Конструктивные описания гамильтоновых графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 3 (1), с. 137-140

УДК 519.17+519.716.5

КОНСТРУКТИВНЫЕ ОПИСАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ГРАФОВ © 2012 г. М.А. Иорданский

Нижегородский государственный педагогический университет им. К. Минина

юМашЫ@таП. т

Поступила в редакцию 13.02.2012

Изучаются процессы построения гамильтоновых графов с помощью операций объединения с пересечением - операций склейки, в ходе которых сохраняется свойство гамильтоновости. Выделяются порождающие базисы (элементный и операционный) таких процессов.

Ключевые слова: гамильтонов граф, операция склейки, замкнутый класс, элементный и операционный базисы, конструктивное описание.

Введение

Рассматриваются непомеченные, конечные, неориентированные графы, допускающие петли и кратные ребра. Изоморфизм графов понимается как биекция между множествами вершин, сохраняющая смежности, кратности ребер, петли [1]. Используется конструктор графов, включающий вместе с каждым графом его изоморфные копии. К конструктору применяется бинарная операция склейки, при выполнении которой производится отождествление изоморфных подграфов G'1 с G1 и О2 с G2 графов-операндов О1 и О2. В общем случае операция склейки не является однозначной. Для результирующих графов О используется обозначение (G' о О2 )О , где О - граф, изоморфный отождествляемым подграфам О[ и О2, называемый подграфом склейки. При фиксированных графах-операндах О1 и О2 граф О может

зависеть от вида подграфа склейки О, выбора отождествляемых подграфов О[ и О2 в графах-операндах О1 и О2 и способа их отождествления.

Результирующий граф любой операции склейки сохраняет такие свойства графов-операндов, как отсутствие изолированных вершин, петель и ребер. Для сохранения других свойств необходимо введение соответствующих ограничений.

Операции склейки вносят избыточность в задание информации о графах, позволяющую единообразно формулировать условия наследования различных характеристических свойств графов. Пусть Н - система ограничений на операции склейки, обеспечивающая сохранение некоторого характеристического свойства графов. В общем случае Н включает в себя ограни-

чения на вид отождествляемых подграфов, их выбор в подграфах-операндах и способ отождествления. Операции, удовлетворяющие системе ограничений H, называются операциями Н-склейки.

Пусть 3 - некоторое множество графов. Граф G реализуем H-супеопсзацаей графов из 3 , если G ёЗ или G можно получить из графов множества 3 путем последовательного применения операций H-склейки. Процессу построения графа G соответствует спеоацая H- супео-псзацаа графов из 3 . Множество всех графов, получаемых из 3 с помощью операций Н-су-перпозиции, обозначается через [з]н . Класс графов 3 называется Н-замкнутым, если [з]н =3.

Подмножество графов 3' с 3, достаточное для получения всех графов Н-замкнутого класса 3 с помощью операций Н-суперпозиции, образует пслную састему гоафсв. Минимальная по включению полная система графов Н-замкнуто-го класса 3 называется элементным базассм Be. Операция Н-суперпозиции называется канс-наческсй, если хотя бы один из графов-операндов каждой операции Н-склейки изоморфен некоторому графу из Be. Операции

склейки с изоморфными подграфами G относятся к одному тапу. Множество операций Н-склейки различных типов, достаточное для построения исходя из графов элементного базиса Be всех графов Н-замкнутого класса 3 , образует пслную састему тапсв спеоацай. Минимальная по включению полная система типов операций называется спеоацаснным базассм Bo. Операционный базис задается множеством соответствующих подграфов склейки. Кснстоуктавнсе спасанае Н-замкнутого класса 3 задается тройкой (Н, Be, Bo).

К настоящему времени получены конструктивные описания для классов всех графов, мультиграфов, обыкновенных графов, триангулированных, планарных, двудольных, расщепляемых, эйлеровых, а также для графов с различными комбинациями указанных свойств [2,3,6,8-11]. Знание конструктивных описаний позволяет эффективно решать различные прикладные задачи на графах [4,5]. Установлено, что каждый Н-замкнутый класс графов имеет единственный элементный базис [2] и, по крайней мере, один операционный базис [7].

В работе рассматриваются конструктивные описания класса гамильтоновых графов, обладающие различной величиной избыточности. Используются обозначения: Е(О) - множество ребер графа О; О(Ег) - подграф графа О, порожденный подмножеством ребер Е’ с Е(О); Кп -полный п-вершинный граф, Ln - цепь, содержащая п вершин; Оп - пустой граф, содержащий п вершин (О0 - нуль-граф).

Построение конструктивных описаний

Пусть О1 и О2 - произвольные гамильтоновы графы. Граф О, допускающий представление в

виде (О1 о О2)О, также будет гамильтоновым, если отождествляемый подграф хотя бы одного из графов О1 или О2 содержит все его вершины либо отождествляемые подграфы графов-операндов содержат по 2 вершины, являющиеся смежными в их гамильтоновых циклах. Действительно, в первом случае гамильтонов цикл графа-операнда, обладающего не меньшим числом вершин, будет гамильтоновым циклом результирующего графа. Во втором случае га-мильтоновый цикл результирующего графа состоит из пореберно непересекающихся гамильтоновых цепей графов-операндов. Операции, удовлетворяющие указанным ограничениям, называются операциями Н^- склейки. Операции Н^склейки сохраняют отсутствие кратных ребер, если каждой паре несмежных в О вершин соответствуют несмежные вершины хотя бы в одном из графов-операндов О1 или О2.Такие операции обозначаются как операции ^ Н, * -склейки.

Степень избыточности конструктивных описаний, построенных на основе операций -суперпозиции, зависит естественным

образом от количества ребер, включаемых в отождествляемые подграфы. Без избыточности можно задать лишь гамильтоновы эйлеровы графы, множество ребер которых разбивается на пореберно непересекающиеся простые цик-

лы. К таким графам относятся, например, полные графы К2п+\, п = 2,3,... .

Для произвольных гамильтоновых графов справедлива

Теорема. Конструктивные описания ^ Н' * -

замкнутого класса гамильтоновых графов имеют элементный базис Ве = (Сі, С2,... } и один из трех операционных базисов Б^ = (О1, L2, С4, С5,...}, БІ = (Оі,Ьг, V.} или Бо3 = (Оі,Ь2,(Ьп оЬп,)О0}, п ", п " > 2.

Доказательство. Поскольку все графы элементного базиса Бе являются гамильтоновыми и операции ^ Н у -склейки сохраняют это свойство, то все графы, реализуемые операциями

Н, у -суперпозиции, принадлежат классу гамильтоновых графов.

Покажем, что при этом можно получить любой гамильтонов граф G.

Если граф G содержит петли и (или) кратные ребра, то его можно представить соответственно в виде (&°С1)О1 или ^'°С2)І2, где граф

= 0(Е \ С1) или G" = G (Е \ е) содержит на одну петлю или на одно кратное ребро меньше, чем граф G. Применяя к графу G' те же рассуждения, приходим к обыкновенным гамильтоновым графам.

Далее, не теряя общности рассуждений, ограничимся рассмотрением обыкновенных гамильтоновых графов G й Бе, содержащих п > 4 вершин. Пусть Сп - гамильтонов цикл (один из гамильтоновых циклов) графа G. Ребра графа G, не принадлежащие выделенному гамильтонову циклу Сп, называются хордальными. Хордальное ребро является разделяющим, если его концевые вершины образуют разделяющее множество вершин графа G.

Покажем, что использования операций -< Н2 у -склейки по графам из множеств В1, Б^ илиБъо достаточно для построения графа G исходя из циклов Сп, п > 3.

1. Подграфы склейки G є Б1. При наличии в графе G разделяющего хордального ребра L2 воспользуемся представлением G в виде (G1°G2)L2. Применяя далее это представление к гамильтоновым графам G1 и G2, приходим либо к графам из Бе, либо к графам, не содержащим разделяющих хордальных ребер. В последнем случае у каждого такого графа G должно быть не менее двух хордальных ребер. Граф G допускает представление в виде (G1°G2)Cn, в котором указанные два хордальных ребра распределяются между графами G1 и G2. При наличии в

графе G других хордальных ребер они распределяются между графами G1 и G2 произвольно. Применяя к графам G1 и G2 все предыдущие представления, приходим в итоге либо к графам из Бе, либо к графам с одним хордальным ребром, допускающим представление вида (Сп' °Сп^2, п',п" > 3, п' + п" = п + 2. Рассматривая этот процесс в обратном направлении, получаем суперпозицию операций ^ Н * -

склейки графов из Бе по подграфам G є Б°, реализующую граф G.

2. Подграфы склейки G є Б]. Выделим в графе G произвольное хордальное ребро е и цепь L~ , 3 < ~ < п -1, принадлежащую гамильтонову циклу, соединяющую концевые вершины ребра е. При наличии других хордальных ребер разобьем их на два класса. К первому классу отнесем хордальные ребра, концевые вершины которых принадлежат цепи L~. Все

остальные хордальные ребра отнесем ко второму классу. Обыкновенный гамильтонов граф G й Бе, содержащий п > 4 вершин, допускает представление в виде (О1 о G2)L~, в котором

хордальные ребра первого класса распределяются произвольно между графами G1 и G2 и при этом граф G1 содержит гамильтонов цикл и все его хордальные ребра второго класса, а граф G2 содержит цепь L~ и ребро е. Таким образом, граф G1 содержит, по крайней мере, на одно хордальное ребро меньше, чем граф G, а граф G2 содержит, по крайней мере, на одну вершину меньше, чем граф G. Применяя далее аналогичные представления для графов G1 и G2, приходим либо к графам из Бе, либо к графам с одним хордальным ребром, допускающим представление в виде (Сп о С~)^~, 3 < ~ < п -1. Рассматривая данный процесс в обратном направлении, получаем суперпозицию операций ^ Н 2 у -склейки

графов из Бе по подграфам G є Б] , реализующую граф О.

3. Подграфы склейки G є Бъо. Вначале воспользуемся, если это возможно, представлениями вида (G1°G2)L2 и получим гамильтоновы графы, хордальные ребра которых не являются разделяющими. Ясно, что хордальных ребер не менее двух. Каждый такой гамильтонов граф G

допускает представление в виде (О1 о О2)О, в котором графы G1 и G2 являются гамильтоновыми с числом вершин І^О^І = п, V(О2)|=

=| V(О)|= 4<~<п, О=^п оLn.)O0, п' + п" = ~,

п", п" > 2. Отождествляемые подграфы графов О1 и О2 принадлежат соответственно их гамильтоновым циклам Сп и С~. При наличии в О хордальных ребер, соединяющих вершины из Ln" и (или) Ln", они распределяются между графами О1 и О2 произвольно. Таким образом, граф О1 содержит, по крайней мере, на два хордальных ребра меньше, чем граф О. Граф О2 содержит, по крайней мере, на два хордальных ребра, либо на две вершины, либо на одну вершину и одно хордальное ребро меньше, чем граф О. Применяя к О1 и О2 все предыдущие представления, приходим в итоге к графам из Бе. Рассматривая данный процесс в обратном направлении, получаем суперпозицию операций ^ Н у -склейки графов из Бе по подграфам

О є Б3о, реализующую граф О.

Минимальность по включению множества Бе следует из того, что ни один из графов этого множества не может быть получен в результате операций склейки из других графов этого множества. Установим минимальность по включению множеств Б°, Б] и Бъо. Без операций склейки по О1 не обойтись при построении гамильтоновых графов, содержащих вершины, инцидентные не менее чем двум петлям. Только с помощью операции склейки по L2 можно построить гамильтонов граф с 2 вершинами, содержащий 3 кратных ребра. Без операций

склейки либо по Сі, і = 4,5,. (при О є Б°), либо

по Lj, j = 3,4,. (при О є Бо2), либо по ^ о 4-)Оо,

п', п" > 2 (при О є Бъо) не обойтись при построении гамильтоновых графов, гомеоморф-ных К4.

Замечание. Если при использовании операционных базисов БО или Бъо соответственно в

представлениях (О1 о О2^~ или (О1 о О2)О при распределении хордальных ребер результирующих графов, которые можно отнести к любому из графов-операндов, относить их только к графу-операнду О1, то графы О2 є Бе, и из доказанной теоремы получаем

Следствие 1. Класс гамильтоновых графов канонически ^ Н у -замкнут с элементным базисом Бе = (С1, С2,...} и операционными базисами Б = О12, Ц.} или Б3 = О 4,(4^ Ln")Oo},

п, п" > 2.

Для обыкновенных гамильтоновых графов справедливо

Следствие 2. Класс обыкновенных гамильтоновых графов ^ Н2 у - замкнут с элементным

базисом Ве = (С3, С4,.. ,}и операционными базисами Б1 = [Ь2, С4, С5,...}, Б0 = {Ь3, Ь4,...} или Бо3 = {Ь1,(Ьг/ о Ьп,)Оо},п",п " > 2.

Список литературы

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с.

2. Иорданский М.А. Конструктивные описания графов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. Т. 3. № 4. С. 35-63.

3. Иорданский М.А. Сложность конструктивных описаний планарных графов // Материалы IX Межгосударственной школы-семинара «Синтез и сложность управляющих систем» (Нижний Новгород, 16—19 декабря 1998 г.). М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1999. С. 20-24.

4. Иорданский М.А. Конструктивные описания и экономное кодирование графов // Вестник Нижегородского государственного университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2000. ВыпЛ(22). С. 88-93.

5. Иорданский М.А. Оптимальные нумерации вершин графов // Математические вопросы кибернетики. 2001. Вып.10. С. 83-102.

6. Иорданский М.А. Базисы планарных графов // Труды V Международной конференции «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Ратмино, 26-29 мая 2003 г.). М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003. С. 36-38.

7. Бурков Е.В. Операционные базисы замкнутых классов графов // Материалы IX Международного семинара «Дискретная математика и её приложения» (Москва, 18-23 июня 2007 г.). М.: Изд-во мехмата МГУ, 2007. С. Ш5-П6.

8. Иорданский М.А. Конструктивные описания двудольных графов // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докладов XV Международной конференции (Казань, 2-7 июня 2008 г.). Казань: Изд-во «Отечество», 2008. С. 44.

9. Иорданский М.А. Конструктивные описания расщепляемых графов // Материалы X Международного семинара «Дискретная математика и её приложения» (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.). М.: Изд-во мехмата МГУ, 2010. С. 306-308.

10. Бурков Е.В. Конструктивные описания планарных и эйлеровых графов // Вестник Нижегородского государственного университета. Математика. 2010. № 5(1). С. 165-170.

11. Иорданский М.А. Функциональные построения в теории графов // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI Международной конференции (Нижний Новгород, 20-25 июня 2011 г.) / Под ред. Ю.И. Журавлева. Нижний Новгород: Изд-во

Нижегородского госуниверситета, 2011. С. 183-187.

CONSTRUCTIVE DESCRIPTIONS OF HAMILTONIAN GRAPHS M.A Iordanskii

The processes of constructing Hamiltonian graphs are studied using operations of union and intersection (gluing operations), which preserve the property of being Hamiltonian. The generating bases (elemental and operational) of such processes are identified.

Keywords: Hamiltonian graph, gluing operation, closed class, elemental and operational bases, constructive description.