CC BY
0
2023. 19(6). 593-607 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings
HTTP://JOURNALS.RUDN.RU/STRUCTURAL-MECHANICS
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS OF ANALYSIS OF STRUCTURES
DOI: 10.22363/1815-5235-2023-19-6-593-607 УДК 69.04
EDN: HIQWQW научная статья / research article
Конечный элемент для расчета массивных железобетонных конструкций с учетом трещинообразования
В.П. Агапов1 , А.С. Маркович12 и
1 Российский университет дружбы народов, Москва, Российская Федерация
2 Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Российская Федерация H markovich-as@rudn.ru
История статьи
Поступила в редакцию: 27 июля 2023 Доработана: 17 сентября 2023 г. Принята к публикации: 3 октября 2023 г.
Заявление о конфликте интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Вклад авторов
Нераздельное соавторство.
Аннотация. Разработан объемный конечный элемент для расчета массивных железобетонных конструкций с учетом трещинообразования. При построении элемента в области напряженного состояния «сжатие — сжатие — сжатие» использован модифицированный критерий прочности Виллама — Варнке. Поведение бетона при растяжении принималось линейным вплоть до возникновения трещины. Современные строительные нормы и правила предписывают проводить расчеты бетонных и железобетонных конструкций в нелинейной постановке с учетом реальных свойств бетона и арматуры. В связи с этим разработана методика и построен объемный конечный элемент, адаптированный к ВК ПРИНС, позволяющий выполнять расчеты массивных железобетонных конструкций с учетом их действительной работы. Цель исследования — разработка методики расчета железобетонных конструкций, находящихся в условиях объемного напряженного состояния, с учетом хрупкого разрушения сжатого бетона и трещинообразования в растянутом бетоне. Для верификации разработанного конечного элемента проведена серия тестовых расчетов балки, находящейся в условиях трехточечного изгиба. Сравнение результатов расчета с данными экспериментов, проведенных авторами, подтвердило высокую точность и достоверность полученных результатов. Разработанный объемный конечный элемент в составе ВК ПРИНС может быть эффективно использован инженерами проектных и научных организаций для решения широкого класса инженерных задач, связанных с расчетами массивных железобетонных конструкций.
Ключевые слова: метод конечных элементов, вычислительный комплекс ПРИНС, строительные конструкции, массивные железобетонные сооружения, физическая нелинейность, пластичность, теория течения, механика деформируемых тел
Агапов Владимир Павлович, доктор технических наук, профессор департамента строительства, инженерная академия, Российский университет дружбы народов, Москва, Российская Федерация; ORCID: 0000-0002-1749-5797; E-mail: agapovpb@mail.ru
Маркович Алексей Семенович, кандидат технических наук, доцент департамента строительства, инженерная академия, Российский университет дружбы народов, Москва, Российская Федерация; доцент кафедры фундаментального образования, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, Москва, Российская Федерация; ORCID: 0000-0003-3967-2114; E-mail: markovich-as@rudn.ru
© Агапов В.П., Маркович А.С., 2023
Ф© I ' ls work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License КЗЕЕЯ https://creativecommons.Org/licenses/by-nc/4.0/legalcode
Для цитирования
Агапов В.П., Маркович А.С. Конечный элемент для расчета массивных железобетонных конструкций с учетом трещино-образования // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2023. Т. 19. № 6. С. 593-607. http:// doi.org/10.22363/1815-5235-2023-19-6-593-607
Finite Element for the Analysis of Massive Reinforced Concrete Structures with Cracking
Vladimir P. Agapov1 , Alexey S. Markovich12 H
1 RUDN University, Moscow, Russian Federation
2 Moscow State University of Civil Engineering (National Research University), Moscow, Russian Federation E3 markovich-as@rudn.ru
Abstract. The solid finite element has been developed for the calculation of massive reinforced concrete structures with cracks. When constructing a finite element in the compression-compression-compression mode, the Willam & Warnke failure criterion was used. The tensile behavior of concrete was assumed to be linear before the crack initiation. Modern building codes require non-linear calculations of concrete and reinforced concrete structures, taking into account the real properties of concrete and reinforcement. In this regard, a technique has been developed and a solid finite element has been built, adapted to the PRINS software, which makes it possible to perform calculations of massive reinforced concrete structures, taking into account their actual work. Development of a method for calculating reinforced concrete structures under conditions of a three-dimensional stress state, taking into account the brittle fracture of compressed concrete and cracking in tensile concrete. Based on this technique, the implementation of a solid finite element in the PRINS software. To verify the developed finite element, a series of test calculations of a beam under three-point bending conditions was carried out. Comparison of the calculation results with the data of experiments by the authors confirmed the high accuracy and reliability of the results obtained. The developed solid finite element included in the PRINS software can be effectively used by engineers of design and scientific organizations to solve a wide class of engineering problems related to the calculations of massive reinforced concrete structures.
Keywords: finite element method, PRINS computational program, building structures, solid reinforced concrete structures, physical nonlinearity, plasticity, flow theory, structural mechanics
For citation
Agapov V.P., Markovich A.S. Finite element for the analysis of massive reinforced concrete structures with cracking. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2023;19(6):593-607. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2023-19-6-593-607
1. Введение
Предпосылки для расчета железобетонных конструкций в нелинейной постановке были обусловлены развитием компьютерных технологий, с одной стороны, и развитием численных методов строительной механики, в первую очередь метода конечных элементов — с другой [1-4]. При этом нелинейное деформирование бетона с учетом реальных упругопластических свойств в условиях объемного напряженного состояния исследовалось на протяжении XX в. как отечественными, так и зарубежными учеными [5-10].
Очевидно, что современные методы расчеты железобетонных конструкций должны разрабатываться на основании численных методов строительной механики с учетом нелинейных эффектов, присущих бетону и арматуре, установленных экспериментальным путем. Поэтому корректное моделирование объем-
Vladimir P. Agapov, Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Civil Engineering, Engineering Academy, RUDN University, Moscow, Russian Federation; ORCID: 0000-0002-1749-5797; E-mail: agapovpb@mail.ru
Alexey S. Markovich, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Civil Engineering, Engineering Academy, RUDN University, Moscow, Russian Federation; Associate Professor of the Department of Fundamental Education, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University), Moscow, Russian Federation; ORCID: 0000-0003-3967-2114; E-mail: markovich-as@rudn.ru
Article history
Received: July 27, 2023 Revised: September 17, 2023 Accepted: October 3, 2023
Conflicts of interest
The authors declare that there is no conflict of interest.
Authors' contribution
Undivided co-authorship.
ного напряженного состояния бетона с учетом его упругопластических характеристик является ответственной задачей, и для повышения достоверности расчеты следует проводить с использованием нескольких вычислительных программ. В связи с этим разработка альтернативных методов расчета и соответствующих программ является актуальной задачей.
Для решения данной задачи в настоящей статье приводится методика расчета железобетонных конструкций, находящихся в условиях объемного напряженного состояния, с учетом хрупкого разрушения бетона сжатой зоны, а также трещинообразования в растянутом бетоне. На основании данной методики построен объемный конечный элемент, реализованный в ВК ПРИНС1.
2. Метод
В ВК ПРИНС расчет физически нелинейных конструкций методом конечных элементов ведется в приращениях по уравнению [1]:
(К0 + АК)Аи = АР, (1)
где АК = \(К1-К0).
Матрицы жесткости К0 и К1 вычисляются в начале и конце каждой итерации. Уравнение (2) решается итерационным способом [11; 12]:
К0Ащ = АР- AKi_1Aui_1, (2)
где i — номер итерации.
При достижении сходимости итерационного процесса вычисляются полные значения перемещений и напряжений по формулам:
и = и0 + Аи, о = о0 + Ао, (3)
где Аи и Ао — приращения перемещений и напряжений соответственно.
Приращения напряжений, обусловленные приращением деформаций As, определяются по формуле
Ао = СерАг, (4)
где Сер — упругопластическая матрица характеристик материала.
В общем случае на каждом шаге нагружения анализируется напряженное состояние материала и при возникновении пластических деформаций и (или) трещин производится корректировка напряжений с учетом принятых диаграмм деформирования. Это требует проведения процесса уравновешивания конструкции. Итерации равновесия производятся по формуле (1), которая модифицируется к виду
KjAv^=PJ-F.;-1. (5)
В формуле (5) матрица жесткости принимается равной матрице Kj, найденной в конце шага при итерациях по формуле (2).
Таким образом, в формуле (3) итерируется матрица жесткости, а в формуле (6) — вектор узловых сил Fj-1, эквивалентный внутренним напряжениям.
Матрица жесткости К для отдельного конечного элемента находится по формуле [2] :
K = jvBTCeBdV. (6)
где В — матрица, связывающая компоненты деформаций элемента с компонентами узловых перемещений (геометрическая матрица); Се — матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций (физическая матрица).
Методика вычисления геометрической матрицы В хорошо известна (см., например, [3]).
1 Разработка ВК ПРИНС была начата профессором В.П. Агаповым в 70-е гг. XX в. В настоящее время развитие этого вычислительного комплекса ведется профессором В.П. Агаповым совместно с его учеником доцентом А.С. Марковичем.
Основные предпосылки анализа объемного напряженного состояния
Рассматривается четыре вида напряженного состояния: сжатие — сжатие — сжатие, сжатие — сжатие — растяжение, сжатие — растяжение — растяжение, растяжение — растяжение — растяжение.
При этом учитываются следующие типы поведения материала: нагружение, разгрузка и догружение. Соответствующие указанным типам поведения пути деформирования материала приведены на рис. 1.
Нагружение растянутого бетона после образования трещины (участок С — В — Е) происходит с модулем упругости
(7)
где 8т — предельная деформация бетона с трещинами при
растяжении, асг и 8сг — напряжение и деформация трещи-
нообразования соответственно (см. рис. 1).
Разгрузка и догружение бетона с трещинами (участки В — О) подчиняются линейному закону с фиктивным модулем упругости
E =
1 Оcr (8m - 8D ) 8 D 8т — 8cr
8cr < eD < 8т
Рис. 1. Пути деформирования материала Источник: выполнено авторами
Figure 1. Material Deformation Path Source: compiled by the authors
(8)
где 8д — текущее значение деформации.
Напряжение в растянутом бетоне после возникновения трещины находится по формуле 8т — 8В
О = о,,
(9)
о
cr
2.1. Деформирование бетона в области «сжатие — сжатие — сжатие»
При построении физической матрицы принята упругая модель при хрупком разрушении бетона в режиме «сжатие — сжатие — сжатие». Поведение бетона считается линейно-упругим вплоть до достижения поверхности разрушения.
В качестве поверхности разрушения принята пятипараметрическая модель, предложенная Вилламом и Варнке [13]. На рис. 2 приведено девиаторное сечение этой поверхности, а на рис. 3 — главные меридианы растяжения и сжатия.
Условие прочности определяется формулой [13]
f (о ) = f (, Tm, 0 )= —-1 = 0, (10)
r (m,0)Rb
где om и Tm — средние значения нормальных и касательных напряжений в окрестности точки, 0 —
r
угол вида напряженного состояния, а 7 (om, 0 ) = --радиус-вектор точки на поверхности разруше-
V5Rb
ния в девиаторном сечении (см. рис. 2).
Радиус-вектор 7(om, 0) определяется формулой [13]
r
(g т, 0 )
2rc (rc
(( - r} )cos 0 + rc (2rt - rc ) (( - r2)
2 2 cos 0 + 5r - 4rrc
r
(11)
4( - r2 )cos2 0 + (rc - 2rt )2
G'
a.
'2
Рис. 2. Девиаторное сечение поверхности разрушения: Г и rc — меридианы растяжения и сжатия; 0 — угол вида напряженного состояния Источник: выполнено авторами Figure 2. Deviatoric section of the fracture surface: Г and rc — the meridians of tension and compression; 0 — the angle of the type of the stress state
Source: compiled by the authors
Рис. 3. Меридианы растяжения и сжатия поверхности разрушения: Rb и Rfrt — пределы прочности бетона на осевое сжатие и растяжение;
Rbc — предел прочности бетона на равномерное двухосное сжатие, r = л/5тт , £, = V3am Источник: выполнено авторами Figure 3. Tension and compression meridians of fracture surface: Rb and Rbt — ultimate strength of concrete for axial compression and tension;
Rbc — ultimate strength of concrete for uniform biaxial compression, r = V5xm, k = V3am
iRb
- 4
A Rb
Source: compiled by the authors
Радиус-векторы Г и гс (см. рис. 2) определяют меридианы растяжения (0 = 0) и сжатия (0 = л/3), которые являются квадратными параболами:
m,t , 0m
rt = а0 + а\ — + а2
( „ V
Rb
Rb VRb j
2
Rb
=rc=b0+bi-m-+b
Rb V Rb j
(12)
Коэффициенты ад, а\, а2 и ¿о, ¿1, ¿2 получены на основе экспериментальных данных и в зависимости от параметров модели, приведенных в табл. 1, определяются по формулам:
2- 4-2 „ , ¡2- _ 1^- - , ¡6 Rbt - R¿c
= 3Rbca1 -9Rbca2 + \77Rbc , а1 = 3(2Rbc -Rbt )a2 +V 5 2 R + R 3 9 V 15 3 \ 5 2R¿c + Rbf
a2 =
5 1 (Rbt - Rbc ))6RbtRbc + rt (2Rbc + Rbt ) ( 2Rbc + Rbt ) ) -JRbcIt + 3RbtIt -9RbtRbc
(13)
_ 6 - 3rc bo =-pb1 -p2b2, b = fïc + 3jb2 + ,
b2 =■
rcl P+9 IIj5
2 /Т \
Ic + P )
( + P)( Ic -3
(14)
К определению параметров модели Виллама — Варнке / To the determination of the parameters of the Willam — Warnke model
Таблица 1 / Table 1
Вид напряженного состояния / Type of stress state Критерий/ Criterion Напряжения / Stresses Угол 0 / Angle 0
1. Одноосное сжатие / Uniaxial compression Rb 03 =-Rb, О = = 0 П 3
2. Одноосное растяжение / Uniaxial tension Rbt 01 = Rbt, °2 = 03 = 0, R =Rbt Rbt = — Rb 0
3. Равномерное двухосное сжатие / Uniform biaxial compression Rbc 01 = 02 = -Rbc, 03 = 0, Rbc = = 1,2 bc Rb 0
4. Трехосное сжатие в режиме высокой компрессии (о3 <Oj = о2, 0 = 0) / Triaxial compression in high compression mode (03 < Oj = O2, 0 = 0) 0m T Rb I > 0, T лт = r Rb " r о1 Ф 0, o2 Ф- 0, o3 Ф 0, I = 3,67*, rt = 1,59* 0
5. Трехосное сжатие в режиме низкой компрессии (03 > Oj = 02, 0 = п/3) / Triaxial compression in low compression mode (03 > Oj = 02, 0 = п/3) 0m I R. ' I2 > 0, Tm — — = rc Rb о1 Ф 0, o2 Ф-0, o3 Ф0, I = 3,67*, rc = 1,94* V 3
* Согласно результатам экспериментов Лоне и Гашона [7].
В табл. 1 использованы следующие буквенные обозначения: Яь — прочность бетона на одноосное сжатие (призменная или кубиковая), Я^ — прочность бетона на одноосное растяжение, Яьс — прочность бетона на равномерное двухосное сжатие. При этом нормируемые значения прочности являются безразмерными величинами и задаются в долях от Щ .
Прочность бетона в условиях трехосного сжатия определяется для режимов низкой и высокой боко-
^ ^ ^ш Т" тш — вой компрессии с использованием соотношений -= — сс и — = гс на основании экспериментальных
ЯЬ ЯЬ
данных [7].
2.2. Деформирование бетона в областях «сжатие — сжатие — растяжение»,
«сжатие — растяжение — растяжение» и «растяжение — растяжение — растяжение» (учет трещинообразования)
Физическая матрица Се для бетона с одной, двумя и тремя трещинами формируется следующим образом. При образовании трещины по первому главному направлению напряженное состояние бетона по двум другим направлениям рассматривается как плосконапряженное и используется модифицированный критерий прочности Мизеса — Губера [14], который сводится к виду
f [ h (Та), /2 (D)] = V ß [312 (D) + а/1 T)] = 00,
(15)
где а и в — эмпирические коэффициенты, которые на основании экспериментальных данных принимаются равными 0,355 и 1,355 соответственно. Отметим, что при а = 0 и в = 1 уравнение (15) вырождается в критерий пластичности Мизеса — Губера [14].
С принятыми значениями коэффициентов а и в критерий (15) достаточно хорошо согласовывается с результатами двухосных испытаний бетона (рис. 4).
Рис. 4. Геометрическая интерпретация критерия текучести (15): I — поверхность разрушения согласно экспериментальным данным Купфера [6]; II — критерий (15); III — критерий пластичности Мизеса — Губера [14] Источник: выполнено авторами Figure 4. Geometric interpretation of the yield criterion (15): I — the fracture surface according to the experimental data of Kupffer [6]; II — the criterion (15); III — the von Mises & Huber plasticity criterion [14] Source: compiled by the authors
Первоначально напряжения в конечном элементе вычисляются в глобальных осях конструкции x — y — z. В момент возникновения первой трещины фиксируется положение главных осей 1 — 2 — 3 (рис. 5).
Рис. 5. Анализ напряженного состояния бетона при образовании одной трещины Источник: выполнено авторами
Figure 5. Analysis of the stress state of concrete during the formation of one crack Source: compiled by the authors
При возникновении первой трещины материал в объеме элемента распадается, согласно принятой гипотезе, на ряд плосконапряженных пластинок. В каждой такой пластинке существуют такие площадки с нормалями 21 и 31, на которых нормальные напряжения имеют экстремальные значения. Дальнейший анализ трещинообразования производится по главным напряжениям 02 и 03, действующим вдоль осей 21 и 31 (см. рис. 5). Данные напряжения, как и угол поворота осей 21 и 31 относительно осей 2 и 3, находятся по общим правилам сопротивления материалов. Дальнейший расчет конструкции выполняется в осях 1 — 21 - 31, для чего предварительно вычисляется матрица направляющих косинусов этих осей в глобальных осях х — у — г.
При наличии двух трещин модуль упругости бетона по третьему направлению определяется по диаграмме «напряжение — деформация» для одноосного напряженного состояния, а модули сдвига принимаются по рекомендациям, приведенным в работе [15].
При этом физическая матрица будет выглядеть следующим образом:
C =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 E 0 0 0
0 0 0 G12 0 0
0 0 0 0 G23 0
0 0 0 0 0 G31
(16)
При наличии трех трещин модуль упругости Е равен нулю.
Модуль Е в матрице Се (16) принимается равным либо начальному модулю, если бетон в третьем главном направлении растянут, либо касательному модулю кривой «напряжение — деформация», если бетон по третьему главному направлению сжат.
Эксперименты показывают, что треснувший бетон с арматурой передает значительные касательные напряжения. При этом на величину сдвиговой жесткости влияют такие факторы, как ширина раскрытия трещины, коэффициент армирования, диаметр арматуры, структура бетона и др. [15]. Следуя рекомендациям [15], модуль сдвига примем как функцию текущей растягивающей деформации.
Так, для бетона с трещиной в первом главном направлении
(
G12 = 0,25G
ei
v 0,004 j
G12 = 0, если e1 > 0,004, GC1 = G1
— ^12 =
(17)
где О — модуль сдвига бетона без трещин; 81 — растягивающая деформация по главному направлению 1.
Для бетона с трещиной в двух направлениях:
(
Gc3 = 0,25G
e1
Л
1 -V 0,004 j
G1c3 = 0 , если e1 > 0,004
G|3 = 0,25GI 1 -
e2
Gc 1 •
G12 = _ mln
0,004
fiC fiC
G13, G13
GC3 = 0, если e2 > 0,004,
(18)
Для бетона с трещиной в трех направлениях:
G. = 0,25G [1--, G1 = 0, если e1 > 0,004,
1 | 0,004 j 1 1
G2 = 0,25G(l--I, G2 = 0, если e2 > 0,004,
2 I 0,004 J 2 2
G3 = 0,25G I 1 -
e3
0,004
(19)
, G3 = 0, если e3 > 0,004,
1 .
G1C2 = G23 = G31 = 2mln[G1,G2,G3] •
На основании приведенного алгоритма разработана программа, адаптированная к вычислительному комплексу ПРИНС [18-20].
3. Результаты и обсуждение
Для тестирования разработанного конечного элемента были использованы результаты собственных экспериментов авторов, выполненных в лаборатории строительных конструкций и материалов департамента строительства инженерной академии РУДН, в ходе которых исследовалось напряженно-деформированное состояние железобетонной балки (рис. 6).
Рис. 6. Общий вид экспериментальной балки и использованного оборудования Источник: фото В.П. Агапова, А.С. Марковича
Figure 6. General view of the experimental beam and used equipment Source: photo by V.P. Agapov, A.S. Markovich
Для оценки напряженного состояния, в соответствии с методикой эксперимента, по направлению главных деформаций в 21 точке на поверхности балки были наклеены тензорезисторы BF120-20AA с базой 20 мм, подключаемые по полной мостовой схеме к 24-канальной тензостанции ZETLAB. Эксперимент проводился на испытательной установке Matest с постоянной скоростью нагружения 10 Н/с. При этом нагрузка, деформации и перемещения характерных точек балки записывались синхронно.
Материал балки — бетон класса В60. Балка имела продольное армирование арматурой класса А400 010 (рис. 7).
Рис. 7. Геометрические размеры и схема армирования балки Источник: выполнено авторами
Figure 7. Geometric dimensions and reinforcement scheme of beam Source: compiled by the authors
Конечно-элементная модель экспериментальной балки состояла из 2800 объемных восьмиузловых элементов (рис. 8). Армирование балки моделировалось одномерными стержневыми элементами с тремя степенями свободы в узле. Для продольной арматуры принималась гипотеза идеального упругопластиче-ского поведения, и учитывалось влияние квадратов углов поворота на продольные усилия. Стержни поперечного армирования находились в условиях линейно-упругого деформирования.
Нагружение и условия опирания балки соответствовали методике проведенных авторами экспериментов (см. рис. 9).
Рис. 8. Расчетная схема экспериментальной балки: а — КЭ модель «тела» балки, б — схема армирования стержневыми КЭ Источник: выполнено авторами с использованием программы ПРИНС
Figure 8. FE scheme of the experimental beam: а — FE model of the «body» of the beam, б — bar FE scheme of reinforcement Source: compiled by the authors using the PRINCE program
Рис. 9. Характер разрушения экспериментальной балки Источник: фото В.П. Агапова, А.С. Марковича
Figure 9. The fracture character of the experimental beam Source: photo by V.P. Agapov, A.S. Markovich
Суммарная нагрузка на балку была принята равной P = 36 кН. Расчеты выполнялись шагово-итера-ционным методом. Был задан 41 шаг нагружения, коэффициент к нагрузке на первом шаге принимался равным 0,01, а на остальных шагах — 0,03.
По результатам расчетов исследовались процесс трещинообразования в бетоне, прогибы балки при фиксированных значениях нагрузки, а также предельная (разрушающая) нагрузка.
Результаты расчетов представлены в табл. 2
Таблица 2 / Table 2
Результаты расчета балки / Beam calculation results
Исследуемая величина / Researched value Прогибы балки (мм) при нагрузке, кН / Displacements of beams (mm) under load, kN Нагрузка трещинообразования, кН / Cracking load, kN Разрушающая нагрузка, кН / Failure load, kN
18 21 24
Результаты экспериментов / Experimental results 0,96 1,170 1,488 9,375 28,849
Результаты расчета в ВК ПРИНС / Calculation results in the PRINS computer application 0,742 1,131 1,476 9,00 27,36
Погрешность, % / Divergence, % 29,4 3,33 0,81 4,17 5,44
Как видно из табл. 2, расхождение в значениях предельной (разрушающей) нагрузки, полученной по результатам расчетов в ВК ПРИНС, в сравнении с экспериментальными данными не превышает 5,44 %, что свидетельствует о высокой точности разработанного конечного элемента, а также о надежности и устойчивости используемых алгоритмов нелинейного расчета.
Процесс трещинообразования рассматриваемой балки, полученный с использованием ВК ПРИНС, показан на рис. 10.
Рис. 10. Трещинообразование рассматриваемой балки Источник: выполнено авторами с использованием программы ПРИНС
Figure 10. Cracking of the considered beam Source: compiled by the authors using the PRINCE program
Прогибы балки, соответствующие суммарной нагрузке 18, 21 и 24 кН, приведены на рис. 11.
Авторами разработан и реализован физически нелинейный объемный конечный элемент для расчета массивных железобетонных конструкций, позволяющий учитывать хрупкое разрушение бетона в области сжатия и процесс трещинообразования в растянутом бетоне.
Для учета работы бетона в режиме «сжатие — сжатие — сжатие» используется критерий прочности Виллама — Варнке.
При возникновении в бетоне трещины по первому главному направлению напряженное состояние по двум другим направлениям рассматривается как плосконапряженное и применяется модифицированный критерий прочности Мизеса — Губера.
При наличии двух трещин модуль упругости бетона по третьему направлению определяется по диаграмме «напряжение — деформация» и при этом учитывается влияние касательных напряжений на работу бетона с трещинами.
Так как армирование конструкции может выполняться произвольным образом, его особенности в полной мере могут быть учтены включением в конечно-элементную схему конструкции одномерных стержневых элементов, характеризующих арматуру. При этом для арматурной стали возможно задание как упругой, так и упругопластической моделей деформирования.
■ 0,000742
■ 0,00066» Я 0.000593
0,000519 0.000445 ■ 0,000}?] ■ 0,000»« 0,000222 0.000 US ■ ".42242S
■ 0.00113
■ 0,00101
■ 0,00090
■ 0,00079 0.00067
■ 0,00056
■ 0,00045 О.ОО013 0,00022
■ 0,00011
■ 0,00147
■ 0,00132
■ 0,001 IS
■ 0,0010}
■ o.oooss
■ 0,00073
■ 0,00059 0,00044 0,00029
■ 0,00014
б
a
в
Рис. 11. Прогибы балки: a — при нагрузке 18 кН, б — при нагрузке 21 кН, в — при нагрузке 24 кН Источник: выполнено авторами с использованием программы ПРИНС Figure 11. Beam displacements: a — at a load of 18 kN, б — at a load of 21 kN, в — at a load of 24 kN Source: compiled by the authors using the PRINCE program
4. Заключение
1. В процессе отладки программы для верификации разработанного конечного элемента была проведена серия тестовых расчетов балки, находящейся в условии трехточечного изгиба. Последующее сравнение результатов расчета с данными экспериментов, проведенных авторами, подтвердило высокую точность разработанного конечного элемента.
2. Данный конечный элемент адаптирован к ВК ПРИНС и в составе этого программного комплекса может быть использован инженерами проектных и научных организаций для практических расчетов железобетонных конструкций.
Таким образом, ВК ПРИНС может быть успешно использован для решения широкого класса инженерных задач.
Список литературы
1. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости конструкций. М.: Изд-во АСВ, 2005. 245 с.
2. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Sixth edition. McGraw-Hill, 2005. 631 p.
3. CrisfieldM.A. Non-linear finite element analysis of solids and structures. UK: John Wiley & Sons Ltd, 1977. 488 p.
4. Oden J.T. Finite elements in nonlinear continua. New York: McGraw, Hill Book Company, 1972. 464 p.
5. CEB, CEB-FIP Model Code 1990 / CEB Bulletin d'Information № 213/214. Lausanne: Comite Euro-International du Beton, 1993. 437 p.
6. Kupfer H., Hilsdorf H., Rusch H. Behavior of Concrete under Biaxial Stresses // ACI Journal Proceedings. 1969. Vol. 66. No. 8. P. 656-666.
7. Launay P., Gachón H. Strain and Ultimate Strength of Concrete under Triaxial Stress // ACI Spec. Publ. 1972. Vol. 34. P. 269-282.
8. Mills L.L., Zimmerman R.M. Compressive Strength of Plain Concrete under Multiaxial Loading Conditions // ACI Journal. October 1970. Vol. 67. No. 10. P. 802-807.
9. Корсун В.И., Недорезов А.В., Макаренко С.Ю. Сопоставительный анализ критериев прочности для бетонов // Современное промышленное и гражданское строительство. 2014. Т. 10. № 1. С. 65-78. EDN THXXCZ
10. Hansen T.C. Triaxial test with concrete and cement paste: Report № 319 // Lyngby: Technical University of Denmark, 1995. 54 p.
11. Dennis J., More J.J. Quasi-Newton Methods, Motivation and Theory // Siam Review. January 1977. Vol. 19. No. 1. P. 46-89.
12. Matthies H., Strang G. The Solution of Nonlinear Finite Element Equations // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1979. Vol. 14. P. 1613-1626.
13. Willam K.J., Warnke E.P. Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete // Proceedings of IABSE. Structural Engineering. 1975. Report 19. Section III. P. 1-30.
14. von Mises R. Mechanik der festen Korper im plastisch-deformablen Zustand // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. (Mathematisch-Physikalische Klasse). 1913. Vol.1. P. 582-592.
15. Cedolin L., Deipoli S. Finite element studies of shear-critical R/C beams // ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division. June 1977. Vol. 103. No. EM3. P. 395-410.
16. Обернихин Д.В., Никулин А.И. Экспериментальные исследования прочности, трещиностойкости и деформа-тивности железобетонных балок трапециевидного и прямоугольного поперечных сечений // Инновационная наука. 2016. № 8-2. С. 73-77.
17. Римшин В.И., Амелин П.А. Численный расчет изгибаемых железобетонных элементов прямоугольного сечения в программной среде Abaqus // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2022. Т. 18. № 6. С. 552-563. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2022-18-6-552-563
18. Agapov V.P., Markovich A.S. The family of multilayered finite elements for the analysis of plates and shells of variable thickness: La familia de elementos finitos multicapa para el análisis de placas y cascos de espesor variable // South Florida Journal of Development. 2021. Vol. 2 No. 4. P. 5034-5048. https://doi.org/10.46932/sfjdv2n4-007
19. Агапов В.П., Маркович А.С. Динамический метод определения критических нагрузок в вычислительном комплексе ПРИНС // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2020. Т. 16. No. 5. С. 380389. http://doi.org/10.22363/1815- 5235-2020-16-5-380-389
20. Агапов В.П., Маркович А.С. Исследование точности и сходимости результатов расчета тонких оболочек с помощью программы ПРИНС // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2021. Т. 17. No 6. С. 617-627. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-671-627
References
1. Agapov V.P. Finite element method in statics, dynamics and stability of structures. Moscow: ASV Publ.; 2005. (In Russ.)
2. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element for Solid and Structural Mechanics. Sixth edition. McGraw-Hill; 2005.
3. Crisfield M.A. Non-linear finite element analysis of solids and structures. United Kingdom: John Wiley & Sons Ltd; 1977.
4. Oden J.T. Finite elements in nonlinear continua. New York: McGraw, Hill Book Company; 1972.
5. CEB, CEB-FIP Model Code 1990 / CEB Bulletin d'Information № 213/214. Lausanne: Comite Euro-International du Beton, 1993.
6. Kupfer H., Hilsdorf H., Rusch H. Behavior of Concrete under Biaxial Stresses. ACI Journal Proceedings. 1969;66(8):656-666.
7. Launay P., Gachon H. Strain and Ultimate Strength of Concrete under Triaxial Stress. ACI Spec. Publ. 1972;34: 269-282.
8. Mills L.L., Zimmerman R.M. Compressive Strength of Plain Concrete under Multiaxial Loading Conditions. ACI Journal. October 1970;67(10):802-807.
9. Korsun V.I., Nedorezov A.V., Makarenko S.Yu. Comparative analysis of strength criteria for concrete. Modern Industrial and Civil Construction. 2014;10(1):65-78. (In Russ.) EDN THXXCZ
10. Hansen T.C. Triaxial test with concrete and cement paste: Report № 319. Lyngby, 'Technical University of Denmark", 1995.
11. Dennis J., More J.J. Quasi-Newton Methods, Motivation and Theory. Siam Review. January 1977;19(1):46-89.
12. Matthies H., Strang G. The Solution of Nonlinear Finite Element Equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1979;14:1613-1626.
13. Willam K.J., Warnke E.P. Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete. Proceedings of IABSE. Structural Engineering. 1975;19(III):1-30.
14. von Mises R. Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand [Mechanics of Solid Bodies in Plastic Deformation State]. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. (Mathematisch-Physikalische Klasse). 1913;1:582-592.
15. Cedolin L., Deipoli S. Finite element studies of shear-critical R/C beams. ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division. June 1977;103(EM3):395-410.
16. Obernikhin D.V., Nikulin A.I. Experimental studies of strength, crack resistance and deformability of reinforced concrete beams of trapezoidal and rectangular cross sections. Innovative Science. 2016;(8-2):73-77. (In Russ.)
17. Rimshin V.I., Amelin P.A. Numerical calculation of bent reinforced concrete elements of rectangular section in the Abaqus software. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2022;18(6):552-563. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2022-18-6-552-563
18. Agapov V.P., Markovich A.S. The family of multilayered finite elements for the analysis of plates and shells of variable thickness: La familia de elementos finitos multicapa para el análisis de placas y cascos de espesor variable. South Florida Journal of Development. 2021;2(4):5034-5048. https://doi.org/10.46932/sfjdv2n4-007
19. Agapov V.P., Markovich A.S. Dynamic method for determining critical loads in the PRINS computer program. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2020;16(5):380-389. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/ 1815- 5235-2020-16-5-380-389
20. Agapov V.P., Markovich A.S. Investigation of the accuracy and convergence of the results of thin shells analysis using the PRINS program. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2021;17(6):617-627. http:// doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-671-627
