КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ШТАМПА В ФОРМЕ ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ И ПОРОУПРУГОГО СЛОЯ, ЗАКРЕПЛЕННОГО НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 2

Научная статья УДК 531.3

doi: 10.18522/1026-2237-2022-2-28-35

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ШТАМПА В ФОРМЕ ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ И ПОРОУПРУГОГО СЛОЯ, ЗАКРЕПЛЕННОГО НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Михаил Иванович Чебаков 13, Елена Михайловна Колосова 2

1,2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

michebakov@yandex.ru 3

2a_lena_ch@mail.ru

Аннотация. Рассматривается на основе уравнений теории пороупругих тел Ковина - Нунзиато контактная задача о внедрении жесткого штампа в форме параболоида вращения в пороупругий слой, закрепленный на упругом полупространстве. Предполагается, что в зоне контакта отсутствует трение. С помощью интегрального преобразования Ханкеля поставленная задача сводится к решению интегрального уравнения относительно неизвестного контактного напряжения. Для решения интегрального уравнения используется метод коллокаций. Найдены область контакта, значения контактных напряжений. Исследованы деформация поверхности вне штампа, связь между силой, действующей на штамп, и его перемещением. Проведен сравнительный анализ исследуемых величин для различных значений параметров пороупругого слоя и упругого основания. Численные результаты представлены в виде графиков.

Ключевые слова: контактная задача, пороупругость, модель Ковина - Нунзиато, осесимметричная задача, метод коллокаций, индентирование

Благодарности: работа финансово поддержана Южным федеральным университетом (Министерство науки и высшего образования Российской Федерации). Проект № ВнГр-07/2020-07-ИМ.

Для цитирования: Чебаков М.И., Колосова Е.М. Контактная задача о взаимодействии штампа в форме параболоида вращения и пороупругого слоя, закрепленного на упругом основании // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 2. С. 28-35.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article

CONTACT PROBLEM ON THE INTERACTION OF A PUNCH IN THE FORM OF A PARABOLOID OF ROTATION AND A POROELASTIC LAYER FIXED

ON AN ELASTIC FOUNDATION

Mikhail I. Chebakov13, Elena M. Kolosova 2

1,2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

michebakov@yandex.ru 3

2a_lena_ch@mail.ru

Abstract. The contact problem of the introduction of a rigid punch in the form of a paraboloid of rotation into a poroelastic layer fixed on an elastic half-space is considered on the basis of the equations of the theory of poroelastic bodies of Cowin-Nunziato. It is assumed that there is no friction in the contact zone. With the help of the Hankel integral transformation, the problem posed is reduced to solving the integral equation for an unknown contact stress. The collocation method is used to solve the integral equation. The area of contact, the values of

© Чебаков М.И., Колосова Е.М., 2022

contact stresses are found, and the deformation of the surface outside the punch is investigated. The relationship between the force acting on the punch and its displacement has also been investigated. A comparative analysis of the studied quantities for different values of the parameters of the poroelastic layer and the elastic foundation has been carried out. Numerical results are presented in the form of graphs.

Keywords: contact problem, poroelasticity, Cowin-Nunziato model, axisymmetric problem, collocation method, indentation

Acknowledgments: research was financially supported by Southern Federal University, grant No. VnGr-07/2020-07-IM (Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation).

For citation: Chebakov M.I., Kolosova E.M. Contact Problem on the Interaction of a Punch in the Form of a Paraboloid of Rotation and a Poroelastic Layer Fixed on an Elastic Foundation. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(2):28-35. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).

Введение

Пористые материалы - достаточно новый класс материалов с уникальными физическими, механическими, акустическими, электрическими и термическими свойствами. Благодаря оптимальному соотношению массы и прочности он широко используется в различных отраслях промышленности и строительства. Важнейшим вопросом при производстве таких материалов является контроль и оценка их механических характеристик. Существуют различные подходы.

Один из них на основе моделирования пористых материалов развит в работах Ковина - Нун-зиато [1, 2]. Данная теория, называемая теорией микродилатации, была применена для исследования пористых тел с пустыми (ненасыщенными) порами. Она использует линейную теорию упругости с дополнительной кинематической переменной, которая описывает свойства изменения пористости. Таким образом, деформация и пористость являются связанными полями, имеющими общую реакцию на внешние нагрузки, прикладываемые к телу.

Линейная теория описана в [2]. Ряд исследований проведен в последние годы. На основе теории Ковина - Нунзиато, например в работах [3, 4], решены плоские контактные задачи для полуплоскости и полосы соответственно. В [5-7] исследованы осесимметричные контактные задачи для пористого полупространства и слоя. В [8] рассмотрена осесимметричная задача о взаимодействии штампа и упругого слоя, закрепленного на пороупругом полупространстве.

Исследовано влияние параметров пороупругого слоя и упругого полупространства на контактные напряжения, приложенную нагрузку к штампу и перемещения свободной поверхности пороупругого слоя, закрепленного на упругом полупространстве, при индентировании слоя жестким штампом в форме параболоида вращения.

Постановка задач

Рассмотрим в цилиндрической системе координат (г, ф, г) осесимметричную задачу о нормальном внедрении (индентировании) на заданную глубину жесткого штампа в форме параболоида вращения в пороупругий слой 0 < г < к, закрепленный на упругом полупространстве г < 0. Деформация пороупругого слоя описывается соотношениями Ковина и Нунзиато [2].

Деформация слоя 0 < г < И , состоящего из изотропного материала с пустотами, согласно теории Ковина - Нунзиато, описывается при к=1 системой дифференциальных уравнений в частных производных [2]:

,двк , .. икл, пдФ п , .. лдв±,..^.. , ПдФ .

z

аЬф-ф-рвк = 0, А = ~|г^l + fr > вк = — + ^ + . (1)

r дг V дг ) dz2 r дг dz

(Як +Мк + Мк (Аик--f) + Р^- = о, (Лк +jUk ) в + jUk Awk +рдф = 0, дг г2 дг дz дz

1 д | д ^ д2 ик дик Owy.

Здесь a - коэффициент пустотной диффузии; fi - параметр связи микродилатационных и макродилатационных свойств; % - пустотная жесткость; функция ф(т, z) описывает изменение объемной части пор; juk и - коэффициенты Ламе; щ и wk - перемещения вдоль осей r и z.

Деформация упругого полупространства z < 0 описывается первыми двумя уравнениями из (1) при k=2 и в=0.

Компоненты тензора напряжений в пороупругом слое определяются из соотношений (2) при k=l

ak = ЛЛ + 2j W + РФ , 4 = J f^ + ]. (2)

oz \ or cz )

Соотношения (2) определяют напряжения в упругом полупространстве при k=2 и fi = 0 .

При z=h и z=0 граничные условия примут вид

4(r,z) = 0, z) = 0 ( z = h ), w1(r,z) = S(r) ( z = h, r <a ), o\(r,z) = 0 ( z = h, r > a ), Cz

8ф(г, 2) 82

(г, 2) = т2г2 (г, 2) , wl(r, 2) = щ(г, 2) , щ(г, 2) = Ы?(г, 2) (г = 0), (3)

^2 (г, 2) = о?(г, 2), М^ = о (2 = 0), 8(г) = 8-г2/(2Я), (4)

82

где Я - радиус кривизны параболы в первоначальной точке касания штампа и слоя. При 2 ^ —да напряжения и перемещения затухают.

Вывод интегрального уравнения относительно контактных напряжений

Для определения контактных напряжений а2 (г,0) = ц(г) будет построено интегральное уравнение. Предварительно будем считать их известными. Тогда приходим к решению системы (1) с новыми граничными условиями при 2=Н

т$г(г, г) = 0, = 0, о2(г, г) = ц(г) (г < а), оЦг, г) = 0 (г > а). (5)

Неизвестные функции в системе (1) запишем в виде преобразования Ханкеля для пороупру-гого слоя (£=1) и упругого полупространства (&=2) соответственно

да да

ык(г,2) =|Ак(ы,2)J1(ыr)ыdы , wk(г,2) =|Вк(ы,2)30(ыг)ыс1ы (&=1, 2), о о

да

ф(г,2) = |Г(ы,2)J0(ыr)ыdы , о

где Ji (ы) (1 = 0,1) - функции Бесселя. Для нахождения функций Ак (ы, 2), В к (ы, 2), Р(и,г)

придем к решению системы дифференциальных уравнений для пороупругого слоя

с?Б2А1— ы2А1 — (1 — с2)ы БВ1—ыШ = 0, Б = й/йг, (1 — с?)ы БА1 + Б2В1 — с?ы2В1 + НБГ = 0 , (6)

/ 2

if (D2 F - u 2 F) - F - uA1 - DB1 = 0 l2

и упругого полупространства

c\D2A2 - u2 A2 - (1 - c\ )u DB2 = 0, (1 - c2)u DA2 + D2B2 - c%u2B2 = 0 . (7)

На основе граничных условий (5) получим

DA1 - uB1 = 0, DF = 0, (1 - 2c2 )u A1 + DB1 + HF = Qc2 j- ( z = h ), B1 = B2, A1 = A2, j1(DA1 -uB1) = jj2(DA2 -uB2), DF = 0 (z = 0) , (8)

((1 -2cf)u A1 + DB1 + H2F)jc-2 = ((1 -2c2)u A2 + DB2)j2c-2 (z = 0) ,

a да

Q(u) = Jq(r)J0(ur)rdr , q(r) = JQ(u)J0(ur)udu .

0

0

Здесь использованы следующие обозначения [9]: с2 =-—-, H =-——, ¡1 = — , ¡2 = — •

(¿к + 2—к ) ¿2 + 2—2 — %

Общее решение системы (6) может быть представлено в виде

А1(и,г) = (й1 + й2г)еиг + (й3 + й4г)е-иг + й5етг + й6е-тг, В1(и,г) = ^ + з2г)еиг + (б^ + з4г)е-иг + з5етг + 56е-тг, Р(и,г) = (Ь1 + 12г)еиг + (Ь3 + иг)е-иг + 15етг + 16е-тг.

Общее решение системы (7) может быть представлено в виде

А2(и,г) = (а1 + а2г)еиг, В2(и,г) = (Ъ1 + Ъ2г)еиг, где параметры , (/=1,.. .,6) легко выражаются через йг, ёъ, а параметры Ъ и Ъг - через а\, аг.

Для нахождения коэффициентов а1, аг, йг, йъ, ё воспользуемся граничными условиями (7). В результате найдем выражение для В^ы, к),

В1(и,Н)=2^1(и), 1(и)=Ш (5 = ы12)• (9)

Здесь функции Ц (5) и ^ (5) имеют следующую структуру:

Ц (5) = ск (Тё)\2ск(25ё )Ь11(5) + Ц2(5)] + 5к (Тё)\ск(25ё )Ь1 3 (5) + 5к (2ё )Ц4(5) + Ц5 (5)], (10) Ь2 (5) = ск (Тё)\2ск (25й )Ь2 у (5) + 5к (25ё)Ь22(5) + Ь23(5)] + 5к (Тё)\ск(25ё)Ь24(5) + Ь25(5) + + 5к(25ё)Ь26(5) + Ь21(5)] + ск(25ё)Ь28(5) + 5к(25ё)Ь29(5).

Выражения для Ь (5) имеют довольно громоздкий вид и здесь не приводятся.

Ц (5) (/ = 1,2; ] = 1,... ,9) содержат степенные функции от 5, величину Т = V5 2 — N +1 в первой степени и параметры ё = к / ¡2, — = —2/ —1 •

Используя граничное условие М!1(г,0) = 8(г) при г < а и г = к , из (3) найдем

1 г™

™1(г,к) =^ГсТ)>0 ®(и^и1о(иг)йи = 5(г) (г < а). (11)

Подставляя в (11) выражение для Q(u) из (8) и удовлетворяя граничному условию м>1(г, г) = 5(г) (г = к, г < а) из (3), после замены г = х12 , р = у12 , ы = 5 /12, к = ё12 получим искомое интегральное уравнение для определения контактных напряжений под штампом

д(г) = а(г /12)

Ь —

\&(у)ук(у,х)ёу = ---3(х12) (х < Ь), к(у,х) = \Ь(8)&1о(5х^о(5у)Ж . (12)

0 (1 — ^1)12 0

Здесь 2(1 — с2) = (1 — У\)~1, где у1 - коэффициент Пуассона для упругого слоя, Ь = а/¡2.

Решение интегрального уравнения

Для решения интегрального уравнения (12) с символом ядра Ь( 5) из (9), (10) применим прямой метод коллокаций [10]. Разобьем отрезок [0, Ъ] на п частей набором точек Ь. =е] (в = Ь/п , } = 0,1,...,п) и будем считать, что на каждом отрезке [Ь]-1, контактные напряжения имеют постоянное значение о. Пусть х^ = (Ь^ + Ь]{-1)/2 есть точки коллокаций, тогда интегральное уравнение дискретизируем по следующей схеме с учетом (4):

ÏJ--1 ч й = (k = 1 n).

В результате получим систему для определения Oj

= = % (13>

где akj = ÇL(s)J0(sxk)[bjJi(sbj) - bj_iJi(sbj_i)]ds.

Силу, действующую на штамп, найдем из соотношения

a b n

P = 2nJ q(r)rdr = 2n Ja(x)xdx = 2ks/\ xk .

0 0 k=1

Числовые расчеты

Приведенная выше схема решения интегрального уравнения позволяет рассчитать контактные напряжения, форму поверхности вне штампа, силу, действующую на штамп при заданной величине его перемещения S . В расчетах основное внимание уделялось влиянию параметров N, M = ^2/^1, d=hlh на исследуемые величины.

Безразмерные контактные напряжения q*(x) = о^х^^-1— на границе z=h показаны на рис. 1a-

3a, приведенная деформация w*(x) = l^1w(xl2) поверхности z=h вне штампа - на рис. 1б-3б. Отметим, что здесь при расчетах полагалось v1 = V2 = 0,3, b = 1. Вычисления проводились с погрешностью не более 3 %, для этого было достаточно брать в системе (13) n=50. При этих же

параметрах вычислялась безразмерная сила Р* = 1 J1 Р.

На рис. 1 приведены q*, w* при N=0,5, d=1, R*=1 и различных значениях ^. Отметим, что q*(0)=0,964, P*=1,608 при ц=0,5, 6=0,915; q*(0)=1,190, P*=2,391 при ^ =1, 6=1,01; q*(0)=1,441, P*=3,314 при ^ =2, 6=1,093. На графиках указаны значения ц.

На рис. 2 приведены q*, w* при N=0,5, ц=2, R*=1 и различных значениях параметра d. Отметим, что q*(0)=1,441, P*=3,314 при d=1, 6=1,093; q*(0)=1,769, P*=3,971 при d=0,5, 6=1,102; q*(0)= 2,082, P*=4,516 при d=0,25, 6=1,090; q*(0)= 2,325, P*=4,958 при d=0,1, b=1,070. На графиках указаны значения d.

На рис. 3 приведены q*, w* при d=1, ц=2, R*=1 и различных значениях параметра N. Отметим, что q*(0)=1,441, P*=3,314 при N=0,5, 6=1,093; q*(0)=1,504, P*=3,569 при N=0,3, 6=1,110; q*(0)= 1,574, P*=3,830 при N=0, 6=1,127. На графиках указаны значения N.

a / a б / b

Рис. 1. Контактные напряжения (а) и перемещения поверхности z=h (б) вне штампа при различных значениях f / Fig. 1. Contact stress (a) and displacements of the surface z=h (b) outside the punch at different values of f

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No.2

a / a

б / b

Рис. 2. Контактные напряжения (а) и перемещения поверхности z=h (б) вне штампа при различных значениях d / Fig. 2. Contact stress (a) and displacements of the surface z=h (b) outside the punch at different values of d

<r

1,501,251 1,00 0,75 0,50 0,25

f Hl 0 'S N=0

- —

0.5

0,25 0,50 0,75 1,00

1Г*

-0,15

-0,20 -0,35 -0,25 -0,30 -0,40^

Лг- =0

—0.3

0; 5

1,5

2,0

2,5

a / a

б / b

Рис. 3. Контактные напряжения (а) и перемещения поверхности z=h (б) вне штампа при различных значениях N / Fig. 3. Contact stress (a) and displacements of the surface z=h (b) outside the punch at different values of N

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 2

Выводы

Расчеты показывают, что увеличение пористости слоя при постоянной величине смещения штампа, радиуса кривизны штампа R и других параметров приводит к уменьшению контактных напряжений под штампом, величины приложенной силы, области контакта и увеличению перемещений поверхности z = h. Такая же картина наблюдается при уменьшении параметра /, характеризующего относительную жесткость пороупругого слоя.

Увеличение относительной толщины пороупругого слоя при фиксированных значениях других параметров приводит к уменьшению максимальных контактных напряжений, величины приложенной силы и перемещений свободной поверхности слоя вне штампа. Влияние этого фактора менее заметно, чем изменение относительной жесткости пороупругого слоя.

Следует отметить, что величина области контакта не сильно отличается при изменении толщины пороупругого слоя d или параметра пористости N при фиксированных значениях других параметров пороупругого слоя и упругого полупространства (рис. 2 и 3).

Список источников

1. Nunziato G. W., Cowin S.C. A nonlinear theory of elastic materials with voids // Arch Ration Mech Anal. 1979. Vol. 72. P. 175-201.

2. Cowin S.C., Nunziato G.W. Linear theory of elastic materials with voids // J. Elasticity. 1983. Vol. 13. P. 125-147.

3. Scalia A., Sumbatyan M.A. Contact problem for porous elastic half-plane // J. Elasticity. 2000. Vol. 60. P. 91-102.

4. Scalia A. Contact problem for porous elastic strip // Int. J. Eng. Sci. 2002. Vol. 40. P. 401-410.

5. Chebakov M.I., Poddubnyy A.A., Kolosova E.M., Alexiev A., Datcheva M. Contact interaction of axisymmetric indenter and poroelastic foundation // Materials Physics and Mechanics. 2020. Vol. 44. P. 423-432.

6. Chebakov M.I., Poddubny A.A., Kolosova E.M., Alexiev A.R., Iankov R.Z. Contact interaction of axisymmetric indenter and poroelastic layer // Comptesrendus de l'Acad_emiebulgare des Sciences. 2020. T. 73, № 6. P. 846-855.

7. Kolosova E.M., Chebakov M.I. Analytical Solution of Axisymmetric Contact Problem for a Poroelastic Layer // Mechanics of Solids. 2020. Vol. 55, № 6. P. 857-864.

8. Chebakov M.I., Kolosova E.M. Contact interaction of axisymmetric stamp and elastic layer fixed on poroelastic base // Mechanics of Composite Materials. 2020. Vol. 56, № 6. P. 769-778.

9. Iesan D., Nappa L. Axially symmetric problems for a porous elastic solid // International J. of Solids and Structures. 2003. Vol. 40. P. 5271-5286.

10. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. 256 с.

References

1. Nunziato G.W., Cowin S.C. A nonlinear theory of elastic materials with voids. Arch. Ration Mech. Anal. 1979;72:175-201.

2. Cowin S.C., Nunziato G.W. Linear theory of elastic materials with voids. J. Elasticity. 1983;13:125-147.

3. Scalia A., Sumbatyan M.A. Contact problem for porous elastic half-plane. J. Elasticity. 2000;60:91-102.

4. Scalia A. Contact problem for porous elastic strip. Int. J. Eng. Sci. 2002;40:401-410.

5. Chebakov M.I., Poddubnyy A.A., Kolosova E.M., Alexiev A., Datcheva M. Contact interaction of axisymmetric indenter and poroelastic foundation. Materials Physics and Mechanics. 2020;44:423-432.

6. Chebakov M.I., Poddubny A.A., Kolosova E.M., Alexiev A.R., Iankov R.Z. Contact interaction of axisymmetric indenter and poroelastic layer. Comptesrendus de l'Acad emiebulgare des Sciences. 2020;73(6):846-855.

7. Kolosova E.M., Chebakov M.I. Analytical Solution of Axisymmetric Contact Problem for a Poroelastic Layer. Mechanics of Solids. 2020;55(6):857-864.

8. Chebakov M.I., Kolosova E.M. Contact interaction of axisymmetric stamp and elastic layer fixed on poroelastic base. Mechanics of Composite Materials. 2020;56(6):769-778.

9. Iesan D., Nappa L. Axially symmetric problems for a porous elastic solid. International J. of Solids and Structures. 2003;40:5271-5286.

10. Belotserkovsky S.M., Lifanov I.K. Numerical methods in singular integral equations and their applications to aerodynamics, theory of elasticity and electrodynamics. Moscow: Nauka Publ., The Main Editorial Office of the Physical and Mathematical Literature; 1985. 256 p. (In Russ.).

Информация об авторах

М.И. Чебаков - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Е.М. Колосова - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, лаборатория механики деформируемых тел и конструкций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича.

Information about the authors

M.I. Chebakov- Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Head of Laboratory of Mechanics of Deformable Bodies and Structures, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science. E.M. Kolosova - Candidate of Science (Physics and Matematics), Senior Researcher, Laboratory of Mechanics of Deformable Bodies and Structures, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 21.02.2022; одобрена после рецензирования 02.03.2022; принята к публикации 16.05.2022. The article was submitted 21.02.2022; approved after reviewing 02.03.2022; accepted for publication 16.05.2022.