CC BY
67
УДК 621.382.2
Микроэлектроника
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФУЗИОННО-ДРЕЙФОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ САМОРАЗОГРЕВА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУР С.А. Мещеряков
Представлены консервативные схемы аппроксимации уравнений полного тока, непрерывностей, теплопроводности и Пуассона, используемых при моделировании процессов саморазогрева полупроводниковых структур в диффузионно-дрейфовом одномерном приближении для базиса электрический потенциал - концентрации свободных носителей заряда. Приведены результаты моделирования статических и динамических характеристик кремниевой Мг-и-и+-и++-структуры с барьером Шоттки с учетом саморазогрева
Ключевые слова: аппроксимация, диффузия, дрейф, уравнение теплопроводности, полупроводник
Введение. Жесткие режимы работы современной элементной базы радиоэлектронных средств стали не редкостью. С одной стороны, в развитии силовой микроэлектроники наблюдается тенденция к увеличению предельных электрических параметров дискретных полупроводниковых приборов, с другой стороны, увеличение степени интеграции и миниатюризации приводит к росту плотности тока и напряженности электрического поля в совокупности с ограничением размеров теплоотводящих конструктивных элементов интегральных схем. В последнее время дополнительно к этим факторам замечается рост интереса к исследованиям воздействия внешнего электромагнитного излучения, генерируемого различными устройствами и создающего наведенные сигналы достаточной мощности, способные привести к саморазогреву полупроводниковых элементов, их функциональным сбоям, а в ряде случаев и к катастрофическим отказам [1-3]. В данной ситуации учет тепловых процессов внутри полупроводниковых структур приобретает все большую актуальность.
Одним из вариантов расчета тепловых процессов в полупроводниковом приборе при его функционировании в различных режимах является численное решение уравнения теплопроводности совместно с хорошо зарекомендовавшей себя в вычислительном эксперименте системой уравнений диффузионно-дрейфовой модели (ДДМ). В работе [4] рассмотрены различные формы представления уравнения теплопроводности с учетом наиболее значимых для полупроводниковых материалов тепловых механизмов, однако схем дискретизации дифференциальных уравнений и методов их решений не приводится, между тем как именно от них в значительной степени зависят
устойчивость и эффективность алгоритмов численного решения [5].
В настоящей работе представлен вариант консервативных схем аппроксимации уравнений для одномерной диффузионно-дрейфовой модели с уравнением теплопроводности (ДДМТ), описывающих полупроводниковую структуру и дающих хорошую устойчивость вычислительного алгоритма в широком диапазоне пространственно-временных параметров дискретизации.
Математическая модель. Описание процессов токопереноса в полупроводниковой структуре в рамках ДДМТ представляется системой дифференциальных уравнений в частных производных (1), содержащей уравнение полного тока, два уравнения непрерывности по электронам и дыркам, дополненной уравнениями переноса тока (2) - (3) и теплопроводности (4):
_Si др dt 1 дх2
єє„
дх
ЁП = 1 J+G - r
dt q дх
дР = -1 J + G - R
(1)
dt q дх
(д(р + 0.5SEg) kB дТd ^ dn (2) Jn = -qM„n -------------- ------2-------------— I + qDn— (2)
I ddx q дх ) dx
Jp = -qMpP
д(p- 0.5SEg) | кв_ дТ j др (3)
дх q дх J p дх
дТ д ,.дТ.
pcp--------(Л—) =
dt дх дх
д
= -^ [(PT+р) Jn+(PpT+рр) Jp ] -
-(Ec + 1.5квТ)J - (Ev -1.5квТ)J -дх дх
-q(G - R)(Ec - Ev + ЗквТ)
(4)
Мещеряков Сергей Александрович - ГНИИИ ПТЗИ ФСТЭК России, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]
где ф - электрический потенциал; д - заряд электрона; £0 - диэлектрическая постоянная; е- ди-
электрическая проницаемость полупроводника; п, р - концентрация электронов и дырок; Jn, ^ -плотность тока электронов и дырок соответственно; О, Я - суммарный темп генерации и рекомбинации соответственно; /ип, ир - подвижность электронов и дырок соответственно; ЗЕг -сужение ширины запрещенной зоны в зависимости от степени легирования; кв - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура; Оп, Ор -коэффициент диффузии электронов и дырок соответственно; р- плотность вещества; ср -удельная теплоемкость вещества; Л-коэффициент теплопроводности полупроводника; Рп, Рр - термо-ЭДС электронов и дырок соответственно; фп, фр - квазиуровни Ферми для электронов и дырок соответственно; Ес, Еу - энергетические уровни дна зоны проводимости и потолка валентной зоны соответственно.
В стационарном случае набор уравнений (1)
- (4) упрощается приравниванием к нулю производных по времени с заменой уравнений полного тока уравнением Пуассона:
дгф _ -Ц ~дхГ ~
ее
(р - п + N. - Na)
(5)
где N¡1, Ыа - концентрации электрически активной донорной и акцепторной примеси соответственно.
Перечисленные уравнения представлены в так называемом “базисе” ф(х^), п(х^), p(x,t) (электрический потенциал - концентрации свободных носителей заряда), позволяющем рассчитывать характеристики полупроводниковой структуры в широком диапазоне прикладываемых напряжений [5]. В силу нелинейности рассматриваемых уравнений и сложной взаимосвязи базисных функций приемлемое решение всего набора уравнений (1) - (5) возможно только численными методами, требующими предварительной пространственно-временной дискретизации рассматриваемой задачи.
Консервативные аппроксимации и схемы дискретизации. Аппроксимации уравнений ДДМТ будем рассматривать применительно к трехточечному шаблону дискретизации, представленному на рис. 1.
В общем случае на неравномерной пространственной сетке (hk=xk-xk.l Ф hk+1=xk+1-xk) выделяют три узла, в рамках которых локально аппроксимируют решаемые дифференциальные уравнения. Консервативность аппроксимации определяет некоторый закон сохранения, математически базирующийся на известной теореме Остроградского-Гаусса. В частности, для приведенного набора дифференциальных уравнений на
дискретном элементе длиной (Ды+ДО^ можно выделить следующие интегральные тождества:
- изменение заряда в к-ом узле за один временной шаг приводит к изменению плотности тока свободных носителей заряда в пространстве, ограниченном координатами ^-^/2, xk+hk+l/2] (уравнение полного тока);
Рис. 1. Шаблон дискретизации
- изменение концентрации свободных носителей заряда в ^ом узле за один временной шаг приходится на изменение плотности тока свободных носителей заряда в пространстве, ограниченном координатами ^-^/2, xk+hk+l/2] и темп генерации-рекомбинации в ^ом узле (уравнения непрерывности);
- изменение температуры в ^ом узле за один временной шаг и изменение теплового потока в пространстве, ограниченном координатами [^-^/2, xk+hk+l/2], определяется поглощением (выделением) соответствующего количества тепла в ^ом узле (уравнение теплопроводности);
- изменение электрического поля в пространстве, ограниченном координатами ^-^/2, xk+hk+l/2], определяется зарядом в ^ом узле (уравнение Пуассона).
Исходя из этих тождеств консервативные представлены в виде выражений: аппроксимации уравнений (1) - (5) могут быть
К
Л+1
'Рк-1'
^1 О -------1----
V Кк Кк+1 У
(+1 1 (+1 и(^”к+1/2 + ^рк+1/2) (^пк-т + рк-1/2) ,г\т.(и I \П>
Фк +—фк+1 - К--------------------- -----------------+°-5(Л + Кк+1) Ок
К
ееп
Ок -----------(рк - Пк + - Мак )
ееа
(6')
а/
дх
+о':1 - я:;1
к У
1 дГя 2 Бпк-1/2 апк Бпк-1/2 апк еХР( апк) | Бпк+1/2 апк+1 ехР(-апк+1) 1
Ч дх к Кк+1 + Кк 1 К 1 - ехР(-аПк) к-1 V кк 1- ехР(-апк) Кк+1 1 - ехР(-апк+1) J
Б
1 - ехР(-апк+1)
Ф -Фк+1 , (Тк+1 - тк)
кВТк+1/2 /Ч (Тк+1 + Тк )
-1 -Рк , (Тк -Тк-1)
кВТк-1/2 / Ч (Тк + Тк-1)
Р'к 1 - Рк
К 1 (+1
дх V к У
+о[+1 - як+1
1 д^р
Ч дх
-2
к кк+1 + кк
Б
рк-1/2
рк
Рк-
Брк-1/2 арк еХР(арк ) Брк+1/2 арк+1 еХР(арк+1) Кк 1- ехР(арк) Кк+1 1- ехР(арк+1)
рк +
Б
рк+1/2
^рк+1
-
Кк+1 1 - ехР(арк+1) Рк+1 Ф+1 -Фк (Тк+1-тк) „ Т-)
квтк-1/2/ Ч (Тк + Тк-1)
рк+1 квТк+1/2/ ч (Тк+1 + Тк)
«рк-
(7) (7')
(7'')
(8) (8')
(8'')
°.5(К+1 + кк )Рсрк‘
7-т(+1 гт-1( {
к - Тк
к
гг<1+1 Т^?+1
1 Т к+1 Тк_1
ТЧ/+1 'Т<(+1 ^
Т - Тк~1
--^
"к+1 ,1к
^к — (Рпк+1/2Тк+1/2 + рр+1/2)‘^пк+1/2 + (Ррк+1/2Тк+1/2 + Ррк+1/2)'^ рк+1/2 ~ - (Рпк-1/2Тк-1/2 +фП:-1/2 )^пк-1/2 - (Ррк-1/2Тк-1/2 + Ррк-1/2)‘^рк-1/2 '
- (Ел + 1.5квТк) %
дх
д/р
- (Е* - 1.5квТк)-р
дх
- ч(Ок - Як)Е - Ек + ЗквТк)
(9)
(9')
Фк-
( 1 И -------1-----
V К кк+1 у
фк +~,-ф+1 - -°.5 (Кк + Кк+1 )-----------------(рк - Пк + - )
(10)
1
К
Ч
+
к
1
К
Алгоритм вычислений. В качестве метода решения системы дискретизированных уравнений (6) - (10) в данной работе за основу взят алгоритм [5], расширенный в части определения коэффициентов для тепловой компоненты тока (7''), (8'') в уравнениях переноса и дополненный решением уравнения теплопроводности (9).
Для статической задачи на текущем шаге по напряжению проводится итерационный процесс самосогласованного решения трех систем линейных алгебраических уравнений, представляющих матричный аналог уравнений
Пуассона, непрерывностей по электронам и дыркам и теплопроводности, при этом уравнения непрерывности решаются совместно. Итерационный процесс решения ведется до достижения заданных погрешностей по потенциалу и концентрациям свободных носителей заряда (или квазиуровней Ферми).
Для динамической задачи на каждом временном шаге проводится последовательное решение аналогичных систем линейных алгебраических уравнений, при этом уравнение Пуассона заменяется уравнением полного тока, что позволяет при разумном выборе шага по времени из-
бежать использования итерационного процесса самосогласования решения в силу относительно незначительного его изменения в пределах одного временного интервала [5].
Примеры моделирования. Для тестирования алгоритмов с представленными консервативными аппроксимациями рассмотрим полупроводниковую структуру с барьером Шоттки, имеющую следующие параметры: ф = 0.75 эВ; N = 1015 см-3; ^п = 3 мкм; И/ = 5-1018 см-3; =
200 мкм; Ыа + = 5-1019 см-3; = 2 мкм; тп = 10-6
с; тр = 10-7 с. Граничные условия для потенциала на контактах структуры определяются приложенным напряжением, граничные условия для концентраций свободных носителей заряда на теплоотводящем омическом контакте берутся равновесными, на теплоизолированном контакте Шоттки - согласно теории Кроуэлла-Зи [6]. Модели основных электрофизических параметров кремния взяты согласно [5]. На рис. 2 приведено решение статической задачи по расчету прямой вольт-амперной характеристики (ВАХ) данной структуры с использованием алгоритмов, реализующих описанные аппроксимации.
3, кАтм'2 Т, °С
Рис. 2. Статические ВАХ структуры с барьером Шоттки в рамках ДДМ и ДДМТ. Для ДДМТ приведена зависимость Т(и)
Как видно из представленных зависимостей при прямом смещении свыше 2 В между характеристиками, рассчитанными в рамках ДДМ и ДДМТ начинает наблюдаться расхождение. Если в отсутствии уравнения теплопроводности зависимость J(U) растет, в основном, за счет увеличения напряженности электрического поля и, как следствие, увеличения дрейфовой компоненты тока, то при рассмотрении процесса в рамках ДДМТ отмечается существенный рост плотности тока, связанный с увеличиваю-
щимися тепловой и диффузионной компонентами, дополняющими дрейфовую компоненту.
На рис. 3 приведено распределение температуры по структуре при различных значениях напряжения смещения.
Т, °С
Рис. 3. Распределения Т(х) при разных уровнях прямого смещения
В табл. 1 приведены характеристики алгоритма расчета статических характеристик с использованием описанных консервативных схем аппроксимации.
Таблица 1 Температура, °С (статический режим)
и, В Число узлов дискретизации Отн. погрешн., %
20 50 100 200
2.0 24.6 24.5 24.2 24.2 < 1
4.0 32.7 32.4 29.7 29.4 < 5
6.0 49.4 47.7 45.3 45.1 < 5
8.5 641.3 608.2 598.2 590.8 < 5
Из таблицы видно, что с уменьшением числа узлов, приходящихся на структуру (увеличением пространственного шага), наблюдается рост погрешности определения температуры, однако даже при крупном шаге консервативность схемы не позволяет превысить относительную погрешность более чем на 5%.
На рис. 4 приведен пример моделирования динамической задачи по расчету воздействия сверхвысокочастотного (СВЧ) импульса с напряжением амплитудой 100 В, длительностью 20 нс и частотой заполнения 1 ГГц, приводящему к саморазогреву структуры протекающим током. На рис. 5 показано распределение температуры по структуре в разные моменты времени.
Приведенные в табл. 2 характеристики алгоритма расчета динамического режима демонстрируют, что относительная погрешность
определения температуры структуры при само-разогреве СВЧ-импульсом не превышает 6%.
J, кАхм'2
T °С
Рис. 4. Динамическая характеристика структуры с барьером Шоттки в рамках ДДМТ. Пунктирная линия - зависимость J(t), сплошная линия - зависимость Т(^
Т, °С
х, мкм
200
205
нений ДДМТ позволяет реализовать эффективные численные алгоритмы моделирования физических процессов в полупроводниковых структурах при различных режимах их работы с учетом процессов саморазогрева. Для одномерного варианта реализации алгоритмов погрешности определения температуры саморазо-грева не превышает 5-6% в широком диапазоне параметров пространственно-временной дискретизации. Полученные модели могут быть успешно расширены на двумерный и трехмерный случай.
Таблица 2 Температура, °С (динамический режим)
tu, нс Шаг по времени, пс Отн. по- грешн. , %
0.1 0.5 1.0 2.0
5 158.7 151.8 148.6 139.2 < 6
10 264.0 256.0 248.0 239.0 < 5
15 339.5 334.4 329.9 319.3 < 3
20 433.5 428.5 425.4 417.1 < 2
Литература
1. Добыкин В.Д. Радиоэлектронная борьба. Силовое поражение радиоэлектронных систем / В.Д. Добыкин, А.И. Куприянов, В.Г. Пономарев, Л.Н. Шустов. М.: Вузовская книга, 2007. 468 с.
2. Балюк Н.В. Мощный электромагнитный импульс: воздействия на электронные средства и методы защиты / Н.В. Балюк, Л.Н. Кечиев, П.В. Степанов. М.: Изд.Дом "Технологии", 2008. 478 с.
3. Добыкин В.Д. Анализ теплового поражения полупроводниковых приборов мощными электромагнитными импульсами // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49. №3. С. 365-372.
4. Wachutka G.K. Rigorous thermodynamic treatment of heat generation and conduction in semiconductor device modeling // IEEE Transaction on CAD. 1990. V.9. N11. P. 11411149.
5. Бубенников А.Н. Моделирование интегральных микротехнологий, приборов и схем. М.: Высш. шк., 1989. 320 с.
6. Sze S.M., Ng K.K. Physics of Semiconductor Devices Wiley, 2006. 763 с.
Рис. 5. Распределения T(x) для динамической задачи
Выводы. Использование консервативных схем аппроксимации дифференциальных урав-Государственный научно-исследовательский испытательный институт проблем технической защиты информации Федеральной службы по техническому и экспортному контролю России, г. Воронеж
CONSERVATIVE SCHEMES OF APPROXIMATION OF THE DIFFUSIVE-DRIFT EQUATIONS FOR SEMICONDUCTOR STRUCTURES SELF-HEATING PROCESSES SIMULATION
S.A. Mesheryakov
Conservative schemes of approximation equations of total current, continuity, heat conduction and Poisson, used in the simulation of processes of a self-heating up of semiconductor structures in diffusive-drift 1D approach for a basis electric potential - free carriers charge concentration are presented. There are results simulation static and dynamic characteristics silicon Me-w-«+-«++-structure with Schottky barrier taking into account self-heating
Key words: approximation, diffusion, drift, heat conduction equation, semiconductor
