каналах сложной формы основывалось на математической операции симметризации закона изменения площади поперечного сечения канала в направлении течения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беляев Н. М., Кочубей А. А., Рядно А. А. и др. Нестационарный теплообмен в трубах. Киев, Донецк: Вища школа, 1980. 160 с. [N. M. Belayev, A. A. Kochubey, A. A. Ray-dno, et al., Unsteady heat transfer in pipes, (in Russian), Kiev, Donetsk, Vishcha Shkola, 1980. 160 p.]

2. Кузнецов Ю. Н., Белоусов В. П. Построение расчетных формул для нестационарного теплообмена при турбулентном течении в трубе // Теплофизика высоких температур. 1972. Т. 10, № 1. С. 207-211. [Yu. N. Kuznetsov, V. P. Belousov, Building design formulas for unsteady heat transfer in turbulent pipe flow, (in Russian), in Teplofizika vysokih temperatur, vol.10. no.1, pp.207-211, 1972]

3. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. 415 с. [S. S. Kutateladze, Fundamentals of the theory of heat transfer (in Russian), Moscow: Atomizdat, 415 p., 1979.]

4. Петухов Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. М.: Энергия, 1967. 411 с. [B. S. Petuhov, Heat transfer and resistance in laminar flow in pipes, (in Russian), Moscow: Energia, 411 p., 1967.]

5. Петухов Б. С., Генин Л. Г., Ковалев С. А. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974. 404 с. [B. S. Petuhov, L. G. Genin, S. A. Kovalev, Heat transfer in nuclear power plants, (in Russian), Moscow: Atomizdat, 404 p., 1974.]

6. Тао Л. Н. Вариационный метод расчета теплоотдачи при вынужденном течении жидкости в трубах произвольного поперечного сечения // Достижения в области теплообмена. М.: Мир, 1970. С. 325-338. [L. N. Tao, Variational method for calculating heat transfer in forced flow of liquid in tubes of arbitrary cross section, (in Russian), Dostigenia v oblasti teploobmena, Moscow: Mir, pp.325-338, 1970.]

7. Ибрагимов М. Х., Субботин В. П., Бобков В. П. и др. Структура турбулентного потока и механизм теплообмена в каналах. М.: Атомиздат, 1978. 296 с. [M. H. Ibragimov, V. P. Subbotin, V. P. Bobkov, (in Russian), Structure and mechanism of turbulent flow in the heat exchange channels, Moscow: Atomizdat, 296 p., 1978.]

8. Мигай В. К. Теплообмен в треугольном канале при ламинарном течении // Инж.-физ. ж. 1958. № 7. С. 18-25. [V. K. Migay, Heat transfer in a triangular channel in laminar flow, (in Russian), in Ing.-fiz. zhurnal, no.7, pp.18-25, 1958.]

9. Карташов Э. М., Любов Б. Я. Аналитические методы решения краевых задач уравнения теплопроводности с движущимися границами // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974. № 6. С. 83-111. [E. M. Kartashov, B. Ya. Luybov, Analytical methods for solving boundary value problems of the heat equation with moving boundaries, (in

Russian), in Izv. AN SSSR, Energetika i transport, no. 6, pp. 83111, 1974.]

10. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с. [E. M. Kartashov, Analytical methods in the theory of heat conductivity of solid bodies, (in Russian), Moscow: Vysshaay shkola, 550 p., 2001.]

11. Карташов Э. М. Метод обобщенного интегрального преобразования при решении уравнения теплопроводности в области с подвижными границами // Инж.-физ. ж. 1987. Т. 52, № 3. С. 495-505. [E. M. Kartashov, Generalized integral transform method for solving the heat equation in domains with moving boundaries, (in Russian), in Ing.-fiz. zhurnal, vol. 52, no. 3, pp. 495-505, 1987.]

12. Янбулатов Д. М., Цирельман Н. М. Вариационное решение задачи теплопроводности для областей с подвижными границами // Инж.-физ. ж. 1974. Т. 26. № 4. С. 714-719. [D. M. Yanbulatov, N. M. Tsirelman, Variational solution of heat conduction problem for domains with moving boundaries, (in Russian), in Ing.-fiz. zhurnal, vol. 26, no. 4, pp. 714-719, 1974.]

13. Tsirelman N. M., Zhiber A. V. Solution of the unsteady-state heat conduction problem for a two-dimensional region with a moving boundary, in Int. J. Heat and Mass Transfer, vol. 30, no. 7, pp. 1259-1267, 1987.

14. Елисеев И.С., Цирельман Н.М., Конвективный теплообмен в каналах с переменным поперечным сечением// Вестник УГАТУ, 2015. Т.19. №3(69). С.132-138. [I. S. Eliseev, N.M. Tsirelman. Convective heat transfer in channels with variable cross-section (in Russian), in Vestnik UGATU zhurnal, Vol. 19, no.3(69), pp. 132-138, 2015.]

15. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962. 708 с. [L. V. Kantorovich, V. I. Krylov, Approximate methods of higher analysis, (in Russian), M.-L .: Fizmatgiz, 708 p.,1962.]

16. Цирельман Н. М. Сходимость приближенных решений при использовании вариационного описания процессов теплопроводности. Межвуз.научн. сб. «Вопросы рабочих процессов тепловых двигателей». Уфа: Изд.УГАТУ, 1994. №16. С. 159-172. [N. M. Tsirelman. Gonvergence of close decisions at the use of variation description of processes of heat conductivity (in Russian), in Mezhvuz.nauchn. sb. «Vo-prosy teorii i rascheta rabochih protsessov teplovyh dvigate-ley», no. 16, pp. 159-172, 1994]

17. Цирельман Н. М., Бронштейн Е. М. Вариационное решение третьей краевой задачи теплообмена при течении жидкости в канале // Теплофизика высоких температур, 1975. Т. 23, №5. С. 1003-1008. [N. M. Tsirelman, E. M. Bronstain. Variational solution of third border problem for convective heat transfer at the flow of liquid in the channel (in Russian), in Teplofizika visokih temperatur zhurnal, vol. 23, no. 5, pp. 1003-1008, 1975]

ОБ АВТОРАХ

ЕЛИСЕЕВ Игорь Спартакович, доц. каф. математики. Дипл. мат. (БГУ, 1975). Канд. физ.-мат. наук (МГПИ им. Крупской, М., 1981). Иссл. в обл. функционального анализа и теории функций комплексного переменного.

ЦИРЕЛЬМАН Наум Моисеевич, проф. каф. авиац. теплотехники и теплоэнергетики. Дипл. инж.-мех. (Одесская а кад. холода, 1963). Канд. техн. наук (МИХМ, М., 1969). Д-р техн. наук (КАИ, Казань, 1995). Иссл. в обл. аналитических и численных методов теории тепломассопереноса.

METADATA

Title: Convective heat transfer in channels with variable cross-section

Authors: I. S. Eliseev, N. M. Tsirelman

Affiliation:

Ufa State Aviation Technical University (UGATU), Russia.

E-mail: at-t@ugatu.ac.ru.

Language: Russian.

Source: Vestnik UGATU, vol. 20, no. 3 (73), pp. 58-64, 2016. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print).

Abstract: For linear problems of convective heat transfer processes with variable thermophysical characteristics of the medium, velocity of stream, volumetric heat generation sources, parameters of boundary conditions and cross-section of the channels the convolution type functional is obtained. Through its employment the approximate analytical solutions for determination of temperature fields in the stream is developed. An example is provided for its description in the flat and ring-shaped channels.

Key words: convection; heat transfer; channel; mathematical model; straightening of border; convolution type functional; Euler equations; approximate solutions.

About authors:

ELISEEV, Igor Spartakovich, Prof. as. Dept. of higher mathematics. Dipl. Mathematics (BSU, 1975). Cand. of Phys.-math. Sci. (MSPI, 1981).

TSIRELMAN, Naum Moiseevich, Prof., Dept. of Aviation Thermotechnics and Thermal Power. Dipl. engineer-mechanic (Odessa State academy of cold, 1963). Cand. of Tech. Sci. (MICE, 1969), Dr. of Tech. Sci. (KAI, 1995).