CC BY
35Континуальность трехзначных логик: проблемы и гипотезы1
А. С. Карпенко
abstract. Functional properties of three-valued logics are considered. Among these logics ones with closed function classes set cardinality that is continuum. The problem of continuity of Bochvar's three-valued logic is discussed and a hypothesis concerning the citeria of continuity of an arbitrary three-valued logic is proposed.
Ключевые слова: трехзначные логики, замкнутые классы функций, счётность замкнутых классов, континуальность замкнутых классов
1 Необходимые понятия
Произвольная функция f (x\,..., xm) от любого конечного числа переменных, областью определения которых и областью значения самой функции является множество Vn (пусть его элементами являются 0,1, 2,... ,n-1), называется n-значной функцией или функцией n-значной логики. Пусть Pn есть множество всех n-значных функций и пусть F С Pn. Тогда, следуя А.В. Кузнецову, множество всех функций, которые можно получить с помощью операции суперпозиции [6] из F, называется .замыканием F и обозначается посредством [F].
Система функций F = {f\,..., fk,... } из Pn называется функционально полной, если любая функция из Pn представима посредством суперпозиций функций из системы F. Или, в терминах замыкания: F — полная система, если [F] = Pn.
Система F функций называется предполной (максимальной) в Pn, если F представляет не полную систему, но добавление к F любой функции f такой, что f € Pn и f € F преобразует F в полную систему. Или, в терминах замыкания: F предполна в Pn, если [F] = Pn и [F U {f}] = Pn, где f € Pn и f € F.
хРабота выполнена при поддержке РГНФ, грант № 09-03-00303а.
Важная роль предполных классов функций видна из следующей теоремы А.В. Кузнецова (1956), система функций Г полна в Рп тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном предполном классе.
2 Счётность и континуальность
Множество Г п-значных функций называется (функционально) замкнутым .множеством (классом), если оно совпадает со своим замыканием, то есть если Г = [Г].
В 1941 г. Э. Пост установил, что мощность множества замкнутых классов в Р2, где Р2 есть множество булевых функций, счётна [10]. Уже Постом был поставлен вопрос об описании всех замкнутых классов в Рп. Оказалось, и даже несколько неожиданным образом, что с многозначной логикой дело обстоит совсем по-другому. В [7] было доказано, что для всякого п (п > 3) Рп содержит континуум различных замкнутых классов. Это говорит о принципиальной несводимости многозначной логики к двузначной. Вообще-то говоря, точная природа такого различия между двузначной и трехзначной логиками неясна, т.е. при переходе от двух истинностных значений к трем озадачивает происходящмй скачок от счётности к континуальности.
3 Другие трехзначные логики
А как обстоит дело с другими трехзначными логиками, т.е. с не функционально полными? В [6] С.В. Яблонский дал описание всех 18 предполных классов функций в Р3, а в [4] В.К. Финн доказал, что класс функций Ь3, соответствующий трехзначной логике Лукасевича Ь3 со множеством истинностных значений {1,1, 0} является предполным в Р3. Класс функций Ь3 задается суперпозицией следующих исходных функций: ~ и где ~ х = 1 — х; х ^ у = 1, если х < у, и х ^ у = 1 — х + у, если х > у.
Рассмотрим следующее полезное понятие, впервые введенное М.Ф. Раца. Будем называть глубиной системы Г функций в классе Ко наименьшее из таких натуральных чисел т, что существует убывающая последовательность классов Ко, К\,..., Кт, удовлетворяющая двум условиям:
1) класс Кг+\ предполон в Кг (г = 0,1,... ,т — 1);
2) система Г является полной в Кт.
В частности, то, что глубина системы Г в классе Ко равна 0, означает, что Г является полной в Ко.
3.1 Трехзначная логика Гейтинга
Как раз первым примером логики «глубины 2», чьи функциональные свойства были тщательно изучены, была трехзначная логика Гейтинга Сз. Класс функций 63, соответствующий логике Сз, задается суперпозицией следующих исходных функций: —, ^, & и V, где —х = 1, если х = 0, и —х = 0 в остальных случаях; х ^ у = 1, если х < у, и х ^ у = у, если х > у; х & у = тгп(х,у) и х V у = тах(х,у). Заметим, что Ь3 = [03 и х}].
М.Ф. Раца показал, что класс функций О3 предполон в классе функций Ь3 и установил критерий функциональной полноты для класса функций 03. Но, главное, Раца доказал [3], что 03 содержит континуум различных замкнутых классов. Для порождения континуального множества замкнутых классов функций М.Ф. Раца строит систему функций С, выраженную следующей формулой:
{&П=1((—х1 & ... & —хг-1 & —хг+1 & ... &—хп) | п = 2,3,... },
где ±х = х V —х.
Обозначим эти функции — двухместную, трехместную и т.д. символами С2, С3, . . . соответственно. Например, С2 есть
(—х2 ^ х1 V —х1) & (—х1 ^ х2 V —х2).
Условимся для любых функций /(х1,... ,хг,..., Xk) и д(х1,..., хг,..., хт) из 03 обозначать символом /(хг/д) результат подстановки в / функции д вместо переменной хг. Тогда для всякого п = 2, 3,... функция Сп является симметрической (т.е. при всякой перестановке аргументов остается равной себе) и удовлетворяет условиям:
1 Сп =
2. Сп(хг/1) = 1 (1 < г < п),
3. Сп(хг/±у, хз/±г) = 1 (1 < г<з < п).
М.Ф. Раца показывает, что при выполнении этих условий система функций С является независимой, откуда следует, что существует континуум различных замкнутых классов функций.
Поскольку класс функций Оз предполон в Ьз, то таковыми же континуальными свойствами обладает и сама Ьз, и вообще, любая логика, в которой посредством исходных связок можно задать указанную выше систему функций С, является континуальной. Таким образом, можно говорить о некотором критерии континуальности для трехзначных логик.
Результат Раца является следствием более общей теоремы для предполных классов глубины 2 (такие классы называются еще субмаксимальными клонами) [8]:
Всего Р3 имеет 158 субмаксимальных клонов. Из них: 5 имеют конечное множество подклассов; 7 имеют счётное множество классов; остальные 146 имеют мощность континуума.
3.2 Трехзначная логика Бочвара
Класс функций Вз, соответствующий трехзначной логике Бочвара В3, задается суперпозицией следующих исходных функций: П, Ь, где х П у = шт(х, у), если х,у € {0,1}, и х П у = |, в остальных случаях; Ь х = — ~ х.
В [5] В.К. Финн установил критерий функциональной полноты для класса функций Вз. Также В.К. Финн показал, что класс функций Нз, соответствующий трехзначной логике Холдена Нз, включается в один из предполных классов Вз. Класс функций Нз задается суперпозицией следующих исходных функций: П и Д, где Ах = 0, если х = 2, и Ах = 1, в остальных случаях.
Тогда можно сделать предположение о глубине рассмотренных классов функций:
Нз С Вз С Ез С Ьз С Рз,
где Ез есть класс функций, соответствующей трехзначной логике Эббингауза Е3, т.е. Ез = [Вз и {х у}], где х у есть импликация Собочиньского: х у = 0, если х > у, 2 ^ 2 = 2 и х у = 1, в остальных случаях [11].
Интересна гипотеза В.К. Финна (высказанная автору много лет назад), что мощность множества замкнутых классов В3 является счётной, как и для Р2. Эта гипотеза основывалась на предположении о том, что в В3 класс внутренних функций В3п (который порождается функциями П) и класс внешних функций В3Х (областью значения которых является множество {0,1}) каждый сам по себе счётен, а в объединении они порождают всё множество функций В3. Исходя из этого, гипотеза В.К. Финна выглядит очень естественной.
3.3 Другие предположения о
счётности/континуальности
В [9] сформулирован следующий критерий счётности:
Пусть Г есть подкласс Рп. Там существует отношение частичного порядка < на Г, удовлетворяющее следующим трем свойствам:
(a) / < д ^ [/] с [д],
(b) каждая цепь является вполне упорядоченной2 (относительно <),
(c) каждая антицепь3 (относительно <) имеет только конечное число элементов.
Тогда Г имеет как наибольшее только счётное множество различных подклассов.
Обратим внимание на свойство (а). Будем говорить, что функция /(х1, . . . ,хт) не превосходит функцию д(х1,... ,хт), и писать / < д, если для любого набора (а1,..., ат) из У3т выполняется
/ (аь ...,ат) < д(а1,... , ат) .
Нетрудно подобрать две функции, например, внутреннюю П и внешнюю П" конъюнкции из В3, такие, что (хП"у) < (хПу), где
2Т.е. каждое непустое подмножество обладает единственным минимальным элементом.
3Антицепью называется подмножество частично упорядоченного множества, состоящее из попарно несравнимых элементов, которых не меньше двух.
x п" y = hx П by. Из теоремы В.К. Финна о критерии функциональной полноты B3 следует, что пересечение множества внутренних функций B™ и множества внешних функций B3X пусто. Это значит, что условие (а) из вышеприведенного критерия счётности в B3 не выполняется. Однако вышеприведенный критерий счётности формулирует всего лишь необходимое условие.
Рассмотрим еще одно предположение в пользу континуальности B3. В [1] предложен метод гильбертовской аксиоматизации широкого класса многозначных логик, основанный на расширении классической логики C2. Для этого должны выполняться следующие условия:
(1) Алгебра < Vn; V, Л > является квазирешеткой;
(2) Наличие всех Jj-операторов:
{1, если x = i
(для всех i е Vn);
0, если x = i.
(3) Ограничения операций -1, V, Л, D на подмножество {0,1} множества Vn суть обычные классические операции отрицания, дизъюнкции, конъюнкции и импликации соответственно.
Логика B3 все эти условия выполняет, но не выполняет их логика G3: не все Jj-операторы здесь имеют место. Однако все Ji-операторы и не нужны, достаточно, Jo(—) или Ji(b), поскольку с их помощью строится изоморф C2. Понятие изоморфа введено Д.А. Бочваром и означает, что логика B3 содержит фрагмент, который верифицирует аксиомы C2, а правило modus ponens сохраняет классическое отношение логического следования. Такие изоморфы названы «нормальными». Подробно об изомор-фах см. диссертацию Л.Ю. Девяткина [2]. Таким образом, задается некоторый «минимум» функциональных свойств, который достаточен для аксиоматизации некоторой трехзначной логики L3. Заметим, что логика Холдена H3 не содержит операторов Jo и Ji и поэтому не может быть аксиоматизирована как расширение C2.
4 Гипотеза о континуальности
В связи с этим в качестве гипотезы можно сформулировать следующий критерий континуальности. Пусть F С P3 и \F\ есть мощность множества F. Для класса F, соответсвующего некоторой трехзначной логике L3, \F\ = C т.т.т., когда L3 аксиоматизируема как расширение C2. Таким образом, функциональные свойства некоторого множества функций F связываются с чисто логическими свойствами класса формул соответствующей логики L3.
Литература
[1] Аншаков О. М., Рычков С. В. О многозначных логических исчислениях // Семиотика и информатика. 1982. Вып. 19. С. 90—117.
[2] Девяткин Л.Ю. Многозначные изоморфы классической пропозициональной логики. Автореферат на соискание ученой степени кандидата философских наук. М.: ИФ РАН, 2008.
[3] Раца М.Ф. О классе функций трехзначной логики, соответствующем первой матрице Яськовского // Проблемы кибернетики. 1969. Вып. 21. С. 185—214.
[4] Финн В.К. О предполноте класса функций, соответствующего трехзначной логике Я. Лукасевича // Научно-техническая информация. Сер. 2. 1969. Вып. 10. С. 35-38.
[5] Финн В.К. О критерии функциональной полноты для В3 // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974. С. 194199.
[6] Яблонский С.В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды математического института им. В. А.Стеклова. 1958. Т. 51. С. 5-142.
[7] Янов Ю. И., Мучник А. А. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Доклады Академии Наук СССР. 1959. T. 127. С. 44-46.
[8] Bulatov A., Lau D. and Strauch B. The cardinalities of sublatticies of depth 2 in the latticies of clones on a 3-elementary set. Preprint Universitat Rostock, 1996.
[9] Lo,u D. Function Algebras on Finite Sets: A Basic Course on Many-Valued Logic and Clone Theory. Berlin: Springer-Verlag, 2006.
[10] Post E.L. Two-valued iterative systems // Annals of Mathematical Studies. 1941. Vol. 5. Princeton-London.
[11] Sobocinski B. Axiomatization of a partial system of three-valued calculus of propositions // The Journal of Computing Systems. 1952. Vol. 1. P. 23-55.
