CC BY
37
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
УДК 539.3
doi 10.18522/1026-2237-2021-2-22-33
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ И СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (обзор)*
© 2021 г Д.А. Пожарский1
1Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия
PERIODIC CONTACT AND MIXED PROBLEMS OF THE ELASTICITY THEORY (Review)
D.A. Pozharskii1
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: pozharda@rambler.ru
Dmitrii A. Pozharskii - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: pozharda@rambler.ru
Приводится обзор результатов, полученных при исследовании периодических контактных и смешанных задач плоской, осесимметричной и пространственной теории упругости. Среди смешанных задач выделяются задачи о системах разрезов (трещин), интегральные уравнения которых связаны с интегральными уравнениями контактных задач. Интерес к периодическим контактным задачам связан с необходимостью изучения дискретного контакта шероховатых (волнистых) поверхностей. Наряду с классическими упругими областями (полуплоскость, полупространство, плоскость и пространство) рассматриваются периодические задачи для цилиндра, слоя, конуса и пространственного клина. Большинство публикаций, начиная с основополагающих работ Вестергаарда и Штаермана, посвящено периодическим задачам плоской теории упругости. Здесь можно выделить подходы, основанные на использовании функций комплексной переменной, рядов Фурье, функций Грина и потенциальных функций. Получил развитие подход механики разрушения к исследованию плоской периодической контактной задачи. Рассматриваются подходы и методы, позволяющие при периодическом контакте учесть силы трения, адгезию и износ. Приводятся методы исследования пространственных периодических и двоякопериодических контактных и собственно смешанных задач, среди которых выделяются методы локализации, асимптотические, нелинейных граничных интегральных уравнений, быстрое преобразование Фурье. Простейшей трехмерной моделью упругого тела является полупространство. Однако для простейшей периодической системы штампов - прямолинейной цепочки - трехмерные контактные задачи (нормальный контакт или тангенциальный контакт при сдвиге сцепленных накладок) оказываются некорректными, так как интегральные уравнения содержат расходящиеся ряды. В работах И.Г. Горячевой по трехмерным периодическим задачам круговые штампы располагаются специальным образом (по круговым орбитам, центры штампов задаются полярными координатами). В этом случае доказывается сходимость рядов в интегральном уравнении (при решении важно, что форма штампов именно круговая). Также вместо полупространства можно рассматривать слой, однако тогда, как показал В.М. Александров, усложняется ядро интегрального уравнения. В предлагаемой статье показывается, что для случая периодической прямолинейной цепочки штампов произвольной формы в плане контактная задача для полупространства становится корректной при усложнении граничных условий. Именно следует закрепить часть границы полупространства - поставить условия скользящей или жесткой заделки на полуплоскости, граница которой параллельна оси цепочки штампов и удалена от нее на произвольное конечное расстояние. При этом в случае скользящей заделки ядро интегрального уравнения периодической задачи не содержит квадратур, а состоит только из однократного сходящегося ряда (нормальный контакт, доказывается эквивалентность двух форм ядра). Рассматривается как классическая перколяция (просачивание соседних областей контакта друг в друга, исследованное в работах К.Л. Джонсона, В.А. Ястребова и их соавторов) при усилении трехмерного периодического контакта, так и перколяция для прямолинейной цепочки штампов. Аналогичный подход предлагается для случая периодического тангенциального контакта (сдвиг сцепленной с границей
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-11-50007 / The reported study was funded by RFBR, project number 20-11-50007.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
полупространства цепочки накладок вдоль или перпендикулярно оси цепочки). Здесь тонким моментом является выделение единственных решений вспомогательных краевых задач, поскольку линия смены граничных условий на границе полупространства может провоцировать неединственность. Предлагаемая методика в дальнейшем может позволить рассмотреть более сложные трехмерные периодические контактные задачи для прямолинейных цепочек со сменой граничных условий внутри периода.
Ключевые слова: периодические контактные и смешанные задачи, теория упругости.
Results are reviewed collected in the investigations ofperiodic contact and mixed problems of the plane, axially symmetric and spatial elasticity theory. Among mixed problems, cut (crack) problems are focused integral equations of which are connected with those for contact problems. The periodic contact problems stimulate research of the discrete contact of rough (wavy) surfaces. Together with classical elastic domains (half-plane, half-space, plane and full space), we consider periodic problems for cylinder, layer, cone and spatial wedge. Most publications including fundamental ones by Westergaard and Shtaerman deals with plane periodic problems of the elasticity theory. Here, one can mention approaches based on complex variable junctions, Fourier series, Green's functions and potential functions. A fracture mechanics approach to the plane periodic contact problem was developed. Methods and approaches are considered which allow us to take friction forces, adhesion and wear into account in the periodic contact. For spatial periodic and doubly periodic contact and properly mixed problems, we describe such methods as the localization method, the asymptotic methods, the method of nonlinear boundary integral equations, the fast Fourier transform. The half-space is the simplest model for elastic solids. But for the simplest straight-line periodic punch system, some three-dimensional contact problems (normal contact or tangential contact for shifted cohesive coatings) turn out to be incorrect because their integral equations contain divergent series. Considering three-dimensional periodic problems, I.G. Goryacheva disposes circular punches in special way (circular orbits, polar coordinated are used for centers of the punches), in this case one can prove convergence of the series in the integral equation (it is important that the punches are circular). For the periodic problems for an elastic layer, V.M. Aleksandrov has shown that the series in integral equations converge but the kernels become more complicated. In the present paper, we demonstrate that for the straight-line periodic punch system of arbitrary form the contact problem for a half-space turns out to be correct in case of more complicated boundary conditions. Namely, it can be sliding support or rigid fixation of a half-plane on the half-space boundary, the half-plane boundary should be parallel to the straight-line (the punch system axis) for arbitrary finite distance between the parallel lines. On this way, for sliding support, the kernel of the periodic problem integral equation kernel is free of integrals, it consists of single convergent series (normal contact, the kernel is given in two equivalent forms). We consider classical percolation (how neighboring contact domains penetrate one to another, investigated by K.L. Johnson, V.A. Yastre-bov with co-authors) for the three-dimensional periodic contact amplification as well as percolation for the straight-line punch system. A similar approach is suggested for the case of periodic tangential contact (coatings system cohesive with a half-space boundary shifted along its axis or perpendicular to it). Here, one can separate out unique solutions of auxiliary problems because the line of changing boundary conditions on the half-space boundary can provoke non-uniqueness. The method proposed opens possibility to consider more complicated three-dimensional periodic contact problems for straight-line punch systems with changing boundary conditions inside the period.
Keywords: periodic contact and mixed problems, elasticity theory.
Введение
Контактные задачи продолжают привлекать внимание мировой науки [1, 2]. В периодических контактных задачах (ПКЗ) теории упругости профили обоих или одного из контактирующих тел распределяются периодически, например, вдоль какого-то принципиального направления на границе. Актуальность ПКЗ связана с тем, что такие профили часто встречаются в инженерных приложениях (синусоидальная волнистость, искусственные поверхности после лазерной обработки). В силу особенностей машинной обработки поверхности зачастую достаточно рассматривать двумерные (плоские) ПКЗ, которым посвящено большинство публикаций. Среди периодических смешанных задач (ПСЗ) выделяются задачи о системах трещин (разрезов), интегральные уравнения (ИУ) которых близки ИУ, возникающим в ПКЗ.
Развитие идей Вестергаарда и Штаермана
В этом разделе рассматриваются в основном двумерные задачи. В пионерской работе в области ПКЗ Вестергаардом [3] получено точное решение для контакта одномерной синусоидальной поверхности с упругим полупространством. При использовании комплексной функции напряжений найдены граничные перемещения и зависимость области контакта от приложенной нагрузки. Дандарс с соавторами [4] свел аналогичную ПКЗ для двух синусоидальных поверхностей к парным рядам - уравнениям, а затем к ИУ типа Абеля, через решение которого выражаются основные характеристики контакта. Показано, что при возрастании нагрузки первоначально сплошной контакт внутри периода может стать множественным. Ряд методов плоской теории упругости успешно применялся при решении ПКЗ: методы теории функций комплексной
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
переменной [5-11], рядов Фурье [4, 12], функций Грина [13-16], потенциальных функций [3]. Вероятно, первой работой, где плоская ПКЗ сведена к ИУ, явилась книга Штаермана [13], в которой получены аналитические выражения для контактных давлений, определены области контакта, рассмотрен случай жестких штампов с плоским основанием. Исследовалась периодическая задача о вдавливании системы упругих полуполос в полосу [17]. Плоская ПКЗ для упругой многослойной плиты рассмотрена в статье [18]. Для построения ИУ использованы матрицы податливости многослойных плит. Предложен приближенный метод решения ИУ. Приведены численные результаты для трехслойной плиты.
Среди осесимметричных ПКЗ можно выделить задачи о периодической системе деформируемых или жестких бандажей на упругом цилиндре [19, 20]. Задачи сведены к ИУ. Для упругих бандажей предложены два метода: сведение к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (метод эффективен не для всех значений безразмерных геометрических параметров) и пригодный при любых значениях параметров метод, связанный с эллиптическими функциями Якоби и сингулярным ИУ. Для численного решения применён метод Мультоппа - Каландии. Для системы жестких бандажей предложен метод парных уравнений с переходом к бесконечной СЛАУ второго рода. Расчеты выполнены методом редукции. Эта задача эквивалентна контактной задаче об одном бандаже на конечном цилиндре при скользящей заделке торцов [21]. Показано [21], что при определенных значениях параметров система обладает максимальной жесткостью (интегральная характеристика контактных давлений). Изучалась обобщенная ПКЗ теории упругости для кольца [22]. Для решения использован метод парных рядов. Рассматривалась квазистатическая контактная задача о взаимодействии жесткого бандажа или вкладыша соответственно с вязко-упругим цилиндром или пространством с цилиндрический полостью [23]. Бандаж или вкладыш движутся по границам вязкоупругих тел без учета сил трения. Задачи сведены к ИУ, для приближенного решения которых использован модифицированный метод Мультоппа - Каландии. Аналогично изучен контакт движущегося штампа на вязкоупругом слое [23].
Рассматривалась ПКЗ о чистом сдвиге упругой полосы системой полосовых штампов [24]. Задача разбита на симметричную и несимметричную, обе сведены к ИУ. При помощи замен переменных для четного и нечетного случаев ИУ приведены к известным, решаемым в замкнутой форме.
В статье [25] подход механики разрушения развит на случай периодического контакта двух упругих поверхностей (плоская задача) при действии нормальной и касательной нагрузки, в том числе при учете зон полного сцепления и скольжения. Используется периодическое решение задачи Фла-мана, полученное Блоком и Киром [14], приводящее к системе граничных ИУ по области контакта, в которую входят нормальные и касательные напряжения.
Как отмечено в [25, 26], подход механики разрушения может быть также применён к контактным задачам и ПКЗ с учетом адгезии в области контакта. В этом случае для определения сил сцепления обычно используется потенциал Леннарда -Джонса [27], который встречается в модели Мо-жи - Дагдейла [28], двойной модели Вестергаарда [29] и др. В предельном случае Джонсона - Кен-далла - Робертса возникает задача о трещине типа задачи Гриффитса, нормальное напряжение имеет особенность в кончике трещины. Для модели Даг-дейла и некоторых других законов сцепления возникает задача о трещине типа Баренблатта без указанной сингулярности [25].
В [30] ПКЗ для слоя с учетом кулоновского трения и абразивного износа сведена к ИУ, содержащему фредгольмовский оператор по пространственной координате и вольтерровский - по времени. Предложен эффективный метод решения ИУ для случая, когда износостойкость одного из тел периодически меняется по пространственной координате. В [31] рассматривался контакт с силами трения двух упругих поверхностей, одна из которых имеет периодическую форму. В [15] исследованы плоские задачи о контактном взаимодействии периодической системы выпуклых штампов с упругой полуплоскостью для случая их скольжения при наличии трения и износа, а также для случая внедрения штампов при наличии сцепления (адгезии). Выведено каноническое сингулярное ИУ на дуге окружности в комплексной плоскости. Его решение выражается через простые алгебраические функции комплексного переменного, что существенно упрощает анализ уравнения. Получены асимптотические выражения для решения в случае, когда размер области контакта мал по сравнению с расстоянием между штампами.
ПКЗ встречаются как частные случаи контактных задач для шероховатых тел [32, 33]. Гринвуд [32] приводит пример, показывающий, что при периодической упругой шероховатости вида z = а 8т( кх) полного контакта упругих поверхностей можно до-
'у
биться при давлении р = а 8т(кх)Ек /(2(1 -V )),
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
где E и V - модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно.
Плоские периодические задачи теории упругости для бесконечного тела с трещинами описаны в монографии [34]. Задачи об упругом равновесии плоскости с системой прямолинейных или криволинейных трещин при циклической симметрии сведены к ИУ при использовании теории функций комплексной переменной. Показано, что первая основная задача для системы дугообразных трещин на окружности приводится к ИУ с ядром Коши, имеющим замкнутое решение. Рассмотрены ИУ периодических систем криволинейных трещин, коллинеарных трещин в упругой плоскости. Для сингулярных ИУ предложены численные методы, рассчитаны коэффициенты интенсивности напряжений (КИН). Получено замкнутое приближенное решение задачи о периодической системе параллельных трещин, основанное на аппроксимации ядер ИУ. Рассмотрен бесконечный ряд внешних параллельных трещин, двоякопериодическая система трещин [34]. Исследовались периодическая система трещин на границе раздела сред и их взаимодействие [35]. Установлено, что КИН снижается при уменьшении расстояния между трещинами. Таким образом, распространение трещины на границе раздела сдерживается соседними трещинами [35]. В [36] изучена задача для трещин в специфическом пористом упругом материале, описываемом моделью Ковина - Гудмана - Нунциато. Для периодической системы коллинеарных трещин задача сведена к ИУ по их поверхности. Ядро ИУ имеет вид ряда Фурье. Анализ главной части ядра показал, что ИУ является гиперсингулярным. Для решения ИУ авторы [36] использовали прямой численный метод. В [37] изучена способность многослойного упругого покрытия отражать упругие волны при наличии периодической системы трещин между отдельными его слоями. Построен алгоритм вычисления потоков энергии гармоник Флоке.
Пространственные задачи
Важную роль в теории пространственных ПКЗ играет метод локализации, развитый Горячевой [27, 38, 39]. В этом методе круговые в плане штампы располагаются специальным образом (по круговым орбитам, центры штампов задаются полярными координатами), доказывается сходимость рядов в ИУ. Здесь существенно, что форма штампов именно круговая, поскольку используется точное решение контактной задачи Галина для кругового штампа с пригрузкой вне области контакта. Рас-
сматриваются системы инденторов разного уровня. Изучалась ПКЗ для системы сферических штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием [40]. ПКЗ о взаимодействии двухслойного упругого полупространства с системой сферических инденторов при учете трения и износа исследовалась в работе [41]. Комбинированный эффект шероховатости (система полусферических неровностей), адгезии, трения качения и скольжения при контакте проанализирован в [42] при помощи модели Можи - Дагдейла. В [43] выведено ИУ двоя-копериодической контактной задачи для слоя при произвольной в плане форме штампов и применён для решения асимптотический метод, эффективный для относительно толстого слоя и относительно больших значений полупериодов. Рассматривалась ПКЗ для упругого конуса [19, 20]. Основное внимание уделено анализу особенностей контактного напряжения в вершинах клиновидных штампов, совпадающих с вершиной конуса.
Подход механики разрушения в ПКЗ восходит к работе Джонсона и соавторов [44], в которой задача Вестергаарда обобщена на случай двумерной волнистой поверхности. Для почти полного контакта, когда ширина области контакта близка к длине волны, ПКЗ разделяется на две [44]. В первой полный контакт при действии в бесконечности равномерного нормального напряжения p поддерживается растягивающими и сжимающими нормальными напряжениями. Для достижения частичного контакта растягивающие напряжения удаляются, что эквивалентно суперпозиции второй задачи о периодической системе коллинеар-ных сдавленных трещин. Поскольку размер трещин мал, их взаимодействие не учитывается, возникает известная задача об одной трещине в неограниченном теле [45]. При помощи КИН определяется размер трещины (длина участка вне области контакта). В [44] показано, что эта длина приближается к установленной Вестергаардом [3], когда p стремится к среднему контактному давлению при полном контакте. Подход механики разрушения был также применён к задаче упругого контакта между геометрически анизотропной би-синусоидальной поверхностью (две разные длины волны) и жестким основанием [46]. Здесь предложена трехмерная полуаналитическая модель, выведены асимптотики характеристик контакта для начального и почти полного контакта, применён подход механики разрушения. Для валидации асимптотик использованы метод быстрого преобразования Фурье и метод конечных элементов.
Ястребов и соавторы [47], используя современный численный метод (метод конечных элемен-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
тов, базирующийся на быстром преобразовании Фурье), уточнили ставшие уже классическими результаты из [44] для ПКЗ об упругом контакте двумерной волнистой поверхности и полупространства, сдавливаемых от малого до полного контакта. В [47] использована сетка из 4096x4096 узлов. Обнаружены переходные режимы, связанные с формой области контакта, исследованы периметр и компактность области контакта. Показано, что предел перколяции, равный 40,2 % (доля площади области контакта от случая полного контакта), отделяет два режима. В одном из них у плотности вероятности контактного давления возникает сингулярный пик. Установлено [47], что потеря выпуклости области контакта и последующее слияние областей контакта связаны соответственно с локальным максимумом и минимумом среднего контактного давления.
В [48] исследована трехмерная ПКЗ теории упругости для клина, когда бесконечная система одинаковых штампов расположена на одной грани клина вдоль ребра (на равном удалении от ребра, при равных промежутках между соседними штампами). К штампам приложены одинаковые нормальные вдавливающие силы, силами трения пренебрегали. Другая грань клина находится в условиях жёсткой заделки. Без ограничения общности подходов материал клина предполагался несжимаемым. Задача сведена к ИУ, из ядра которого выделена главная часть, соответствующая упругому полупространству. Изучено влияние ребра трехмерного клина на распределение контактных давлений и механические характеристики контакта. При заданных эллиптических областях контакта для решения применён регулярный асимптотический метод. При заранее неизвестных областях контакта использован метод нелинейных граничных ИУ [49]. Расчеты сделаны для эллиптических и конических штампов.
Подход работы [48] и функции Грина для клина [50] позволяют корректно поставить ПКЗ о бесконечной цепочке произвольных в плане штампов на упругом полупространстве (частный случай клина с углом 180°). Если граница полупространства свободна от напряжений вне области нормального контакта, ИУ ПКЗ для цепочки штампов оказывается некорректным (ряд в ядре ИУ расходится). Однако если на граничной полуплоскости, граница которой параллельна оси цепочки штампов с полупериодом l и удалена от нее на произвольное расстояние c (рис. 1), поставить условия жесткой или скользящей заделки, ИУ ПКЗ становится корректным.
Рис. 1. Система штампов на полупространстве с закрепленной полуплоскостью / Fig. 1. System of punches on a half-space with the fixed half-pane
Используя цилиндрическую систему координат и направляя ось z вдоль линии раздела граничных условий на границе полупространства (рис. 1), при помощи интегрального преобразования Фурье -Конторовича - Лебедева для ПКЗ о цепочке (нормальный контакт) получим при учете периодичности ИУ относительно контактного давления q(r,z) соотношения
jjj q( x, y) K (x, y, r, z)dxdy = 2m9 [8 - f (r, z)],
Q
(r, z) eQ, (1)
K (x, y, r, z) =
л TOTO
= — j j sh(mu)W(u)KIU (tx)KIU (tr) x
m 0 0
TO
x ^ cos(t(y + 2lk - z))dudt. (2)
k=—TO
Здесь Q - область контакта в рамках одного периода. Через её центр проходит полуось r; в= G(1-v), G - модуль сдвига; v - коэффициент Пуассона; 8 - осадка штампов под действием приложенных к ним сил P (предполагается, что силы приложены с эксцентриситетом так, что перекос штампов отсутствует); функция f(r,z) описывает форму оснований штампов;
sh(2mu)
W (u) =----жесткая заделка;
ch(2mu) + (1 + к2)/(2к)
W (u) = th( mu) - скользящая заделка; (3)
к= 3 - 4v; Kiu(x) - цилиндрическая функция Бесселя. При заданных значениях G, v, l, 8, известной функции f(r,z) требуется найти область контакта Q, контактное давление (r,m,z)=-q(r,z), силу P. Затем можно определить эксцентриситет (плечо) силы P. При помощи известной методики [43, 48] ядро (2) можно представить в форме с выделенной главной частью (C - постоянная Эйлера):
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
ist 4 1 1i I r ~ x I C K ( x, y, r, z) = - + - ln—!-!— + — +
R l 4l I ln( r / x) I l
(4)
+1J {[W (u ) -1] cos(u ln - ) + e -u }
0
du
- +
x ( 1 1 11 4 г
+ X{—+--77} + J [sh(^u)W (u) - ch(rn)] lu du,
k=1 R+ R- +l ш о
R = [(r - x)2 + ( z - y)2]1/2, Rk= [(r - x)2 + (z - y ± 2+l)2]1/2 ,
=Ё (Л-х)кш (^М^ (г - у)). к=1 1 1 1 Отметим, что ядро (4) содержит как член, соответствующий трехмерной задаче для одного штампа (1/Л), так и член, возникающий в плоской контактной задаче [24] (первый интегральный член в правой части). Поэтому ИУ трехмерной ПКЗ сложнее ИУ плоских и пространственных задач для одного штампа. Логарифмический член в (4) содержит устранимую особенность при г ^ х [48]. Для случая скользящей заделки (3) ядро (2) при помощи известных двойных интегралов [51, с. 646] можно представить в форме, свободной от квадратур:
Я ^Г 1 1
'Я+
ч 1 2
K ( x У, r, z) = — —- arctg j— R tTR 2ylxr
+î {¿+
+=1 R+
R-
2 R+
-arctg——
2 R- >
(5)
безразмерные обозначения: r '=
P
r - c
, z z = —, l
¿'=-, 1 = c, l l
s =
l '
P=-
2тЮ l2
A =
l
2R
B =
l
2R9
и т.д., штрихи далее опускаем. Расчеты
выполнены для скользящей заделки при s=1.
+ I— - I—) ■
жЯк 2у1 хг лЯ- 2 V хг За счет арктангенсов ряд в (5) сходится. Если в (5) удалить слагаемые с арктангенсами, получим некорректное ядро (ряд будет расходиться) ИУ ПКЗ о цепочке штампов на полупространстве со свободной поверхностью вне области контакта. Две формы ядра (4) и (5) полностью эквивалентны для случая скользящей заделки. Для решения ИУ (1) применим метод Галанова [49], предполагая, что неизвестная область О априори содержится в прямоугольнике (рис. 1), не выходящем на линию раздела граничных условий. Метод [49] позволяет одновременно определить область контакта и давление в этой области. Пусть штампы имеют форму эллиптических параболоидов,
Л г , г )=( г - с )2/(2 R l)+z 2/(2 R 2), R 2 >R 1. Для достаточно вытянутых вдоль оси г штампов при увеличении осадки 8 область контакта расширяется и достигает вертикальных сторон прямоугольника в точках г=с, г=+/, происходит смыкание дискретных областей контакта. Будем считать, что касание соседних областей контакта (начало смыкания) соответствует пределу перколяции (возникает барьер для просачивания через цепочку, рис. 2). Введем
Рис. 2. Смыкание областей контакта / Fig. 2. Merge of contact zones
На рис. 3 показаны зависимости B(8) при A=1, X=2 и 8(X) при A=1, B=0,25, соответствующие пределу перколяции. При уменьшении B (штампы становятся более вытянутые вдоль оси z) снижается и осадка 8, достаточная для смыкания цепочки (рис. 3а). С увеличением X (цепочка удаляется от линии раздела) требуемая для смыкания осадка возрастает (рис. 3б).
0,30
0.15-
а/а
1.2
1.0-
б/Ь
0.5
1.5
Рис. 3. Графики для предела перколяции: а - B(8); б - 8(X) / Fig. 3. Plots for the percolation limit: a - B(8); b - 8(X)
На рис. 4 показаны зависимости P(X) для разных значений осадки и форм оснований штампов. С ростом X (при удалении цепочки от линии раздела граничных условий) значения силы снижаются, что обусловлено наличием скользящей заделки.
В таблице приведены значения силы P в зависимости от осадки 8 при разных X и A=B=1. Интегральная характеристика контактных давлений P растет с увеличением 8.
l
u
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
P
0.2
0.1 --
5=1,5
Ô=1 a/a
P
0.2
0,1 —
6=1,5
8=1 6/b
Рис. 4. Графики P(X): а - A=B=1; б - A=1, B=0,5 / Fig. 4. Plots of P(X): a - A=B=1; b - A=1, B=0.5
Значения силы P / Values of the force P
S 0,5 1 1,5 2 2,5
X=2 0,0752 0,194 0,333 0,486 0,653
X=4 0,0660 0,165 0,276 0,397 0,524
Аналогичный подход возможен для случая периодического тангенциального контакта при сдвиге сцепленной с границей полупространства цепочки накладок вдоль или перпендикулярно оси цепочки (рис. 5). В этих задачах эллиптические накладки вытянуты в направлении, ортогональном линии действия сдвигающих сил. Поэтому можно пренебречь одним из касательных напряжений [51]. При помощи известных функций Грина для упругого полупространства [52], где решена задача для одной накладки, можно убедиться, что ИУ относительно касательного напряжения вдоль линии сдвигающих сил ПКЗ для систем накладок некорректны: ряды в ядрах расходятся. Для регуляризации ИУ достаточно закрепить границу полупространства по полуплоскости (жесткая заделка; г, ф, г - цилиндрические координаты, рис. 5), граница которой параллельна оси цепочки. Без ограничения общности допустим, что материал полупространства несжимаемый, 21 - период ПКЗ.
Рис. 5. Системы накладок на полупространстве с закрепленной полуплоскостью: а - сдвиг вдоль г; б - сдвиг вдоль z / Fig. 5. System of coatings on a half-space with the fixed half-pane: a - shift along r; b - shift along z
Для случая сдвига накладок вдоль полуоси r (рис. 5 а) функция Грина выведена в [51] (тонким моментом является выделение единственного фундаментального решения), для второго случая (рис. 5б) ИУ выводится аналогично. В результате имеем корректные ИУ указанных ПКЗ (n=1, 2): JJ тп (х, y)Kn (х, y, r, z)dxdy = 4^GS, (r, z) eQ,
Q
где G - модуль сдвига; S - смещение накладок в направлении сдвига; Q - область накладки, через центр которой проходит полуось r. При сдвиге вдоль r искомое напряжение ^ (r, z) = Tr^ (r, z),
Kj(x, y, r, z) =
\2 .
i {( R
■ +
(r - x)2
R3
-)(l - farctg-R^ )
л 2ы xr
4yfxrzl
л^к [(r + x)2 + z2]
},
(6)
zk = z - y + 2Ц Rk =y](r - x)2 + zk2.
При сдвиге вдоль z искомое напряжение r2(r, z) = r_ (r, z),
K2( x, y, r, z) =
i {(^ + **-è^) +
к=-œ
R
r3
+
4jxrz2
лR2[(r + x)2 + z2]
(7)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
Если в формулах (6) и (7) убрать слагаемые с арктангенсами и последние дроби, возникнут расходящиеся ряды, соответствующие известным функциям Грина для несжимаемого полупространства [52].
Рассматривалась ПКЗ для неоднородного слоя с переменным по глубине коэффициентом Пуассона [53]. Одна грань слоя находится в условиях скользящей заделки, другая контактирует с периодической цепочкой штампов, расположенных вдоль одной из осей координат. В предположении, что область контакта неизвестна, для решения ИУ использован метод Галанова [49].
Двоякопериодические задачи о системах трещин, расположенных в плоскости неограниченного упругого тела, изучены в монографии [52] при помощи регулярного асимптотического метода. Этот же метод применён для задач о периодических цепочках эллиптических трещин, расположенных в срединной полуплоскости трехмерного упругого однородного [54] или составного [55] клина (вдоль ребра клина), а также в срединной плоскости упругого слоя при четырех типах граничных условий на гранях слоя [56]. В задачах [54-56] возникают два независимых безразмерных геометрических параметра. Предполагается линейная связь между ними. В результате решение ИУ представляется в виде асимптотического разложения только по одному параметру. Решения оказываются эффективными при относительно больших значениях полупериода, а также для относительно удаленных от ребра клина цепочек [54, 55] или для относительно толстых слоев [56]. Произведен расчет КИН [54-56]. Для случая скользящей заделки граней слоя [56] задача эквивалентна системе параллельных периодических цепочек в упругом пространстве. Показано, что при сближении параллельных цепочек КИН уменьшается, т.е. трещины начинают мешать друг другу распространяться (известны аналогичные выводы в других задачах [35, 45]). Рассмотрены задачи о периодических цепочках эллиптических трещин, ориентированных вдоль одной из осей координат, лежащих в плоскости, которая перпендикулярна плоскостям изотропии трансверсально изотропного упругого неограниченного тела [57]. Для решения ИУ использован регулярный асимптотический метод с введением безразмерного параметра, характеризующего относительную удаленность соседних трещин друг от друга. Границы применимости метода зависят от параметров анизотропии и расположения трещин. Получены асимптотики КИН, отнесенного к случаю одной трещины. Голуб и соавторы [58] изучили распространение волн в упругом биматериале, когда на границе раздела имеется двоякопериодический
массив прямоугольных трещин. При помощи метода граничных ИУ исследовано влияние формы трещин и решетки периодического массива на прохождение волн через границу раздела. Обнаружено возрастание трансмиссионной энергии упругих волн по сравнению со случаем отсутствия трещин.
Заключение
Перспективные направления исследования ПКЗ и ПСЗ - трехмерные задачи, применение современных численных методов и аналитических моделей, учет сложных явлений в области контакта (адгезия, трение, износ), усложнение геометрии взаимодействующих тел. Для прямолинейных периодических систем инденторов и накладок произвольной формы в плане на упругом полупространстве метод закрепления части упругой поверхности позволяет получить корректные ИУ.
Литература
1. Popov V.L., Heß M. Method of dimensionality reduction in contact mechanics and friction. Berlin: Springer, 2015. 265 p. Doi 10.1007/978-3-642-53876-6.
2. Barber J.R. Contact mechanics. Berlin: Springer, 2018. 585 p. Doi 10.1007/978-3-319-70939-0.
3. Westergaard H.M. Bearing pressure and cracks // ASME. J. Appl. Mech. E. 1939. Vol. 6, № 1. P. 43-53.
4. Dundurs J., Tsai K.C., Keer L.M. Contact between elastic bodies with wavy surfaces // J. Elasticity. 1973. Vol. 3, № 2. P. 109-115. Doi 10.1007/bf00045817.
5. Kuznetsov E.A. Periodic fundamental mixed problem of elastic theory for a half-space // Soviet Appl. Mech. 1976. Vol. 12, № 9. P. 942-948.
6. Kuznetsov E.A. Periodic contact problem for halfplane allowing for forces of friction // Soviet Appl. Mech. 1976. Vol. 12, № 10. P. 1014-1019.
7. Kuznetsov Y.A., Gorokhovsky G.A. Stress distribution in a polymeric material subjected to the action of a rough-surface indenter // Wear. 1978. Vol. 51, № 2. P. 299-308.
8. Manners W. Partial contact between elastic surfaces with periodic profiles // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1998. Vol. 454, № 1980. P. 3203-3221. Doi 10.1098/ rspa.1998.0298.
9. Cai H., Lu J. Mathematical theory in periodic plane elasticity. Amsterdam: Gordon and Breach Sci. Publ., 2000. 168 p.
10. Goryacheva I.G., Malanchuk N.I., Martynyak R.M. Contact interaction of bodies with a periodic relief during partial slip // J. Appl. Math. Mech. 2012. Vol. 76, № 5. P. 621-630. Doi 10.1016/j.jappmathmech. 2012.11.002.
11. Slobodyan B.S., Lyashenko B.A., Malanchuk N.I., Marchuk V.E., Martynyak R.M. Modeling of contact interaction of periodically textured bodies with regard for
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
fictional slip // J. Math. Sci. 2016. Vol. 215, № 1. P. 110-120. Doi 10.1007/s10958-016-2826-x.
12. Adams G.G. Adhesion at the wavy contact interface between two elastic bodies // ASME J. Appl. Mech. 2004. Vol. 71, № 6. P. 851-856. Doi 10.1115/1.1794702.
13. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. 270 с.
14. Block J.M., Keer L.M. Periodic contact problems in plane elasticity // J. Mech. Materials and Struct. 2008. Vol. 3, № 7. P. 1207-1237. Doi 10.2140/jomms.2008. 3.1207.
15. Soldatenkov I.A. The periodic contact problem of the plane theory of elasticity. Taking friction, wear and adhesion into account // J. Appl. Math. Mech. 2013. Vol. 77, № 2. P. 245-255. Doi 10.1016/j.jappmathmech. 2013.07.017.
16. Tsukanov I.Y. Effects of shape and scale in mechanics of elastic interaction of regular wavy surfaces // Proc. Inst. Mech. Eng. Part J. 2017. Vol. 231, № 3. P. 332-340. Doi 10.1177/1350650116657699.
17. Burnaeva V.V., Romanenko L.G. A periodic problem for the indentation of a system of elastic half-strips into a strip // Mech. Solids. 1999. Vol. 34, № 6. P. 9-16.
18. Величко Е.В., Приварников А.К. Плоская периодическая контактная задача для упругой многослойной плиты // Динамические системы : межведомств. науч. сб. Симферополь: Таврический нац. ун-т им. В.И. Вернадского, 2007. Вып. 23. С. 3-10.
19. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998. 288 с.
20. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dordrecht: Kluwer, 2001. 406 p.
21. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 304 с.
22. Кучеров Л.В., Чебаков М.И. Контактная обобщенно периодическая задача теории упругости для кольца // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 4. С. 111-118.
23. Aleksandrov V.M., MarkA.V. Quasistatic periodic contact problem for a viscoelastic layer, a cylinder and a half-space with cylindrical cavity // J. Appl. Mech. Tech. Physics. 2009. Vol. 50, iss. 5. P. 866-871. Doi 10.1007/s10808-009-0117-8.
24. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.
25. Xu Y., Jackson R.L. Periodic contact problems in plane elasticity: the fracture mechanics approach // ASME J. Trib. 2018. Vol. 140, № 1. P. 011404. Doi 10.1115/1.4036920.
26. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510 с.
27. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.
28. Jin F., Guo X., Wan Q. Revisiting the Maugis-Dugdale adhesion model of elastic periodic wavy surfaces
// ASME J. Appl. Mech. 2016. Vol. 83, № 10. P. 101007. Doi 10.1115/1.4034119.
29. Jin F., Wan Q., Guo X. A double-Westergaard model for adhesive contact of a wavy surface // Int. J. Solids Struct. 2016. Vol. 102-103. P. 66-76. Doi 10.1016/j.ijsolstr.2016.10.016.
30. Александров В.М. Периодическая контактная задача для упругого слоя с учетом трения и износа // Современные проблемы механики сплошной среды. Ростов н/Д.: МП Книга, 1995. С. 14-18.
31. Nosonovsky M., Adams G.G. Steady-state friction-al sliding of two elastic bodies with a wavy contact interface // ASME J. Tribol. 2000. Vol. 122, № 3. P. 490-495. Doi 10.1115/1.555391.
32. Greenwood J.A. On the almost-complete contact of elastic rough surfaces: The removal of tensile patches // Int. J. Solids Struct. 2015. Vol. 56-57. P. 258-264. Doi 10.1016/j.ijsolstr.2014.10.025.
33. Goryacheva I.G., Tsukanov I.Y. Modeling of normal contact of elastic bodies with surface relief taken into account // J. Physics: Conf. Series. 2018. Vol. 991, № 1. P. 012028. Doi 10.1088/1742-6596/991/1/012028.
34. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 324 с.
35. Schmueser D., Comninou M. The periodic array of interface cracks and their interaction // Int. J. Solids Struct. 1979. Vol. 15, № 12. P. 927-934.
36. Iovane G., Sumbatyan M.A. Periodic system of collinear cracks in an elastic porous medium // Mech. Solids. 2009. Vol. 44, № 3. P. 79-88. Doi 10.3103/ S0025654409030091.
37. Осипов ЕА., Плещинская Е.А., Плещинский Н.Б. Упругие свойства слоистого композита, ослабленного периодической системой трещин // Вестн. Казанского технол. ун-та. 2012. Т. 15, № 3. С. 82-84.
38. Goryacheva I.G. Contact mechanics in tribology. Dordrecht: Kluwer, 1998. 344 p.
39. Goryacheva I.G. The periodic contact problem for an elastic half-space // J. Appl. Math. Mech. 1998. Vol. 62, № 6. P. 959-966.
40. Горячева И.Г., Торская Е.В. Периодическая контактная задача для системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием // Трение и износ. 1995. Т. 16, № 4. С. 642-652.
41. GoryachevaI.G., Torskaya E.V. Modeling of fatigue wear of a two-layered elastic half-space in contact with periodic system of indenters // Wear. 2010. Vol. 268, № 11-12. P. 1417-1422. Doi 10.1016/j.wear.2010.02.018.
42. Goryacheva I.G., Makhovskaya Y. Combined effect of surface microgeometry and adhesion in normal and sliding contacts of elastic bodies // Friction. 2017. Vol. 5, № 3. P. 339-350. Doi 10.1007/s40544-017-0179-1.
43. Aleksandrov V.M. Doubly periodic contact problems for and elastic layer // J. Appl. Math. Mech. 2002. Vol. 66, № 2. P. 297-305.
44. Johnson K., Greenwood J., Higginson J. The contact of elastic regular wavy surfaces // Int. J. Mech. Sci.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
1985. Vol. 27, № 6. P. 383-396. Doi 10.1016/0020-7403(85)90029-3.
45. Механика разрушения и прочность материалов: справ. пособие в 4 т. Т. 2: Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами / под общ. ред. В.В. Панасюка. Киев: Наукова думка, 1988. 620 с.
46. Xu Y., Rostami A., Jackson R.L. Elastic contact between a geometrically-anisotropic bisinusoidal surface and a rigid base // ASME J. Trib. 2015. Vol. 137, № 2. P. 021402. Doi 10.1177/1350650116657699.
47. Yastrebov V.A., Anciaux G., Molinari J.-F. The contact of elastic regular wavy surfaces revisited // Tribol. Lett. 2014. Vol. 56. P. 171-183. Doi 10.1007/s11249-014-0395-z.
48. Pozharskii D.A. Periodic contact problem for an elastic wedge // J. Appl. Math. Mech. 2015. Vol. 79, № 6. P. 604-610. Doi 10.1016/j.jappmathmech.2016.04.007.
49. Galanov B.A. The method of boundary equations of the Hammerstein-type for contact problems of the theory of elasticity when the regions of contact are not known // J. Appl. Math. Mech. 1985. Vol. 49, № 5. P. 634-640.
50. Пожарский Д.А. Фундаментальные решения статики упругого клина и их приложения. Ростов н/Д.: ДГТУ-Принт, 2019. 312 с.
51. Пожарский Д.А. К одной задаче Я.С. Уфлянда // ПММ. 2019. Т. 83, № 4. С. 643-652. Doi 10.1134/ S0032823519040106.
52. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.
53. Пожарский Д.А., Бедоидзе М.В., Пожарская Е.Д. Периодические контактные задачи для слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2019. № 1. С. 3032. Doi 10.23683/0321-3005-2019-1-30-32.
54. Pozharskii D.A. Periodic crack system in an elastic wedge // Mech. Solids. 2018. Vol. 53, suppl. 1. P. 137145. Doi 10.3103/S0025654418030123.
55. Pozharskii D.A., Sobol B.V., Vasiliev P.V. Periodic crack system in a layered elastic wedge // Mech. Adv. Mater. Struct. 2020. Vol. 27, iss. 4. P. 318-324. Doi 10.1080/15376494.2018.1472346.
56. Pozharskii D.A., Sobol B.V., Vasiliev P.V. Periodic crack problems for an elastic layer // Mech. Adv. Mater. Struct. 2020. P. 1-9. Doi 10.1080/ 15376494.2020.1776430.
57. Pozharskii D.A. Periodic crack systems in a transversely isotropic body // Mech. Solids. 2019. Vol. 54, № 4. P. 533-540. Doi 10.3103/S0025654419040058.
58. Golub M.V., Doroshenko O.V., Fomenko S.I., Zhang C. Wave propagation in elastic bimaterials with a doubly periodic array of interface cracks // J. Physics: Conf. Series. 2020. Vol. 1461. P. 012051. Doi 10.1088/1742-6596/1461/1/012051.
References
1. Popov V.L., Heß M. (2015). Method of dimensionality reduction in contact mechanics and friction. Berlin, Springer, 265 p. Doi 10.1007/978-3-642-53876-6.
2. Barber J.R. (2018). Contact mechanics. Berlin, Springer, 585 p. Doi 10.1007/978-3-319-70939-0.
3. Westergaard H.M. (1939). Bearing pressure and cracks. ASME. J. Appl. Mech. E, vol. 6, No. 1, pp. 43-53.
4. Dundurs J., Tsai K.C., Keer L.M. (1973). Contact between elastic bodies with wavy surfaces. J. Elasticity, vol. 3, No. 2, pp. 109-115. Doi 10.1007/bf00045817.
5. Kuznetsov E.A. (1976). Periodic fundamental mixed problem of elastic theory for a half-space. Soviet Appl. Mech, vol. 12, No. 9, pp. 942-948.
6. Kuznetsov E.A. (1976). Periodic contact problem for half-plane allowing for forces of friction. Soviet Appl. Mech., vol. 12, No. 10, pp. 1014-1019.
7. Kuznetsov Y.A., Gorokhovsky G.A. (1978). Stress distribution in a polymeric material subjected to the action of a rough-surface indenter. Wear, vol. 51, No. 2, pp. 299308.
8. Manners W. (1998). Partial contact between elastic surfaces with periodic profiles. Proc. R. Soc. London, Ser. A, vol. 454, No. 1980, pp. 3203-3221. Doi 10.1098/rspa.1998.0298.
9. Cai H., Lu J. (2000). Mathematical theory in periodic plane elasticity. Amsterdam, Gordon and Breach Sci. Publ., 168 p.
10. Goryacheva I.G., Malanchuk N.I., Martynyak R.M. (2012). Contact interaction of bodies with a periodic relief during partial slip. J. Appl. Math. Mech., vol. 76, No. 5, pp. 621-630. Doi 10.1016/j.jappmathmech.2012.11.002.
11. Slobodyan B.S., Lyashenko B.A., Malanchuk N.I., Marchuk V.E., Martynyak R.M. (2016). Modeling of contact interaction of periodically textured bodies with regard for frictional slip. J. Math. Sci., vol. 215, No. 1, pp. 110120. Doi 10.1007/s10958-016-2826-x.
12. Adams G.G. (2004). Adhesion at the wavy contact interface between two elastic bodies. ASME J. Appl. Mech, vol. 71, No. 6, pp. 851-856. Doi 10.1115/ 1.1794702.
13. Shtaerman I.Ya. (1949). Contact problem in the elasticity theory. Moscow, Leningrad, GITTL Publ., 270 p. (in Russian).
14. Block J.M., Keer L.M. (2008). Periodic contact problems in plane elasticity. J. Mech. Materials and Struct., vol. 3, No. 7, pp. 1207-1237. Doi 10.2140/jomms.2008.3.1207.
15. Soldatenkov I.A. (2013). The periodic contact problem of the plane theory of elasticity. Taking friction, wear and adhesion into account. J. Appl. Math. Mech., vol. 77, No. 2, pp. 245-255. Doi 10.1016/j.jappmathmech.2013.07.017.
16. Tsukanov I.Y. (2017). Effects of shape and scale in mechanics of elastic interaction of regular wavy surfaces. Proc. Inst. Mech. Eng. Part J., vol. 231, No. 3, pp. 332-340. Doi 10.1177/1350650116657699.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
17. Burnaeva V.V., Romanenko L.G. (1999). A periodic problem for the indentation of a system of elastic half-strips into a strip. Mech. Solids., vol. 34, No. 6, pp. 916.
18. Velichko E.V., Privarnikov A.K. (2007). Plane periodic contact problem for an elastic multilayered plate. Dynamic systems. Interdepartmental Scientific Collection. Simferopol, Vernadsky Tavrida National University Press, iss. 23, pp. 3-10. (in Russian).
19. Aleksandrov V.M., Pozharskii D.A. (1998). Non-classical spatial problems of elastic solids contact interactions mechanics. Moscow, Faktorial Publ., 288 p. (in Russain).
20. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. (2001). Three-dimensional contact problems. Dordrecht, Kluwer, 406 p.
21. Aleksandrov V.M., Chebakov M.I. (2004). Analytical methods in contact problem of the elasticity theory. Moscow, Fizmatlit Publ., 304 p. (in Russian).
22. Kucherov L.V., Chebakov M.I. (1991). Generalized periodic contact problem of the elasticity theory for a ring. Izvestiya AN SSSR. MTT, No. 4, pp. 111-118. (in Russian).
23. Aleksandrov V.M., Mark A.V. (2009). Quasistatic periodic contact problem for a viscoelastic layer, a cylinder and a half-space with cylindrical cavity. J. Appl. Mech. Tech. Physics, vol. 50, iss. 5, pp. 866-871. Doi 10.1007/s10808-009-0117-8.
24. Aleksandrov V.M., Kovalenko E.V. (1986). Problems with mixed boundary conditions in continuum mechanics. Moscow, Nauka Publ., 336 p. (in Russian).
25. Xu Y., Jackson R.L. (2018). Periodic contact problems in plane elasticity: the fracture mechanics approach. ASME J. Trib., vol. 140, No. 1, p. 011404. Doi 10.1115/1.4036920.
26. Johnson K. (1989). Mechanics of contact interaction. Moscow, Mir Publ., 510 p. (in Russian).
27. Goryacheva I.G. (2001). Mechanics of frictional interaction. Moscow, Nauka Publ., 478 p. (in Russian).
28. Jin F., Guo X., Wan Q. (2016). Revisiting the Maugis-Dugdale adhesion model of elastic periodic wavy surfaces. ASME J. Appl. Mech., vol. 83, No. 10, p. 101007. Doi 10.1115/1.4034119.
29. Jin F., Wan Q., Guo X. (2016). A double-Westergaard model for adhesive contact of a wavy surface. Int. J. Solids Struct, vol. 102-103, pp. 66-76. Doi 10.1016/j.ijsolstr.2016.10.016.
30. Aleksandrov V.M. (1995). Periodic contact problems for and elastic layer taking friction and wear into account. Modern problems of continuum mechanics. Rostov-on-Don, MP Kniga Publ., pp. 14-18. (in Russian).
31. Nosonovsky M., Adams G.G. (2000). Steady-state frictional sliding of two elastic bodies with a wavy contact interface. ASME J. Tribol., vol. 122, No. 3, pp. 490495. Doi 10.1115/1.555391.
32. Greenwood J.A. (2015). On the almost-complete contact of elastic rough surfaces: The removal of tensile patches. Int. J. Solids Struct., vol. 56-57, pp. 258-264. Doi 10.1016/j.ijsolstr.2014.10.025.
33. Goryacheva I.G., Tsukanov I.Y. (2018). Modeling of normal contact of elastic bodies with surface relief taken into account. J. Physics: Conf. Series, vol. 991, No. 1, p. 012028. Doi 10.1088/1742-6596/991/1/012028.
34. Savruk M.P. (1981). Two-dimensional elasticity problems for bodies with cracks. Kiev, Naukova dumka Publ., 324 p. (in Russian).
35. Schmueser D., Comninou M. (1979). The periodic array of interface cracks and their interaction. Int. J. Solids Struct, vol. 15, No. 12, pp. 927-934.
36. Iovane G., Sumbatyan M.A. (2009). Periodic system of collinear cracks in an elastic porous medium. Mech. Solids, vol. 44, No. 3, pp. 79-88. Doi 10.3103/ S0025654409030091.
37. Osipov E.A., Pleschinskaya E.A., Pleschinskii N.B. (2012). Elastic properties of a layered composite weakened by a periodic crack system. Vestnik Ka-zanskogo tekhnologicheskogo universiteta, vol. 15, No. 3, pp. 82-84. (in Russian).
38. Goryacheva I.G. (1998). Contact mechanics in tri-bology. Dordrecht, Kluwer, 344 p.
39. Goryacheva I.G. (1998). The periodic contact problem for an elastic half-space. J. Appl. Math. Mech., vol. 62, No. 6, pp. 959-966.
40. Goryacheva I.G., Torskaya E.V. (1995). Periodic contact problem for a punch system and an elastic layer cohesive with an elastic base. Trenie i iznos, vol. 16, No. 4, pp. 642-652. (in Russian).
41. Goryacheva I.G., Torskaya E.V. (2010). Modeling of fatigue wear of a two-layered elastic half-space in contact with periodic system of indenters. Wear, vol. 268, No. 11-12, pp. 1417-1422. Doi 10.1016/j.wear.2010.02.018.
42. Goryacheva I.G., Makhovskaya Y. (2017). Combined effect of surface microgeometry and adhesion in normal and sliding contacts of elastic bodies. Friction, vol. 5, No. 3, pp. 339-350. Doi 10.1007/s40544-017-0179-1.
43. Aleksandrov V.M. (2002). Doubly periodic contact problems for and elastic layer. J. Appl. Math. Mech., vol. 66, No. 2. pp. 297-305.
44. Johnson K., Greenwood J., Higginson J. (1985). The contact of elastic regular wavy surfaces. Int. J. Mech. Sci., vol. 27, No. 6, pp. 383-396. Doi 10.1016/0020-7403(85)90029-3.
45. Fracture mechanics and strength of materials. (1988). Handbook in 4 vol., vol. 2. Stress intensity factors for solids with cracks. V.V. Panasyuk (Ed.), Kiev, Naukova dumka Publ., 620 p. (in Russian).
46. Xu Y., Rostami A., Jackson R.L. (2015). Elastic contact between a geometrically-anisotropic bisinusoidal surface and a rigid base. ASME J. Trib., vol. 137, No. 2, p. 021402. Doi 10.1177/1350650116657699.
47. Yastrebov V. A., Anciaux G., Molinari J.-F. (2014). The contact of elastic regular wavy surfaces revisited. Tribol. Lett, vol. 56, pp. 171-183. Doi 10.1007/s11249-014-0395-z.
48. Pozharskii D.A. (2015). Periodic contact problem for an elastic wedge. J. Appl. Math. Mech., vol. 79, No. 6, pp. 604-610. Doi 10.1016/j.jappmathmech.2016.04.007.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 2
49. Galanov B.A. (1985). The method of boundary equations of the Hammerstein-type for contact problems of the theory of elasticity when the regions of contact are not known. J. Appl. Math. Mech, vol. 49, No. 5, pp. 634-640.
50. Pozharskii D.A. (2019). Fundamental solutions of the elastic wedge statics and applications. Rostov-on-Don, DGTU-Print Publ., 312 p. (in Russian).
51. Pozharskii D.A. (2019). To one Ya.S. Uflyand's problem. Prikladnaya matematika i mekhanika, vol. 83, No. 4, pp. 643-652. Doi 10.1134/S0032823519040106. (in Russian).
52. Aleksandrov V.M., Smetanin B.I., Sobol B.V. (1993). Thin stress concentrators in elastic solids. Moscow, Nauka Publ., 224 p. (in Russian).
53. Pozharskii D.A., Bedoidze M.V., Pozharskaya E.D. (2019). Periodic contact problems for a layer. Izvestiya vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 1, pp. 30-32. Doi 10.23683/0321-3005-2019-1-30-32. (in Russian).
54. Pozharskii D.A. (2018). Periodic crack system in an elastic wedge. Mech. Solids, vol. 53, suppl. 1, pp. 137145. Doi 10.3103/S0025654418030123.
55. Pozharskii D.A., Sobol B.V., Vasiliev P.V. (2020). Periodic crack system in a layered elastic wedge. Mech. Adv. Mater. Struct., vol. 27, iss. 4, pp. 318-324. Doi 10.1080/15376494.2018.1472346.
56. Pozharskii D.A., Sobol B.V., Vasiliev P.V. (2020). Periodic crack problems for an elastic layer. Mech. Adv. Mater. Struct., pp. 1-9. Doi 10.1080/ 15376494.2020.1776430.
57. Pozharskii D.A. (2019). Periodic crack systems in a transversely isotropic body. Mech. Solids, vol. 54, No. 4, pp. 533-540. Doi 10.3103/S0025654419040058.
58. Golub M.V., Doroshenko O.V., Fomenko S.I., Zhang C. (2020). Wave propagation in elastic bimaterials with a doubly periodic array of interface cracks. J. Physics: Conf. Series, vol. 1461, p. 012051. Doi 10.1088/17426596/1461/1/012051.
Поступила в редакцию /Received
30 января 2021 г. / January 30, 2021
