Континуальность решетки расширений модальной логики двух отношений эквивалентности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 510.6

КОНТИНУАЛЬНОСТЬ РЕШЕТКИ РАСШИРЕНИЙ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

М. М. Измайлов1

В статье строится континуум различных логик над S5 ® S5, что доказывает тот факт, что мощность решетки расширений логики двух отношений эквивалентности Ext(S5 ® S5) является континуумом.

Ключевые слова: модальная логика, соединение логик, расширения логик, логика отношения эквивалентности.

A continuum of different modal logics over S5 ® S5 is constructed in the paper, which proves that the capacity of the lattice of all normal extensions of the logic of two equivalence relations Ext(S5 ® S5) is a continuum.

Key words: modal logic, fusion of logics, extensions of logics, logic of equivalence relation.

Введение. В работе Волтера [1] доказывается вложимость расширений логики T в расширения логики S5 ® L, где L — логика двухэлементной рефлексивной цепи. Отсюда следует континуальность решетки расширений Ext(S5 ® L). Для произведения S5 х S5 также известно, что решетка расширений этой логики состоит из счетного числа логик, которые к тому же конечно-аксиоматизируемы [2]. Для логики S5 ® S5 вопрос о мощности решетки ее расширений оставался открытым. В данной работе мы докажем, что решетка расширений модальной логики S5 ® S5 имеет мощность континуума.

Основные понятия. Напомним, что набор формул L называется логикой, если он содержит все тавтологии и замкнут относительно правил вывода modus ponens и подстановки. Модальная логика L называется нормальной, если она содержит аксиому

AK = D(p ^ q) ^ (Dp ^ Dq) и замкнута относительно правила D-введения:

если ф £ L, то Dф £ L.

Шкалой Крипке называется набор (W, R\ ,...,Rn), где W — непустое множество миров, Ri С W х W. Оценка V на шкале Крипке (W, R\,...,Rn) — это функция, которая каждой переменной ставит в соответствие подмножество W. Модель Крипке — это шкала Крипке с оценкой на ней. Говорят, что переменная p истинна в мире x модели M: M,x = p, если x £ V(p). Истинность формул определяется по индукции следующим образом:

M,x ¥ ±,

M, x = ф V ф & M, x = ф или M,x = ф,

M, x = -ф & M, x ¥ ф, M, x = Diф &Уу £ W(xRiy ^ M, x = ф).

Говорят, что формула ф общезначима в мире x шкалы Крипке F, если для любой оценки V на этой шкале (F, V),x = ф. Формула общезначима в шкале, если она общезначима в каждой точке этой шкалы.

Минимальная модальная логика, содержащая аксиому AK, обозначается K. Под K ф Г, где Г — множество формул, понимается наименьшая нормальная модальная логика, содеражая K и Г. Логика S5 определяется так:

S5 = K ф {Dp ^ p, Dp ^ DDp,p ^ D^p}.

Общезначимость формул Dp ^ p, Dp ^ DDp,p ^ D^p в шкале Крипке F = (W, R) равносильна соответственно рефлексивности, тразитивности и симметричности отношения R. Таким образом, S5 —

1 Измайлов Максим Марселевич — студ. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

логика шкал, где R — отношение эквивалентности. Кластером называется класс эквивалентности по отношению R.

Напомним, что соединение (fusion) Л1 ® Л2 одномодальных нормальных логик Л1, Л2 определяется как наименьшая двумодальная логика, содержащая аксиомы Л1 для первой модальности и аксиомы Л2 для второй.

Произведение логик Л1 х Л2 есть логика множества шкал Крипке {F1 х F2IF1 = Л1,^2 = Л2}, где Fi х F2 = (W1 х W2, R1 ,R'2), причем (Ж1 ,X2)R'1 (У1,У2) & X1 Ry и X2 = У2, (X1,X2)R2 (V1,V2) & X2R2V2 и X1 = У1.

Логика Л2 называется расширением логики Л1, если Л1 С Л2. Решеткой расширений модальной логики Л1 называется множество всех модальных логик, содержащих ее: Ext^1) = {Л2|Л1 С Л2}.

Расширения логики Л действительно образуют полную решетку:

еП =

inf{Лг|г е i} = р|{Лг|г е i}.

Пересечение логик, очевидно, тоже будет логикой, причем пересечение логик, содержащих Л, также содержит Л. Наибольшим элементом в этой решетке является противоречивая логика (которая содержит все формулы). Напомним, что для того, чтобы утверждать, что Ех1(Л) — полная решетка, этих свойств достаточно, так как

8ир{Л;\г Е I} = М{Л|УгЛ^ С Л}.

Континуальность решетки расширений. Теорема 1. Ех^£5 ® £5) имеет мощность континуума.

Доказательство. Для доказательства будет достаточно выписать последовательность формул {ф1, г = 1, 2,...}, таких, что для каждого I С N

£5 ® £5 ф {ф^г Е I} К ф^, если 3 Е I.

Тогда расширения Л/ = £5®£5ф{ф^1 Е I} будут такие, что Л/ = ЛJ при I = .]. Следовательно, мощность множества таких логик равна мощности множества подмножеств натурального ряда, т.е. континууму. Для построения фп потребуются формулы

аН;п = Ир: V П(р1 ^ Р2) V ... V П(р1 ЛЛ ... Л Рп ^ Рп+1), п ^ 0.

Лемма 1. Формула аН;п общезначима в точке х шкалы Крипке Е тогда и только тогда, когда из х достижимо не более чем п различных точек.

Доказательство. Пусть из точки х достижима п +1 различная точка У1,У2,...,уп+1. Построим модель Крипке М = (Е, V), такую, что М,х аН;п, т.е. М,х \ —аН;п. Запишем отрицание аН;п в явном виде:

-аН;п = 0-Р1 Л 0(Р1 Л -Р2) Л ... Л ♦(р: Л Р2 Л рз ... Л Рп Л -Рп+1), п ^ 0.

Чтобы построить М, нам нужно только построить оценку V, такую, что М,х \ — аНп. Оценка должна быть следующей: V(рп) = {у^\к > п}. Тогда М,уп \ р1 Л ... Л рп-1 Л —рп, и поэтому М,х \ —аН;п.

Пусть теперь М, х \ —аН;п. Тогда по определению ♦ найдутся у1,..., уп, такие, что хКу1,..., хКуп+1 и уг \ Р1 Л ... Л р-1 Л —Рг. Если г < 3, то уг \ —Рг, а уз \ Рг, значит, уг = у] при г = 3. ■ Теперь можно написать формулы фп,п ^ 1:

фп = ((0102)п-101(а Л 02(—а Л Ь) Л 02(—а Л —Ь))) акп+ь Здесь формула аН;п+1 записана в языке с □!.

Лемма 2. Пусть Е = (Ш, Я1,Я2) \ £5 ® £5. В точке х общезначима формула фп тогда и только тогда, когда в х верно следующее условие: если из х по отношению

Кг о К2 о Кг о ■ ■ ■ о Д2 о (= Я*)

2га-1

достигается Я2-кластер из более чем двух точек, то ^(х) ^ п +1.

Доказательство. Пусть Е,х \ фп, и {«, Ь, и} — ^-кластер, который достигается из х по Я* (или его часть). Допустим, Я1 (х) > п +1. Тогда существует оценка V, такая, что (Е, V),х аН;п+1. Множество переменных, входящих в формулу ф, обозначим Уаг(ф). Так как а,Ь Е Уаг(аНп+1), то для а и Ь можно

задать свою оценку, сохранив при этом свойство (Г, V),х ¥ аНп+1. Зададим оценку а,Ь на точках в,Ь,п таким образом, чтобы посылка формулы фп была верна в х. Это очевидно можно сделать. Пусть в — та точка из кластера, которая достигается из х по Я*. Тогда можно положить V(а) = {в}, V(Ь) = {в^}. Обратно, пусть Г,х ¥ фп. Для какой-то оценки V имеем (Г, V),х \ —фп. Значит,

(Г, V),х \ ((01 ♦2)п-1^1(а Л 02(-а Л Ь) Л ^(-а Л —Ь))) (1)

и

),х \ -а^п+ь (2)

Согласно (1), из х по отношению Я* достигается Я2-кластер из более чем двух точек (потому что никакие две из формул а, —аЛЬ, —аЛ—Ь не могут быть истинны одновременно в одной точке). Из (2) по предыдущей лемме следует, что из х достигается более п + 1 точки по отношению Яь I

Построим шкалы Крипке Г \ 55 ® £5, такие, что Г^ ¥ ф^ и Г \ фj, если ] = г. Тогда мы получим Л/ = ЛJ при I = .]. Шкала Г показана на рисунке.

/+2 точки

Большой R1 -кластер справа из i + 2 точек назовем C. В любой точке x из C достигается ^-кластер размера 3 через композицию Ri о R2 о ... о Ri из 2n — 1 отношений. Также в x отрицается формула alti+i, так как кластер состоит из i + 2 элементов. Значит, в x отрицается формула фг.

Для j > i имеем Fi \ фу, так как Fi \ altj+i при j > i. Если j < i, то посылка формулы фj не будет верна в C. Значит, в C верна фу. В остальных точках Fi она тоже верна, потому что в них верна формула altj+i для любых j ^ 1. На этом доказательство завершается. ■

Упомянутое в лемме 2 свойство записывается на языке первого порядка. Модальная логика называется Д-элементарной, если класс ее моделей есть класс моделей теории первого порядка. Модальная логика называется элементарной, если класс ее моделей описывается предложением первого порядка. Логики Л/ Д-элементарны. Поэтому имеет место

Следствие. Среди расширений S5 ® S5 имеется континуум Д-элементарных логик.

Логики S5 ® altn обозначаются S5n; такими логиками исчерпываются все расширения S5. На самом деле имеет место более сильный результат.

Теорема 2. Ext(S5 ® S5з) имеет мощность континуума.

В доказательстве теоремы 1 в шкалах Fi нет кластеров по отношению R2 размера больше 3 точек. Поэтому эти шкалы удовлетворяют более сильному условию: Fi \ S5 ® (S5 ® alts). Из этого и следует утверждение данной теоремы.

Заключение. Мы показали, что, даже когда одномодальные логики Л1 и Л2 просты и решетки их расширений описываются очень просто (одна из них может быть даже конечна), решетка расширений соединения этих логик может содержать довольно много логик. Ext(S5) состоит из счетного набора логик S5n = S5 ® altn, расширения S5з — это просто две логики S52 и S5i, а их соединение содержит континуум логик.

Работа над статьей поддерживалась грантом Президента РФ НШ-845.2008.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wolter F. What is the upper part of the lattice of bimodal logics? // Stud. log. 1994. 53, N 2. 235-242.

2. Bezhanishvili N, Marx M. All proper normal extensions of S5-square have polynomial size model property // Stud. log. 2004. 78, N 3. 443-457.

Поступила в редакцию 05.04.2010