Новые константы в предтабличных суперинтуиционистских логиках: подход П. C. Новикова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ

2016. Вып. 1 (47)

УДК 510.64 © А. К. Кощеева

НОВЫЕ КОНСТАНТЫ В ПРЕДТАБЛИЧНЫХ

СУПЕРИНТУИЦИОНИСТСКИХ ЛОГИКАХ: ПОДХОД П. С. НОВИКОВА

П. С. Новиков в конце 50-х годов XX века поставил задачу о новых логических связках как экстрапонятиях для языка со стандартными логическими связками V, Л, -1. Я. С. Сметанич в своих работах привел точные формулировки подхода Новикова к понятию новых логических связок в суперинтуиционистских логиках (новая логическая связка, полнота по Новикову). В статье рассмотрена проблема П.С. Новикова применительно к новым константам в предтабличных суперинтуиционистских логиках ЬО, Ь2, Ь3: логика конечных цепей, логика корневых шкал глубины 2 (вееров), логика корневых шкал глубины 3 с наибольшим элементом (даймондов). Получено исчерпывающее описание семейства всех полных по Новикову расширений каждой из предтабличных суперинтуиционистских логик в языке с несколькими дополнительными константами: для ЬО и Ь2 семантиче-

ЬО

и конечных вееров с раскраской (Ь2); для Ь3 подобное описание дано для случая одной константы. Установлена алгоритмическая разрешимость каждого пополнения по Новикову указанных трех суперинтуиционистских логик, а также алгоритмическая проблема распознавания консервативности расширений этих логик в языке с одной дополнительной константой.

Ключевые слова: предтабличные суперинтуиционистские логики, новые логические константы, полнота по П. С. Новикову, алгоритмическая проблема распознавания консервативности.

Введение

В исследовании какого-либо объекта (или класса объектов) при отыскании существенно новых свойств этого объекта часто применяется метод обогащения, при котором изучаемый объект становится частью другого объекта, при этом новый объект наделяется дополнительными атрибутами — отношениями, функциями и пр. В некоторых случаях исходный объект представляет собой собственное подмножество нового объекта, в других — новый объект получается лишь заданием на старом дополнительных атрибутов.

Синтаксическим отражением такого обогащения является расширение языка. Утверждения и понятия, записанные на исходном языке, можно назвать реальными, а утверждения и понятия, использующие дополнительные атрибуты — идеальными. Например, к числу реальных понятий Д. Гильберт относил понятие алгоритмически вычислимой функции. К реальным утверждениям он относил формулы вида V х (/(х) = д(х)) с вычислимыми функциями / и д. Мотивировка: любой частный случай этого равенства проверяется явно за конечное число шагов.

Пусть Т — базовая теория в базово м языке 5 .Основа языка 5 — реальные понятия; основа теории Т — аксиомы и правила вывода реального языка. Добавление к базовому языку новых символов (например, функциональных, константных, предикатных), иначе говоря, введение в язык 5 идеальных понятий, или экстра,понятии, расширяет (другими словами — обогащает) его до языка 5' : 5 ^ 5'. Соответственно, введение в базовую теорию Т дополнительных аксиом (и, возможно, правил вывода) расширяет ее до теории Т': Т С Т'. При этом новые аксиомы, или экстра,аксиом,ы, отражают свойства экстрапонятий и их взаимосвязь с реальными понятиями. В математике примеров такого рода много. В теории натуральных чисел, например, ряд результатов был получен с помощью теории комплексных чисел. В алгебре примером такого рода является задача о разложении многочлена х4 + 1 = 0 на множители над полем действительных чисел (есть два способа решения: первый подразумевает отыскание комплексных корней, второй — выделение полного квадрата). Примерами из математической логики являются булевы алгебры с операторами, языки более высокого порядка, относительно элементарная определимость и др.

Т'

Т

теорий — получаемая теория должна быть консервативна над исходной теорией, то есть экстрапонятия и новые аксиомы не должны нарушать базовую теорию:

А е S, Т' Ь А Т h А

(если утверждение реального языка выводимо в расширенной теории, то и в реальной теории оно должно быть выводимо).

Согласно Гильберту, основное назначение экстрапонятий — получение новых реальных теорем, а также более ясное доказательство уже известных теорем. Иначе говоря, экстрапонятия повышают выразительную силу языка и упрощают доказательства прежних теорем.

Для пропозициональных исчислений экстрапонятиями являются, например, кванторы. Язык первого порядка позволил выразить практически все понятия, нужные для работы в привычных разделах математики. Следствием такой универсальности стали, например, неразрешимость логики первого порядка, неполнота арифметики, неформализуемость логики второго порядка.

Тем не менее для решения ряда задач был найден промежуточный вариант — вместо кванторов использовать дополнительные пропозициональные связки, отражающие некоторые свойства кванторов. Известные связки модальной логики □, 0 являются экстрапонятиями для языка классической двузначной логики.

Однако классическая двузначная логика не всегда позволяет адекватно моделировать некоторые прикладные задачи (например, в теоретической информатике). В связи с этим возникла необходимость применять и неклассические логики. Первым важнейшим примером таковых является интуиционистская пропозициональная логика (Int), введенная первоначально Л. Э. Я. Брауэром, впоследствии формализованная А. Гейтингом, и истолкованная А. И. Кол-

Int

Int

суперинтуиционистскими (с. и.) логиками.

П. С. Новиков1 в конце 50-х годов XX века поставил задачу о новых логических связках как экстрапонятиях для языка со стандартным логическими связками V, Л, ^, Я. С. Сме-танич привел точные формулировки подхода Новикова к понятию новых логических связок в суперинтуиционистских логиках в работах [17,18].

Int

тельной одноместной связкой, удовлетворяющей аксиомам

р(р) о p(q);

--р(р); <р(р) ^ (q v-q).

Первая из трех аксиом показывает, что смысл р(-) не зависит от аргумента, то есть можно рассматривать р как логическую константу. Кроме того, можно рассматривать не одну, а несколько дополнительных логических констант (помимо стандартных констант 0 «ложь», 1 «истина»).

В настоящей работе будут рассмотрены только дополнительные логические константы. Для этого случая подход Новикова адаптируется следующим образом.

Язык чистой пропозициональной логики основан на пропозициональных переменных

Var = {ро, Pi,P2, • • •};

пропозициональных связках: V, Л, — о, эквиваленция понимается как

р о q ^ (р ^ q) Л (q ^ р);

пропозициональных константах: 0 и 1. Обычным образом строится множество Fm формул этого языка.

1В дальнейшем фамилия «Новиков» будет означать исключительно «П. С. Новиков».

Добавим к исходному языку дополнительный набор констант v = {vi, V2, ■ ■■, Vn}■ Получим класс Fm(jp) формул расширенного языка.

Определение 0.1. Тр-логикой будем называть множество формул языка FmiTp), включающее Int и замкнутое относительно правил modus ponens и подстановки.

Определение 0.2. ф-логика L называется консервативным расширением с.и. логики L, если L включено в L и для всякой чистой формулы A из A е L следует A е L.

Определение 0.3. логика L определяет новые независимые константы в с. и. логике L, если L является консервативной над L и не допускает, никакого явного соотношения ни для какой дополнительной константы (явное соотношение — формула вида Vi о B, где B не содержит Vi)-

Другими словами, при добавлении явного соотношения к L нарушается консервативность L.

ОпределениеО.4. а, L называется полным по Новикову расшир ением логики L,

если L консервативна над L и не допускает, присоединения никакой новой формулы (в смысле предыдущего определения).

L

— построить примеры V-логик, определяющие новые независимые константы для L, и при-VL

L

в каких из них дополнительные константы независимы (проблема максимум).

Известно, что семейство с. и. логик имеет мощность континуума [21], поэтому естественным представляется рассмотрение проблемы Новикова для таких с. и. логик, которые по тем или иным причинам уже находились в поле зрения исследователей. В настоящей работе проблема Новикова рассматривается применительно к предтабличным суперинтуиционистским логикам.

Напомним, что табличной называют с. и. логику, которая характеризуется конечным числом конечных шкал. Предтабличной называют с. и. логику, которая сама табличной не является, но любое ее собственное расширение оказывается табличным.

Из работы [9] известно, что всякая предтабличная суперинтуиционистская логика финитно аппроксимируема. Л. Л. Максимова, используя этот результат, в работе [11] показала, что предтабличных суперинтуиционистских пропозициональных логик ровно три: LC, L2, L32. Предтабличность первой логики была доказана в [31], остальных двух — в [37]. Данная работа продолжает исследования, начатые в работах [6,22-26,41].

Цель представленной работы заключается в:

1) получении исчерпывающего описания семейства всех полных по Новикову расширений каждой из предтабличных с. и. логик в языке с несколькими дополнительными константами и исследовании каждого пополнения на наличие явных соотношений;

2) исследовании каждого из пополнений на алгоритмическую разрешимость;

V LC L2

L3

Основные результаты работы связаны с получением ответов на сформулированные выше вопросы.

В работе используются следующие обозначения: ^ — «по определению равносильно»; := — «по определению равно»; [1,m] — натуральные числа от 1 до m включительно.

Перейдем к обзору содержания работы.

Во введении приведены базовые определения, дан краткий исторический обзор исследуемых вопросов.

2 Отметим, что для L2 и L3 используются и другие обозначения: в работе [11] указано, что логика L2 эквивалентна логике LP2, а логика L3 эквивалентна логике LQ3. Логики LP2 и LQ3 рассматривались в работе [36]. Здесь мы будем придерживаться обозначений, введенных JI. J1. Максимовой.

В первых трех параграфах приведены необходимые сведения о метаматематике р-логик. Результаты, полученные в процессе работы, приведены с их доказательствами. При написании §§1-3 автор опирался на работы [2,10,13,15,16,27,42].

В § 1 приведены сведения из метаматематики чистых логик.

В § 2 приведена семантическая характеризация предтабличных суперинтуиционистских логик в терминах шкал Крипке. Приведены утверждения о строении шкал, являющихся моделями логик ЬО (предложение 2.1) и Ь2 (предложение 2.3). Доказано аналогичное утверждение для Ь3 (предложение 2.5).

В § 3 основные метаматематические понятия и результаты переносятся на р-язык. Формально обосновывается корректность постановки проблемы полноты по Новикову для произвольной логики Ь (теорема 3.1). Для произвольных конечных р-шкал описана методика (основана на материалах работы [41]), которая позволяет исследовать конечные р-шкалы на наличие явных соотношений. Рассмотрены примеры р-шкал как с наличием, так и с отсутствием явных соотношений.

Следующие три параграфа посвящены классификации полных ^-расширений предтабличных суперинтуиционистских логик.

В § 4 показано, что любая консервативная над ЬС р-логика включена в некоторую р-логику, задаваемую конфинальным классом конечных р-цепей (теорема 4.1 и следствия 4.1, 4.2). Таким

ЬО

ривать конфинальные классы конечных р-цепей.

В работе [25] для построения полных по Новикову ^-расширений логики ЬО используется метод наростов. В настоящей работе вместо понятия «нарост» мы используем его цветовой аналог — «прототип», поэтому описание полных по Новикову ^-расширений логики ЬО с несколькими константами дается в терминах прототипов.

Определение 4.1. Прототипом С называется конечная р-цепь, в которой все точки имеют попарно различные цвета.

Из данного прототипа С строится кл асс [С := {С к | к € ш], где С к получено из С дублированием корня в к экземплярах.

ЬО

утверждения, сформулированные в п. 4.2.

Теорема 4.2 (А). Всякое консервативное р-расширение логики Даммета включено в С([Сдля, некоторого прототипа С.

Теорема 4.2 (Б). Если С\ и С2 — неизоморфные прототипы, то р-логики, определяемые

ЬО

тивную над ЬС р-логику.

Описание попарно неизоморфных прототипов р-цепей с одной и с двумя константами дано в п. 4.2. С помощью методики, приведенной в предложении 3.1, эти прототипы проанализированы на наличие явных соотношений.

§ Ь2

точно рассматривать конфинальные классы конечных р-вееров (теорема 5.1 и следствие 5.3, предложение 5.1), и приведен следующий результат.

Ь2

р

Ь2

Определение 5.1. Прототипом Т будем называть р-веер, все максимальные точки которого имеют разные цвета.

Ь2

тами, анализируется наличие явных соотношений в них.

В § 6 рассматриваются расширения логики Ь3 в языке с одной константой. Установлено,

что для отыскания примеров полных по Новикову расширений Ь3 в Ьт(р) достаточно рас-

р

рр

р,

называемый «цветовой тип класса», р-логики этих классов обозначены С1, С2, С3, С4, С5 соответственно.

Ь3

теоремы.

Ь3 р р

С1, С2, С3, С4, С5.

Теорема 6.3. р-логики С1, С2, С3, С4, С5 попарно несравнимы.

Ь3 С1,

С2, С3, С4, С5.

Далее в § 7 рассмотрены вопросы разрешимости полных по Новикову расширений предтаб-личных суперинтуиционистских логик и алгоритмическая проблема распознавания консервативности полных по Новикову расширений предтабличных суперинтуиционистских логик.

рС

торый по произвольной формуле А € ¥ш(р) определяет: А € С или А / С.

Теорема 7.1. Все полные по Новикову расширения предтабличной суперинтуиционистской логики Ь в языке ¥ш(р) являются разрешимыми.

Определение 7.2. Под проблемой распознавания консервативности будем понимать следующую массовую проблему. Пусть Ь — одна из логик ЬО, Ь2, Ь3. Пусть А € Гш(р); является ли р-логика Ь + А консервативным расширением логики Ь?

Теорема 7.2. Проблема распознавания, консервативности расширений предтабличной суперинтуиционистской логики Ь в языке ¥ш(р) алгоритмически разрешима.

§ 1. Метаматематика чистых шкал и логик

Язык логики высказываний содержит:

1) счетное множество пропозициональных переменных Var = {р0, р\,р2, • • •};

2) пропозициональные связки: V, Л, —, — ;

01

4) вспомогательные символы (скобки): ( и ).

Множество Fm формул языка логики высказываний определяется индуктивно:

1) пропозициональные переменные и константы есть формулы;

2) если A и B — формулы, то (—A), (A Л B), (A V B), (A B) — формулы;

3) других формул, кроме построенных по пи. 1 и 2, нет.

р

q, ... (возможно, с индексами), и прописные латинские буквы A, B, C, ... — для обозначения

A

AA Определение 1.1. Подстановкой [2] на множестве Fm называется отображение

s: Fm — Fm,

удовлетворяющее условиям: s(A о B) = s(A) о s(B), где о е {Л, V, —}; s(—A) = —s(A), s(0) = 0,

s(1) = 1-

Int

меньшее подмножество множества Fm, содержащее аксиомы интуиционистского исчисления высказываний [4], и замкнутое относительно правил вывода modus ponens (A,A — B / B) и подстановки.

Одним из примеров формулы, выводимой в Int, является формула A — A.

Определение 1.3. Суперинтуиционистская (с. и.) логика — это произвольное подмножество L £ Fm, включающее Int и замкнутое относительно правил modus ponens и подстановки.

Через L + А обозначается наименьшая логика, включающая логику L и содержащая формулу A.

1.1. Шкалы и модели

Дадим необходимые сведения из метаматематики с. и. логик (приведенные здесь сведения частично опираются на [28] и [25]).

Определение^. Шкалой называется пара (W, где W — непустое множество, а ^ — частичный порядок на нем. В некоторых случаях будем отождествлять ч.у.м. с его носителем.

Элементы шкал будем в дальнейшем называть точками. При x ^ y говорят, что точка x видит точку y. При наличии наименьшего элемента он называется корнем,, а шкала — корневой, (или порожденной). При наличии наибольшего элемента он называется топом,. Предикат max^ x означает, что x — максимальный элемент частично упорядоченного множества W.

Определение 1.5. Подмножество X С W называется конусом,, если оно замкнуто относительно увеличения: x Е X, x ^ y ^ y Е X. Конус вида Wx = {y Е W | x ^ y} называется

xx W' С W и W' — конус, то говорят, что конус W 'порожден из шкалы W.

Например, W и 0 являются конусами. Множество кон усов шкалы W обозначаем через Con W.

W' С W

менты этого множества попарно сравнимы (несравнимы), то есть "ix, y Е W'(x ^ y V y ^ x) {ix, y Е W'(x ^ y Л y ^ x Л x = y)).

На множестве Con W рассматриваются теоретико-множественные операции и, П, а также операции псевдодополнения и относительного псевдодополнения:

-X = {x Е W I Wx П X = 0}, X D Y = {x Е W I X П Wx С Y П Wx}.

Конус X шкалы W называется плотным,, если--X = W. Точечный эквивалент этого

условия i x 3 y ^ x: y Е X [15].

Структура (ConW, П, U, D, —, 0,W) является примером псевдобулевой алгебры (алгебры Гейтинга). Псевдобулевы алгебры (п.б.а.) являются моделями интуиционистской логики высказываний так же, как булевы алгебры — моделями классической логики высказываний (см., например, [15,32,40]). В некоторых случаях мы будем отождествлять алгебру конусов Con W

Известны следующие теоремы о представлении псевдобулевых алгебр (например, [20,29]):

Теорема 1.1 (о представлении псевдобулевых алгебр). Всякая п.б.а. изоморфна подалгебре алгебры ConW для, некоторой шкалы W.

Теорема 1.2 (о представлении конечных псевдобулевых алгебр). Всякая, конечная, п.б.а,. Con F F

В связи с теоремой 1.1 широко применяется понятие обобщенной шкалы [28].

(W, S) W

S Con W

гда будем понимать обобщенные шкалы, удовлетворяющие условию S = ConW. Любую шкалу W (W, Con W)

шкалу иногда будем называть просто шкалой, если ее тип ясен из контекста.

Определение 1.8. Пусть (W, S) — шкала. Отношение отделенности н а множестве W определяется (см. [34,35]) следующим образом:

x — y ^ x <y & ЗУ е S: x /У & y е Y.

Определение 1.9. Точка x e W имеет, глубину 1, если не существует y У x (обозначение d(wr,s)(x) = 1, это анадог максимадьности в обычной шкале). Точка x е W имеет, глубину k > 1 (обозначение d(w,s)(x] = k, k е ш) тогда и только тогда, когда существует -—-цепь x — xi — x2 — ... — 1 длины k и не существует -—-цепей с началом в точке x длины k + 1.

В дальнейшем, если из контекста ясно, о какой шкале идет речь, то индекс в обозначении глубины опускается.

Определение 1.10. Оценкой переменных в шкале ц = (W,S) называется отображение v: Var — S, при этом v(p) называется значением, переменной p относительно оценки v.

На множество Fm оценка v распространяется по индукции:

v(0) := 0; v(1) := W; v(A Л B) := v(A) П v(B); v(A V B):= v(A) U v(B); v(A — B) := v(A) D v(B); v(-A) := -v(A).

Пара (ц, v) называется моделью, а конус v (A) — значением формулы A относительно оценки v. По оценке v определяется отношение вынуждения: x | A ^ x е v(A) (читается так: x v A

Формула A истинна в модели (ц, v), если v(A) = WM, где W^ — наибольший конус шкалы ц; общезначима в шкале ц, если для любой оценки v в шкале ц имеем v(A) = W^ ( ^ ц\= A).

Определение 1.11. Логикой класса, M = {(Wi, Si) | i е I)} шкал называется множество L(M) формул, общезначимых в каждой шкале этого класса.

Замечание 1. Это множество действительно является логикой, поскольку в нем присутствуют все аксиомы Int и оно замкнуто относительно правил подстановки и модус поненс [42].

Теорема 1.3. Для всякой с. и. логики L существует класс M обобщенных шкал, такой, что L = L(M).

Это утверждение приводится в разных источниках и разных формулировках, например, в статье М.В. Захарьящева [3, с. 404, абз. 2] и в работе X. Оно [40].

M,

L

L.

p

Пусть ц = (W,S) — шкал a, Wo е Con W (порядок на Wo наследуется из порядка на W) и So = {X П Wo | X е S}.

Определение 1.12. Шкала ц0 = (Wo,So) называется по^шкалой, порожденной из ц конусом Wo ( ^ цо С ц).

Если v — оценка на ц, то наследуемая оценка, v' на ц' определяется посредством v'(p) ^ ^ v(p) П Wo для всex p е Var.

Теорема 1.4 (о порожденной модели). При указанных предположениях для любой формулы A е Fm имеет место v'(A) = v(A) П W'.

Определение 1.13. Пусть ц = (W, S), ц' = (W', S') — шкалы. Отображение h: W — W' называется p-мо^измом шкалы ц на ц', если выполнены следующие условия:

• h — сюръективное отображение;

• x ^ y ^ h(x) h(y) (монотонность);

• z h(x) ^ 3y ^ x: h(y) = z (конусность);

• УХ е S': h-i(X) е S, где h-i(X) — полный прообраз конуса X по h (непрерывность — по аналогии с «прообраз открытого множества открыт»). Обозначение h: ц — ц'.

Предложение 1.1. Пусть (Ш,Б) и (Ш', Б') — шкалы, Н: (Ш,Б) ^ (Ш',Б'). Тогда для всех х € Ш выполнено неравенство й(х) ^ й(Н(х)).

Пусть Н: ц ^ ц' и V — оценка на ц'. Прообраз (Ь-1у) оценки V относительно Н определяется так: (Н-1v)(p) ^ Н-1^(р)) для всех р € Уат.

Теорема 1.5 (о р-морфизмах моделей). При указанных предположениях для любой формулы А выполнено (Н-11^(А) = Н-1 А)).

Отношение редуцируем,ост,и ц У ц' на классе шкал определяется так:

ц У ц' ^ Бц0 ^ Ц БН: ц0 ^ ц'.

Пусть М и N — некоторые классы обобщенных шкал. Отношение редуцируем,ости на классах шкал определяется следующим образом:

N У М ^ Уц € М Бц € N : ц У ц.

Говорят также, что класс М мажорируется классом N.

Следующие две теоремы вытекают из метаматематических результатов, приведенных, например, в [27].

Теорема 1.6 (прямая о сравнении логик). Пусть М и N — произвольные классы, обобщенных шкал. Тогда, u,зN У М следует Ь^) С Ь(М).

Теорема 1.7 (обратная о сравнении логик). Пусть Е — некоторый класс конечных порожденных шкал, а М — произвольный класс обобщенных шкал. Тогда, из Ь(М) С Ь(Е) следует, М У Е.

Теорема 1.8 (финитная аппроксимируемость Ш). Пуст,ь Е — класс всех конечных порожденных шкал. Тогда, Ь(Е) = Ш

Напомним, что с. и. логика называется финитно аппроксимируемой, если она характеризуется некоторым классом конечных шкал [8].

§2. О предтабличных суперинтуиционистских логиках

Определение 2.1. Табличной, называют с. и. логику, которая может быть характеризована конечным числом конечных шкал.

Определение 2.2. Предтабличной называют с.и. логику, которая сама табличной не является, но любое ее собственное расширение оказывается табличным.

В работе [11] семантическая характеризация предтабличных суперинтуиционистских логик построена с помощью шкал Крипке.

Определение 2.3. Будем называть цепью конечную линейно упорядоченную шкалу; цепь из п элементов обозначим Сп.

Определение 2.4. Будем называть веером, конечную корневую шкалу глубины 2; веер с п максимальными элементами (крыша, веера) обозначаем Еп.

Типичный веер имеет следующий вид:

тп

г

Определение 2.5. Будем называть даймондом конечную корневую шкалу глубины 3 п

значаем Бп.

Типичный даймонд имеет следующий вид:

t

Отметим, что в работе [12] термину «даймонд» соответствует термин «юла». Замечание 2. Заметим, что понятие «цепь», «веер» и «даймонд» легко обобщаются на шкалы с бесконечным числом элементов.

Определение2.6. Логикой Даммета [30] LC называется логика, полученная добавлением к Int аксиомы линейности

Lin := (p — q) V (q — p).

Наличие в LC указанной аксиомы обуславливает специфические свойства шкал, являющихся моделями логики LC, которые будем также называть LC-шкалами.

Общезначимость аксиомы линейности в обобщенной шкале описывается следующим предложением.

Предложение 2.1 (строение LC-шкад, [25]). Обобщенная шкала ц = (W,S) является моделью логики Даммета тогда и только тогда, когда в любой ее порожденной корневой подшкале (W',S') семейство кон усов S' линейно упорядочено отношением включения С.

Из упомянутых выше работ А. В. Кузнецова и Л. Л. Максимовой следует, что характеристическим для LC является класс C всех конечных цепей3. Более того, для характеристичности класса достаточно, чтобы он содержал конечные цепи сколь угодно большой высоты (конфи-нальный подкласс). В самом общем случае имеем [25]

Предложение2.2. Класс M обобщена ых LC-шкал является характеристическим тогда и только тогда, когда C ^ M.

Определение 2.7. Логикой L2 называется логика, полученная добавлением к Int аксиомы ограничения глубины не более 2

bd2 := pi V (pi — (p2 V -p2)).

Наличие в L2 указанной аксиомы обуславливает специфические свойства шкал, являющихся моделями логики L2, которые будем также называть L2- шкалам,и.

Предложение 2.3 (строение L2-mKM, [25]). Обобщенная шкала ц = (W,S) является моделью логики L2 тогда и только тогда, когда ее вы,сот,а, не превосходит, 2.

Характеристическим для L2 является кл асс F всех конечных вееров. Заметим, что при 1 ^ k < n веер Fk является p-морфным образом веера Fn. Отсюда следует, что любой кон-финальный подкласс F' класс a F также является характеристическим (подкласс конфинален, если он содержит вееры Fk сколь угодно большой ширины). В общем случае имеем [25]

M L2

гда и только тогда, когда F' ^ M для некоторого конфинального подкласса F' С F.

3 Отсюда обозначение — LC — Logic of Chains.

Определение 2.8. Логикой L3 называется логика, полученная добавлением к Int аксиом ограничения глубины не более 3

bd3 := pi V (pi ^ (p2 V (p2 ^ (Рз V -рз)))) и слабого закона исключенного третьего

kc := —p V ——p.

Наличие в L3 указанных аксиом обуславливает специфические свойства шкал, являющихся моделями логики L3, которые будем также называть L3-шкалами.

Предложение 2.5 (строение L3-шкад). Пу сть ц = (W, S ) — шкала.

(1) Если ц \= bd3, то Ух е W (d(x) ^ 3).

(2) Если ц — корневая шкала и ц\= kc, то для любых двух непустых конусов X,Y е S их пересечение непусто.

Доказательство. 1) Пусть в шкале ц нашлись такие элементы х, y, z, t, что х — y — — z — t и x е Y, y е Y, y е Z, z е Z, z е T, t е T для некоторых Y, Z,T е S. Если положить v(pi) := Y, v(p2) := Z, v(p3) := T, то при такой оценке в точке х опровергается формула bd3.

X, Y S.

v(p) := X. Тогда Y С —X, т. е. —X = 0 и, следовательно, в точке o е W опровергается формула kc. □

Характеристическим для L3 является класс D всех конечных даймондов. Заметим, что любой конфинальный подкласс D' ^дасса D := {Dn\n еш,и> 0} также является характеристическим, поскольку при 1 ^ k < и даймонд Dk ^^дается образом даймонда Dn (подкласс конфинален, если он содержит даймонды Dk для сколь угодно больших k).

Обозначения bd2, bd3, kc взяты из [28], где так обозначаются соответствующие логики BD2 = Int + bd2 (bounded depth 2), BD3 = Int + bd3 (bounded depth 3), KC = Int + —p V ——p.

§ 3. Метаматематика p-шкал и 7p- логик

В этом параграфе приводятся необходимые сведения из метаматематики р-логик и р-шкал (изложение адаптировано для языка с несколькими константами и опирается на [16,23,41]).

Напомним, что к пропозициональному языку добавляется набор дополнительных логических констант р = {р\,р2,...,рп}~, получается класс Fmijp) формул расширенного языка, при этом формулы из Fm были названы чистым,и. Формулы без переменных называются константным,и, Fmc(p) — класс константных формул. Понятие подстановки, переносится на расширенный язык: s(pi) = pi для всех pi G p.

Определение 3.1. р-логикой называется множество L формул расширенного языка, Int

Через С + А обозначим наименьшую р-логику, включающую логику С и содержащую формулу A (A G FmiTp)).

Рукописное начертание букв для логик, шкал и классов шкал будет указывать на связь с расширенным языком, прямое начертание — на связь с чистым языком.

Определение 3.2. Будем говорить, что р-логика, L является консервативным расширением с. и. логики L, если L С L и для всякой чистой формулы A из A е L следует A е L.

Определение 3.3. Явным, соотношением для константы pi назовем формулу вида Pi о Б, где подформула B не содержит pi (но может содержать константы, отличные от pi).

Определение3.4. р-логик a L называется полным по Новикову расшир ением логики L, если С консервативна над L и для любой формулы A G FmiTp), не принадлежащей С, р-логика L + A неконсервативна над L (то есть L не допускает, присоединения, никакой новой формулы).

Если ф = {ф}, то явное соотношение имеет вид ф о В для некоторой чистой формулы В. Тогда можно сказать, что С определяет новую конетанту в Ь.

Подход Новикова к понятию новой константы адаптирован А. Д. Яшиным [41]: понятие новизны трансформируется в понятие независимости констант.

Определение 3.5. Будем говорить, что ф-логика С определяет, новые независимые логические константы, в Ь, если С консервативна над Ь и для любого явного соотношения фг о В Тр-логика С + фч о В является неконсервативной над Ь (другими словами, С не допускает присоединения никаких явных соотношений для дополнительных констант).

Ь

• построить явные примеры полных над Ь ф-логик с независимыми константами (проблема-минимум) ;

• описать класс всех полных по Новикову ф-логик (проблема максимум).

Следующая теорема является формальным обоснованием корректности постановки пробле-

Ь.

Теорема 3.1. Пусть Ь — некоторая с. и. логика. Любая консервативная, над Ь ф-логика включена в некоторую максимальную консервативную над Ь ф-логику.

Доказательство. Зафиксируем некоторую консервативную над с.и. логикой Ь Тр-логику С. Положим X := {С' | С С С' и С' — консервативное расширение Ь}, X — упорядочено по включению. Нетрудно убедиться, что всякая цепь в X имеет верхнюю грань, откуда по лемме Цорна, найдется максимальная по включению ф-логика С'' такая, что СС С' и С' — консервативное расширение Ь. □

Однако этот результат ничего не дает в плане эффективного описания как конкретных примеров полных логик, так и всего семейства полных логик.

Определение 3.6. Обобщенной Тр-шкалой называется структура вида (ТУ, ¿>;Ф), где (И7,¿>) — обобщенная шкала, Ф = ($!,...,$„) — набор конусов из 5, которые также будем

называть константам,и. О каких константах идет речь, будет ясно из контекста.

ф

дем понимать обобщенные ф-шкалы, удовлетворяющую условию 5 = СопШ. Аналогично, любую Тр-шкалу (ТУ;Ф) можно естественным образом отождествить с обобщенной ф-шкалой (И7, Соп Ш', Ф). Обобщенную ф-шкалу будем иногда называть просто ф-шкалой, если ее тип ясен из контекста.

Определение 3.7. Оценкой переменных в ф-шкале /л = (И7, 5; Ф) называется отображение V: Уат — Б.

На стандартные связки оценка распространяется, как описано выше. Для новых констант для любой V полагаем ) := Фг, г € [1,п].

Конусы для интерпретации констант на обобщенной ф-шкале /л = (И7, Б; Ф) можно задавать также с помощью понятия цвета [1].

ф

го существует 2п цветов). Цвет,ом, точки, х обобщенной ф-шкалы /л называется множество со1(ж) := {(рг € ф | ж II- (рг). В случае одной константы точку х назовем окрашенной, если х € Ф, и соответственно неокрашенной, если х € Ф.

ф

ф

Класс Л4 = {(И^, ¿н; Ф^) | г € /)} ф-шкал будем называть характеристическим для Ь, если таковым является класс обедненных (без выделенных конусов) шкал М = {(Шг,Бг) | г € I)}.

Определение 3.9. р-логикой, класса Л4 обобщенных р-шкал называется множество

£(М) ^ {А е Fm(p) I Vß G Л4 : ß \= А}.

L L

торым классом обобщенных шкал; введем в каждой шкале этого класса набор выделенных конусов каким-либо образом, получим характеристический класс обобщенных ^-шкал и его ^-логику С. При этом чистый фрагмент L совпадает с L.

В работе [16] рассмотрено расширение пропозиционального языка произвольным набором р дополнительных логических связок произвольной местности. Модели р-логик в таком языке названы посредством р-п.б.а,., то есть псевдобулевыми алгебрами с заданными на них дополнительными операторами; доказана теорема о моделируемости р-логик классами р-п.б.а. В нашем частном случае эта теорема формулируется следующим образом

Теорема 3.2 (о моделировании р-логик). Для всякой р-логики С существует класс обобщенных р-шкал A4 такой, что С = £(Л4).

Для всякой консервативной над L р-логики С существует характеристический для L класс обобщенны,X р-шкал Т такой, что С, = C(J-).

Пусть ß = (W, S; Ф) — р-шкала. Порожденная конусом W' р-подшкала определяется так: _, ^

ß' = (W',S'; Ф ), где S' = {X П W' \ X G S}, Ф^ = Ф* П S', г G [1 ,п]. ( ^ ß! ç ß).

Для обобщенных р-шкал ß = (W., S] Ф) и ß! = (W', S'\ Ф ) определение р^ -м орфизм а (понятие и обозначение взяты из [16]) получается из определения р-морфизма добавлением пункта

о согласовании констант: h-i(^'i) = Ф^ i e [i,n]. Обозначение h : ß ß!.

Для р-логики С через Сс будем обозначать ее константный, фрагмент, то есть

Сс = СП Fmc(p).

Л е м м а 3.1. Пусть ß ß. Тогда имеет место Lc(ß) = Lc(ß').

р

ß 4 n ^ ^П Ç П ^h : n ^ ß.

Отношение р-редуцируемости на классах р-шкал определяется следующим образом:

Тр Тр

M 4 N ^ Vß eM 3n e N : ß 4 n.

Теорема 3.3 (прямая теорема сравнения р-логик). Для любых классов Mu N обобщенных р-шкал из M^ 4 N следуеm, L(N) Ç L(M).

Эта теорема аналогична прямой теореме сравнения для чистых с. и. логик и доказывается подобным же образом. По аналогии с р-шкалой, р-цепью будем называть структуру вида С-к '■= (Ск, Ф) — цепь Ck с выделенными конусами Ф = {Ф1,..., Фп G ConCk}-

р-веером будем называть структуру вида J-k '■= (Fk, Ф) — веер Fn с выделенными конусами Ф = {ФЬ...,Ф neConFk}.

р-даймондом будем называть структуру вида Т)^ := (Dn, Ф) — даймонд Dn с выделенными конусами Ф = {Ф1,..., Фга G ConDk}.

Все определения для р-цепей, р-вееров и р-даймондов являются частными случаями опре-р

В дальнейших рассуждениях мы опираемся на работу [41].

Определение 3.10. Пусть F — произвольная конечная шкала. Набор конусов {Xi,... ... ,Xs} называется системой образующих п.б.а. ConF, если наименьшая подалгебра этой ал-

Con F

Определение 3.11. Минимальной называют систему образующих, у которой никакая собственная подсистема не порождает всю алгебру ConF.

В ф-шкале J- = (F] Ф) нас интересует набор Ф и его подпаборы как возможные системы образующих.

Для произвольной конечной корневой ф-шкалы J- = (_F; Ф) имеет место

Л е м м а 3.2. Набор Ф является системой образующих п.б.a. ConF тогда и только тогда, когда Тр-шкала F является Тр-несжимаемой, то есть не существует щ-м, орфизм а на ф-шкалу с меньшим количеством, точек.

Если ф-логикa L имеет явное соотношение вида фг о Б, то, подставляя в B вместо переменных константы, отличные от фг, получим явное соотн ошение фг о Б 'с константной правой частью Б'.

Предложение 3.1. В конечной, ф-шкале F с системой образующих Тр существует явное соотношение для ipi тогда и только тогда, когда при удалении, Ф^ из F Тр \ {ф{\-шка,л,а, (F; Ф1,..., Фг_1, Фг+1,..., Фп) по прежнему остается несжимаемой, то есть не существует

Ihp\{ipi} -м,орфизм,а, на,Тр \ {ф i}-шкалу с меньшим числом точек.

ф

ке За. Удалим из точки крыши константу ф\] получим Тр-шкалу, указанную на рисунке 36, для которой существует р^-морфизм на ф-шкалу, указанную на рисунке Зс.

ф ф1

ЛОГИЧНО ДЛЯ ф2-

ф1 ф2 ф2 ф2 ф1ф2 ф1 ф2

а b с d е g

Рис. 3

Пример 3.2. Рассмотрим конечную ф-шкалу, раскрашенную так, как показано на рисунке 3(1 Удалим из точки крыши константу ф2; получим Тр-шкалу, указанную на рисунке Зе, для которой не существует р-морфизма на ф-шкалу с меньшим числом точек, аналогично, удалив из точки крыши константу ф\, получим ф-шкалу, указанную на рисунке 3д.

Тогда по теореме 3.1 в ф-шкаде существует явное соотношение, а именно ф\ о ф2•

§ 4. Пополнения ЬС: классификация, примеры с одной и двумя константами и явные соотношения в них

В настоящем параграфе мы покажем, что любая консервативная над ЬС ф-логика включена в некоторую ф-логику, задаваемую конфинальным классом конечных Тр-цепей. 4.1. Редукция к конечным ф-цепям в логике ЬС

Теорема 4.1. Пусть /л = (И7, 5; Ф) — обобщенная ф-шкала с корнем о € И7 такая, что (И7, ¿>) |= ЬС. Тогда, для, некоторого I существуют конечная Тр-цепь = Ф) и, р^ -морфизм

/: (УК, Ф) (Сг, Ф). При этом если в /л реализуется строго возрастающая последовательность цветов длины, т, то вы,сот,а, Тр-цепи, С не менее т.

Приведем ряд вспомогательных определений и утверждений, сформулированных в условиях теоремы 4.1.

Зададим па Ш отношение эквивалентности х ~ у ^ со1(х) = со1(у) Классы эквивалентности назовем цветовыми компонентами (для краткости компонентам,и)] обозначаем их буквами X, У^, ••• Через со1(Х) обозначим цвет комионенты X (аналогично цвету точки х ^ со1(х)).

со1(Х) := {ф1 <Еф \ Мх <Е X : х\\~ фг).

Обозначаем СОЦХ) ^ р|{фг | фг е со1(Х )}• Заметим, что СОЦХ) ев и X С СОЦХ )•

На множестве компонент зададим поминальное отношение порядка:

X — У ^ со1(Х) £ со1(У)•

Иррефлексивность и транзитивность этого отношения очевидны.

Л е м м а 4.1. Номинальное упорядочение компонент является линейным,.

Доказательство. Пусть X = У — компоненты. Докажем, что X — У или У — X. Предположим противное, то есть, что X — У и У — X, другими словами, что

со1(Х) £ со1(У) и со1(У) £ со1(Х)•

Тогда найдутся константы ]) такие, что фц € со1(Х)\со1(У), € со1(У)\со1(Х).

Рассмотрим некоторые точки х е X и у е У. Имеем х II фг, у I/ фг; х I/ фj, у II фj . Это означает, что конусы Фг и Фнесравнимы по включению, что противоречит строению ЬС-шкал. □

Напомним, что при п константах существует 2п попарно различных цветов.

Номинальное упорядочение компонент ничего не говорит о реальном расположении компонент относительно друг друга. Следующая лемма проясняет этот момент.

Л е м м а 4.2. Пусть X — У и х е X. Тогда, х видит какую-то точку из У.

Доказательство (индукция по глубине компоненты 5 (У) в поминальном упорядочении).

Пусть 5(У) = 1, то есть У — наибольшая компонента. Покажем, что У = СОЦУ)• Включение У С СОЦУ) очевидно. Покажем, что СОЦУ) С У Если это не так, то найдется точка у е СОЦУ), у фУ- То есть у II- Д{фг | У II- фг}, со1(у) ф со1(У). Существует константа фу е Тр такая, что фj е со1(У) и у I фj, то есть у входит в некоторую компоненту, расположенную номинально выше У Но это противоречит тому, что У — наибольшая компонента. Таким образом, имеем СОЦУ) = 0, СОЦУ) е в В силу строения корневых ЬС-шкал, любой непустой допустимый конус плотен. Поэтому х видит какую-то точку у из СОЦУ) = У

Теперь пусть 5(У) > 1 и для всех компонент меньшей глубины утверждение верно. Докажем, что х видит какую-то точку из У

Предположим противное и рассмотрим компоненту 2 У У Имеем 5(У) < 5(У)• По предположению индукции х видит хотя бы одну точку из 2. Докажем, что х е СОЦУ) Э С0Ц2) методом от противного.

Допустим, что х е СОЦУ) Э С0Ц2)• Тогда найдется и е Ш такая, что и ^ х, и е СОЬ(У), и е С0Ь(2). Получаем, что, с одной стороны, и и е 2, а, с другой, так как х не видит никакую точку из У, что и е У. Пусть и — компонента, содержащая точку и. Имеем и = Уши = 2 поскольку компоненты либо совпадают, либо не пересекаются. Тогда У — и (так как и е СОЬ(У)) и и — 2 (так как и е СОЬ(2)). Противоречие с тем, что 2 У У.

Итак, х е СОЦУ) Э С0Ц2)• Выберем произвольную точку у е У. С одной стороны, имеем у е СОЦУ) Э С0Ц2)• С другой стороны, у е СОЦУ), х е СОЦУ). Получаем два допустимых конуса СОЦУ) и СОЦУ) Э С0Ц2), несравнимых в в, что противоречит строению ЬС

Таким образом, х видит какую-то точку из У Индукционный шаг проведен. Лемма дока-

□

Завершим доказательство теоремы 4.1. Рассмотрим множество компонент с номинальным упорядочением как искомую цепь С := ({X | X — компонента}, —)• Фj := {X | X I фj} и отображение /: Ш — С действует то правилу: для х еШ / (х) := {у еШ | со1(х) = со1(у) }•

Убедимся, что / является аморфизмом из Ш па С.

Сюръективность очевидна.

Монотонность. Если х е X, у еУ и х ^ у, то со1(Х) С со1(У) и X ^ У.

Конусность. Следует из леммы 4.2.

Непрерывность. Рассмотрим прообраз конуса Сх = {{У} | X 4 У}.

/-1(Сх) = /-1({{У} | X 4 У}) = и/-1({{У} | X 4 У}} = = и {У | X 4 у } = СОЦХ) е в.

Убедимся, что отображение / является р^-морфизмом из УУ на (С; Ф). Нетрудно проверить, ЧТО Фг = /(Фг) ДЛЯ Любого I е [1, п] • НуЖНО убвДИТЬСЯ, ЧТО /-1(Фj) = /-1(/(Фj)) = Фj• Рассмотрим прообраз конуса Фу /-1(Фj) = /-1({{Х} | X I фj}) = /-1({Х | X I фj}) =

= ч>з) = № е И7*! ж 1Ь щ} = Ф,.

Таким образом, /: (И7, 5; Ф) Л- (С; Ф).

Наконец заметим, что длина цепи С равна числу реализуемых компонент в (И7, ¿>, Ф). Итак,

□

Следствие 4.1. Пусть Ш — характеристический класс обобщенных ЬС -Тр-шкал. Тогда существует конфинальный класс С конечных (р-цепей такой, что С =4 Ш.

Доказательство. Пусть Ст — цепь из (т + 1)-го элемента. В силу характеристичности ШТ для ЬС найдутся порожденная из некоторой шкалы класса 9Я корневая ф-подшкала (И7, 5, Ф) и р-морфизм Ъ : (И7, ¿>) —Ст. Обозначим через И7^ := ¡1~1({си}) для А; е [0,..., т] — прообразы точек цепи Ст, и пусть И7 д. := И7^ и И7^! и ... и \\Тт. Заметим, что И7^ € ¿> как прообраз конуса {ск, ск+1, • ••, ст}.

Расширим исходный набор констант Тр = {<р\, <р2, ■ ■ ■, <рп} константами <рп+ <рп+2, • • •, <Рп+т по числу прообразов. Расширенный набор констант обозначим через Тр. На обобщенной ф-шкале (И7, ¿>; Ф) каждую новую константу <рп+к интерпретируем конусом И7^. Тем самым получаем новую ф-шкалу (И7, ¿>;Ф). В силу теоремы 4.1 существует ф-цепь С = (С;Ф) и р=-морфизм

/ : (И7,5; Ф) (С;Ф), где Ф получается из Ф добавлением конусов Ф= И7д.. Конусы Фп+т, Фп+т-1,..., Фп+1 образуют строго возрастают,ую цепь в ц, поэтому в силу второго утверждения теоремы 4.1 ф-цепь С имеет высоту не менее чем т + 1.

Теперь «сотрем» в ц и в С выделенные конусы с но мерами п + т, п + т — 1, ..., п + 1. Получаем /: (И7, 5;Ф) \ (С;Ф).

Проведя описанное построение для всех конечных цепей Ст, получим искомый класс С Тр-цепей. □

Следствие 4.2. Любам консервативная над ЬС <р-логика, включена в <р-логику некото-

ф

ЬС

ф

ЬС

ЬС

ным числом констант. Для построения полных по Новикову расширений используется метод наростов.

В своих дальнейших рассуждениях вместо понятия «нарост» мы используем его цветовой аналог — «прототип».

Определение 4.1. Прототипом С называется конечная ф-цепь С = (С, Ф1,..., Фга), в которой все точки имеют попарно различные цвета.

Заметим, что всякая конечная ф-цепь р^ -морфируется на некоторый прототип (для этого достаточно отождествить точки, имеющие одинаковый цвет):

Р1Р2

Р1

Р1

Р1Р2 Р1

Рассмотрим произвольный конфинальный подкласс С класса всех Тр-цепей. Пусть г} := {ргц Рг2, ■ ■ ■ ,(Ргв | 5 < п} — некоторый цвет. В отдельно взятой шкале индексом, цвет,а г) назовем число точек цвета г?, то есть гпсЦ (С) := \{х € С | со1(ж) = г?}|. Индексом, цвет,а г} в классе С назовем гпс!щ(С) := вир{твщ(С) \ С £ С}. Заметим, что индекс цвета в классе может быть как нулевым, так и бесконечным.

В силу конфинальности класса С найдется хотя бы один цвет, имеющий бесконечный индекс в этом классе. Все цвета в Тр-цепи упорядочены, их всего 2п. Из всех цветов бесконечного индекса найдется максимальный по включению п (если их несколько, то без ограничения общности выберем любой из них). Рассмотрим конфинальный подкласс Ссостоящий из Тр-цепей со сколь угодно длинными отрезками цвета г}. В каждой цепи класса С\ удалим все точки, расположенные ниже отрезка цвета г}. Полученные Тр-цепи по прежнему образуют конфинальный

класс С2 со сколь угодно длинными выбранными отрезками цвета г} (каждая р-цепь класса С2 — — ^

является р-подцепью некоторой р-цепи класса С \. поэтому С2 С\). Поскольку прототипы образуют конечное множество, то найдется конфинальный подкласс СЛ С С2, все Тр-шкалы которого отображаются на один и тот же прототип. Во всех шкалах класса Сз корень имеет цвет ?у, кроме того, существует шкалы со сколь угодно длинными отрезками цвета ?у. В каждой шкале класса Сз склеиваем все равноцветные точки, за исключением точек, имеющих цвето-

_ Тр

вой тип п- Получаем конфинальный класс С4, такой, что С4 4 С3. Таким образом, класс С4 — искомый. Класс С4 можно описать другими словами.

Для данного прототипа С рассмотрим операцию размножения корня: построим класс [С:= {Ск I к € ш}, где С к получено из С дублированием корня в к экземплярах с сохра-

С4

подклассом класса [СИричем С4 и [Симеют один и тот же прототип С.

Из проведенных построений и доказанных утверждений вытекает, что любая консервативная над ЬС р-логика включена в £([С]оо) для подходящего прототипа С.

Таким образом, полными по Новикову ^-расширениями логики Даммета являются Тр-логики С([С) для всевозможных прототипов С.

В итоге, установлена

Теорема4.2 (А). Всякое консервативное р-расширение логики Даммета включено в С([С]ж) для некоторого прототипа С.

Теорема 4.2 (Б). Если С\ и, С2 — неизоморфные прототипы, то Тр-логики, определяемые этими прототипами несовместны над ЬС, то есть их объединение порождает, неконсервативную над ЬС р-логику.

Действительно, найдется константная формула А такая, что А = С\ и А = С2. Тогда А € С([С1]Х) ж А € С([С2]Х). Так как С([С2]ж) полна то Новикову, то А не присоединима к С([С2]ж), то есть найдется чистая формула В такая, что А — В € С([С2}^>). Очевидно, что в объединении С([С-]]Х>) ж С([С2]<х>) выводится В (не принадлежащая ЬС).

4.3. Примеры пополнений ЬС с одной и двумя константами и явные соотношения в них.

р

1. С одной константой р = {р}. Имеем следующие прототипы:

®

2. С двумя константами V = {VI, V2}•

Во-первых, есть прототип с обеими пустыми константами, изоморфный прототипу 1 из предыдущего абзаца.

Во-вторых, есть прототипы, изоморфные прототипу 2 из предыдущего абзаца, где V заменено на VI (или V2)•

В-третьих, есть прототипы, изоморфные прототипу 3 из предыдущего абзаца, где V заменено на VI (или V2)•

Интересны прототипы с обеими непустыми константами:

¥>1¥>2

¥>1¥>2 ¥>1

V1V2 V2

VI

V1V2 V2

©

0

С помощью методики, указанной в предложении 3.1 проанализированы на предмет явных соотношений прототипы для одной и для двух констант. Результаты приведены в двух нижеследующих таблицах.

Таблица 1. Явные соотношения в прототипах уцепей для одной константы

Прототип № Соотношение

1 V о 0

2 V о 1

3 нет

Таблица 2. Явные соотношения для двух констант в прототипах V-цепей с непустыми VI и V2

Прототип № Соотношение Прототип № Соотношение

1 VI ^ V2 4 V2 1

2 <£>1 О 1, <£>2 1 5 нет

3 VI о 1 6 нет

§5. Пополнения Ь2: классификация, примеры с одной и двумя константами и явные соотношения в них

В настоящем параграфе мы покажем, что любая консервативная над Ь2 ф-логика включена в некоторую Тр-логику, задаваемую подходящим конфинальным классом конечных ф-вееров.

В работе [25] дано описание полных по Новикову расширений логики Ь2 для случая одной константы. В настоящем параграфе мы приведем аналогичные результаты для случая п констант.

5.1 Редукция к конечным увеерам в логике Ь2

Теорема 5.1. Пусть (И7, Б; Ф) — обобщенная Тр-шкала с корнем о такая, что (И7, Б) \= Ь2, Рт — веер и Н: (№,Б) —» Рт. Тогда существуют 1р-веер }71, где т ^ I ^ т ■ 2п, и р^ -

морфизм /: (И7, 5; Ф)

Пусть точка а0 — корень Ьт, а точки а1,а2,..., ат образуют крышу веера Ьт. Обозначим полные прообразы точек аг через := Н-1({а0}), Шг := Н-1({аг}) для г = [1,ш]. Прообраз крыши веера Рт обозначим через И7 := И3 определения р-морфизма получаем, в

частности, что И7 € 5*.

Приведем ряд вспомогательных утверждений, сформулированных в условиях теоремы 5.1.

Л е м м а 5.1. Пусть Шо П Фу = 0. Тогда Шо С Фу.

Доказательство. Пусть х € Шо П Фу и Шо С Фу Тогда о € Фу Получили о — х. Далее, конус \¥ плотен в Ш, поэтому найдется точка у £ \¥ такая, что у ^ х. Поскольку х € Шо, получаем х < у. Отсюда х — у. Получи ли -—-цеп ь о — х — у, что противоречит строению Ь2-шкад. □

Следствие 5.1. Для любых х,у € Шо имеем со1(х) = со1(у).

Пусть г > 0. Рассмотрим на каждом Шг отношение «равноцветности»

х ~ у ^ со1(х) = со1(у).

Поскольку число возможных цветов равно 2п, множество Ш г разбивается на дизъюнктные непустые компоненты в количестве от 1 до 2п. Компоненту, содержащую точку х € Ш г, можно записать так:

М = ^П р| Фу п р| ф3

(здесь Фу обозначает теоретико-множественное дополнение).

Л е м м а 5.2. Имеет место равенство Шг \ Фу = Шг П (—Фу) для У г € [1, т] и У] € [1,и].

Доказательство. Включение 5 следует из того, что —Ф^- С Фу (согласно определению операции псевдодополнения на конусах).

Докажем обратное включение. Рассмотрим точку х € Шг такую, что х € Фу- Допустим противное, что х € —Фу Тогда найдется точка у € Фу такая, что у ^ х. Получаем х < у, поэтому х — у. Кроме того, х € Шг, о € Ш, то есть о — х. Как и в доказательстве леммы 5.1, получили —-цепь о — х — у. (^иоё поп. □

Следствие 5.2. Для любого г € [1,т], для любого х € Шг компонента [х] разбиения конуса является элементом п.б.а. Б.

Л е м м а 5.3. Пусть у € Шо. Для любого г € [1, т], для любой компоненты X разбиения конуса Шг имеем, Шу П X = 0.

Доказательство (от противного). Пусть нашлась точка у € Шо, которая не видит ни одной точки из X. Тогда у € — X (в силу предыдущего следствия X € Б).

Корень о видит компоненту X (она непуста), поэтому о € — X. Получили о — у.

Далее, конус Ш плотен в \У, поэтому найдется г £ Ш такая, что у ^ г. Так как у £ И^о, имеем у < г и у £ \У, т.е. у < х.

Снова получили —-цепь о — у — г. (^иоё поп. □

Пусть конус Шг разбит на кг

компонент X1, X2,..., X кг. В веере каждую максимальную точку аг размножим в кг точек а1, а2, ...,ак. Получим ¿-веер где I = к\ + к2 + ... + кт (корень Ь) по прежнему обозначен через а0).

Зададим отображение /: Ш — Ь по следующему правилу:

/ (Шо) = ао,

/(X?) = а\ для § € [1; кг].

/

Монотонность. Пусть х < у в Ш. Разберем возможные случаи отдельно.

Если х,у € Шо, то /(х) = ао = /(у).

Если х € Шо и у € Шг, то /(х) = ао, /(у) € {а1, ...,ак}, поэтому /(х) < /(у).

Если х, у € XI, то /(х) = /(у).

Наконец, в предположении х < у точки х и у не могут принадлежать разным компонентам разбиения конуса Ш. В самом деле, если у € XI и х € Xj, то х — у (напомним, что компоненты являются элементами п.б.а. ¿>). При этом х £ IV, о ф Ш. Получили —-цепь о — х — у, что невозможно.

Конусность. Пусть f (х) < Ь в веере Это означает, что f (х) = а0, т. е. х е Ш0 и Ь совпадает с некоторым а?. В силу леммы 5.3 точка х видит компоненту X?, т.е. Ш П X? = 0. Значит, найдется у > х такая, что f (у) = а? = Ь.

Непрерывность. Покажем, что для любого X е СопЬг выполнено /-1(Х) е Б.

Для конуса {а?} имеем Ь,-1({а?}) = X? е Б в силу леммы 5.2.

Для конуса ^ имеем = Ч^ £ Б.

Превратим веер ^ в увеер, перенося раскраску из (И7, Б; Ф):

со1(а0) := со1(Ш0) и со1(а?) := co1(X,?). Корректность этого определения следует из следствия 5.1 и из определения отношения равпо-цветности.

Таким образом получили увеер и желаемый р^-морфизм. Теорема 5.1 доказана. □

Следствие 5.3. Пусть ЛЛ — произвольный Ь2-характеристический класс обобщенных (р-шкал. Тогда существует конфинальный класс Т (р-вееров такой, что Т 4 ЛЛ

Доказательство. Зафиксируем натуральное число т. В силу Ь2-характеристичпос-ти класса найдутся порожденная из некоторой шкалы этого класса корневая подшкала (УК, Ф) и р-морфизм к: (И7, ¿>) —Рт. По основной лемме найдется увеер (где т ^ I ^

^ т ■ 2п) и р^-морфизм (И7, Б; Ф) Д-

Натуральный ряд содержит бесконечное число попарно не пересекающихся интервалов вида [т, т, ■ 2п]. Для каждого из этих интервалов найдется увеер , где I £ [т, т, ■ 2п]. Все такие и образуют искомый класс Т. □

В заключение этого пункта сформулируем следующий результат.

Предложение 5.1. Полные по П. С. Новикову расширения логики Ь2 в языке с несколькими константами характеризуются подходящим,и конфинальными классам,и ^-вееров.

5.2. Прототипы и классификация полных по Новикову расширений логики Ь2

Определение 5.1. Прототипом Т будем называть увеер Т = Ф1, Ф2,..., Фга)) все максимальные точки которого имеют разные цвета.

Далее максимальные точки увеера Т будем рассматривать вместе с их цветами.

Пример 5.1. В случае двух констант один из прототипов выглядит так:

VI VIУ2

Пусть Т — прототип та — точка крыши увеера Т. Обозначим через , а] класс у вееров, полученный из Т размножением точки а с сохранением цвет,а, этой точки. Например, при размножении левой точки в веере из предыдущего примера увеера этого класса будут иметь такой вид:

VI VIУ2

Л е м м а 5.4. Любой <р-веер рпр -морфно отображается, на, некоторый, прототип.

Действительно, склеивание всех равноцветных точек крыши в одну является искомым р^-морфизмом.

Сразу получаем, что в прототипе Т и классах вида Т[Т, а] истинны одни и те же константные формулы. То есть имеет место

Следствие 5.4. Для, каждой, точки а из крыши веера, Т имеет место равенство Сс(Т) = Сс(Т [Т, а]).

Для каждой точки а из крыши прототипа введем константную формулу Col(a), описывающую ее цвет:

Col(a) ^ Д [pj\ а 1Ь pj}л/\[-Рз\ а ¥ Ps}.

Лемма 5.5. Для неизоморфных прототипов Fi и F2 имеем Lc(Fi) = Cc(F2).

Доказательство. Если крыши прототипов неизоморфны, то в одной из них, например, в крыше веера Fi, найдется точка а, не имеющая цветового аналога в крыше веера Т2. Тогда получаем F2 = — Col(a) и Fi = —Col(a). Если же крыши изоморфны, то различны цвета корней этих шкал, то есть найдется константа, истинная в одной из них и не истинная в другой. □

Л е м м а 5.6. Для всех точек а,Ъ, а = b, крыши ее ера F выполнено соотношение

L(F [F ,а]) = L(F [F ,Ъ]).

а

1гг(а) ^ (Ш(а) ^ (p V q)) ^ ((Ш(а) ^ p) V (Ш(а) ^ q)).

Для двух классов F[F, а] и F[F, Ъ] аксиома неразложимости Irr(b) выполнена в первом классе и не выполнена во втором, и наоборот, Irr (а) выполнена во втором и не выполнена в первом.

Таким образом, p-логики классов, полученных размножением разных точек одного прототипа,

□

Пример 5.2. Рассмотрим прототип, один из р-вееров класса F[F, а\] и один из р-вееров класса F[F, а2] :

Pl Pl P2

прототип

PlP2

Pl Pl Pl Pl Pl Pl

PiP2

один из р-вееров класса T\F, а\] = ((Pl Л-^2) ^ (p V q)) ^

один из р-вееров класса T\F, а2] = ((pi A-P2) ^ (p V q)) ^

^ ((<1 Л -<2) ^ р) V (<1 Л -<2) ^ д) ^ ((<1 Л -<¿>2) ^ р) V (<1 Л -<2) ^ д)

Отметим, что для набора из п констант множество всех прототипов конечно, поскольку

р 2п

Теорема 5.2. Семейство полных расширений логики Ь2 состоит из всевозможных р-логик вида С(Т^,а]), где F — прот,от,ип и а — точка крыши веера, F.

Ь2

р

Рассмотрим произвольный конфинальный класс 7- \ р-вееров. По лемме 5.4 каждый р-веер этого класса р^-морфно отображается на некоторый прототип. Поскольку число прототипов конечно, найдется конфинальный подкласс Т2 ^ Тв котором все члены имеют один и тот же прототип F.

Теперь работаем с Т2 в его прототипе конечное число точек, поэтому для этого класса существует конфинальный подкласс Тз Q Т2 и точка а из крыши прототипа ^ что Тз

а

В каждом веере из Тз склеим все равиоцветиые точки крыши в одну, кроме тех точек, которые являются прообразами точки а. Получим класс Т4 4 Тз- Кроме того, имеем Т4 С

С Т[Т, а]. С другой стороны Т[Т, а] 4 Т4. Поэтому С(Т[Т, а]) = С(Т4).

Таким образом, любая консервативная над Ь2 ф-логика включена в какую-то ф-логику вида , а)). Все ф-логики такого вида различны.

Тем самым, классификация полностью завершена (то есть решена проблема-максимум). □

5.3 Примеры пополнений Ь2 с одной и двумя константами и явные соотношения в них

Перечислим все попарно неизоморфные прототипы ф-вееров с одной константой:

Ч>

©

ф ©

®

Отметим, что в работе [25] дано следующее описание полных по Новикову расширений логики Ь2 для случая одной константы: логика Ь2 в языке с одной дополнительной константой имеет ровно пять полных по Новикову расширений С1,..., Сс5 , характеризуемых классами ф-вееров Т1, ..., Т5.

Типичные представители этих классов выглядят следующим образом:

ч> ч> ч>

ч> ч> ч>

ч> ч>

а соответствующий ф-шкалах каждого из этих пяти классов определенным образом задано

ф,

Т1 := {Т1 | п> 0}, где Т1 = (^, 0). Цветовой тип класса «ф - нигде».

г2

Т 2 Т 3

111 ,

,

= {Т^ I п > 0}, где Т2 = (Ьп, Ьп). Цветовой тип класса «ф — везде», з

п

= {Т3 I п > 0}, где Т'3 = (Ьп, {т1,..., тп}). Цветовой тип класса «ф — во всех точках

крыши».

Т4 := {Т4 | п > 1}, где Т4 = (Гп, {т1}). Цветовой тип кл асса «ф

в единственной точке

крыши»;

Т5 := {Т5 | п > 1}, где Тьп = (Ьп, {т2,..., тп}). Цветовой тип кл асса «ф — во всех точках крыши, кроме одной».

Отметим, что упомянутые пять цветовых типов имеют смысл и для каждого бесконечного

ф

Перечислим все попарно неизоморфные прототипы ф-вееров с двумя константами ф = = {фъ ф2}:

Во-первых, есть прототип с обеими пустыми константами, изоморфный прототипу 1 из предыдущего параграфа.

ф ф1

ф2

ф ф2

ф1

Интересны прототипы с обеими непустыми константами:

Р1Р2 Р1

©

Р1Р2

Р1Р2

Р1Р2

Р1Р2

Р1Р2

©

Р2

12)

Р1Р2

Р1Р2

Р2

Р2 Р2 Р1Р2

® ®

Р2 Р1Р2 0 Р2

Рис. 5

Пример 5.3. Если прототип 9 из рисунка 5

Р1Р2

Р1 Р2 Р2

Р1Р2

обеднить до набора из одной константы {р\} (т.е. «стереть» Р2), то полученный р-веер сжимается в прототип типа 4 из предыдущего примера. Аналогично получается при стирании константы р\. Таким образом, прототип 9 не содержит явных соотношений.

С помощью этой методики на основе предложения 3.1 проанализированы прототипы для одной и для двух констант. Результаты приведены в двух нижеследующих таблицах.

Таблица 3. Явные соотношения в прототипах ^-вееров с одной константой

Прототип № Соотношение Прототип № Соотношение

1 р о 0 3 нет

2 р о 1 4 нет

Таблица 4. Явные соотношения для двух констант в прототипах ^-вееров с непустыми рч и р2

Прототип № Соотношение Прототип № Соотношение

1 Р1 9 нет

2 Р1 О (р2 V 10 нет

3 р2 О (р! V -.рч) 11 Р\ О 1, Р2 О 1

4 Р1 О -.<£>2 12 о 1

5 нет 13 Р2 1

6 14 О 1

7 нет 15 Р2 1

8 нет - -

§ 6. Пополнения L3: классификация, примеры с одной константой и явные соотношения в них

В данном параграфе мы рассматриваем расширения логики L3 с одной константой.

6.1. Редукция к конечным ф-даймондам в логике L3

Теорема 6.1. Пусть (W, S; Ф) — <ф-шкала с корнем o £ W такая, ч то (W, S) |= L3, Dn — даймонд и h: (W, S) — Dn. Тогда, для, некоторого l £ [n; 2n + 1] существу ют ф-даймонд Dl = (Di, Ф) и р^-морфизм f: (W, S; Ф) (Dl, Ф).

Пусть Wr := h-1 ({г}) — прообраз корпя, Wi := h-1 ({mi}) для i £ [1,n] — прообразы миддла, Wt := h-1({t}) — прообраз топа. Эти прообразы образуют разбиение множества W. Из определения р-морфизма получаем, в частности, что Wt £ S и Wt U Wi £ S, для i £ [1,n].

Приведем ряд вспомогательных утверждений, сформулированных в условиях теоремы 6.1.

Л е м м а 6.1. Пусть x £ W и Ф = 0, тогда

(1) x £ Wr, если и только если d(x) = 3;

(2) если d(x) = 1, то x £ Wt П Ф;

(3) если x £ Wi для, некоторого i £ [1,n], то d(x) = 2;

(4) если x £ Wt, то d(x) ^ 2;

(5) если x £ Wt \ Ф, то d(x) = 2.

Доказательство. 1) Необходимость следует из определения даймонда, предложения 1.1 и предложения 2.5. Для доказательства достаточности положим d(x) = 3 и x £ Wr. Тогда либо x £ Wt, либо x £ Wi С Wi U Wt для пекоторого i £ [1,n]. В любом случае для o £ Wr получаем o — x (так как Wt £ S,Wi U Wt £ S), откуда d(o) > 3 (quod non).

2) Так как Ф = 0, то o £ — Ф. В силу (W, S) == —ф V—ф имеем o £--Ф. Далее, если x £ Ф,

то x £--Ф и найдется y £ Ф такая, что y > x, откуда y У x, что противоречит условию. Если

d(x) = 1, то то предложению 1.1 d(h(x)) = 1, откуда h(x) = t и x £ Wt.

3) Если d(x) = 3^о x £ Wr ^o пункту 6.1, а если d(x) = 1, то x £ Wt по пункту 2.

4) Действительно, если d(x) = 3, то из пункта 6.1 следует Wr П Wt = 0, что противоречит определениям множеств Wt и Wr.

5) Если d(x) = 1, то x £ Ф ^о ^^^^^у 2, что приводит к противоречию. □

Л е м м а 6.2. Если Wr П Ф = 0, то Ф = W.

Доказательство. Достаточно показать, что o £ Ф. Если o £ Ф, по условию найдется x £ Wr П Ф такая, что o -< x, откуда d(o) > 3 non). □

x, y W Ф = 0.

(1) Если x £ Wi П Фи y £ Wi \ Ф для i £ [1,n], mo x и y несравнимы.

(2) Если x £Wi и y £Wt \ Ф для, i £ [1,n], mo x ^ y.

Доказательство. 1) По условию x £ Ф, y £ Ф, значит x = y. Случай x < y невозможен, так как Ф есть конус. Случай y < x также невозможен, так как иначе y -< x, откуда d(y) > d(x) = 2, что противоречит пункту 3 леммы 6.1.

2) Если x ^ y, то Wt ^^деляет x от y, значит x — y, ^тоуда d(x) > d(y), что противоречит

□

x W Ф = 0.

(1) Если x £ Wr и Wi П Ф = 0 для i £ [1,n], то x видит какую-то точку из Wi П Ф.

(2) Если x £ Wr и Wi \ Ф = 0 для i £ [1, n], то x видит какую-то точку из Wi \ Ф.

(3) Если x £ Wr и Wt \ Ф = 0, то x видит какую-то точку из Wt \ Ф.

x Wt П Ф .

Доказательство. 1) Пусть не существует у Е Wi П Ф такого, ч то x видит у. Тогда x Е ((Wi U Wt) П Ф) D Wt, однако o Е ((Wi U Wt) П Ф) D Wt, при этом ((Wi U Wt) П Ф) D Wt E S. Получаем o — x, откуда d(o) > 3, что противоречит пункту 6.1 леммы 6.1.

2) Пусть не существует у EWi \ Ф такого, что x видит у. Тогда x Е (Wi U Wt) D (Wt U Ф). Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям пункта 1).

3) Пусть не существует у Е Wt \ Ф такого, что x видит у. Тогда для произвольного z ^ x : если z Е Wt, то z Е Ф. Значит x Е Wt D Ф, ао o / Wt D Ф, откуда o — x (quod поп).

4) По свойству конусности h найдется точка у ^ x такая, что у Е Wt. Если у Е Wt П Ф, то требуемое доказано. Если у Е Wt \ Ф, то d(x) = 2 по пункту 5 леммы 6.1, значит найдется точка z ^ у такая, что d(z) = 1, откуда z Е Wt П Ф по пункту 2 леммы 6.1. □

Ф

W, Wt

Если Ф = 0, то «перенос» цвета на Dn производится непосредственно: f := h, Ф := 0 и Dn := (Dn; 0), при этом условие согласованности цветов выполнено:

f-1(Ф) = f-1(0) = 0 = Ф.

Если Wr П Ф = 0, тогда по лемме 6.2 получаем Ф = W, откуда, аналогично предыдущему абзацу, f := h, Ф := Dn, f-1(Ф) = f-1(Dn) = W = Ф.

Далее предположим, что Ф = 0 и Wr П Ф = 0. Напомним, что в W имеется n прообразов точек миддла. Пусть без ограничения общности Wi,..., Wk — частично окрашенные прообразы (если таких прообразов нет, то к := 0); Wk+1,..., Ws — полностью окрашенные прообразы (если таковых нет, то s := к); Ws+i,... ,Wn — полностью неокрашенные прообразы (если таковых нет, то s := n). Прообраз топа может быть либо частично окрашен либо окрашен полностью.

Зададим множество {t, m1,..., mn, r} U {m\,..., mk}U {m0} попарно различных элементов. Множество {mo} добавляем, только если Wt \ Ф = 0. Для всякого x Е W положим

t, x EWt П Ф;

mi, x EWi П Ф для i Е [1,к]

mi, x EWi \ Ф для i Е [1,к];

mi, x Е Wi для i Е[к + 1,n]

r, x Е Wr.

Если ^ \ Ф = 0, то для х ЕШь \ Ф полагаем f (х) = {т0}. Ясно, что: г Е f (Ш); т0 Е f (Ш), если \Ф = 0; для г Е [1, к] имеем тг Е /(Ш), ^ети ШгПФ = 0 ж т[ Е /(Ш), ^ети ШгПФ = 0; для г Е [к + 1,П] имеем тг Е /(Ш), если Шг = 0; ^^танец, Ь Е /(Ш) по пункту 4 леммы 6.4.

Далее зададим даймонд Вг с множеством точек /(Швде Ь — вершина, г — корень, а все остальные точки образуют миддл; I := п + к, если ШДФ = 0; и I := п + к + 1, если ШДФ = 0. Убедимся, что / является аморфизмом из (Ш, Б) на Ог. Сюръективность очевидна.

Монотонность. Предположим, что х ^ у для х,у еш. Проведем разбор всех возможных

/.

Случай, когда Н(х) = Н(у), исчерпывается следующими вариантами:

(1) /(х) = /(у);

(2) хЕШь \ Ф,уЕШь П Ф; {%)хЕШг П Ф,уЕШь \ Ф;

(4) х ЕШг \ Ф, у ЕШг П Ф для г Е [1,п];

(5) х ЕШг П Ф, у ЕШг \ Ф для г Е [1,п].

Случай 1) тривиален. В случае 2) имеем: /(х) = то ^ Ь = /(у). Случай 3) невозможен, Ф

Случай, когда Н(х) = Н(у), исчерпывается следующими вариантами: (1) х Е Шг;

(2) х€Шь П Ф;

(3) Н(х) & Н(у);

(4) хеШг,уеШь \ Ф.

Случай 1) тривиален, так как / (х) = г — наименьший элемент в В1. Аналогично разбирается случай 2). Случай 3) не возможен, поскольку Н — р-морфизм. Случай 4) не возможен в силу пункта 2 леммы 6.3.

Конусность. Пусть /(х) & т. Докажем, что в этом случае найдется у ^ х такая, что / (у) = т. Рассмотрим случай, когда /(х) = г и т — точка миддла. Возможны следующие варианты:

(1) т = тг для г € [1,п] — существование такого у следует из пункта 1 леммы 6.4;

(2) т = тг для г € [1,п] — существование такого у следует из пункта 2 леммы 6.4.

(3) т = то — существование у следует из пункта 3 леммы 6.4.

В случае, когда т = Ь, существование у следует из пункта 4 леммы 6.4.

Непрерывность. Достаточно показать, что следующие множества лежат в Б: /-1(В^), /-1{Ь}, /-1{то,Ь}, /-1{тг,Ь}, /-1{т[,Ь}, где г € [1,п].

Сразу имеем /-1(В1) = Ш € Б, /-1({Ь}) = ШьПФ € Б /-1({то,Ь}) = Шь € Б, /-1({тг,Ь}) = = Шг и Шь € Б для г € [к + 1,п]. А для г € [1,к] имеем /-1({тг,Ь}) = (Шг П Ф) и (Шь П Ф) = = (Шг и Шь) П Ф € Б.

Далее /-1{т'г,Ь} = (Шг \ Ф) и (Шь П Ф) для г € [1,к]. Покажем, что /-1({т'г,Ь}) = X, где X := (Шг и Шь) П (Ф Э Шь) П (Шь Э Ф) и X € Б.

Пусть х € /-1({тгг,Ь}). Если х € Шь П Ф, то ясно, что х € X. Допустим, что х € Шг \ Ф, тогда из х € Шг следует х € Шг П Шь. Если у ^ х и у € Ф, то, с одной стороны, у € Шг и Шь, а с другой, по пункту 1 леммы 6.3 получаем у € Ш, значит у € Шь, откуда х € Ф Э Шь. Далее, если г ^ х и г € Шь, то г € Ф по пункту 2 леммы 6.3, откуда х € Шь Э Ф. Таким образом, х € X.

Наоборот, пусть х € X. Тогда х € Шг и Шь. Если х € Шь, тогда из х € Шь Э Ф следует х € Ф, откуда х € Шь П Фи х € /-1({т'г ,Ь}). Пусть теперь х € Шг. Если х € Ф, то из х € (Ф Э Шь) следует х € Шь, чего быть не может. Значит х € Ф, откуда х € Шг \ Ф и х/-1({тг,Ь}).

Теперь убедимся, что отображение / является р^-морфизмом из (Ш, Б; Ф) па (В[, Ф), где Ф := {Ь,т1,..., ти, тк+1,..., ms}.

Нетрудно проверить, что Ф = /(Ф). Нужно убедиться, что /-1(Ф) = /-1(/(Ф)) = Ф. чение /-1(/(Ф)) 5 Ф является известным теоретико-множественным законом. Проверим обратное включение /-1(/(Ф)) С Ф. Если х € Ф, то х € Шг ми Шг \ Ф для г € [1, к] ми Шг для г € [« + 1,п] по определению Ф, откуда видно, что /(х) € Ф = /(Ф), значит х € /-1(Ф).

Таким образом, /: (Ш, Б, Ф) Т>1. Теорема доказана.

Следствие 6.1. Пусть ф-логика С — консервативное расшпрение ЬЪ. Тогда, найдется конфинальный подкласс О' класса, О всех ф-да,ймондов такой, что С С С(О').

Доказательство. Пусть ф-логик а С — консервативное расш ирение ЬЪ. По теореме 3.2 найдется класс ММ обобщенных ф-шкад такой, что С(М) = С. Тогда, с одной стороны, для класса М = {(Ш, Б) | (Ш,Б, Ф) € М} имеем Ь(М') = ЬЪ, а с другой, по теореме 1.3 ЬЪ = Ь(О), значит Ь(М!) = Ь(О), откуда то обратной теореме сравнения М! У О. По теореме 6.1 получаем МЛ У О для некоторого копфипальпого класса ф-даймондов О . Наконец, по прямой теореме сравнения ф-логик получаем С = С(М) С С(О'). □

ЬЪ

Приведем два типичных примера р-морфизмов даймонда Вк на даймонд

Бп (к > п).

Пример 6.1. «Склеивание» нескольких точек миддла в одну. к =Ъ п =2

т

(«1

«2

> «3

т.1

т2

Н(з1) = Н(в2) = Шь

Н(вз) = Ш2;

Н(Т) = г; Н(о) = г.

Пример 6.2. «Подклеивание» нескольких точек миддла к топу. Пусть к = 4, п = 2 :

т ь

т.1

т2

Н(в1) = Н(82) = ЦТ )= г;

Ь,(зз) = Ш1; к(в4) = Ш2; к(о) = г.

Введем в рассмотрение пять следующих классов р-даймондов: Т1 := [Т>П\п еш,п> 0}, где Т>П = (Бп, 0) — «р нигде»; = {VТ>П\п еш,п> 0}, где 'В'П = (Бп, Бп) — «р везде»;

= {VП\п еш,п> 0}, где Т>П = (Бп, {г}) — «р в топе»;

р

р

Т2 Т3 V4

= {V44\п еш,п> 0}, где V44 = фп, Бп \ {г}) Т5 := V\п е ш,п > 1}, где VI = (Бп, {ш,}) точки».

Типичные представители этих классов имеют следующий вид:

ЧЦ \<Р

ч>4 \<р

р-логики этих классов обозначим С1, С?, С3, С4, Сс5 соответственно.

Л е м м а 6.5. Для, каждого г е [1, 5] и произвольного конфинального подкласса Т' класса, Тг имеет, место равенство Сг = С(Т').

. <р

Доказательство. Пусть Т' С Тг, тогда Сг С С(Т'). С другой стороны, Тг У Т', по прямой теореме сравнения р-логик, имеем С(Т') С Сг. □

Теорема 6.2. Любая консервативная, над Ь3 р-логика включена в одну из пяти р-логик С1, С2, С3, С4, С5.

Доказательство. В силу теоремы 3.2 существует характеристический класс обобщенных р-шкал такой, что С = С(М). Согласно предыдущему разделу, С(М) С С(Т'), где Т' Т.

р Т '.

Т ' Т '' р р

теореме сравнения р-логик С(Т') С С(Т''), а по лемме 6.5 получим С(Т'') = С1, откуда ССС1.

о

о

V

р

V

р

Если содержит конфинальный подкласс ф-даймондов типа «ф-везде», то, аналогичным образом, ССС2.

Если ф' содержит бесконечный подкласс ф-даймондов типа «ф в топе», то СС С3. Если ф' содержит бесконечный подкласс ф-даймондов типа «ф везде, кроме корпя», то С С С4.

Пусть ни один из предыдущих случаев для ф' не выполнен, то есть каждый ф-даймонд

из ф' имеет в миддле как окрашенные, так и неокрашенные точки.

Если в ф' имеются ф-даймопды со сколь угодно длинными неокрашенными частями мид-

дла, образующие копфипальпый подкласс ф'', то С С С(ф''). В каждом ф-даймопде из ф''

окрашенные точки миддла можно «подклеить» к топу (см. пример 2). Получим класс 'V"

V

типа «ф в тоие» такой, что ф'' У ф''', следовательно, по прямой теореме сравнения ф-логик С(Ъ'') С С(ф'''). С другой стороны, ф''' конфииален в ф3 поэтому по лемме 6.5 С(р"') = С3, следовательно, ССС3.

Если же в ф' имеются ф-даймопды со сколь угодно длинными окрашенными частями миддла, образующие конфинальный подкласс ф'', то снова имеет место С С С(ф''). Далее в каж-ф

получив подкласс ф''' ф-даймондов типа «ф везде в миддле, кроме одной точки» такой, что

V

ф'' У ф''', откуда С(ф'') С С(ф''') и, кроме того, ф''' С Т>5. В силу конфинальности класса ф''' и леммы 6.5 получаем, что С(ф''') = С5, откуда С С С5. □

Теорема 6.3. ф-логики С1, С2, С3, С4, С5 попарно несравнимы.

ф

дем для любых г,] £ [1, 5] (г = ]) такую формулу А, что А £ Сг \С. Введем в рассмотрение следующие формулы:

Ь(12 = (Р1 V (Р1 ^ (Р2 V -р2))); В = ((р ^ ф) А ((ф ^ р) ^ р)) ^ (ф V -р); С = ((р А д) ^ ф) ^ ((р ^ ф) V (д ^ ф)).

В таблице 5 на пересечении г-той строки и ]-того столбца указана формула А £ С \С.

Таблица 5.

_ с1 о с3 с4 с5

с1 _ -,ф -,ф

с2 <р _

с3 -1-1 ф ф —> (р V -пр) _ ф —>• (рУ -1 р) ф^(ру -.р)

с4 -1-1ф ф ->• М2 р V (р —> ф) _ р V (р —> ф)

сь -1-1ф ф ->• М2 с в _

Большинство утверждений о формулах, приведенных в таблице, проверяется непосредственно. Наиболее трудное рассуждение связано с формулой В. Докуем, что В £ С5 \С4.

В С5. ф

даймонд (Т>П; Ф), где Т>ъп = {Ь, т\,..., тп, г}; Ф = {Ь, т2,..., тп} и некоторая оценка V : у(р) = Р, v(ф) = Ф. Найдется точка х данного ф-даймонда такая, что х £ (Р Э Ф) П ((Ф Э Р) Э Р) и х £ (Ф и -Р). Откуда имеем: (1) х £ Р Э Ф; (2) х £ (Ф Э Р) Э Р; (3) х £ Ф; (4) х £ -Р. Из (4) получаем Ь £ Р, а из (3) получаем, что х = т\ ми х = г. Ясно, что в любом случае т\ £ Р, потому что в противном случае т\ £ Ф по (1), чего быть не может. С другой стороны, для любого у ^ т\ имеем у £ Ф или у £ Р, откуда т\ £ Ф Э Р, значит, в силу (2) получаем т\ £ Р, что приводит к противоречию.

Теперь покажем, что В / С4. Приведем пример ф-даймопда класса ф4 с заданной на нем оценкой, в котором формула В опровергается, поэтому В / С4.

Таким образом, существует ровно пять полных по Новикову расширений с. и. логики L3. Более точно, каждая консервативная над L3 р-логика включена в одну из попарно несравнимых р-логик L1, L2, L3, L4, L5. □

§ 7. О некоторых алгоритмических вопросах

В этом параграфе мы рассматриваем вопросы разрешимости и алгоритмической проблемы распознавания консервативности полных по Новикову расширений предтабличных суперинтуиционистских логик.

Определение 7.1. р-логика L называется разрешимой, если существует алгоритм, который по произвольной формуле A е Fm(р) определяет, A е L или A / L.

Определение 7.2. Под проблемой распознавания консервативности будем понимать следующую массовую проблему. Пусть L — одна из логик LC, L2, L3. Пусть A е Fm(p); является ли р-логика L + A консервативным расширением логики L?

L

р р р

даймондов соответственно. В работах [5,7] получена конечная аксиоматизация каждого пополнения соответствующей логики L = LC и L = L2, а также первых четырех пополнений логики L3. Впрочем, пятое пополненые логики L3 так же является разрешимым, так как посредством метода фильтрации [33] для данной формулы можно ограничить число точек миддла, то

есть свести проверку общезначимости данной формулы в классе D5 к проверке тождественной

р

Известен критерий Харропа (см. [19, теорема 16.13]): если логика имеет конечную аксиоматизацию и финитно аппроксимируема, то она разрешима.

Теорема 7.1. Все полные по Новикову расширения предтабличной суперинтуиционистской логики L в языке Fm(р) являются разрешимыми.

Теорема 7.2. Проблема распознавания консервативности расширений предтабличной суперинтуиционистской логики L в языке Fm(р) алгоритмически разрешима.

Доказательство. Логика L + A консервативна над L ^ L + A включена в какую-то из полных над L р-логик. Таковых конечное число (три, пять, пять для LC, L2, L3 соответ-

A

из полных р-логик разрешима. □

Список литературы

1. Григолия Р.Ш. Свободные S4.3-anre6pbi с конечным числом образующих // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам. М.: Наука, 1983. С. 281-287.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. 2-е изд. М.: Наука, 1987. 336 с.

3. Захарьящев М.В. Синтаксис и семантика суперинтуиционистских логик // Алгебра и логика. 1989. Т. 28. № 4. С. 262-282.

4. Клини С.К. Введение в метаматематику М.: Иностранная литература, 1957. 526 с.

5. Кощеева А.К. Аксиоматика полных по П.С. Новикову расширений суперинтуиционистской логики L2 в языке с одной дополнительной константой / / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. № 3. С. 28-39.

6. Кощеева А.К. Новая константа в суперинтуиционистской логике L3 // Алгебра и логика. 2015. Т. 54. № 1. С. 34-52.

7. Кощеева А.К. Новые константы в предтабличных суперинтуиционистских логиках: дис. ... канд. физ.-матем. наук / Сибирский федеральный университет. Красноярск, 2015. 84 с.

8. Кузнецов A.B. Некоторые свойства структуры многообразий псевдобулевых алгебр //XI Всесоюзный алгебраический коллоквиум. Резюме сообщ. и докл. Кишинев, 1971. С. 255-256.

9. Кузнецов A.B. О суперинтуиционистских логиках и финитной аппроксимируемости // Доклады АН СССР. 1970. Т. 195. № 5. С. 1029-1032.

10. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2004. 256 с.

11. Максимова Л.Л. Предтабличиые суперинтуиционистские логики // Алгебра и логика. 1972. Т. 11. № 5. С. 558-570.

12. Максимова Л.Л., Шрайнер П.А. Алгоритмы распознавания табличности и предтабличности в расширениях интуиционистского исчисления // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6. № 3. С. 49-58.

13. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977. 328 с.

14. Плиско В.Е., Хаханян В.Х. Интуиционистская логика. М.: МГУ, мех.-мат. ф-т, 2009. 159 с.

15. Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М.: Наука, 1972. 592 с.

16. Скворцов Д.П. Об интуиционистском исчислении высказываний с дополнительной логической связкой // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам. М.: Наука, 1983. С. 154-173.

17. Сметанич Я.С. О полноте исчисления высказываний с дополнительной операцией от одной переменной // Труды Московского математического общества. 1960. Т. 9. С. 357-371.

18. Сметанич Я.С. Об исчислениях высказываний с дополнительной операцией // Доклады АН СССР. 1961. Т. 139. № 2. С. 309-312.

19. Чагров А.В. Неразрешимые свойства суперинтуиционистских логик // Математические вопросы кибернетики. Вып. 5: сб. статей под ред. С. В. Яблонского. М.: Физматлит, 1994. С. 62-108.

20. Эсакиа Л.Л. Алгебры Рейтинга. Тбилиси: Мецниереба, 1985. 104 с.

21. Янков В. А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений // Доклады АН СССР. 1968. Т. 181. № 1. С. 33-34.

22. Яшин А.Д. Новая регулярная константа в интуиционистской логике высказываний // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37. № 6. С. 1413-1432.

23. Яшин А.Д. О новой константе в интуиционистской логике высказываний // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 903-926.

24. Яшин А.Д. Классификация полных по Новикову логик с дополнительными логическими константами // Алгебра и логика. 2003. Т. 42. № 3. С. 366-383.

25. Яшин А.Д. О новых константах в двух предтабличных суперинтуиционистских логиках // Алгебра и логика. 2011. Т. 50. № 2. С. 246-267.

26. Яшин А.Д., Кощеева А.К. Новые константы в суперинтуиционистской логике L2 // Математические заметки. 2013. Т. 94. № 6. С. 918-932.

27. Bezhanishvili N., de Jongh D. Intuitionistic logic.

http://www.illc.uva.nl/Research/Publications/Reports/PP-2006-25.text.pdf

28. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal logic. Oxford: Oxford University Press, 1997. 605 p.

29. Dubashi D.P. On decidable varieties of Heyting algebras //J. Symb. Log. 1992. Vol. 57. № 3. P. 988-991.

30. Dummett M.A. A propositional calculus with denumerable matrix //J. Symb. Log. 1959. Vol. 24. № 2. P. 97-106.

31. Dunn J.M., Meyer R.K. Algebraic completeness results for Dummet's LC and its extensions // Zeitschr. Math. Log. und Grundl. Math. 1971. Vol. 17. P. 225-230.

32. Fitting M. Intuitionistic logic, model theory and forcing (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics). Amsterdam-London: North-Holland Publishing Company, 1969. 191 p.

33. Gabbay D.M. On some new intuitionistic propositional connectives. I // Studia Logica. 1977. Vol. 36. JY« 1-2. P. 127-139.

34. Goldblatt R.I. Metamathematics of modal logics. Part I // Rep. on Math. Logic. 1976. Vol. 6. P. 41-78.

35. Goldblatt R.I. Metamathematics of modal logics. Part II // Rep. on Math. Logic. 1976. Vol. 7. P. 21-52.

36. Hosoi T. On intermediate logics. I // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. 1. 1967. № 14. P. 293-312.

37. Hosoi Т., Ono H. The intermediate logics of the second slice //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. 1. 1970. № 17. P. 457-461.

38. Kirk R.E. A characterization of the classes of finite tree frames which are adequate for the intuitionistic logic // Zeitschr. Math. Log. und Grundl. Math. 1980. Vol. 26. № 6. P. 497-501.

39. Колмогоров A.H. К толкованию интуиционистской логики / Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 142-148.

40. Ono Н. Kripke models and intermediate logics // Pubis. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1970. Vol. 6. № 71. P. 461-476.

41. Yashin A.D. New intuitionistic logical constants and Novikov completeness // Studia Logica. 1999. Vol. 63. № 2. P. 151-180.

42. Zakharyaschev M., Wolter F., Chagrov A. Advanced modal logic // Handbook of Philosophical Logic. Vol. 3 / Gabbay D.M., Guenthner F. Kluver Acad. Publ. 2001. P. 83-266.

Поступила в редакцию 01.02.2016

Кощеева Анна Константиновна, к. ф.-м. н., старший преподаватель, кафедра алгебры и топологии, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: kannakst@mail.ru

A. K. Koshcheeva

New constants in pretabular superintuitionistic logics: P. Novikov's approach

Keywords: pretabular superintuitionistic logics, new logical constants, Novikov's completeness, algorithmic problem of the conservativeness.

MSC: 03B55, 03B60

In the late fifties of the twentieth century a problem was posed by P. S. Novikov concerning new logical connectives as extranotions for a language with standard logical connectives V, Л, —. Ya. S. Smetanich has given exact formulations for approach of Novikov to the concept of new logical connectives in superintuitionistic logics (new logical connective, Novikov completeness). In the present paper, the Novikov problem concerning new additional constants is considered in pretabular superintuitionistic logics LC, L2, L3: the logic of chains, the logic of rooted frames of the depth not exceeding 2 (fans), the logic of rooted frames with the top and with the depth not exceeding 3 (diamonds). The classification for the family of all Novikov-complete extensions of the pretabular superintuitionistic logics in a language containing additional logical constants is described. For these logics, the classification is obtained in the terms of finite frame with coloring: in the language with several additional constants for LC and L2 and with a single additional constant for L3. Decidability of the (algorithmic) conservativeness problem for extensions of all pretabular superintuitionistic logics is established. The algorithmic problem of conservativeness recognition is investigated.

REFERENCES

1. Grigoliya R.Sh. Free S4.3-algebra with a finite number of generators, Issledovaniya po neklassicheskim logikam i formal'nym sistemam (Studies in nonclassical logics and formal systems), Moscow: Nauka, 1983, pp. 281-287 (in Russian).

2. Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Matematicheskaya logika (Mathematical logic), Moscow: Nauka, 1987, 336 p.

3. Zakharyaschev M.V. Syntax and semantics of intermediate logics, Algebra and Logic, 1989, vol. 28, no. 4, pp. 262-282.

4. Kleene S.C. Introduction to metamathematics, New York: D. Van Nostrand Company, 1952. Translated under the title Vvedenie v metamatematiku, Moscow: Inostrannaya literatura, 1957, 526 p.

5. Koshcheeva A.K. Axiomatics of P.S. Novikov complete extensions of the superintuitionistic logic L2 in the language containing an additional constant, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2014, no. 3, pp. 28-39 (in Russian).

6. Koshcheeva A.K. A new constant in superintuitionistic logic L3, Algebra and Logic, 2015, vol. 54, no. 1, pp. 23-35. DOI: 10.17377/alglog.2015.54.103

7. Koshcheeva A.K. New constants in pretabular superintuitionistic logics, Cand. Sci. (Phys.-Math.) Dissertation, Krasnoyarsk, 2015, 84 p (in Russian).

8. Kuznetsov A.V. Some properties of the structure of manifolds of pseudoboolean algebras, XI Vsesoyuznyi algebraicheskii kollokvium. Rezyume soobshch. i dokl. (Proceedings of XI All-Union Algebraic Colloquium), Chisinau, 1971, pp. 255-256 (in Russian).

9. Kuznetsov A.V., Gerchiu V.Ya. Superintuitionistic logics and finite approximability, Sov. Math., Dokl., 1970, vol. 11, pp. 1614-1619.

10. Lavrov I.A., Maksimova L.L. Zadachi po teorii mnozhestv, matematicheskoi logike i teorii algoritmov (Tasks in set theory, mathematical logic and the theory of algorithms), Moscow: Fizmatlit, 2004, 256 p.

11. Maksimova L.L. Pretabular superintuitionistic logics, Algebra and Logic, 1972, vol. 11, no. 5, pp. 308314.

12. Maksimova L.L., Schreiner P.A. Algorithms of the recognition of the tabularity and pretabularity in the extensions of the intuitionistic calculus, Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 2006, vol. 6, no. 3, pp. 49-58 (in Russian).

13. Novikov P.S. Konstruktivnaya matematicheskaya logika s tochki zreniya klassicheskoi (Constructive mathematical logic from the point of view classical logic), Moscow: Nauka, 1977, 328 p.

14. Plisko V.E., Khakhanyan V.H. Intuitsionistskaya logika (Intuitionistic logic), Moscow: Moscow State University, 2009. 159 p.

15. RasiowaH., Sikorski R. The mathematics of metamathematics, Warszawa: PWN, 1963. Translated under the title Matematika metamatematiki, Moscow: Nauka, 1972, 592 p.

16. Skvortsov D.P. On intuitionistic propositional calculus with an additional logical connective, Issledovaniya po neklassicheskim logikam i formal'nym sistemam (Studies in nonclassical logics and formal systems), Moscow: Nauka, 1983, pp. 154-173 (in Russian).

17. Smetanich Ya.S. On the completeness of the propositional calculus with additional operations in one argiment, Tr. Mosk. Mat. Obs., 1960, vol. 9, pp. 357-371 (in Russian).

18. Smetanich Ya.S. On statement calculi with an additional operation, Soviet Math. Doklady, 1961, vol. 2, pp. 937-939.

19. Chagrov A.V. Undecidable properties of superintuitionistic logics, Matematicheskie voprosy kibernetiki, Moscow: Fizmatlit, 1994, no. 5, pp. 62-108 (in Russian).

20. Esakia L.L. Algebry Geitinga (Heyting algebras), Tbilisi: Metsniereba, 1985, 104 p.

21. Yankov V.A. Constructing a sequence of strongly independent superintuitionistic propositional calculi, Soviet Math. Dokl, 1968, vol. 9, pp. 806-807.

22. Yashin A.D. A new regular constant in intuitionistic propositional logic, Siberian Math. Journal, 1996, vol. 37, no. 6, pp. 1242-1258.

23. Yashin A.D. On a new constant in intuitionistic propositional logic, Fundam. Prikl. Mat., 1999, vol. 5, no. 3, pp. 903-926 (in Russian).

24. Yashin A.D. Classification of Novikov complete logics with extra logical constants, Algebra and Logic, 2003, vol. 42, no. 3, pp. 207-216.

25. Yashin A.D. New constants in two pretabular superintuitionistic logics, Algebra and Logic, 2011, vol. 50, no. 2, pp. 171-186.

26. Yashin A.D., Koshcheeva A.K., New constants in the superintuitionistic logic L2, Mathematical Notes, 2013, vol. 94, no. 5, pp. 938-950.

27. Bezhanishvili N., de Jongh D. Intuitionistic logic.

http://www.illc.uva.nl/Research/Publications/Reports/PP-2006-25.text.pdf

28. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal logic, Oxford: Oxford University Press, 1997, 605 p.

29. Dubashi D.P. On decidable varieties of Heyting algebras, J. Symb. Log., 1992, vol. 57, no. 3, pp. 988-991.

30. Dummett M.A. A propositional calculus with denumerable matrix, J. Symb. Log., 1959, vol. 24, no. 2, pp. 97-106.

31. Dunn J.M., Meyer R.K. Algebraic completeness results for Dummet's LC and its extensions, Zeitschr. Math. Log. und Grundl. Math., 1971, vol. 17, pp. 225-230.

32. Fitting M.C. Intuitionistic logic, model theory and forcing, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam-London: North-Holland Publishing Company, 1969, 191 p.

33. Gabbay D.M. On some new intuitionistic propositional connectives. I, Studia Logica, 1977, vol. 36, no. 1-2, pp. 127-139.

34. Goldblatt R.I. Metamathematics of modal logics. Part I, Rep. Math. Logic, 1976, vol. 6, pp. 41-78.

35. Goldblatt R.I. Metamathematics of modal logics. Part II, Rep. Math. Logic, 1976, vol. 7, pp. 21-52.

36. Hosoi T. On intermediate logics. I, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. 1, 1967, no. 14, pp. 293-312.

37. Hosoi T., Ono H. The intermediate logics of the second slice, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. 1, 1970, no. 17, pp. 457-461.

38. Kirk R.E. A characterization of the classes of finite tree frames which are adequate for the intuitionistic logic, Zeitschr. Math. Log. und Grundl. Math., 1980, vol. 26, no. 6, pp. 497-501.

39. Kolmogoroff A. Zur Deutung der intuitionistischen Logik, Math. Z., 1932. vol. 35, issue 1, pp. 58-65.

40. Ono H. Kripke models and intermediate logics, Publs. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., 1970, vol. 6, no. 71, pp. 461-476.

41. Yashin A.D. New intuitionistic logical constants and Novikov completeness, Studia Logica, 1999, vol. 63, no. 2, pp. 151-180.

42. Zakharyaschev M., Wolter F., Chagrov A. Advanced Modal Logic, Handbook of Philosophical Logic, vol. 3, Ed.: Gabbay D.M., Guenthner F. Kluver Acad. Publ., 2001, pp. 83-266.

Received 01.02.2016

Koshcheeva Anna Konstantinovna, Senior Lecturer, Department of Algebra and Topology, Udmurt State

University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia.

E-mail: kannakst@mail.ru