Конкурентное прогнозирование в случае несобственного распределения вероятностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.24 А. В. Буре

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2

КОНКУРЕНТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В СЛУЧАЕ НЕСОБСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Рассмотрена задача конкурентного прогнозирования случайной величины, распределение которой может быть несобственным. Введена шкала точности прогноза, представляющая собой монотонно неубывающую непрерывную функцию. Величина выигрыша игроков находится как разность значений прогнозов, измеренных в построенной шкале. Показано, что при выполнении естественных предположений шкала точности прогноза есть функция, пропорциональная функции распределения случайной величины. Сформулирована игра двух лиц для двух возможных вариантов. В результате замены переменных игра определена на единичном квадрате с непрерывной функцией выигрыша. Множества стратегий игроков представляют собой отрезки единичной длины. В случае игры с нулевой суммой построены оптимальные стратегии игроков в смешанных стратегиях и доказана единственность установленного равновесия в классе смешанных стратегий с носителем, содержащим две точки. В случае игры с ненулевой суммой найдены два равновесия в чистых стратегиях. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: конкурентное прогнозирование, несобственные вероятностные распределения, смешанные стратегии.

A. V. Bure

COMPETITIVE PREDICTION IN CASE OF DEFECTIVE PROBABILITY DISTIBUTION

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation

Competitive prediction of random variable, which could have defective distribution is considered. The scale of prediction accuracy representing monotonically decreasing continuous function is presented. The size of players reward is determined as difference of predictions values measured in a built scale. It is shown, that in case of natural assumption implementation the scale of accuracy of prediction represents a function that is proportional to the distribution function of random variable. The game for two players for two different options is formulated. As a result of change of variables the game defines on the units square with continuous payoff function. The sets of the players strategies represent the segments of unit length. In the case of zero-sum game the optimal players strategies in mixed strategies are found and the uniqueness of found equilibrium is proved for a type of mixed strategies with carrier containing two points. In the case of non-zero-sum-game two equilibriums are found in clear strategies. Bibliogr. 5.

Keywords: competitive prediction, defective probability distribution, mixed strategies.

Введение. В работе уточняются и обобщаются результаты, содержащиеся в [1] на случай несобственных распределений вероятностей [2]. Доказана единственность оптимальных смешанных стратегий в классе смешанных стратегий с носителем, состоящим из двух точек. Близкие по постановке задачи были ранее рассмотрены в [3, 4].

Шкала прогноза. Предположим, что случайная величина т подчиняется распределению с непрерывной функцией распределения F(z), причем на некотором интервале (a,ß), —ж ^ а < ß ^ ж, функция распределения F(z) строго монотонна

Буре Артем Владимирович — аспирант; e-mail: bure.artem@gmail.com

Bure Artem Vlo,d,imirovich — post-graduate student; e-mail: bure.artem@gmail.com

и может быть несобственной функцией распределения [2]

lim F(z) = q < 1,

z—

при этом F(а) = 0, F(ß) = q.

Если распределение случайной величины т является несобственным, то будем предполагать, что P{т = то} =1 — q.

Функция G(z), которую будем называть шкалой прогноза, удовлетворяет следующим аксиомам:

1) функция G(z) ^ 0, z G (—то, то), непрерывна на числовой прямой, строго монотонна на интервале (а, ß);

2) существуют пределы

lim G(z) = 0, lim G(z) = g,

z—> — ж z—

при этом G(a) = 0, G(ß) = g;

3) если xi < yi, X2 <У2 и P{xi < т < yi} = P{x2 < т < y2}, то G(yi) — G(xi) = G(y2) — G(x2).

Третья аксиома означает, что при условии одинаковой вероятности двух прогнозов относительное качество их должно быть одинаковым.

Теорема 1. Если выполнены аксиомы 1, 2, 3, то G{z) = ^F(z) при любом z G R. Доказательство. Выберем последовательность точек zo = а < zi < ... < zn = ß, что F(zk) = k = 1, ...,n. Тогда

P{zk-1 < T < Zk} = F(zk) - F(zk-1) = -, k = 1,..., n.

n

Кроме того,

Р{а^т< zk} = P{G(a) < G(r) < G(zk)} =

n

Из аксиомы 3 вытекает, что

G(zk) — G(zk-i) = G(zi) — G(zo).

Так как

n-i

g = G(zn) = Y,(G(zk+i) — G(zk)), k=0

получаем, что

ад-<?(**-!) = -, = ад = —.

п п п

Введем обозначение

д

Функция Н(г) непрерывна на числовой прямой и строго монотонна на интервале (а, в), причем Н(а) = 0, Н(в) = я. Тогда

Р{н(т) = р{с(т) Р{С(а) < б?(т) < СЫ)} =

На интервале (а, в) существует обратная функция Н 1(.), тогда

кЧ 1 пГ_ . гг-1|

р1Н(т) < —| = р|г < Н^1 | = —.

Следовательно,

пп

Последнее равенство выполнено для любых целых чисел к и п, таких, что 1 ^ к ^ п. В силу непрерывности рассматриваемых функций

р(Н-1(г)) = г, г € [0,д].

Таким образом, функция Н-1(г) является обратной к функции Р(.), другими словами, Р(г) = Н(г), г € Я. Итак, С(г) = Теорема доказана.

Конкурентное прогнозирование. Игра с нулевой суммой. Рассмотрим задачу конкурентного прогнозирования случайной величины т, как игру двух лиц с нулевой суммой.

Введем выигрыш игрока 1 в зависимости от конкретной реализации случайной величины т:

&(х, у,т) = (О(у) - С(х))1{х < т<у}- (С(у) - С(х))1 {х <у < т < ж} -- (С(х) - С(у))1 {у < т<х} + (С(х) - С(у))1{у < х < т < ж},

положим

Яъ(х,у,т) = ^1(х,у,т),

здесь предполагаем, что х,у € (а, в).

Кроме того, примем, что при осуществлении события {т = ж} выигрыш обоих игроков равен ^нулю.

Функции Ql(x,y,т) и Q2(x,y,т) задают выигрыш соответственно игроков 1 и 2 в зависимости от выбранных ими прогнозов х, у € (а, в) и от реализовавшегося значения случайной величины т.

Введем переменные и = ^Р(х), V = ^Р(х) и случайную величину ( = ^Р(т). Нетрудно заметить, что случайная величина С принимает значения из промежутка [0, 1], кроме того, п,у € [0,1].

Найдем функцию распределения случайной величины С

Г (г) = р{С <г} = Р{Р(т) <дг} = р{т < Р-1(дг)} = Р(Р-1(дг)) = дг

при г € [0, 1).

Функция распределения Р^ (г) = Р{С < г} непрерывна слева в каждой точке числовой прямой, поэтому Р^ (1) = д.

Будем полагать, что Р^ (г) = д при г > 1. С вероятностью 1 - д не появляются реализации случайной величины С. Другими словами, будем считать, что при появлении события {т = ж} случайная величина С не определена, выигрыш обоих игроков при этом равен нулю.

В новых переменных выигрыш игрока 1, зависящий от реализации т, может быть записан следующим образом:

Ql(x, у, т) = д(у — и)1 {и ^ £ < V} — д(у — и)1 {и < V ^ £} — д(и — {V ^ £ < и} + + д(и — v)I{V <и < £} = дН\(и, V, £),

кроме того,

Н(и, V, £) = —Н\(и, V, £).

В качестве функций выигрыща обоих игроков будем рассматривать математические ожидания

Н\(и, V) = ЕН1(и, V, £), Н2(и, V) = ЕН(и, V, £). Функция выигрыша игрока 1 имеет вид

{Я^ — u)(2v — и — 1), и < V, 0, и = V,

Я(и — v)(v + 1 — 2и), и > V.

Множества стратегий игроков представляют собой промежуток [0,1] = и = V.

Определена игра Г = < и^,Н\(и^) >, где функция выигрыша игрока 2 Щ(и^) = —Н\(и, V).

Теорема 2. В игре Г существует ситуация равновесия в смешанных стратегиях (Р*,Р2), причем оптимальные стратегии игроков

то) = то)4 р4)=Р2*© = |

Ситуация равновесия (Р*, Р2* ) единственна в классе смешанных стратегий с носителем, состоящем из двух точек.

Доказательство. Необходимым и достаточным условием того, что пара стратегий (Р±, Р2) представляет собой ситуацию равновесия, является выполнение для любых и^ € [0,1] неравенства [5]

J Н1(и, в)Р2(3,в) < а < J Н^в^р^в), (1)

[0,1] [0,1]

где а - вещественное число (цена игры).

Нетрудно заметить, что

[0,1] 2 2 2

Следовательно,

J Н1(и, в)Р2* (¿в) < 0, и € [0,1].

[0,1]

Кроме того, Н1(и^) = —Н^,и), меры Р* и Р2* одинаковы, поэтому

J Н1(в^)Р* (¿в) = — ! Н^,в)Р2* (¿в) > 0, V € [0,1].

[0,1] [0,1]

Сравнивая данные неравенства с неравенством (1), видим, что стратегии Р* и Р* оптимальны, при этом цена игры с! = 0. Докажем единственность оптимальных стратегий на множестве смешанных стратегий с носителем, состоящим из двух точек. Возьмем произвольную стратегию Р с носителем из двух точек {01,02}, а^ < 02, и вероятностями Р{01} = р1, Р{02} = Р2, Р1 + Р2 = 1, Р1 ^ 0, р2 ^ 0.

Для того чтобы смешанная стратегия Р была оптимальна для игрока 2, необходимо и достаточно выполнение неравенства

J Н1(и,в)Р(¿в) < 0 (2)

[0,1]

для любого и € [0,1].

Если (2) выполнено, то стратегия Р оптимальна также для игрока 1, действительно, Н1(и,у) = -Н1(у,и) и

J Н1(в,у)Р(¿в) > 0.

[0,1]

Верно и обратное: если стратегия Р оптимальна для игрока 1, то она оптимальна и для игрока 2. Следовательно, (Р,Р) - ситуация равновесия в игре Г.

Выясним условия, при выполнении которых неравенство (2) справедливо при любом и € [0,1].

Подставим и = а,1 в (2):

У Н1(а1, в)Р(¿в) = 9Р1Н1 (а1, 01) + др^Н1(а,1,а,2) < 0

[0,1]

или

Н10,02) < 0. (3)

Подставим и = 02 в (2), тогда

У Н^2, в)Р(¿в) = ЦрН1 (02, 01) + ЦР2Н1(02,02) < 0

[0,1]

или

Н1(02,01) = -Н1(01,02) < 0. (4)

Сравнивая (3) и (4), приходим к условию

Н1^1, 02) = ц(02 - 01)(202 - 01 - 1) = 0. (5)

Условие (5) равносильно условию

01 + 1

ао = -.

2

Для и € (01,02) получаем

У Н1(и, в)Р(¿в) = р1Н1(и, 01) + р2Н1(и, 02) = цр1(и — 01)(1 + 01 — 2и) +

[0,1]

+ ЯР2(а-2 - и)(2а2 - и - 1) = 2црх(и - а1](а2 - и) + Р2Я(а2 - п)(а1 - и) = = ц(и - а1)(а2 - и)[2р1 - Р2] = ц(и - а1)(а2 - и)(2 - 3р2) < 0 и приходим к условию

2

Р2 > (6)

Для и € [0,ах] находим

J Нх(и, в)Р(¿в) = рхНх(и, ах) + р2Н\(и, а2) = цр\(а\ - и)(2ах - и - 1) +

[0,1]

+ Яр2(а2 - и)(2а2 - и - 1) = ц(ах - и)[рх(2ах - и - 1) + р2(а2 - и)] =

3

= д(а1-и)[-и + (2а1-1)+р2(а,2-2а1 + 1)] = д(а1-и)[-и + (2а1-1) + -р2(1-а1)] < 0.

Для того чтобы неравенство было выполнено при всех и € [0, ах], должно выполняться неравенство

Р2 < --. 7

3(1 - ах)

Для и € (а2,1] имеем

J Нх(и, в)Р(¿в) = рхНх(и, ах) + р2Нх(и, а2) = црх(и - ах)(1 + ах - 2и) +

[0,1]

+ Чр2(и - а2)(1 + а2 - 2и) = -2рхц(и - ах)(и - а2) + р2Я(и - а2)(1 + а2 - 2и) =

= ц(и - а2)[-2и + 2ра + р2(1 + а2) = ц(и - а2)[-2и + 2ах - 2ар + р2(1 + а2) =

= ц(и - а2)[-2(и - а2) - 2(а2 - ах) + р2(1 - ах + а2 - ах) < 0.

Для того чтобы неравенство было выполнено при всех и € (а2,1], должно выполняться условие

р2 < _^'2-ол)_=_(1-01)_ = 2

(1-0,1)+ (0,2-0,1) (1-01) + А(1-01) 3'

Из неравенства (7) следует, что а 1 ^ кроме того, неравенства (6)—(8) могут быть выполнены только при а^ = 0 и р2 = ^, следовательно, р\ = а,2 = Стратегия Р оптимальна, если Р = Р* = Р2. Теорема доказана.

Конкурентное прогнозирование. Игра с ненулевой суммой. Рассмотрим игру с ненулевой суммой. Введем выигрыш игрока 1 в зависимости от конкретной реализации случайной величины т следующим образом:

&(х, у, т) = (О(у) - С(х))1 {х < т<у} + (С(х) - С(у))1 {у <х < т < ж},

аналогично определим выигрыш игрока 2:

&2(х, у, т) = (С(х) - С(у))1 {у < т<х} + (С(у) - С(х))1 {у <х < т < ж}.

После замены переменных и = V = ( = ^Р(т) приходим к выигрышам

вида

Нх(и, V, С) = (V - и)1 {и < С < V} + (и - у)1 {и < и < С},

H2(u, v, Z) = (u — v)I{v < Z < u} +(v - u)I{u <v < Z}■ Как и раньше, в качестве функций выигрыша выберем математические ожидания

Hi(u, v) = EHi(u, v, т), H2(u, v) = EH2(u, v, Z)■

Нетрудно убедиться, что

{q(u — v)2, u < v,

0, u = v,

q(u — v)(1 — u), u > v,

соответственно

{q(v — u)(1 — v), u < v,

0, u = v,

q(u — v)2, u > v.

Определена игра Г = <U,V, Hi, H2 >, где U = V = [0,1] - множества чистых стратегий, Hi, i = 1, 2, - функция выигрыша игрока i.

Теорема 3. В игре Г имеются две ситуации равновесия в чистых стратегиях: (0,±) u(i,0).

Доказательство. Пусть игрок 2 выбирает стратегию v = i, тогда очевидно, что наилучший ответ для игрока 1 заключается в выборе стратегии u = 0, при таком выборе игрока 1 игроку 2 не имеет смысла отказываться от выбранной им стратегии. Аналогично рассматривается вторая пара стратегий.

Замечание. Выигрыш обоих игроков при реализации стратегий одинаков и не зависит от выбранного равновесия.

Заключение. В работе уточняются и обобщаются результаты работы [1] на случай несобственного распределения прогнозируемой случайной величины. Точность прогноза оценивается в шкале пропорциональной функции распределения. Найдены оптимальные стратегии и доказана их единственность в некоторых классах стратегий.

Литература

1. Буре В. М, Смолянская Е. А. Конкурентное прогнозирование // Вестн. C.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2000. Вып. 1. C. 16—20.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / пер. с англ. Ю. В. Прохорова; под ред. Б. Б. Дынкина. М.: Мир, 1984. Т. 2. 752 с. (Feller W. An introduction to probability theory and its applications.)

3. Sakaguchi M., Szajowski K. Competitive prediction of a random variable // Math. Japonica. 1996. Vol. 43, N 3. P. 461-472.

4. Мазалов В. В., Сакагучи М.. Равновесие в бескоалиционной игре n лиц с выбором момента времени // Математическая теория игр и ее приложения. 2009. Т. 1, вып. 1. С. 67-86.

5. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. СПб.: БХВ-Петербург, 2012. 432 с.

References

1. Bure V. М., Smolyanskaya Е. А. Konkurentnoye prognozirovaniye (Competitive prediction). Vestnik S.-Petersb. un-ta, ser. 1: Matematika, mekhanika, astronomiya, 2000, no. 1, pp. 16-20.

2. Feller V. Vvedenie v teoriu veroyatnostei i ee prilozeniya (An introduction to probability theory and Its applications): in 2 vol. Per. s angl. Y. V. Proxorova; pod red. B. B. Dinkina. Мoscow: Мк, 1984, vol. 2, 752 p.

3. Sakaguchi M., Szajowski K. Competitive prediction of a random variable. Math. Japonica, 1996, vol. 43, no. 3, pp. 461-472.

4. Mazalov V. V., Sakaguchi M. Ravnovesiye v beskoalitsionnoy igre n lits s vyborom momenta vremeni (Equilibrium in n-Player Competitive Game of Timing). Matematicheskaya teoriya igr i ee prilozheniya, 2009, vol. 1, no. 1, pp. 67-86.

5. Petrosyan L. A., Zenkevich N. А., Shevkoplyas E. V. Teoriya igr (Game theory). St.-Petersburg: BKHV-Petersburg, 2012, 432 p.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 19 декабря 2013 г.