CC BY
20УДК 531.768.082.14
И.В. Вавилов, А.В. Корнилов
КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ТИПА «НЕСИММЕТРИЧНЫЙ МАЯТНИК»
Арзамасское научно-производственное предприятие «ТЕМП-АВИА»
Рассмотрен принцип снижения погрешностей микроакселерометра от поперечных составляющих за счет уменьшения длины упругого подвеса. Приведено сравнение результатов, получаемых по минимизированной передаточной функции и по исходной.
Ключевые слова: микроакселерометр, маятник, упругий подвес, демпфирование, чувствительность.
Чувствительный элемент типа «несимметричный маятник» приведен на рис. 1. В маятнике имеется небольшая часть несбалансированной массы, которая воспринимает линейные ускорения. На рис. 1 несбалансированная масса показана затененной.
Рис. 1. «Несимметричный маятник»:
а - маятник с подвесами на изгиб, Ь - подвес, работающий на кручение, с - фрагмент криволинейного подвеса: 1 - проводящая кремниевая пластина; 2 - контур сквозного травления; 3 - первая чувствительная масса; 4 - упругий подвес; 5 - вторая чувствительная масса; 6 - рабочая разность масс
Известно [1], что маятник с подвесами, работающими на кручение, имеет одну степень свободы, а с подвесами, работающими на изгиб - две: угловое смещение относительно оси
© Вавилов И.В., Корнилов А.В., 2010.
качания и линейное по оси у. Применение подвесов с криволинейными обводами характерно тем, что ось качания сосредоточена в минимальном сечении, и свойства маятника становятся близкими к системам с одной степенью свободы. Передаточная функция «несимметричного маятника» с подвесами, работающими на изгиб, определяется в виде:
m=2 In=4
Vпу (5) = тхс X ъ^* X, (1)
т=0 / и=0
где коэффициенты передаточной функции находятся через параметры подвижного узла:
(О Л (к Л
Ъ0 =
^ + G | , Ъх =| -f + Kg , b2 = -f-, a0 = GGy, a = КяОу + КяуО,
V c у V c У c
2~ У' Д У ДУ
a2 = mGy + {jy + mx] )g + Кд Кду, a3 = тКду + {jy + mxC )кд, a4 = mJy.
(2)
Соответственно параметры маятника: жесткость подвесов, момент инерции, абсолютный коэффициент демпфирования и другие определяются однозначно конструктивными данными:
О = 2Е^щС^ЪпIа^ - осевая жесткость упругих подвесов; = 2Ер00с3Ъп/ап "угловая жесткость упругих подвесов; хс = [Ъм1 (ам + ап ) + Ъм2 (ам - ап |2(Ъм1 + Ъм2 )] - координата центра тяжести маятника относительно оси качания; 3у = (т1 + т2 )[ам /з + /12 + а^ /4 - хс (ап - хс)]+ (т1 - т2 )ам (ап /2 - хс)-момент инерции маятника относительно оси качания; Кд = 2цаЪ3/къ - осевой абсолютный коэффициент газодинамического демпфирования; к = 2цаЪ3хс/к3 - маятниковый абсолютный коэффициент газодинамического демпфирования; т1, т2 - масса первого и второго плеча маятника; ам, Ъм, см - размеры маятника (длина, ширина и толщина); ап, Ъп, сп - размеры упругого подвеса (длина, ширина и толщина); Ц - динамическая вязкость газа демпфирования.
Крутизну статической характеристики чувствительного элемента определим из (1) с учетом (2) при 5 = 0 :
ст _ тхс , т /">\
К4 = ~рТ + ■ (3)
Оу хсО
При рассмотрении математической модели подвижного узла интегрального акселерометра с подвесами, работающими на кручение, можно получить передаточную функцию, аналогичную (1), с той лишь разницей, что изгибную жесткость Оу следует заменить на жесткость для кручения Gкр. Таким образом, здесь нет принципиальных затруднений в построении математической модели ЧЭ, но есть технологические, например, изготовление шестигранного или крестообразного подвесов на кручение.
Однако в практических конструкциях акселерометров, в целях подавления влияний тех или иных боковых составляющих, ЧЭ выполняют осевого или маятникового типа. При этом исключаются взаимные влияния между линейными и угловыми перемещениями, а система уравнений, отвечающих передаточной функции (1), распадается на два самостоятельных уравнения:
• для ЧЭ осевого типа ту + Кд у + Оу = та к;
• для ЧЭ маятникового типа 3у а + Кдуа + Оуа = та к хс,
где ак - компонента ускорения, действующего на корпус и ЧЭ акселерометра, представляющая собой входное воздействие в виде сложной функции времени.
Как правило, акселерометры выполняют для измерения одной компоненты, а для измерения полного ускорения строят блок из шести акселерометров: трех линейных и трех угловых. При разработке и исследовании акселерометров дифференциальные уравнения удобно представить в виде передаточных функций, применив преобразование Лапласа. Передаточные функции эквивалентны дифференциальным уравнениям, т.е. также содержат
>
исчерпывающую информацию о статических и динамических характеристиках разрабатываемых приборов. Передаточные функции осевого и маятникового ЧЭ можно представить в следующем виде:
т К
Ж (5) = Ж) / «к (*) =
т8 +К я+О
_1
1 ,2 ~ 1
ю
5 2 + 2£0 — 5 +1
ю.
Жм (5 ) = а(5) / «к (5 ) =
т1
К.
¿у* 2 + К ду 5 + Оу
-V 52 + 2^ — + 1:
м
(4)
Юм юм
мм
где К0 = т/О, Км = тЦОу - статические коэффициенты передачи осевого и маятникового ЧЭ; £,о = Кд /(2л/тО), £,м = Кду 3уОу ) - относительные коэффициенты демпфирования осевого и маятникового ЧЭ соответственно; Ю0 = ^От, Юм = ^ОуД/у - собственные частоты осевого и маятникового ЧЭ.
Независимо от типа подвижного узла, его нормированная АЧХ имеет следующий
вид:
А (ю)= А (ю)/А (0) = ю2/д/(ю2 -ю 2)* + 2
-222 " Ю Ш„
В частном случае при большом передемпфировании подвижного узла и мягком подвесе, т.е. при КдЛ1» т52 + О, ЧЭ может выполнять роль механического интегрирующего
звена, что позволяет использовать его для построения акселерометров с импульсной обратной связью, обладающих повышенной точностью и простотой реализации частотного выходного сигнала.
Покажем далее, что при выполнении коротких подвесов в конструкции маятника, передаточную функцию четвертого порядка (1) можно снизить до второго порядка. Для этой цели представим (1) в эквивалентной форме в виде произведения двух функций:
Жпу (5 ) =
(
тх„
V Л2 + К ду5 + ОУ у
У Л/хс2 52 +(кду/хс2 + Кд )у + Оу/х2с + О ^
+ К+ О
(5)
где 3 = + тх? - момент инерции маятника относительно оси качания.
При снижении длины подвеса угловая жесткость возрастает по линейному закону, а осевая - по кубическому. В пределе второе слагаемое при бесконечном росте осевой жесткости стремится к единице:
3у /хс252 + (к /Хс2 + Кд )у + Оу /хс2 + О 11т О^-с» у-Ч---= 1.
д^ с 1 д^
т52 + К„5 + О
Таким образом, передаточная функция подвижного узла с предельно короткими подвесами может быть оценена колебательным звеном второго порядка:
тх„
+ Кду5 + Оу
(6)
с коэффициентом передачи в статике
^•ст _ тх с
2 = О„
Оценим инструментальную погрешность в статике при допущении математической модели маятника в виде передаточной функции второго порядка:
Для проверки адекватности полученной передаточной функции (6) была разработана компьютерная программа, позволившая рассчитать по оптимальному переходному процессу величину необходимого зазора между подвижным и неподвижным электродами маятника. Величины зазоров в том и другом случаях совпали, что подтверждает справедливость преобразования передаточных функций.
function [Wopt,K,CKO]=CKOfun(h); %Accelerometr (ЧЭ) %density of silicon rho=2328;
%The module of elasticity of silicon (100) E100=1.295e11; %acceleration of gravitation g=9.80665;
%length of a pendulum am=2.5e-3;
%width of a pendulum
bm1=2.5e-3
bm2=2.0e-3
%thickness of a pendulum cm=0.5e-3;
%length elastic springs %width of an elastic spring ap=15e-6;
%width of an elastic spring bp=1e-4;
%the maximal and minimal thickness of an elastic spring
cpmax=1e-4;
cpmin=20e-6;
r=(cpmax-cpmin)/cpmin;
%length of a shoulder of a pendulum
Xc=(bm 1* (am+ap)+bm2*(am -ap))/(2*(bm1+bm2));
%viscosity of nitrogen
mu=17.9e-6;
%weight of a pendulum
m 1=rho*am*bm 1*cm;
m2=rho*am*bm2*cm;
m=m1+m2;
%the moment of inertia of a pendulum
J=(m1+m2)*(amA2/3+cmA2/12+apA2/4-Xc*(ap-Xc))+(m1-m2)*am*(ap/2-Xc) %function of curvature
f=3*atan(sqrt(2*r))/(4*sqrt(2*r))+(5+6*r)/(4*(1+2*r)A2);
%the moment of inertia of section of a spring
Jp=(pi*bp*cpminA3)/64;
%number of springs
k=2;
%angular rigidity Gy=(k*E100*Jp)*f/ap; %axial rigidity
.2
G=(3*k*E100*Jp)*f/(apA3);
%backlash between a pendulum and an electrode
h=2.5e-5
%axial factor of attenuation Kd=mu*((am*bm1)A2+(am*bm2)A2)/hA3; %angular factor of attenuation Kdy=Kd*XcA2;
%factor of transfer of a sensitive element
Kche=m*Xc;
%factors of numerator
b0=G+Gy/XcA2
b1=Kd+Kdy/XcA2
b2=J/XcA2
%factors of a denominator a0=G*Gy
a 1=Kd *Gy+Kdy * G a2=m*Gy+(m*XcA2+J)*G+Kd*Kdy a3=m*Kdy+Kd*(m*XcA2+J) a4=m*J
%transfer function
W=tf(Kche*[b2 b1 b0],[a4 a3 a2 a1 a0]) %W=tf(Kche*[1],[J Kdy Gy]) A=Kche*b0/a0 T=sqrt(J/Gy) K=dcgain(W) damp(W/A) %alfa=A*g/Gy figure(1) bode(W/A),grid figure(2) step(W/A),grid Wopt=minreal(W); %BHHHC^eHHe CKO dt=.00001; t =[0:dt:2]'; u=1 -dirac(t+1e-15); %dzetta=1/sqrt(2); %lambda=(sqrt(1 -dzettaA2))/T; %tetta=atan(l ambda*T/dzetta); %i=sin(lambda*t+tetta); %j=1/(l ambda/T); %k=-dzetta*t/T; %u=1-j*exp(k).*i; h=lsim(Wopt/K,u,t); CKO=dt*sum((h-u).A2);
clear k=1;
rand('seed',0);
h=2.4379e-005;
CKOmax=1e15;
while k<200 h0=h*(1+rand(1,1)); [Wopt, K,CKO]=CKOfun(h0); if CKO<CKOmax CKOmax=CKO; h=h0; end k=k+1; end clc h
[Wopt,K,CKO]=CKOfun(h) step(Wopt/K),grid
Выводы
1. Применение коротких подвесов с криволинейными обводами позволяет преобразовать передаточную функцию четвертого порядка для маятника к второму порядку.
2. Численные оценки показывают величину погрешности при этом на уровне 5 « 10_6 , что значительно ниже требуемой суммарной погрешности.
1. Вавилов, В.Д. Интегральные датчики: учебник / В.Д. Вавилов; НГТУ. - Н. Новгород, 2003. - 503 с.
Дата поступления в редакцию 16.04.2010
I.V. Vavilov, A. Kornilov
FEATURES OF A SENSITIVE ELEMENT OF THE "ASYMMETRIC PENDULUM" KIND"
We consider a principle of reducing microaccelerometer errors for transversal components by decreasing the length of the flexible suspension. We provide a comparison of results obtained for the optimized transfer function, and the original one.
Key words: microaccelerometer, pendulum, flexible suspension, damping, sensitivity.
