CC BY
37
9. 1 "J x +10 +1 Vx+1+1 Решений нет
10. ^16 (5x + 2)2 = 4 + cos2 15wx 2 x = — 5
11. 2^4x+5 = 4x - 2 - x2 x = 2
12. Jcos2 x - 6cos x + 9 = ./12cos x - 4cos2 x - 9 V 2 2 V 2 2 Решений нет
13. 1 1 . 1 — +— arcsin x =- 2 ж . sin(T) x = 1
14. log2(6x-x2 -5) = x2 -6x + 11 x = 3
15. log7 (6 - x2 - 2x) = 2 cos(^ sin ) x = -1
16. log3 (x2 - 6x + 12) = cos 2nx x = 3
Использование метода мини-максов в школе возможно как при решении простейших примеров, не требующих от учеников дополнительных знаний и навыков, так и при решении задач повышенного уровня сложности, решение которых предполагает серьезное исследование функций. Простейшие примеры позволяют понять идею метода, обучение решению таких задач не требует больших затрат времени и их можно рассматривать в рамках базового курса математики. Обучение использованию метода мини-максов для решения более сложных задач и задач повышенной сложности можно проводить в рамках элективного курса для учащихся, ориентированных на профильное изучение математики. В зависимости от уровня учащихся, система задач может пополняться за счет расширения приемов оценки функций и заданий на использование следствий из метода мини-максов. Разработка предложенных тренировочных упражнений проводилась в рамках НИРС по тематике кафедры математики [1].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Ляхова, Н. Е. Тематическая ориентированность выпускных квалификационных работ бакалавров направления «Педагогическое образование» профиль «Математика» / Н. Е. Ляхова, М. Г. Макарченко, И. В. Яковенко // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. Гуманитарные науки. - 2014. - № 1. - С. 85-91.
УДК 372.016:51 ББК 74.262.21
Н.В. Пасечникова, А.В. Забеглов
КОНТЕКСТ РАЦИОНАЛЬНЫХ РАССУЖДЕНИЙ В ТЕКСТАХ УЧЕБНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ ПО ПРОГРАММЕ «ШКОЛА 2100»
Аннотация. В статье представлено определение контекста рационального рассуждения, его типология. Приведены примеры.
Ключевые слова: контекст, контекст рациональных рассуждений.
N.V Pasechnikova, A.V. Zabeglov
CONTEXT OF RATIONAL REASONING IN TEXTS OF MATHEMATICS TEXTBOOKS FOR PRIMARY SCHOOL PURSUANT TO SCHOOL 2100 PROGRAM
Abstract. Definition of rational reasoning context and its typology is presented in the article. Examples are given.
Key words: context, context of rational reasoning.
10
Учебник по математике для начальных классов является основным методическим средством, как для учителя, так и для студента. Учитель и студент должны уметь «читать» методическую информацию, которая находится в текстах учебников. Однако в текстах учебников по математике для начальных классов методическая информация находится «за текстом» (в контексте), при этом в нем отсутствуют определения некоторых математических и методических понятий, а, логические понятия, являясь одной из целей изучения математики, часто не представлены даже соответствующими терминами и смыслами. При этом учебник содержит большое и разнообразное количество заданий на логику. В связи с этим становится актуальной проблема распознавания скрытой контекстной логической информации в учебнике.
Определение логического контекста, примеры, анализ заданий были рассмотрены в статьях [9, 107-114; 10, 44-48].
В этих статьях представлены такие виды контекста, как логический контекст (применительно к учебникам по математике для начальной школы), контекст рациональной логики; контекст формальной логики.
Целью этой статьи является раскрытие понятия «контекст рациональных рассуждений». Для реализации этой цели приведем:
определение рациональных рассуждений;
определение контекста рациональных рассуждений;
типологию контекста рациональных рассуждений;
примеры контекстов разных видов.
Понятие «рациональные рассуждения» было определено И.И. Блехманом. Рациональные рассуждения (по И.И. Блехману) - это рассуждения, сочетающие в себе дедуктивные рассуждения и рассуждения, неприемлемые с точки зрения чистой математики, но способные при разумном их применении приводить к правильным результатам [1, 67-68]. По мнению И.И. Блехмана, рациональные рассуждения имеют «много общего» с правдоподобными рассуждениями (по Д. Пойа). Отметим разницу между ними. Правдоподобные рассуждения (по Д. Пойа) носят, прежде всего, эвристический характер, а рациональные рассуждения (по И.И. Блехману) - имеют достоверный (хотя и не всегда обоснованный) характер.
Приведем описание правдоподобных рассуждений Д. Пойа.
Правдоподобные рассуждения Д. Пойа рассматривает, прежде всего, с точки зрения эвристического практицизма, поискового оптимизма, а уже, затем, и с точки зрения полноты логической аргументации. К правдоподобным рассуждениям он относит рассуждения, основанные на неполной индукции, аналогии, на введении или исключении эвристических допущений [11].
Таким образом, мы можем говорить, что рациональное рассуждение - это достоверное рассуждение без четко «прописанной основы» или «без основы» (именно в данном учебнике математики). Продолжая этот «ряд», отметим, что тогда правдоподобное рассуждение - это рассуждение не всегда достоверное.
Приведем определение контекста рациональных рассуждений.
Контекст рациональных рассуждений - это вид контекста природы логического рассуждения, отражающий результаты мышления в рассуждениях, неприемлемых с точки зрения чистой математики, но способных при разумном их применении приводить к правильным результатам.
Из описания правдоподобных рассуждений и определения рациональных рассуждений возникла необходимость разбить контекст рациональных рассуждений на несколько групп: 1) контекст правдоподобных рассуждений (контекст индукции, контекст рассуждения по аналогии, контекст эксперимента) контекст рассуждения по введению и/или исключению эвристических допущений (контекст действия с учетом заданного эвристического допущения - разгадка, ребус; контекст создания эвристического допущения - поиск закономерности; контекст установления или исключения эвристического допущения - осуществление классификации или отбора содержания)) и 2) контекст свернутых неподробно формализованных рассуждений (контекст математического основания (правило, определение, утверждение) и контекст логического основания (правило, определение, утверждение).
Рассмотрим первую группу примеров: контекст правдоподобных рассуждений (контекст индукции, контекст рассуждения по аналогии) и приведем примеры.
Пример № 1 контекста индукции. Рассмотрим задание № 1 в учебнике для второго класса в уроке № 1.23 «Плоские и объемные фигуры».
Задание № 1. «Начертите на бумаге в клетку любой квадрат. Вырежьте его и положите на стол, как на рисунке.
• Квадрат полностью поместился на столе? Есть ли у этого квадрата точки, которые не соприкасаются с поверхностью стола?» [5, 46].
Квадрат - плоская фигура Кубик - объемная фигура
N.
Обучающиеся рассуждают от «незнания к знанию», от «общего к частному». А такие рассуждения называются индукцией. Приведем определение индукции. Индукция - в широком смысле слова - форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое либо общее правило, общее положение, присущее всем единичным предметам какого либо класса [7, 200]. Обучающиеся должны прийти к выводу, фигура, которая полностью помещается на столе и все ее точки соприкасаются с поверхностью стола, называется плоской.
Таким образом, за заданием, в его контексте, стоит логическая операция индукция. А так как рассуждения идут от «незнания к знанию», то можем отнести данное задание к контексту рациональных рассуждений.
Перейдем к определению контекста аналогии.
Пример № 2. В учебнике по математике для первого класса представлен урок № 3.47 «Задача». Задание № 5. «Какое число и знак действия должны стоять над каждой стрелкой? Работайте по образцу» [4, 37].
Чтобы раскрыть смысл контекста «аналогии», запишем определение аналогии с помощью схемы 1.
А: ; е
Вероятно, что А1 обладает свойством е1?
Схема 1.
А и А1 - это задания (отметим на рисунке). В качестве «свойств» заданий А и А1 возьмем их составные части.
По мнению Л.М. Фридмана в содержании любой задачи выделяют следующие составные части: 1) предметная область; 2) отношения между элементами предметной области; 3) требование задачи; 4) оператор задачи.
Выделим в представленном примере эти составные части в соответствии с определением аналогии.
А - задание с его решением и оформлением; а - предметная область (числа как компоненты действия сложения и вычитания); в - требование к заданию (какое число и знак действия должны стоять над каждой стрелкой?); с - оператор (действия сложение и вычитание, которые в математике находятся на одной ступени); d - структура; е -форма записи.
Таким образом, если «а» соответствует «а1», «Ь» соответствует «Ь1», «с» соответствует «с1», «&> соответствует <^», то по схеме аналогии, можем говорить о соответствии свойств «е» «^».Рассматривая такую структуру задания, можно говорить о таком виде аналогии как аналогия свойств [2, 13].
Аналогия свойств подразумевает наличие сходства в заданиях: 1) аналогия в структурах заданий; 2) аналогия в составных частях заданий.
Структура «образца» задания является одинаковой. Сходными должны быть составные части задания по образцу и задания для самостоятельного выполнения. Убедимся в этом. Предметные области обоих заданий связаны с понятиями «компоненты сложения или вычитания». Требование к заданию также являются одинаковым.
Операторы заданий являются сходными: а) отношение между числом и его названием как компонентом сложения или вычитания «внутри» одного именованного числа, например (см. рис. 1): 10 - уменьшаемое (целое), аналогично 5 - слагаемое (часть); б) выполняется одинаковое действие по поиску неизвестного числа, которое должно стоять над стрелкой (чтобы найти вычитаемое (часть) надо из уменьшаемого (целого) вычесть разность (часть), аналогично чтобы найти неизвестное слагаемое (часть), надо из суммы (целого) вычесть известное слагаемое (известную часть); в) нахождение неизвестного числа, при котором выражение обращается в верное равенство.
Таким образом, все вышесказанное свидетельствует об аналогии между образцом и собственно заданием, т.е. здесь раскрыта аналогия свойств. Покажем теперь, в чем заключается контекст рационального рассуждения по аналогии. Вернемся к самому заданию и представим себе, что с его содержанием еще не работали. Прочитав задание, как правило, возникают следующие
Образец
Рис. 1
А1:
мысли: 1) образец и собственно задание аналогичны и по структуре, и по составу; 2) фраза «по образцу» означает: а) действия в образце свернутые, их надо развернуть; б) целесообразно сначала обобщить действия в образце до их описания; в) полученный оператор применить к собственному заданию.
Таким образом, контекст рациональных рассуждений по аналогии помогают увидеть структуру задания в развернутом виде.
Рассмотрим контекст действия с учетом заданного эвристического допущения - ребус.
Пример № 3. В учебнике по математике для первого класса в уроке № 3.64 «Величина. Длина».
«Какие слова придумалиребята?»[4, 71].
К.
Р 1 А
В.
7 Я
П.
Па 3 от
Рис. 2
Ребусы относятся к категории нестандартных заданий. Цель включения нестандартных заданий в тексты учебников является развитие творческого мышления, умение использовать эвристические методы в процессе открытия нового и поиска выхода из различных нестандартных ситуаций. Следовательно, обучающиеся при разгадывании ребуса применяют эвристические методы.
Ребус - это не математическое понятие. Поэтому это задание направлено на изучение не математики, а логики. Чтобы правильно разгадывать ребус, необходимо правильно проводить логические операции. Существуют правила разгадывания ребуса, но эти правила не имеют четкого алгоритма.
Рассмотрим соответствующие правила применительно к данному упражнению. В данном случае а) цифру надо заменить словом (1 - один; б) так как рядом с цифрами отсутствуют запятые, то слово надо читать целиком.
Обучающиеся при разгадывании ребуса используют рассуждение, которые, с формальной точки зрения, не являются приемлемыми, но при разумном его применении (с опорой на рисунки и пояснения учителя) приводят к правильному результату. Такие рассуждения являются рациональными. Рациональные рассуждения Дж. Пойа называл эвристическими допущениями, т.к. 1) они не алгоритмизированы, а если не имеют алгоритма, следовательно, рассуждения имеют эвристическую природу; 2) не имеют математического основания.
Таким образом, говоря о контексте рациональных рассуждений, можно сделать вывод:вид контекста рациональных рассуждений в данном задании - введение эвристического допущения: замена по правилу (отсутствие четкого алгоритма, но наличие правил, из которых надо выбрать те, которые соответствуют предложенному ребусу).
Раскроем контекст создания эвристического допущения - поиск закономерности.
Пример № 4. В учебнике по математике для 1 класса в уроке № 2.3 «Отношение «больше», «меньше»». Задание № 5.«Найдите закономерность. Как можно продолжить ряд фигур?» [3, 19].
Рис. 3
Приведем рассуждения обучающихся. Первая фигура - квадрат (большой синий), следующая фигура круг (маленький желтый), третья фигура треугольник (большой зеленый), затем следует квадрат (маленький красный), за квадратом следует круг (большой синий), за кругом - треугольник (маленький желтый), за треугольником следует квадрат (большой зеленый). Таким образом, большие фигуры синего или зеленого цветов, а маленькие - желтого или красного. Если рассматривать рисунок по форме, то первая фигура - квадрат, за ней круг, потом треугольник и т.д.
Понятие закономерности авторами учебника не вводится. Алгоритма решения задания у обучающихся тоже нет. Чтобы выполнить упражнение, обучающиеся выстраивают рассуждения, домыслы, которые были приведены выше. То есть, характер выполнения заданий носит эвристический характер. В данном задании нет математических понятий, кроме геометрических фигур. Геометрические фигуры - это объект поиска закономерности.
Таким образом, поиск закономерности формирует умение создавать временные, легко изменяемые или корректируемые правила - эвристические допущения.
Контекст установления или исключения эвристического допущения - осуществление классификации.
Пример № 5. В учебнике по математике для второго класса представлен урок № 1.27 « Плоские и объемные фигуры».
Задание № 1. «Назовите углы. Расскажите, на какие группы можно их разбить» [5, 54].
о K E D
B M L C
Рис. 4
За словами «разбить фигуры на группы» стоит логическая операция классификация. Приведем определение понятия «классификация».
«Классификацией математических объектов из множества А называется разбиение множества А на классы, то есть выделение семейства подмножеств, обладающими следующими свойствами: 1) каждое из подмножеств семейства не пусто; 2) каждый объект из множества А попадает хотя бы в одно из подмножеств семейства; 3) два различных подмножества семейства не имеют общих элементов» [8, 25].
По определению классификации множеству А принадлежат следующие элементы (углы COB, KEM, DLC, AFN). Множество А разбивается на два подмножества (класса): первое подмножество - множество острых углов; второе подмножество - множество тупых углов. Каждый из двух классов углов обладают следующими свойствами: 1) каждому классу принадлежит хотя бы один элемент (классу острых углов принадлежат следующие элементы - углы COB и AFN; классу тупых углов принадлежат элементы - углы KEM и DLC. Следовательно, каждое из подмножеств не пусто); 2) каждый угол, изображенный на рисунке, попадает в одно из подмножеств (или в подмножество «острый угол» или в подмножество «тупой угол»); 3) углы, изображенные на рисунке, принадлежат только одному из подмножеств, следовательно, два подмножества не имеют общих элементов.
За данным заданием стоит логический контекст «классификация». Понятие «классификация» авторами учебника не вводится. Обучающимся приходится рассуждать интуитивно - на уровне эвристики, чтобы прийти к правильному результату. Отметим, что, в другом задании такие эвристические рассуждения не будут «работать», они могут потребовать изменения (они могут быть добавлены или исключены). При этом с одной стороны, рассуждения нельзя назвать математическими, но с другой - они приводят к правильному результату. Такие и им подобные рассуждения являются рациональными.
Таким образом, можем сделать вывод: 1) в данном задании существует скрытая информация; 2) через рациональные рассуждения, обучающиеся приходят к верному результату; 3) за словами «разбить фигуры на группы» стоит логическая операция классификация. Таким образом, можем выделить вид контекста рациональных рассуждений - «классификация».
Определим второй вид контекста рациональных рассуждений - контекст логического основания (определение). Рассмотрим его на примере.
Пример № 6. В учебнике по математике для первого класса, в уроке № 3.21 «Числа 1-5» представлено задание № 4. «Что вы можете рассказать о фигуре на рисунке?
отрезки
звенья
вершины
ломаная
Рис. 5
?! Как бы вы назвали эту фигуру?» [4, 62].
Обучающиеся должны с опорой на слова на полях назвать геометрическую фигуру и составить ее определение. Данная фигура замкнутая ломаная, которая состоит из пяти отрезков, пяти звеньев, пяти вершин. И по аналогии с треугольником, четырехугольником назвать эту фигуру пятиугольником. Данное описание не является определением и с точки зрения математики оно не является корректным.
Таким образом, это описание пятиугольника имеет рационально-логическую основу; описание пятиугольника, для начальной школы является «правилом»; в основе данного задания лежит контекст логического основания определение.
Итак, приведем выводы. 1. В статье уточнен смысл термина рациональное рассуждение, как достоверное рассуждение без четко «прописанной основы» или «без основы» (именно в данном учебнике математики). 2. Существует контекст рациональных рассуждений, приведено его опре-
деление. 3. Контекст рациональных рассуждений позволяет распознать смысл скрытой логической информации, и понять, в каком русле следует поводить рассуждения, чтобы видеть логическую цель задания. 4. Основным отличием формализованных рассуждений является наличие логической или математической основы, закрепленной в определении или правилах (но никто не запрещает внутри этим рассуждениям быть рациональными). 5. Рациональные рассуждения не имеют четко выраженной логической, математической, рациональной основы, но они имеют основу здравого смысла, прикладную основу, внутри такого рассуждения или контекста может быть (а может и не быть) какое-то формализованное рассуждение (это отличает и контексты). 6. Типология контекста рациональных рассуждений представлена по двум основаниям: а) по модальности результата. «Модальность - оценка высказывания, данная с той или иной точки зрения. Модальная оценка выражается с помощью понятий «необходимо», «возможно», «доказуемо», «опровержимо», «обязательно», «разрешимо»» [2, 110]; б) по применению результата рассуждения.
Таким образом, типология контекста рациональных рассуждений может быть условно представлена по основанию: модальность результата рассуждения - 1) контекст правдоподобных рассуждений (контекст индукции, контекст рассуждения по аналогии, контекст эксперимента) контекст рассуждения по введению и/или исключению эвристических допущений (контекст действия с учетом заданного эвристического допущения - разгадка, ребус; контекст создания эвристического допущения - поиск закономерности; контекст установления или исключения эвристического допущения - осуществление классификации или отбора содержания)) и 2) контекст свернутых неподробно формализованных рассуждений (контекст математического основания (правило, определение, утверждение) и контекст логического основания (правило, определение, утверждение) и по применению результата рассуждения - контекст внутрипредметного применения, прикладной контекст (физический, вероятностный, комбинаторный и др.), контекст дальнейшего поведения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Блехман, И.И. Прикладная математика: предмет, логика, особенность подходов / И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко. - Киев: Науково Думка, 1976.
2. Горский, Д.П. Краткий словарь по логике / Д.П. Горский, А.А. Ивин, А.Л. Никифоров; под ред. Д.П. Горского. - М.: Просвещение, 1991.
3. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 1-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 1. - 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100).
4. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 1-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 2.- 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100).
5. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 2-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 1. - 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100»).
6. Демидова, Т.Е. Математика: учебник для 2-го класса: в 3 ч. / Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких. -3-е изд., испр. - М.: Баласс: Школьный дом, 2011. - Ч. 2. - 80 с. - (Образовательная система «Школа 2100»).
7. Кондаков, Н.И. Логический словарь-справочник / Н.И. Кондаков; под ред. Д.П. Горского. - 2-е изд., испр. и доп. - М.
8. Корикова, Т.М. Справочные материалы по общей методике преподавания математики: учеб. пособие / Т.М. Корикова, А.В. Ястебов; ред. А.Н. Верещагина. - Ярославль: Изд-во Ярослав. гос. пед. ун-та, 2009. -60 с.
9. Макарченко М.Г., Пасечникова Н.В. Логический контекст в текстах учебников по математике для обучающихся в начальной школе.// Языковая личность. Речевые жанры. Текст: материалы Всероссийской молодежной конференции/ отв. ред. И.В. Голубева. - Таганрог, 2014. - 296с.
10. Пасечникова, Н.В. Разнообразная представленность логического контекста в текстах учебников по математике для обучающихся в начальной школе // Отечественная наука в эпоху изменений: постулаты прошлого и теории нового времени: мат-лы II Международ. конф. / отв. ред. Т.А. Филесин. - Екатеринбург, 2014. - 166 с.
11. Пойа, Дж. Математика и правдоподобные рассуждения: пер. с англ. И.А. Вайнштейна / Дж. Пойа; под ред. С.А. Яновского. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1975. - 464 с.
УДК 621.793 ББК 22.31
В.Н.Сёмин, С.А. Донских
БОРАТНЫЕ СТЕКЛА КАК АКТИВАТОР СПЕКАНИЯ ПОРОШКОВЫХ СИСТЕМ
Аннотация. Рассмотрен процесс активизации процесса спекания порошковых систем бо-ратными стеклами. Показана возможность применения для описания кинетики спекания гидродинамической модели.
Ключевые слова: боратное стекло, активация спекания, кинетика усадки.
15
