Контактное взаимодействие квадратной пластины с круглым отверстием и упругой шайбы, вставленной в отверстие Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т о м X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 9

№ 6

УДК 539.3.512.831

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНЫ С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ И УПРУГОЙ ШАЙБЫ, ВСТАВЛЕННОЙ В ОТВЕРСТИЕ

Ю. А. Шевченко

Проведено исследование влияния параметров нагружения на характер взаимодействия квадратной пластины с круглым отверстием и шайбы, вставленной в отверстие. Получена зависимость концентрации напряжений на кромке отверстия от параметров нагружения.

Болтовые и заклепочные соединения в машиностроительных конструкциях являются местами с повышенной концентрацией напряжений и частично определяют как прочность конструкций, так и их ресурс. Основной способ исследования экспериментальный, поскольку полный теоретический расчет этих ответственных деталей пока, к сожалению, невозможен из-за большой сложности процессов, происходящих в ходе эксплуатации соединения. Здесь необходимо учитывать геометрическую нелинейность задачи — зависимость зон контакта от величины приложенных сил, силы трения, изменение коэффициента трения в ходе эксплуатации, возможность появления зон пластических деформаций, изменение свойств материала с течением времени, появление и распространение трещин и т. д. Каждый из перечисленных вопросов представляет собой сложную проблему.

В данной статье анализируется напряженно-деформированное состояние простейшей модели болтового соединения, представляющей собой квадратную пластину с круглым отверстием, в которое вставлен упругий болт (рис 1, а). Несомненно, что определение напряженно-деформированного состояния деталей болтового соединения должно производиться в трехмерной постановке. В. то же время основные особенности изменения концентрации напряжений от параметров нагружения можно оценить, заменив болт в пределах толщины листа упругой шайбой, предполагая, что контактные напряжения, действующие на шайбу, уравновешиваются силой, приложенной в центре шайбы. Эта модель является весьма упрощенной, но она позволяет провести полное исследование изменения зон контакта и напряженно-деформированного состояния при различных величинах зазора (натяга) и при различных соотношениях действующих усилий.

Рассмотрим задачу о контактном взаимодействии упругих тел: круглой шайбы и пластины с круглым отверстием, в которое вставлена шайба. Будем считать, что трение в зоне контакта отсутствует. Пластина предполагается нагруженной по двум кромкам погонными распределенными усилиями 5 и Б'. Предполагаем также, что 5 > Б', тогда разность этих усилий передается на шайбу через контактные напряжения и уравновешивается силой Р, приложенной к центру шайбы. Размер зоны контакта можно охарактеризовать углами 0! и 62-

| 1 1 1 ! Г Г 1 1 1

IV

З-Ш &от В

¡\а

иЛв,

Р

11111 11111

У а)

<п

Рис. 1

Введем следующие безразмерные параметры задачи (толщины пластины и шайбы полагаются равными 1):

Бы

Ее

и Х =

5 — 5'

где е = — ¿0тв)/2 — величина зазора с<0 (натяга £>0), с которым шайба вставлена в отверстие пластины; по — ширина пластины; Лш и ¿отв — диаметры шайбы и отверстия в пластине соответственно; Е — модуль упругости материала шайбы и пластины; V — коэффициент Пуассона.

Для определения напряженно-деформированного состояния этих контактирующих тел использовался численный метод решения контактной задачи теории упругости с помощью метода конечных элементов*. Конечно-элементная модель конструкции, учитывая ее симметрию, состояла из 234 плоских криволинейных изопараметрических элементов с поликвадратичным законом аппроксимации поля перемещений внутри элемента (рис. 1, б). Общее число неизвестных составило 1 616. Граница .шайба — кромка отверстия" проходила по линии узлов СС'.

На линии симметрии конструкции ставились граничные условия, соответствующие условию симметрии. В центре шайбы (точка О) фиксировались все компоненты вектора перемещений.

При решении задачи важную роль сыграла конденсация матриц жесткости шайбы и пластины относительно узлов, лежащих на границе „шайба — кромка отверстия" и образующих сопряженные пары узлов. С помощью конденсации удалось перейти от решения задачи с 1616 неизвестными к задаче с 148 неизвестными, что существенно сократило время итерационного процесса поиска зоны контакта и позволило провести параметрические исследования при различных параметрах нагружения. Следует отметить, что итерационный процесс поиска зон контакта при решении задачи всегда сходился, причем требовались две-три итерации.

При расчетах принимались следующие параметры конструкции: ш> = 100мм, Е = 2- Юн Н/м2, V = 0,3, ¿отв = 20 мм, = ¿отв + 2е.

На рис. 2, а, б представлены зависимости углов контакта от параметра нагружения т. при значениях X = 0; 0,5; 1 для г<0 и £>0 соответственно.

* Шевченко Ю. А. Применение метода конечных элементов к решению контактной задачи теории упругости с переменной зоной контакта без трения. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 6, 1976.

45'

-

/его (' 0,5 __п.

( ь'ь"

с)

Зависимость угла контакта от параметров нагружения:

а—установка шайбы в отверстие с зазором (е<0); б—установка шайбы в отверстие с натягами (е>0)

Рис. 2

В случае установки шайбы в отверстие с зазором при X = 0 зона контакта образуется при х =•. 1,2 и в дальнейшем увеличивается по мере возрастания параметра * вплоть до угла 61 = 62» 22°. При X = 0,5 и 1 взаимодействие шайбы с кромкой отверстия происходит в самом начале нагружения, и по мере роста параметра * угол контакта 0! приближается к нулю, значение же угла 62 остается неизменным и равным 90°.

В случае установки шайбы в отверстие с натягом при А = 0 шайба контактирует с кромкой отверстия по всему периметру до % = 3. При дальнейшем росте параметра ■*. угол контакта уменьшается и стремится к 6] = 02 ~ 22°. Значение параметра *., при котором происходит отлипание шайбы от кромки отверстия в точке а при А =0,5 и 1, значительно меньше и равно 1,25 и 1,9 соответственно. В то же время в точке Ь отлипания шайбы от кромки отверстия не происходит.

На рис. 3 показаны распределения компонентов тензора напряжений а2 и ав по кромке отверстия при различных значениях параметра X при е = 0(* = со). Зависимость напряжений смятия аг наглядно демонстрирует перестроение зоны контакта в процессе изменения параметра нагружения X. При Х=0 зона контакта локализовалась в пределах углов 0! = 02 22°, в дальнейшем при увеличении параметра X смещалась и при Х= 1 занимала область 63=:90°, 0! = 0. Положение максимальных значений наддавливающих напряжений также перемещалось по кромке отверстия с угла 02 = 0 до 90°.

5Г У

е

—

— ч. \-4

—^ у V

I 0,4

од^ 'оорз^

а]

Рис. 3

бд„ах ч \ к

V

7 . А

х-о --- 0,5 |

10 5 0 -5

* £Е

Рис. 4

Распределение растягивающих усилий сг9 по кромке отверстия претерпевает существенное изменение в процессе увеличения параметра X. При Х = 0 имеют место две точки с максимальным значением растягивающих напряжений, которые располагаются в области границы зоны контакта. Увеличение параметра X приводит к возрастанию растягивающих напряжений только в точке а, так что максимум растягивающих напряжений смещается к 02 = О по мере передвижения границы зоны контакта к своему предельному значению.

Необходимо отметить, что выбор конечно-элементной модели конструкции поточности получаемых результатов вполне удовлетворителен, что подтверждается тем, что на кромке отверстия хорошо выполняются естественные граничные условия = 0 и сг = 0 вне зоны контакта.

На рис. 4 приведена зависимость концентрации напряжений на кромке отверстия от параметров нагружения X и х.

При больших значениях х>10 наличие зазора (натяга) не сказывается на величине концентрации напряжений, что характеризует значения, построенные при -х. = 10 и х = — 10. Изменение параметра X при этом существенно изменяет значение концентрации напряжений от 2,85 при X = 0 до 6,2 при Х=1.

Для случая установки шайбы в отверстие с натягом наблюдаются экстремальные точки минимальной концентрации напряжений при изменении параметра х, т. е. существует оптимальная величина натяга, при котором концентрация напряжений при данной нагрузке будет минимальна.

Рукопись поступила 20/ VII 1978 г.