Контрпример к гипотезе Хабибуллина об интегральных неравенствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 99-107.

УДК 517.444, 517.518.28, 517.518.862

КОНТРПРИМЕР К ГИПОТЕЗЕ ХАБИБУЛЛИНА ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ

Р.А. ШАРИПОВ

Аннотация. Гипотеза Хабибуллина об интегральных неравенствах в своей формулировке содержит два числовых параметра п и а, где п — целое положительное число, а а — положительное вещественное число. Ранее было доказано, что гипотеза Хабибуллина верна в случае п> 0 и 0 < а ^ 1/2. Однако при а > 1/2 она не всегда верна. В данной работе строится контрпример для случая п = 2 и а = 2. После этого гипотеза Хабибуллина переформулируется так, что она становится верной при всех а > 0.

Ключевые слова: гипотеза Хабибуллина, интегральные неравенства, интегральные преобразования.

1. Введение

Гипотеза 1.1 (Хабибуллин). Пусть а — положительное вещественное число и пусть q = q(t) — непрерывная функция, такая, что q(t) ^ 0 для всех £ > 0. Тогда, если неравенство

Эта гипотеза была первоначально сформулирована в работах [1] и [2], хотя и в несколько

было доказано, что гипотеза 1.1 верна в случае 0 < а ^ 1/2. Другое доказательство этого результата содержится в [5].

К сожалению, за пределами интервала 0 < а ^ 1/2 гипотеза 1.1 не всегда верна. Основная цель данной работы — построить контрпример к гипотезе 1.1 для случая п = 2 и а = 2, после чего переформулировать эту гипотезу так, чтобы она была выполнена при всех целых п > 0 и при всех а > 0.

R.A. Sharipov, A counterexample to Khabibullin’s conjecture for integral inequalities. © Шарипов Р.А. 2010.

Поступила 13 сентября 2010 г.

(1.1)

выполняется для всех 0 ^ t < то из него вытекает неравенство

(1.2)

иной форме. В [3] была дана ее формулировка очень близкая к приведенной выше. В [4]

2. Ядро и функция перехода

Обозначение Ап(х) для ядра и функция перехода Фп(£), связанные с гипотезой 1.1, были введены в [5]. Ядро определяется формулой

1

X

фn(t) dtn+l ) ^

С помощью ядра (2.1) неравенство (1.1) записывается в виде

1

J An-1(x) q(tx) dx ^ ta-1, где t ^ 0. (2.2)

о

Опуская несущественное значение t = 0 и делая в интеграле (2.2) замену переменной x на переменную y = tx, преобразуем этот интеграл к интегралу

t

УAn-i(y/t) q(y) dy < ta, где t > 0. (2.3)

о

Понятие функции перехода Фп(t) является более сложным. Эта функция была введена в [5] при помощи следующей формулы:

d i(~t)n+l dn+l^\ dt \ n!

Здесь ф = ^(t) — некоторая гладкая функция одной переменной t. Основным свойством функции перехода (2.4) является ее взаимодействие с ядром (2.1):

Jфn(t) An(y/t) dt = ф(у) для n ^ 0 (2.5)

y

(см. лемму 5.1 в [5]). Для того чтобы применить формулу (2.5) к гипотезе Хабибуллина

1.1, надо выбрать конкретную функцию ^(t) в (2.4):

^(t) = ln(1 + t-2а), где а> 0. (2.6)

Функция (2.6) зависит от а. Эта зависимость наследуется функцией перехода (2.4). Поэтому мы станем писать Фп = Фп(a,t). Тогда (2.5) запишется как

JФп-1(а, t) An-1 (y/t) dt = ln(1 + y-2a) для n ^ 1. (2.7)

y

Заметим, что функция (2.6) входит в подинтегральное выражение в левой части неравенства (1.2). По этой причине формула (2.7) служит мостом, связывающим неравенства

(1.1) и (1.2), в гипотезе Хабибуллина.

3. Применение к гипотезе Хабибуллина

Заметим, что первое неравенство в гипотезе Хабибуллина 1.1 записано как (2.3). Умножим обе части (2.3) на Фп-1(а,^ и получим

t

JФп-1(а, t) An-1(y/t) q(y) dy ^ Фп-^t) ta. (3.1)

о

Неравенство (3.1) вытекало бы из (2.3) при условии Фп-1(а,^ ^ 0. Но в действительности положительные значения функции Фп-1(а,^ чередуются с отрицательными значениями. По этой причине мы разделим положительную числовую полуось t > 0 на два подмножества M+ и M_:

M+ = M+(n, а) = {t G R: t> 0 и Фn-1(а,t) ^ 0},

M_ = M_(n, а) = {t G R: t> 0 и Фп-1(а,^ < 0}. ( )

Неравенство (3.1) выполнено при t G M+(n^). Если же t G M_(n, а), неравенство (3.1) не выполняется. В этом случае воспользуемся тем, что ядро An(x) положительно, т. е.

An(x) > 0 для 0 < x < 1 (см. [5]). Функция q(y) неотрицательна согласно условию гипотезы

1.1. Что же касается функции Фп-1(а^), она отрицательна при t G M_(n, а) (см. (3.2)).

Как результат этого в случае, когда t G M_(n, а), получаем следующее неравенство:

t

JФп-1(а, t) A,n-1 (y/t) q(y) dy ^ 0. (3.3)

о

Скомбинировав неравенства (3.1) и (3.3), запишем t (

{' , , . , . , , , , Фп-1(а,^ ta при t G M+,

Фп-1(а^") An- 1(y/t) q(y) dy ^ (3.4)

J 0 при t G M_.

о

Теперь проинтегрируем (3.4) по t от нуля до бесконечности:

+<x / t \

Фп-1(а, t) An- 1(y/t) q(y) dyjdt ^ J Ф,п- l(а,t) ta dt. (3.5)

о \ о / teM+

Поменяв порядок интегрирования в левой части (3.5), будем иметь

\

^ Фп-1 (а, t) An-1 (y/t) dt \ q(y) dy ^ J Ф,п-1 (а, t) ta dt. (3.6)

0 \ y / t£M+

Теперь применим (2.7) к (3.6), что даст следующее неравенство:

/ln(1 + y-2а) q(y) dy ^ f Фп- 1(а^) ta dt. (3.7)

0 t€M+

Отметим, что интеграл в левой части (3.7) совпадает с интегралом в (1.2), т. е. во втором неравенстве из гипотезы Хабибуллина 1.1. Имеется формула

*.<«■*> = (3-8)

Она была выведена в [5]. В ней z = t2а, а Рп(а, z) — это полином степени n относительно

переменной z. Из формулы (3.8) выводим

O(t2а 1) при t —> +0, O(t-2а-1 ) при t —> +го.

Фп (а, t) = ^ ^ Г-2 а-1, ^ : .Т.’ (3.9)

В силу (3.9) интеграл в правой части (3.7) конечен. Его значение — это положительное

число, зависящее от п и а. Обозначим его С(п, а):

С(п,а) = JФп-1 (а,£) 31 < ж. (3.10)

геи+

Кроме (3.10) мы рассмотрим еще два интеграла:

/фп-1(а,£) 3Ь, Фп-1 (а,£) 3Ь. (3.11)

г&Ы- о

В силу (3.9) оба интеграла (3.11) конечны. В силу (3.2) первый из них неположителен. Эти интегралы связаны с (3.10) следующим образом:

С(п,а) + Фп—1(а,Ь) Ьа = Фп—1(а,Ь) Ьа ¿Ь. (3.12)

г&Ы- о

В работе [5] второй интеграл из (3.11) был вычислен явно. Как оказалось, этот интеграл совпадает с числом, стоящим в правой части неравенства (1.2), которое входит в формулировку гипотезы Хабибуллина 1.1, т. е. мы имеем

п-1

(1 4-

к

Поскольку первый интеграл (3.11) неположителен, из (3.12) и (3.13) следует

/П-1

Ф„_1(о!, ¿) сИ = 7г а ^1 + у ). (3.13)

7_1

0 к=

П— 1

0 < 7г а (1 + —) ^ С(п, а) < сю. (3-14)

к=1

Формула (3.10) для С(п, а) не столь проста по сравнению с (3.13). Тем не менее, С(п, а) следует воспринимать как как конкретную величину, которая может быть эффективно вычислена для каждого конкретного значения п и а. Заменив правую часть неравенства

(1.2) на С(п,а), можно сформулировать гипотезу Хабибуллина 1.1 уже не как гипотезу, а как доказанное утверждение.

Теорема 3.1. Пусть а — некоторое положительное вещественное число и пусть q = q(t) — непрерывная функция, такая, что q(t) ^ 0 для всех значений Ь > 0. Тогда, если неравенство

(1 - и)”“1 — ) п(ре) Лх < (“_1 У)

выполняется для всех 0 ^ Ь < +гс>, то из него вытекает неравенство

д(г) 1п(Ч + <И < С(п,а). (3.15)

4. Контрпример к гипотезе Хабибуллина

В этом разделе мы показываем, что гипотеза Хабибуллина в ее формулировке 1.1 нарушается при а > 1/2. Поскольку первое из неравенств в гипотезе Хабибуллина при Ь > 0

было преобразовано к виду (2.3), определим функцию

г

д(Ь) = ^Ап—1 (у/г) q(y) ¿у. (4.1)

о

Формула (4.1) была названа формулой прямого преобразования. Она изучалась в [6], где была выведена формула обратного преобразования, выражающая функцию q(t) обратно через функцию д(Ь):

¿п ( Г д'Н) \ ч

(42)

Как было показано в работе [6], при выполнении условий гипотезы Хабибуллина 1.1 функция (4.1) является (n + 1) раз дифференцируемой функцией, которая удовлетворяет неравенству

0 ^ g(t) ^ ta для всех t > 0. (4.3)

Переходя к построению контрпримера к гипотезе 1.1, мы выберем конкретные значения n = 2 и а = 2. Тогда функция перехода (3.8) примет вид

^ , 1613 Pi(a,z)

Фп~ i(a,t) = )

где z = t4 и Р1(а, z) — это следующий полином:

Р1(а, z) = (2 а +1) z + (1 — 2 а) = 5 z — 3 (4.5)

(см. формулу (7.6) в [5]). Подставив (4.5) в (4.4), выводим

Важной особенностью функции (4.6) является то, что она не всегда положительна. В соответствии с обозначениями (3.2) имеются два непустых подмножества Ы_ и M+ на положительной числовой полуоси t > 0:

M_ = {t Е R: 0 <t<t0}, M+ = {t Е R: t ^ t0}, (4.7)

где to = \/з/5 — это корень полинома 5i4 — 3 в числителе дроби (4.6). Опираясь на (4.7), мы построим функцию д = g(t), задав ее двумя разными формулами в М_ и в M+. Для этой цели мы выберем полином

Иг) = (4.8,

t0

Поскольку а = 2, положим g(t) = ta = t2 для t Е M+. Для t Е M_ зададим g(t) сплайновым полиномом, составленным при помощи полинома (4.8):

g« = it2(1 —2£h(t)) при 0<(<t0' (4.9)

| t при t ^ t0.

Напомним, что n = 2 и n +1 = 3. Поэтому (4.9) должна быть трижды дифференцируемой функцией. Это приводит к следующим условиям в точке t = t0:

lim g(t) = t02, lim g'(t) = 210,

t—to t^to (4.10)

lim g"(t) = 2, lim g"'(t) = 0.

t—»to t—»to

Легко проверить, что функция (4.9) удовлетворяет всем условиям (4.10).

Заметим, что h = h(t) в (4.8) — это монотонная функция на интервале 0 ^ t ^ t0, такая, что h(0) = 1 и h(t0) = 0. Отсюда имеем следующую лемму.

Лемма 4.1. Функция (4.9) удовлетворяет неравенствам (4.3) для а = 2 тогда и

только тогда, когда ее параметр £ удовлетворяет неравенствам 0 ^ ^ 1.

Построив функцию g(t) при помощи формулы (4.9), мы теперь определим функцию q = q(t), применив формулу обратного преобразования (4.2) к функции g(t). В результате этого действия мы получим формулу

q(t) =1 121 (1 — £r(t)) при 0 <t<to, (411)

121 при t ^ t0,

где т(Ь) — полином степени 4. Для того чтобы сделать формулу для полинома т(Ь) более простой, мы запишем этот полином как

¿о - t

г(Ь) = Я(т), где т =

tо

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Тогда полином Я(т) в (4.12) будет задаваться следующей формулой:

Я(т) = 21 т4 — 34 т3 + 16 т2 — 2 т.

Видно, что полином (4.13) есть произведение двух полиномов:

Я(т) = (21 т3 — 34 т2 + 16 т — 2) т.

Обозначим через Я3 (т) первый множитель в (4.14). Тогда

Я3 (т) =21 т3 — 34 т2 + 16 т — 2.

Полином (4.15) — это кубический полином от переменной т. График такого полинома на отрезке 0 ^ т ^ 1 показан на рис. 1. На концах отрезка полином Я3(т) принимает

значения

Я3(0) = —2, Я3(1) = 1. (4.16)

Значения (4.16) легко проверяются прямым вычислением. Помимо (4.16), на этом отрезке функция Я3 (т) имеет два локальных экстремума:

34 — 2 л/37"

т ■

63

34 + 2 л/37

63

0.34,

0.73.

(4.17)

Подставляя величины (4.17) в формулу (4.15), мы легко найдем значения полинома Я3(т) в его локальных экстремумах тт ах и тт ¡п:

394 + 592 ^37^

(4.18)

Я

11907

0 _ 394 - 592 ^37 п

й'"1" “ Ш07 ~°-26'

Из (4.16) и (4.18) немедленно вытекает неравенство

Я3 (т) ^ 1 для всех 0 ^ т ^ 1. (4.19)

Поскольку т ^ 0 в (4.19), мы можем домножить обе части (4.19) на т. Это дает Я3 (т) т ^ т.

Затем, скомбинировав это неравенство с т ^ 1 и приняв во внимание формулы (4.14) и (4.15), получим

Я(т) ^ 1 для всех 0 ^ т ^ 1. (4.20)

Применив (4.12), мы преобразуем (4.20) к неравенству

т(Ь) ^ 1 для всех 0 ^ ^ ¿0. (4.21)

В то же самое время, скомбинировав (4.16) с (4.15), (4.14) и (4.12), мы получим

г(0) = 1, т(г0) = 0. (4.22)

На основе (4.11), (4.21) и (4.22) мы можем сформулировать следующую лемму, которая похожа на лемму 4.1.

Лемма 4.2. Функция (4.11) удовлетворяет неравенству ^(¿) ^ 0 для всех Ь > 0 в том и только в том случае, когда ее параметр £ удовлетворяет неравенствам 0 ^ ^ 1.

Теорема 4.1. Для каждого конкретного значения параметра е, удовлетворяющего неравенствам 0 < е ^ 1, фунция (4.11) является контрпримером к гипотезе Хабибул-лина 1.1 для случая n = 2 и а = 2.

Теорема 4.1 вытекает из леммы 4.2 и предшествующих ей рассуждений в разделах 3 и 4. Действительно, функция (4.11) получена из функции (4.9) при помощи формулы обратного преобразования (4.2). По этой причине подстановка (4.11) в формулу прямого преобразования (4.1) дает функцию (4.9). Этот факт можно проверить также и прямым вычислением.

Формула (4.1) связана с неравенством (1.1) в формулировке гипотезы Хабибуллина 1.1 через формулы (2.3), (2.2) и (2.1). Поэтому, подставляя функцию (4.11) в левую часть неравенства (1.1) с n = 2, мы получим

(1 - у)п~1 q(tx) dx = (4.23)

0 \ x )

где g(t) задается формулой (4.9). А теперь учтем, что а = 2, и применим лемму 4.1 к соотношению (4.23). Это приведет нас к следующему результату.

Лемма 4.3. Для каждого конкретного значения параметра е, такого, что 0 ^ е ^ 1, функция (4.11) удовлетворяет неравенству (1.1) при n = 2 и а = 2.

Следующий шаг состоит в том, чтобы вычислить интеграл в левой части неравенства

(1.2) для функции (4.11). Для этой цели мы применим формулу

Jq(t) In (l + dt = jФп_ 1 (a, t) g(t) dt. (4.24)

00 Формула (4.24) выведена из (4.1) при помощи формулы (2.7). Учтем, что в нашем случае а = 2, а g(t) дается формулой (4.9). При этом формула (4.24) запишется в следующем виде:

to

Jq{t) ln^l + dt = J<Pn-i(a,t) ta dt — £Jфn-l(a,t) t2 h(t) dt. (4.25)

0 0 0 Теперь мы применим формулу (3.13) к (4.25) и запишем (4.25) в виде

+Г 1 "-1

q(t) In (l + —) dt = 7Г а Д (l + j) + 51. (4.26)

0 k=

Слагаемое 5I в павой части (4.26) определяется формулой

to

51 = — е JФп-1(а, t) t2 h(t) dt. (4.27)

0

В нашем случае параметр е положителен в силу условия 0 < е ^ 1 в формулировке теоремы 4.1. Функция h(t) задается формулой (4.8). Она положительна при 0 < t < t0. Что же касается функции Фп-1(а^), поскольку n = 2 и а = 2, в нашем случае Фп-1(а,^ определяется формулой (4.6). Она отрицательна при 0 < t < t0 .В силу перечисленных обстоятельств мы получаем следующее неравенство для интеграла (4.27):

5I > 0. (4.28)

Неравенство (4.28) завершает доказательство теоремы 4.1.

Интеграл (4.27) может быть подсчитан численно. Произведение в правой части (4.26) тоже может быть подсчитано численно. В итоге мы получим

Jд(г) 1п (1 + <Й И 18.84955592 + 0.01299443 е. (4.29)

о

С другой стороны, мы имеем оценку (3.15) для интеграла (4.29). Константа С(п, а) в (3.15) дается интегралом (3.10), который можно подсчитать численно. При п = 2 и а = 2 мы имеем С(п, а) ~ 19.65507202. Тогда (3.15) дает

1п(Ч + < 19.65507203. (4.30)

о

Заметим, что 0 < £ ^ 1 в формулировке теоремы 4.1. Как мы видим, даже при £ = 1 имеется значительная щель между интегралом (4.29) и оценкой (4.30) для этого интеграла.

5. Выводы

Теорема 4.1 показывает, что гипотеза Хабибуллина в форме 1.1 не выполняется при а > 1/2. Однако, в силу теоремы 3.1 и в силу неравенств (3.14), эта гипотеза может быть сформулирована в виде следующей теоремы, которая верна при всех а > 0.

Теорема 5.1. Для каждого целого положительного числа п > 0 и для каждого положительного вещественного числа а > 0 существует положительная константа С[ХЬ](п, а), которая дает лучшую (т. е. неулучшаемую) оценку

Jq(t) 1п(Ч + (И < С[КЪ](п,а) (5.1)

о

в классе всех неотрицательных непрерывных функций д(£) ^ 0 на числовой полуоси I > 0, удовлетворяющих интегральному неравенству

(1 — у)п~1 — ] дих) с1х ^ Ьа~1 для всех £ > 0. (5.2)

у)

В (5.2) мы исключили несущественное значение £ = 0 по сравнению с первоначальным неравенством (1.1) в формулировке гипотезы Хабибуллина 1.1.

Отметим, что константы С[ХЬ](п, а) в (5.1) конечны. Они удовлетворяют оценке С[ХЬ](п, а) ^ С(п, а) < то, где константы С(п, а) определяются формулой (3.10). Я полагаю, что константы С[ХЬ](п, а) в (5.1) должны быть названы константами Хабибуллина в силу заслуг Б. Н. Хабибуллина по формулировке гипотезы 1.1 и по ее популяризации в течение многих лет.

Отметим, что теорема 5.1 провозглашает существование констант Хабибуллина С[ХЬ](п, а), но не дает ни формулы, ни алгоритма для их вычисления. В настоящее время (то есть на дату 03.09.2010 г.) задача нахождения точных значений констант Хабибуллина С[ХЬ](п, а) в (5.1) еще не решена.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хабибуллин Б.Н. Проблема Пэли для плюрисубгармонических функций конечного нижнего порядка // Мат. Сборник. 1999. Т. 190, вып. 2. С. 145-157.

2. Хабибуллин Б.Н. The representation of a meromorphic function as a quotient of entire functions and the Paley problem in Cn: survey of some results // Математическая физика, анализ, геометрия (Украина). 2002. Т. 9, № 2. С. 146-167; см. также e-print math.CV/0502433 в электронном архиве http://arXiv.org.

3. B.N. Khabibullin, A conjecture on some estimates for integrals, e-print arXiv:1005.3913 в электронном архиве http://arXiv.org.

4. R.A. Baladai, B.N. Khabibullin, Three equivalent conjectures on an estimate of integrals, e-print arXiv:1006.5140 в электронном архиве http://arXiv.org.

5. R.A. Sharipov, A note on Khabibullin’s conjecture for integral inequalities, e-print ar-Xiv:1008.0376 в электронном архиве http://arXiv.org.

6. R.A. Sharipov, Direct and inverse conversion formulas associated with Khabibullin’s conjecture for integral inequalities, e-print arXiv:1008.1572 в электронном архиве http://arXiv.org.

Руслан Абдулович Шарипов,

Башкирский Государственный Университет, ул. Заки Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: r-sharipov@mail.ru