CC BY
33нет приемлемого понимания таких фундаментальных основоположений всего естествознания как принцип инерции и принцип относительности. И даже недавнее блестящее эмпирическое подтверждение смелого прогноза А. Эйнштейна о существовании гравитационных волн не проясняет ни природу гравитации, ни механизмы её действия. С учётом сказанного, утверждение, что современная наука есть продолжение научной революции эпохи Возрождения, не выглядит слишком смелым.
Литература
1. Ильенков, 1984 - Ильенков Э.В. Диалектическая логика: Очерки истории и теории. М.: Политиздат, 1984. 320 с.
2. Кун, 2001 - Кун Т. Структура научных революций. М., ООО «Издательство АСТ», 2001. 608 с.
3. Максвелл, 1940 - Максвелл Д.К. Речи и статьи. М.-Л., 1940. 227 с.
4. Хакинг, 1998 - Хакинг Ян. Представление и вмешательство. Введение в философию естественных наук. М.: Логос, 1998. 296 с.
5. Mormann, 2012 - Mormann T. Toward a teory of the Pragmatiic A Priori: From Camap to Lewis and Beyond // Rudolf Carnap and the Legacy of Logical Empiricism. Vienna : Circle Institute Yearbook, 2012. vol. 16.
УДК 1(091):165.65
КОНСТРУКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ В ИСТОРИИ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
Виктор Тихонович Мануйлов
Кандидат философских наук, доцент Московский институт государственного управления и права, Курский филиал
Рассматривается место и роль «конструкций» в историческом развитии математики от античности до настоящего времени. Конструктивность античной математики заключается в наличии среди начал постулатов, а среди выводных предложений проблем, и в неразрывной связи и взаимозависимости проблем и теорем. Гносеологические основания конструктивности античной математики составляют учения о математическом знании как промежуточном знании, учение о воображении как познавательной способности, реализуемой в математике, и теория абстракции Аристотеля. Онтологические основания конструктивности античной математики содержатся в учении о «мыслимой материи». Аналитическая геометрия и классический математический анализ строятся «генетическим» способом, основанном на геометрической конструкции античной математики, расширенной применением метода координат и методов дифференцирования и интегрирования. «Арифметизации анализа» привела к появлению проблем, решение которых могло быть достигнуто только путем обращения к философии математики. Гносеологические основания конструктивности математического знания этого периода сформулированы в философии классического рационализма (Декарт, Лейбниц и т.д.) и в философии математики Канта. «Методологический разрыв» в современном состоянии оснований математики может быть решен совместными усилиями математиков и философов.
Ключевые слова: конструктивность, математика, история философии математики, гносеологические и онтологические основания конструктивности.
CONSTRUCTIVITY OF MATHEMATICAL KNOWLEDGE IN THE HISTORY OF PHILOSOPHY OF
MATHEMATICS
Victor Tikhonovich Manuylov
PhD in Philosophy, Associate Professor The Moscow institute of public administration and the right, Kursk branch
The place and role of "constructions" in historical development of mathematics from antiquity to the present day are considered. The constructivity of antique mathematics lies in the presence of postulates among the elements and of problems among logical conclusions, and in the inseparable connection and interdependence of problems and theorems. The epistemological foundations of constructivity of antique mathematics are doctrines about mathematical knowledge as intermediate knowledge, the doctrine about imagination as the cognitive ability realized in mathematics, and the theory of abstraction of Aristotle. The ontological foundations of the constructivity of antique mathematics are contained in the doctrine about "imaginable matter". The analytical geometry and classical mathematical analysis are built by the "genetic" method, based on the geometrical construction of the antique mathematics expanded with application of a method of coordinates and methods of differenti-
ation and integration. "Arithmetization of the analysis" led to emergence of problems which solution could be reached only by the appeal to the philosophy of the mathematics. The epistemological foundations of the constructivity of mathematical knowledge of this period are formulated in the philosophy of classical rationalism (Descartes, Leibniz, etc.) and in the philosophy of mathematics of Kant. "The methodological gap" in the current state of the foundations of mathematics can be solved by joint efforts of mathematicians and philosophers.
Keywords: constructivity, mathematics, history of the philosophy of mathematics, epistemological and ontological foundations of constructivity.
Математика - сложный комплекс идей, методов, понятий, в которых переплетены философские, логико-методологические и собственно математические составляющие. Любой разрыв этого сложного комплекса по какому-либо основанию ведет к изменению смысла математических понятий. Поэтому одной из важнейших задач истории философии математики [Родин, 2003]) является адекватная реконструкция такого перехода с учетом изменений во всех компонентах сложного философско-математического комплекса.
Показателем конструктивности античной математики может служить «метод анализа и синтеза». «Анализ есть метод греческих геометров, используемый в поиске доказательств для теорем и конструкций для решения проблем. В обоих случаях анализ ... состоит в предположении того, чего добиваются в исследовании ... и в продолжении далее до тех пор, пока не достигают чего-то уже известного. Анализ сопровождается синтезом, в котором желаемая теорема или конструкция устанавливается шаг за шагом обычно посредством возвращения по ступеням анализа в обратном порядке» [Hintikka and Remes, 1974, p.1].
Гносеологические основания конструктивности античной математики составляют учения Платона и Аристотеля о специфике математического знания как промежуточного знания, переводящего познание со ступени мнения на ступень философии. Познавательная способность, реализуемая в математике, по Проклу, есть воображение, то есть рассудок [Родин, 2003] или разум [Прокл, 1994], работающий в чувственности. К гносеологическим основаниям античной математики относится также теория абстракции Аристотеля [Мануйлов, 2008а]. Онтологические основания конструктивности античной математики содержатся в учениях Платона и Аристотеля о «мыслимой материи».
Фундаментальное изменение способов построения математического знания происходит в период научной революции, связанной с формированием опытного естествознания. Классический математический анализ, возникший в XVTl-XVTll вв., окончательно сложившийся в начале XlX в. и подвергшийся коренной переработке в духе «арифметизации» в конце XlX в. представители «конструктивизма» в философии математики рассматривают как концепцию, содержащую «неконструктивные» в различных смыслах компоненты. Однако Д. Гильберт считал: «Требование ограничить предметы математики конструктивно определенными объектами представляло бы конструктивную тенденцию в некотором ложном направлении», т.к. «каждый онтологически или теоретико-познавательно мотивированный подход, который не позволяет полную реконструкцию результатов классического анализа, должен быть отклонен как опровергнутый» (выделено мною - В.М.) (Цитируется по [Breitkopf, 1968, S. 5-6]). То есть по Гильберту классический математический анализ обладает определенным видом конструктивности, который может быть охарактеризован как использование в качестве основного метода введения объектов математической теории «геометрической конструкции» [Феферман, 1971, с.241-262]. Основные претензии «конструктивистов» сводятся к трем пунктам: 1) использование в классическом анализе актуальной бесконечности; 2) наличие в анализе «чистых терем существования», основанных на применении «tertium non datur» в рассуждениях о бесконечных предметных областях; 3) классическая теория континуума действительных чисел [Bernays, 1979, S.3-7]. Однако каждое из этих возражений относится в большей степени к той модификации анализа, которая сложилась в результате его «арифметизации» и последующего теоретико-множественного обоснования.
В XVll - XVlll вв. объекты математики - действительные числа -вводились «генетически», методом «содержательной» или «материальной» аксиоматики [Клини, 2009, с, 32]. «Но представление о числовой величине здесь не является строго арифметическим, оно скорее есть представление об измеримой величине (Maßgröße), величине размерности нуль: число-мера (Maßzahl) есть отношение некоторой величины к избранной единице - [величине] того же рода. . Если бы мы могли ограничиться такими величинами, то строгая арифметизация учения о величинах была бы совершенно лишена проблем. Это не так, однако, имеется некоторый род замены для этого, поскольку для величин - как это в общем случается в геометрии и также в физике - предполагается выполнимость евдоксо-архимедова постулата. .Такая совокупность [величин] имеет известные свойства «дедекиндова сечения». Как числа-меры мы можем взять тем самым множества дробей, которые обладают этими свойствами. . Но требование строгой арифметизации может идти дальше, тем, что требуют, чтобы определение каждого такого сечения было арифметическим. ... [Однако] ... область возможных арифметических определений сечений не ограничена отчетливо. ... Такие ограничения . вводятся . с различных методических точек зрения. Получаются . различные . способы изложения анализа. Последние все имеют свой математический интерес как арифметические дисциплины (современные концепции таких попыток представлены ниже в Схеме 1 - В.М.). Однако нет гарантии того, что таким образом будет адекватно представлена структура континуума. ... [Чтобы] избежать этих трудностей ... нужно понимать характеристики чисел-мер посредством сечений не в смысле полного сведения к теории чисел, но можно было бы позволить оценивать здесь применение интуитивного понятия. . Для получения
множества чисел-мер тогда нуждаются в множестве-степени числового ряда, от которого ... переходят к множеству-степени множества дробей, а из последнего затем ... производят подходящее выделение. От множества чисел-мер тогда приходят обычным способом к множеству действительных чисел, которое мы можем рассматривать как квази-арифметическое представление множества точек прямой - говорят о «числовой прямой». Для ... введения множества-степени числового ряда ... можно рассматривать постулирование этого специального множества-степени как мотивированное нашим геометрическим представлением континуума» [Bernays,1979, S. 3-16]. То есть с точки зрения Бернайса классический математический анализ есть содержательная математическая теория, основные объекты которой - действительные числа - суть числа-меры, вводимые с помощью геометрической конструкции и получившие адекватный геометрический способ представления и несколько арифметических (теоретико-числовых) способов представления. При арифметизации анализа это геометрическое происхождение понятий действительного числа и континуума было забыто, и многие методы и теоремы анализа стали рассматриваться как сомнительные.
В философии И. Канта математическое и философское познание разделены: «Философское познание есть познание разумом из понятий, математическое - из конструкции понятий» [Мануйлов, 2001, с. 35-36]. Философия естествознания Канта описывает тот познавательный аппарат трансцендентального субъекта, который сложился в ходе «коперниканского переворота» и который лежит в основании построения механистической физической картины мира.
Современное состояние дел в области оснований математического знания характеризуется распадом единого (в период классической математики) поля теоретизирования на три самостоятельные (самодостаточные) области: собственно математика; философия и методология математики; философия. Такое положение дел является выражением более общего состояния современной духовной культуры: разрыва между философией и наукой. Концепции конструктивности математического знания в современных направлениях обоснования математики и в Немецком конструктивизме представлены на Схеме 1. Одной из настоятельных проблем современной истории философии математики является создание синтетической философской теории конструктивности научного, в том числе математического, знания. Для решения этой проблемы требуются совместные усилия ученых и философов.
Литература
1. Бурбаки, 1965 - Бурбаки Н. Исторический очерк//Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. С. 298-348.
2. Клини, 2009 - Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: Книжный дом «ЛИБЕРКОМ», 2009. 528 с.
3. Мануйлов, 2008а - Мануйлов В.Т. Конструктивность античной математики // Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей: выпуск 11. Курск: Изд-во Курск. гос. ун-та, 2008. С. 59-84.
4. Мануйлов, 2008б - Мануйлов В.Т. Конструктивность и существование в математическом знании//Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук: сб. статей. Курск, 2008. С. 79-98.
5. Мануйлов, 2003 - Мануйлов В.Т. Конструктивность как принцип обоснования научного знания // Философские науки. 2003. № 10. С. 104-121.
6. Мануйлов, 2009 - Мануйлов В.Т. Конструктивность классического математического анализа//Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей: выпуск 12. Курск: Изд-во Курск. гос. ун-та, 2009. С. 93-110.
7. Мануйлов, 2001 - Мануйлов В.Т. Конструктивность обоснования математического знания в философии математики И. Канта // Проблема конструктивности научного и философского знания: Сборник статей: Выпуск первый. Курск: Изд-во Курск. гос. пед. ун-та, 2001. С. 29-61.
8. Мануйлов, 2018 - Мануйлов В.Т. Философия математики И. Канта // Проблемы философии: история и современность. Курск: КГУ, 2018. С. 48-65.
9. Прокл, 1994 - Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. М.: Греко-латинский кабинет Ю.А. Шичалина, 1994. 224 с.
10. Родин, 2003 - Родин А.В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003. 211 с.
11. Феферман, 1971 - Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. М.: Наука, Главн. ред. физ.-мат. лит-ры., 1971. 440 с.
12. Bemays,1979 - Bernays P. Bemerkungen zu Lorenzen's Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik // Konstruktionen versus Positionen. Bd. I. Spezielle Wissenschaftstheorie. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1979. S. 3 -16.
13. Breitkorf, 1968 - Breitkorf H. Untersuchungen über den Begriffen des finiten Schließens: Inaugural-Diss. München: Lüdwig-Max-Universität, 1968. 90 s.
14. Hintikka and Remes, 1974. - Hintikka K. J. J. and Remes U. The Method of Analysis. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1974. xviii, 144 p.
Схема 1
