CC BY
308
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 519.8
Р. И. Файзрахманов
КОНСТРУКТИВНЫЙ ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ КРУГОВ И ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Рассматривается задача двумерной упаковки кругов и прямоугольников различных размеров в полубесконечную полосу заданной ширины. Предложена модификация известной процедуры формирования плотного размещения заданных предметов в полосу. На ее базе разработан вероятностный алгоритм муравьиной колонии. Проведены численные эксперименты на случайно сгенерированных и известных тестовых примерах, которые показали эффективность разработанного алгоритма. Упаковка в полосу, алгоритм муравьиной колонии; популяция
ВВЕДЕНИЕ
В промышленности при изготовлении различных видов конечной продукций (труб, заглушек и т. д.) возникает задача оптимального раскроя листов заданных размеров на круглые и прямоугольные заготовки. Эта задача состоит в следующем: известны ширины и длины прямоугольников, радиусы кругов, размеры листов. Требуется разместить в листы заданные предметы без перекрытия друг с другом и с гранями листа таким образом, чтобы их количество было минимальным. При этом прямоугольники размещаются так, чтобы их стороны были параллельны граням листа. В данной статье основное внимание уделяется задаче размещения кругов и прямоугольников в полосу заданной ширины. В работе [1] показано, что задача одномерной упаковки в контейнеры принадлежит классу КР-трудных проблем. Что касается задач упаковки большой размерности, то они не менее трудны, поэтому рассматриваемая задача также КР-трудна. Сформулированная задача упаковки относится к классу задач двумерной ортогональной упаковки. В работе [1] приведены постановки и модели таких задач упаковки. Основное внимание в них авторы уделяют методам решения задач прямоугольной упаковки. Задачи упаковки предметов произвольной формы встречаются реже. В связи с этим основное внимание здесь уделяется именно этим задачам. Для их решения разрабатываются как точные [12], так и эвристические методы. Поскольку точные методы не позволяют решать задачи упаковки большой размерности за полиномиальное время, во многих работах уделяется большое внимание разработке приближенных и эвристических методов [2, 13, 14]. В данной статье предлагается конструктивный вероятностный алго-
Контактная информация: (347) 273-79-67
ритм муравьиной колонии, использующий модифицированную процедуру для плотного размещения заданных предметов в полосу.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Сформулируем математическую постановку задачи. Входными данными являются: Ж - ширина полосы, Ь = да - длина полосы, пс - количество кругов, пг - количество прямоугольников; 1г = {1,2,..., пг}- множество прямоугольников, 1с = {1,2,., пс} - множество кругов; и I- - ши-
рина и длина д-го прямоугольника соответственно, Д е 1г; г/ - радиус /-го круга, / е 1с. Введем прямоугольную систему координат ХОУ, у которой оси ОХ и ОУ совпадают соответственно с нижней неограниченной и боковой сторонами полосы. Решение задачи представляется в виде набора элементов <Хс, Ус>, <Хг, Уг>, где Хс = (х1с, Х2с, хпс), Ус = (У1с, У2с, у„сС) - векторы координат
центров кругов, Хг = (Х1г, Х2г, Х^ ), Уг = (у1г, У2г,
уп г ), - векторы координат прямоугольников,
(х/с, у/с) - координаты центра /-го круга, (хдг, удг) -координаты верхнего левого угла прямоугольника соответственно по оси X и У. Наборы элементов <Хс, Ус>, <Хг, Уг> называются допустимой упаковкой, если выполняются следующие условия:
10 Стороны прямоугольников параллельны граням полосы (условие ортогональности).
Пусть (Ху1, уд) - координаты 1-й вершины д-го прямоугольника, тогда условие ортогональности можно записать следующим образом:
((д = Х] )У(ХЛ = Х] +1д))А (1)
а(0Д =у} К(у;7 = у- +М>}. )).
20 Прямоугольники Д,8 е 1г(д Ф 8) , не перекрывают друг друга:
((Х8г £ Х]г + 1] ) V (Х]г £ Х8г + 4 )) V (2)
V ((у^г £ у,г + ) V (удг ^ у*г + )) .
30 Прямоугольники Д е 1Г не выходят за границы полосы:
(Хдг > 0) А (у-г > 0) А ((у-г + Мд ) < Ж). (3)
40 Круги / е 1с не выходят за границы полосы:
(Хс > г,)А (у,с > г,)А ((у/с + г) < Ж). (4)
50 Круги /,к е 1с не перекрывают друг друга:
(Хс - Хкс)2 + (у,с - укс)2 > (г/с + гкс )2 . (5)
60 Круги / е 1с и прямоугольники Д е 1Г не перекрывают друг друга:
((Хс + г- < Хг) V (Хг +1д < Хс - г-) V
V (удг + Мд < у с - г-) V (у,с + г < удг))) V
V (((Хс - Хдг )2 + (у,с - у-г )2 > г2 ) А
А (Хс < Хдг ) А (у,с < удг )) V
V (((Хс - Хдг - 1д )2 + (у,с - у,г )2 > г2) А (6)
А (Х,с > (Хдг + 1д )) А (у/с < удг ))
V (((Хс - Хдг )2 + (у,с - у-г - Мд )2 > г,2 ) А
А (Хс < Хдг ) А (у ,с > (удг + Мд ))) V
(((Хс - Х/г - 1д )2 + (у,с - у-г - Мд )2 > г,2 ) А
А (Хс > (Хдг + 1- )) А (у с > (у-г + Мд ))) .
При выполнении условий допустимости 10 - 60 требуется найти шт Ь, где Ь - длина ее занятой части полосы.
Для решения сформулированной задачи разработан алгоритм на базе конструктивной метаэвристики муравьиной колонии [10]. Конструктивные методы строят решение задачи покомпонентно, добавлением нового компонента к частично построенному решению до тех пор, пока оно не построено полностью. Для определения позиций, в которые следует разместить заданные предметы, применяется процедура ЛБЬР+, являющаяся модификацией известной процедуры ЛБЬР [2].
2. ПРОЦЕДУРА ЛБЬР+
Процедура ЛБЬР формирует конечное множество позиций для размещения кругов различного радиуса относительно друг друга. Первый круг размещается в верхнем левом углу полосы. Для каждого последующего размещаемого круга позиции определяются следующим образом. Каждый упакованный круг очерчивается горизонтальными и вертикальными прямыми (на рис. 1 они выделены пунктирными линиями). Пусть (х/с, у/с) - координаты центра / -го упакованного круга, а (Хкс, укс) - координаты центра к-го круга, который предстоит разместить. Эти круги должны быть размещены относительно друг друга таким образом, чтобы иметь одну
точку касания. Это условие равнозначно тому, что при этом можно построить круг радиуса г1 + гк. На рис. 1 показан уже упакованный круг и выделено 5 возможных позиций для размещения следующего компонента - круга.
Рис. 1. Позиции, создаваемые упакованным кругом для размещения очередного круга
Рассмотрим расширенную процедуру АВЬР+, создающую конечное множество позиций для размещения кругов и прямоугольников. Ниже приведена общая схема этой процедуры, состоящая в выполнении трех шагов.
Процедура АБЬР+
1. Размещение первого компонента из множества 1с и 1г в верхнем левом углу полосы в позицию с координатой (0,0).
2. Формирование списка S возможных позиций для размещения следующего компонента из множества 1с и 1г и удаление из него тех позиций, которые не обеспечивают допустимость упаковки.
В результате выполнения шагов 1 и 2 процедуры список S содержит две позиции, определяющие координаты левого верхнего и левого нижнего углов полосы, и позиции для взаимного расположения компонент. На рис. 2 показан уже упакованный круг и выделено 6 возможных позиций для размещения следующего компонента - прямоугольника. На рис. 3 для уже упакованного прямоугольника приведены возможные позиции для расположения очередных компонент - круга и прямоугольника.
При этом для каждой пары уже размещенных кругов / и к, как и в процедуре ЛБЬР, находятся две позиции для размещения следующего круга. На рис. 4 приведена иллюстрация такого размещения.
Координаты позиций 1, 2 для размещения очередного т-го круга находятся из системы уравнений:
Uf.
Xic - xmcf + (У ic - Уте)2 = Ггс + Гтс
/ + (Укс - Уте)2 = Гкс + Г,
(7)
где (Хтс, утс) - искомые координаты центра круга для последующего размещения, (х/с, у/с), (Хкс, укс) - известные координаты центров уже упакованных кругов / и к.
Рис. 2. Позиции, создаваемые упакованным кругом для размещения очередного прямоугольника _______________________________________^
(0,0)
I 3 Упакованный 4 1
прямоугольник
В
(0,0)
Упакованный
прямоугольник
Рис. 3. Позиции, создаваемые упакованным прямоугольником для размещения следующего круга (сверху) и прямоугольника (снизу)
3. Выбор из списка ^ лучшей позиции - самой левой, которая обеспечивает касание компонент.
Рис. 4. Позиции 1, 2, образованные парой упакованных кругов i,k
3. АЛГОРИТМ МУРАВЬИНОЙ КОЛОНИИ
Алгоритм муравьиной колонии, предложенный впервые Dorigo M. и др. [3], появился в результате анализа поведения реальной муравьиной колонии. Известно, что при перемещении муравей «помечает» пройденный путь капельками пахучей жидкости - феромоном, который привлекает других муравьев и позволяет им найти кратчайший путь от муравейника до источника пищи.
Алгоритм муравьиной колонии относится к классу метаэвристик. Под метаэвристикой понимают вероятностные итерационные алгоритмы, допускающие абстрактный уровень описания, что позволяет применять их к любым задачам комбинаторной оптимизации. Алгоритм муравьиной колонии относится к конструктивным вероятностным алгоритмам, реализующим мультиагентный подход. Искусственный муравей (агент) - рандомизированный жадный алгоритм, строящий решение задачи покомпонентно. Известны различные алгоритмы муравьиной колонии, лучшими из которых, как показали численные эксперименты, признаны: Ant Colony Optimization (ACO), Ant Colony System (ACS) и Max-Min Ant System (MMAS) [3, 4, 5]. Известны применения алгоритмов муравьиной колонии к ряду трудных задач комбинаторной оптимизации [6, 7, 8, 9].
Для применения алгоритма муравьиной колонии к задаче комбинаторной оптимизации необходимо определить его основные характеристики: компонент решения, эвристическую информацию (отражающую желательность выбора того или иного компонента решения); феромон (число, показывающее насколько часто агентами использовались компоненты решения на предыдущих итерациях). Решение задачи, построенное каждым агентом, формируется из компонент на основе накопления и использования статистической информации - искусствен-
x
ных следов феромона и специфичной для задачи эвристической информации.
Для рассматриваемой задачи упаковки кругов и прямоугольников компонентом решения является предмет (прямоугольник или круг), феромон Тд наносится на последовательности из двух предметов (/, д), где / = 1, 2,...,пс; д = 1,
2,...,пг, пг - количество прямоугольников, пс -количество кругов. Эвристическая информация Пд для последовательности предметов (/, д), где / - последний компонент, добавленный некоторым агентом в свое решение, а д - один из ком-понентов-кандидатов на добавление в решение, определяется как площадь предмета:
Лд- = (Мд • д) -у+ (Р-г2)• (1-У), (8)
где:
у _ (1, если компонент д е 1г,
^ _ [0, если компонент / е 1с.
В работе [10] приведен алгоритм муравьиной колонии, основанный на популяции (Р-ЛСО), который был выбран для решения рассматриваемой задачи упаковки. Он базируется на алгоритме АСО, а также идее генетического алгоритма. Ниже приведена общая схема алгоритма Р-ЛСО.
Алгоритм Р-АСО
Вход: Р = 0 ; к - размерность популяции; т - количество агентов;
Выход: лучшее найденное решение
1. Инициализация параметров
2. Повторять, пока не выполнен критерий останова:
2.1. Для всех агентов т выполнить:
2.1.1. Построить решение (т, п)
2.2. Определить среди решений, построенных агентами, лучшее решение
2.3. Если |Р| = к, то удалить из популяции решение по одной из стратегий
2.3.1. Выполнить обновление феромона
2.4. Добавить лучшее решение в популяцию Р
2.4.1. Выполнить обновление феромона
3. Выдать результат - лучшее решение
В начале алгоритма Р-АСО популяция пуста. В течение первых к итераций в популяцию Р мощности к добавляется лучшее решение каждой итерации, полученное агентами, причем никакое решение не удаляется из популяции. Добавление решений происходит до тех пор, пока размер популяции |Р| не станет равным заданному числу к, в противном случае происходит обновление популяции (удаление из по-
пуляции и добавление в него нового решения) на основании одной из приведенных стратегий:
1) Стратегия Age. Просматриваются все решения популяции и удаляется самое «старое» решение, вместо которого добавляется новое лучшее решение.
2) Стратегия Quality. Из популяции, состоящей из объединения к решений и решения, полученного на к+1 -й итерации, удаляется худшее решение.
3) Стратегия Prob. Пусть иг - некоторое решение, f(ui) - значение целевой функции. Удаление решения иг из популяции происходит с некоторой вероятностью рг, которая определяется следующим образом:
Рг = , (9)
Z Х
i=1
Х = f(ui) - min f(uj) + g(ub (10)
j=1..k+1
1 к+1
g(u) = -—-zf(Uj)- min f(Uj). (11)
к + 1 j=1 j j=1..k+1 j
Обновление феромона происходит лишь для решений популяции: если решение вводится в популяцию, к значению феромона добавляется величина А; если решение удаляется из популяции, значение феромона уменьшается на величину А, где
D = (tmax -tinit)/k . (12)
Критерием остановки алгоритма выступает либо количество итераций, либо время работы.
Ниже приведен алгоритм P-ACO для задачи упаковки кругов и прямоугольников.
Алгоритм P-ACO
Вход: W - ширина полосы; пс - количество кругов; nr - количество прямоугольников; wj, lj - ширина и длина j-го прямоугольника соответственно, гг - радиус i-го круга.
Выход: лучшее найденное решение (карта упаковки)
1. Инициализация параметров алгоритма: k - размерность популяции; т - количество агентов; а - коэффициент влияния феромона; в - коэффициент влияния эвристической информации; Tinit - начальное значение феромона; Tmax - значение феромона; Р = 0 .
2. Повторять, пока не выполнен критерий остановки:
2.1. Выбрать компонент из множества 1с и Ir и поместить его в верхний левый угол полосы
2.2. Для каждого из т агентов, не завершивших построение решений, выполнить:
2.2.1. Выбрать следующий компонент из множества 1с и Ir
2.2.2. Добавить выбранный компонент к частично построенному решению с помощью процедуры ABPL+
2.3. Определить среди решений, построенных агентами, лучшее решение - упаковку с наименьшей длиной занятой части полосы
2.4. Если |Р| = k, то удалить из популяции решение по одной из стратегий
2.4.1. Выполнить обновление феромона
2.5. Добавить лучшее решение в популяцию P
2.5.1. Выполнить обновление феромона
3. Выдать результат - лучшее решение
3. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Предложенный алгоритм запрограммирован на языке C++ и тестировался на вычислительной машине Intel Quadra 2,4 GHz. Раздел численных экспериментов состоит из двух частей. В первой части рассматривается задача упаковки прямоугольников, кругов и одновременная упаковка кругов и прямоугольников в полосу. Проводится проверка работоспособности алгоритма как на примерах малой, так и большой размерности. Во второй части рассматривается задача одновременной упаковки кругов и прямоугольников в полосу на случайно сгенерированных примерах. Проводится анализ качества работы алгоритма путем сравнения с нижними и верхними оценками, также проводится сравнение с результатами, полученными ранее другим автором.
3.1. Упаковка кругов и прямоугольников
Цель следующих трех экспериментов заключается в проверке работоспособности алгоритма P-ACO на следующих задачах: упаковка прямоугольников, кругов и одновременная упаковка кругов и прямоугольников в полосу. Критерием качества решения выступает коэффициент упаковки (КУ):
Z Z hj
KY = ,е1с]е1г , (13)
W ■ L
Для упаковки прямоугольников в полосу рассмотрены одиннадцать примеров из международной OR-библиотеки тестовых примеров http: //people .brunel.ac .uk/mastjj b/j eb/info .html. Их количество изменяется от 17 до 197. Алгоритм P-ACO запускался 10 раз для каждого примера при следующих параметрах: а = 1,8; в = 3,9; количество агентов т = 12; размер популяции k = 15; начальное значение феромона Tinit = = 0,05; максимальное значение феромона Tmax = = 0,85; ширина полосы W = 300. На выполнение каждого примера алгоритму было отведено 15 мин. Для упаковки кругов были сформированы классы тестовых примеров С1, C2, C3, а для одновременной упаковки кругов и прямоугольников - классы CR1, CR2, CR3. При этом каждый класс состоит из трех примеров. Например, в классе С1 сгенерировано три примера С11, С12, С13, размерность которых меняется от 100 до 500 предметов. Для классов CR1, CR2, CR3 размеры прямоугольников были взяты из OR-библиотеки, а радиусы j кругов выбирались случайно: j е [0.1W,...,0.5W]. Алгоритм P-ACO
запускался 10 раз для каждого примера при следующих параметрах: а = 1,7; в = 2,04; количество агентов т = 12; размер популяции k = 10; начальное значение феромона Tinit = 0,05; максимальное значение феромона Tmax = 0,85; ширина полосы W = 300. На выполнение каждого примера алгоритму было отведено 15 мин. В табл. 1 приведены результаты численного эксперимента.
Таблица 1
Значения длин полосы для задач упаковки кругов и одновременной упаковки кругов
и прямоугольников
Класс (примеры) п Решение (КУ)
С1(С11,С12,С13) 100 0,801 0,808 0,8
С2(С21,С22,С23) 200 0,809 0,811 0,811
С3(С31,С32,С33) 500 0,828 0,828 0,828
CR1(CR11,CR12, CR13) 100 0,88 0,827 0,883
CR2(CR21,CR22, CR23) 200 0,899 0,902 0,901
CR3(CR31,CR32, CR33) 500 0,893 0,893 0,896
Численный эксперимент показал эффективность разработанного алгоритма и дал хорошие коэффициенты упаковки (КУ). Лучшие результаты (близкие к 0,9) получены на примерах СК2 и СЮ.
Т аблица 2
Значение длины полосы для задач упаковки кругов и прямоугольников
Пример Параметры примера Оценки Т8 Р-АСО
w п Пс пг ЬБ ьи Среднее Среднее
СЮР01 10 7 3 4 8.986 10 10 10
СЮР02 10 8 4 4 8.960 10 10 10
СЮР03 10 7 4 3 8.689 10 10 10
СЯ2Р01 20 17 7 10 17.833 20 20 20
СЯ2Р02 20 17 8 9 17.317 20 19,909 19,980
СЯ2Р03 20 17 6 11 17.693 20 20 20.34
СЯ3Р01 40 25 10 15 13.460 15 15,266 15,345
СЯ3Р02 40 25 6 19 13.830 15 16,170 15,980
СЯ3Р03 40 25 14 11 13.181 15 15 15,241
СЯ4Р01 60 29 10 19 27,611 30 30,972 40,023
СЯ4Р02 60 29 14 15 26,212 30 30,430 34,721
СЯ4Р03 60 29 6 23 28,455 30 31,000 31,3
СЯ5Р01 60 49 20 29 53,143 60 63,040 61,898
СЯ5Р02 60 49 16 33 53,962 60 63,209 62,465
СЯ5Р03 60 49 12 37 56,995 60 63,580 63,200
СЯ6Р01 60 73 39 34 78,297 90 93,147 94,907
СЯ6Р02 60 73 35 38 78,762 90 92,934 93,230
СЯ6Р03 60 73 31 42 78,977 90 93,982 92,840
3.2. Одновременная упаковка кругов и прямоугольников
Следующий эксперимент проводился для задачи упаковки кругов и прямоугольников в полосу. Несмотря на то, что данная задача не является новой, в литературе для нее сложно найти тестовые примеры. Для данного примера тестовые примеры были взяты из статьи [11]. В этой работе тестовые примеры были сгенерированы случайным образом так, чтобы для каждого примера уже была известна некоторая верхняя оценка его оптимального решения. Генерация примеров осуществлялась следующим образом. Допустим, необходимо получить тестовый пример упаковки п предметов, пс из которых круги, а пг прямоугольники, в полосу ширины Ж. При этом прямоугольная область размером Ж*иБ, где иВ - заданная верхняя оценка оптимальной длины полосы, разбивается на пс квадратов и пг прямоугольников безотходным способом. Затем каждый квадрат заменяется на круг диаметром, равным стороне квадрата. Таким образом, если пс = 0, то для такого примера
существует решение, когда все прямоугольники упакованы в полосу длины иВ безотходным способом, такое решение является оптимальным. В случае, когда пс > 0, иВ является лишь верхней оценкой оптимальной длины полосы. Всего было сгенерировано 18 примеров с количеством предметов от 8 до 60.
В процессе эксперимента алгоритм Р-АСО запускался 10 раз для каждого примера. Был рассмотрен ориентированный случай задачи, т. е. повороты прямоугольников на 90 градусов были запрещены при следующих параметрах алгоритма: а = 1,8; в = 3,9; количество агентов т = 12; размер популяции к = 15; максимальное значение феромона ттах = 0,85: начальное значение феромона хтц = 0,05.
Численные эксперименты показывают, что для поставленной задачи разработанный алгоритм за приемлемое время получает решение, близкое к нижним оценкам, а также при сравнении с алгоритмом «Поиск с запретами» алгоритм Р-АСО показал лучшие результаты на следующих классах задач: СЮР02; СК5Р01;
СК5Р02; СК5Р03; СЯ6Р03.
В табл. 2 указаны параметры примера: W -ширина полосы; п - количество предметов; nc -количество кругов; nr - количество прямоугольников; LB - нижняя и UB - верхняя оценки; для алгоритмов TS [11], P-ACO приведены средние результаты работы алгоритмов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрена задача упаковки кругов и прямоугольников в полосу. Для ее решения разработан алгоритм муравьиной колонии, основанной на популяции, использующей процедуру ABPL . Численные эксперименты показали, что алгоритм позволяет находить решения хорошего качества. На тестовых примерах для частных случаев задач алгоритм показал неплохие результаты и нашел новые значения целевой функции для пяти примеров одновременной упаковки кругов и прямоугольников в полосу. В дальнейшем представляет интерес применить другую или разработать новую процедуру размещения предметов для поставленной задачи, которая за фиксированное время позволит алгоритму совершать большее количество итераций. Кроме того, представляет интерес определение наилучших параметров алгоритма для поставленной задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гэри М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.
2. M’Hallah R. Approximate algorithms for constrained circular cutting problems // Computers and Operations Research. 2004. № 31. P. 675-694.
3. Dorigo M. Ant Algorithms for Discrete Optimization // Artificial Life. 1999. Vol. 5, No.3. P. 137-172.
4. Dorigo M. Ant Colony System: A Cooperative Learning Approach to the Traveling Salesman Problem // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 1997. Vol.1, № 1. P. 53-66.
5. Stutzle T. MAX-MIN Ant System // Future Generation Computer Systems. 2000. № 16. P. 889-914.
6. Burke E. K. Search Methodologies: Tutorials in Optimization and Decisions. Support Techniques. Springer Science + Business Media, LCC, 2005.
7. Леванова Т. В. Алгоритмы муравьиной колонии и имитации отжига для задачи о ^-медиане // Автоматика и телемеханика. 2004. № 3. С. 80-88.
8. Александров Д. А. Алгоритм муравьиной колонии для задачи о минимальном покрытии // Тр. XI Междунар. Байкальской шк.-сем. «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск, 1998. Т. 3. С. 1720.
9. Валеева А. Ф. Применение конструктивных эвристик в задачах раскроя-упаковки // Приложение к журналу «Информационные технологии». 2006. № 11. С. 1-24.
10. Guntsch M. Applying Population Based ACO to Dynamic Optimization Problems // Proc. 3rd Int. Workshop (ANTS 2002), Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin. 2002. Vol. 2463. P. 11-122.
11. Руднев А. С. Вероятностный поиск с запретами для задачи упаковки кругов и прямоугольников в полосу // Дискретный анализ и исследование операций. 2009. Т. 16, №. 4. С. 61-86.
12. Stoyan Y. G. Mathematical model and solution of optimization problem of placement of rectangles and circles taking into account special constraints // International Transaction in Operational Research. 1998. № 5(1). P. 45-57.
13. Huang W. Q. Greedy algorithms for packing unequal circles into a rectangular container // European Journal of Operational Research. 2005. № 56. P. 539-548.
14. Huang W. Q. New heuristic for packing unequal circles into a circular container // Computers and Operations Research. 2006. № 33. P. 2125-2142.
ОБ АВТОРЕ
Файзрахманов Ришат Илша-тович, асп. каф. вычисл. матем. и кибернетики. Дипл. матема-|Тик-экономист (УГАТУ, 2007).
ссл. в обл. задач раскроя, упаковки и размещения.
