Конечные свободные коммутативные полугруппы и полугруппы с нулём, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 22-26.

УДК 512.572

П.О. Мартынов, Д.В. Соломатин

КОНЕЧНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ ПОЛУГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ С НУЛЁМ, ДОПУСКАЮЩИЕ ОБОБЩЕННЫЕ ВНЕШНЕПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ КЭЛИ

Изучаются конечные свободные коммутативные полугруппы и полугруппы с нулём, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли. Доказаны соответствующие характеристические свойства.

Ключевые слова: граф Кэли полугруппы, обобщенные внешнепланарные графа.

Данная статья открывает цикл работ, посвященных перечислению полугрупп, допускающих обобщенные внешнепланарные графы Кэли.

Традиционно [1] графом Кэли полугруппы 3 относительно множества образующих её элементов X называют помеченный ориентированный мультиграф Сау(Б,X), состоящий из множества вершин 3 и множества помеченных дуг - всевозможных троек (а, х, Ь), где а, Ь є £ , х є X и ах = Ь .

Упомянутое определение задает ориентированный мультиграф с помеченными ребрами. Основой помеченного ориентированного мультиграфа мы называем обыкновенный граф, полученный из данного графа удалением меток, петель и заменой всех дуг, соединяющих вершины и и V, одним ребром {и, V}. Таким образом, говорим, что полугруппа допускает обобщенный внешнепланарный граф Кэли, если относительно некоторого множества образующих основа её графа Кэли является обобщенным внешнепланарным графом.

Общеупотребительные понятия теории графов приводить не будем; их определения можно найти в [2]. Напомним лишь, что обобщенный внешнепланарный граф - это планарный граф, который можно уложить на плоскости таким образом, что каждое ребро обладает хотя бы одной концевой вершиной на границе одной и той же грани [3]. Максимальным же обобщенным внешнепланарным графом называется обобщенный внешнепланарный граф, перестающий быть таковым при добавлении нового ребра. Обобщенные внешнепланарные графы ввел в рассмотрение Иржи Седлачек, это понятие сыграло важную роль при изучении локальных свойств графов [4]. Кроме того, Седлачек нашел характеризацию обобщенных внешнепланарных графов в терминах запрещенных подграфов, а именно: граф является обобщенным внешнепланарным тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, гомеоморфных одному из графов, изображенных на рис. 1. Позднее стал известен линейный алгоритм распознавания максимальных обобщенных внешнепланарный графов [5], что проложило дорогу дальнейшим исследованиям.

Полугруппа, заданная конечным множеством X образующих и соотношениями вида хг+т = хг, ху = ух для любых элементов х, у из X и любых натуральных чисел г и т, называется конечной свободной коммутативной полугруппой.

Ниже опишем конечные свободные коммутативные полугруппы, графы Кэли которых являются обобщенно внешнепланарными. Первым результатом статьи является следующая теорема.

Теорема 1. Граф Кэли конечной свободной коммутативной полугруппы Б относительно множества свободных образующих обобщенно

© П. О. Мартынов, Д.В. Соломатин, 2014

внешнепланарен тогда и только тогда, когда S задана копредставлением одного из следующих видов:

1) S = (а | аГ+т = аГ^ , где г и m - любые натуральные числа;

2) S = {а, Ь\аЬ = Ьа, аГ+т = аг, ЬН+‘ = ЬН), где

для натуральных г , т, Н, £ выполняется хотя бы одно из следующих условии:

а) Н = 1 , £ = 1, т < 2 ; или г = 1 , т = 1 , £ < 2;

б) ((Н < 2 , £ = 2 ) или (Н < 3 , £ = 1)) при г + т = 3 ; или

(( г < 2 , т = 2) или ( г < 3 , т = 1)) при Н + £ = 3 ;

3) S = (а, Ь, с | аЬ = Ьа, ас = са, Ьс = сЬ, а2 = а, Ь2 = Ь, с2 = с) .

Доказательство. Известно [6], что граф Кэли конечной свободной коммута.тивн.ой полугруппы S относительно множества свободных образующих планарен тогда и только тогда., когда S задана копредстав-лением одного из следующих видов:

1) S = (а | аГ+т = аГ^ , где г и т - любые натуральные числа;

2) S = {а, Ь | аЬ = Ьа, аГ+т = аГ, ЬН+‘ = ЬН), где

для натуральных г, т, Н, £ выполняется одно из следующих условий:

а) т < 2 , £ < 2 ;

б) г = 1 , Н = 1 , £ = 2 или г = 1 , Н = 2 , £ = 1;

в) г = 1 , Н = 1 , т = 2 или г = 2 , Н = 1 , т = 1;

г) г = 1 , т = 1 или Н = 1 , £ = 1;

3) S = (а, Ь, с | аЬ = Ьа, ас = са, Ьс = сЬ, а2 = а,

Ь2 = Ь, ск+1 = ск), где к и I - натуральные

числа, причем I < 2 .

Из имеющегося списка выберем полугруппы, графы Кэли которых являются обобщенными внешнепланарными, проанализировав каждую серию ограничений:

Рис. 1. Запрещенные подграфы Седлачека

1. При Б = (а

внешнеплоская укладка соответствующего графа Кэли очевидна. Граф содержит (г + т -1) вершин, по количеству элементов полугруппы, расположив которые по прямой линии в порядке порождения и соединив

дугой вершины аг

и аг, получим искомую

укладку графа, приведенную на рис. 2.

а а2 а-

Рис. 2. Общий вид графа Кэли полугруппы S = (а | аГ+т = аГ)

В связи с отсутствием ограничений на г и т получили, что все свободные полугруппы с одним порождающим элементом имеют обобщенный внешнепланарный граф Кэли. Случай с двумя порождающими элементами менее тривиален.

2. Докажем, что граф Кэли полугруппы

S = (а, Ь | аЬ = Ьа, аГ+т = аГ, Ьк++ = ЬН ^ обобщенно

внешнепланарен тогда и только тогда, когда:

а) Н = 1 , £ = 1, т < 2 ; или г = 1, т = 1 , £ < 2;

б) ((Н < 2 , £ = 2 ) или (Н < 3 , £ = 1)) при

г + т = 3 ; или (( г < 2 , т = 2) или ( г < 3 , т = 1)) при Н + £ = 3 .

Достаточность указанных ограничений на г, Н, т и t для обобщенной внешнепла-нарности доказывается приведением такой плоской укладки графа Кэли, чтобы хотя бы одна из вершин каждого его ребра принадлежала внешней грани. Полугруппа 8 содержит ((г + т )(Н + £) -1) элементов, следовательно, в каждом из указанных случаев граф имеет ((г + т)(Н + £) -1) вершин. Расположим горизонтально элементы полугруппы, полученные при умножении на образующий элемент а, вертикально - на Ь.

а+т-1)

аГ+іт-2)

дГ+1

аг-1)

|-«і 1 11 аг+і^Ь > М; ( і аг+іт-2)Ь > 1-е- 1 ►"* 1 агЬ 1 г а^Ь « ►«« 1 а2Ь \ аЬ Ь

V у агЬ2 - а.г-цЬ2 , а2Ь2 аЬ2 Ь2

, , аг+(т-1)Ь2 \ ^ аТ+.т-2)Ь2 , г аг+1Ь2

* У

агЧт-ЩМ) &+(т-2)Ь(М) аТ+1Ь(м') аТЬ^

-----------

агЧт-щь

дТ+(т-1)ЬЬ+1 ,, дг+(т-2)Ь

&+-т1Ь

&Чт2)ЬЬ

7+1

+12)

. ^д+т-1)Ь+(и)

д<т2)Ь1

У

Г

д+1Ь7

+(і-2)

&+т2)Ьі\$-Ц

аг+1Ь7+

7

1-2)

агЬ7+(і

дг+^ь+^О

д(г-1)Ь(7-1) ■*■-----------------

д(г-1)Ь7

а(г-1)Ь7+

аЩ7-1) и аЬі7-1)

7

а2Ь7

1-2)

а2Ь71+1

7

аЬ7+1

А_

аЬт:

аЬ7

+у-к

Рис. 3. Общий вид графа Кэли полугруппы £ = (а, Ь | аЬ = Ьа, аг+т = аг, Ьк+‘ = Ьк^

Ым)

Ь7

Ь7+1

Ь^+(і-2)

Ьнм)

Как видно из рис. 3, ребра графа, соответствующие умножению на а и на Ь элементов полугруппы с не превышающими г + (т -1) и к + (/ -1) степенями, не пересекаются. Более того, при выполнении перечисленных выше ограничений на показатели степеней образующих элементов ребра графа Кэли, соединяющие элементы, содержащие множитель аг+(т_1) с элементами, содержащими множитель аг и ЬМ(-1) с Ьк, являются петлями или соединяют близлежащие вершины дугой либо имеют иную возможность укладки на плоскости без пересечения с другими ребрами так, чтобы хотя бы один из концов каждого ребра принадлежал ровно одной грани. Таким образом, получили искомую укладку графа Кэли.

В остальных случаях эти требования не выполняются, а основа графа содержит подграф, гомеоморфный графу О11, что видно из рис. 3, и доказательства аналогичной теоремы о внешнепланарности.

3. Для доказательства не обобщенной внешнепланарности графа Кэли полугруппы

£ = (а, Ь, с| аЬ = Ьа, ас = са, Ьс = сЬ, а2 = а, Ь2 = Ь,

к +1 к\

с = с ) приведем его плоскую укладку при

I = 2 на рис. 4, выделив обнаруживаемый при I > 1 или к > 1 подграф, гомеоморфный (ль В противном случае при I = к = 1 граф Кэли этой полугруппы является обобщенно внешнепланарным.

Доказательство завершено.

Для полноты изложения отметим, что условие доказанной выше теоремы содержит все конечные свободные коммутативные полугруппы, допускающие внешнепланарные графы Кэли, согласно теореме 2.1 из [7]. Более того, свободными коммутативными полугруппами, допускающими обобщенно внешнепланарные графы Кэли, но не допускающими внешнепланарные графы Кэ-ли, являются полугруппы, имеющие ко-представления

2

а

а

£ = (а, Ь\аЬ = Ьа, аг+т = аг, ЬИ+‘ = Ь*) , где

((И = 2 , / = 2) или (И = 3 , / = 1)) при г + т = 3 ; либо ((г = 2 , т = 2) или (г = 3 , т = 1)) при И + / = 3 ; или £ = (а, Ь, с| аЬ = Ьа,

ас = са, Ьс = сЬ, а2 = а,Ь2 = Ь, с2 = с), и только они.

Рис. 4. Планарный граф Кэли, содержащий подграф, гомеоморфный Си, полугруппы

£ = (а, Ь, с| аЬ = Ьа, ас = са, Ьс = сЬ, а2 = а, Ь2 = Ь,

к+1 к\

с = с )

Далее, под циклической полугруппой с нулём понимается любой гомоморфный образ свободной однопорожденной полугруппы с нулём. Очевидно, что любая циклическая полугруппа с нулём либо изоморфна циклической нильполугруппе, либо получена из циклической полугруппы внешним присоединением нуля. Конечная полугруппа с нулём называется свободной коммутативной, если она является коммутативно-свободным произведением циклических полугрупп с нулём.

Легко понять, что конечная свободная коммутативная полугруппа с нулём имеет в классе коммутативных полугрупп с нулём

копредставление вида £ = {а1, а2,..., аи| а] = 0,

а? +т‘ = а?, I е I, ] е ^ , где I и J = 1, п ,

I п J = 0 , J Ф0. Заметим, что соотношение вида а] = 0 эквивалентно соотношениям вида аГ] +1 = аГ], а,аГ] = аГ] для любого к е 1, п . ] ] ' к ] ]

Граф Кэли будем рассматривать относительно множества образующих, указанных в копредставлении; понятно, что это множество является множеством свободных образующих полугруппы £ .

Опишем конечные свободные коммутативные полугруппы с нулём, графы Кэли которых являются обобщенно внешнепланарными.

Теорема 2. Граф Кэли конечной свободной коммутативной полугруппы £ с нулём относительно множества свободных образующих обобщенно внешнепланарен тогда и только тогда, когда £ задана копредстав-лением одного из следующих видов:

1) £ = (а | аг = 0^, где г - любое натуральное число;

2) £ = (а, Ь | аЬ = Ьа, аг = 0, ЬИ = 0^ , где г, И

- натуральные числа, причем г = 1 или И = 1 или г + И < 5 ;

3) £ = (а, Ь | аЬ = Ьа, аг+т = аг, ЬИ = 0^ , где

для натуральных г, т, И выполняется хотя бы одно из следующих условий:

а) при т = 1 имеем И = 1 ; или г = 1 ; или г + И < 5 ;

б) при т = 2 имеем И = 1; или г + И < 4 ;

в) при т = 3 имеем И = 1 ;

г) при т > 4 имеем г = 1 и И = 1;

4) £ = (а, Ь, с | аЬ = Ьа, ас = са, Ьс = сЬ, а2 = а,

Ь2 = Ь, с = 0) .

Доказательство. Проанализируем каждую серию ограничений:

1. При £ = (а | аг = 0^, где г - любое

натуральное число, обобщенная внешнеплоская укладка соответствующего графа Кэли очевидна. Граф содержит г вершин, по количеству элементов полугруппы, расположив которые по прямой линии в порядке порождения и соединив дугой вершины аг-1 и 0, получим искомую укладку графа.

2. Для полугрупп £ = (а, Ь\аЬ = Ьа,аг = 0,

ЬИ = 0^, где г, И - натуральные числа, причем г = 1 или И = 1 или г + И < 5 , обобщенная внешнеплоская укладка может быть получена из приведенной на рис. 3 укладки графа Кэли. В этом случае укладка будет содержать подграф графа, изображенного на рис. 3, с вершинами, соответствующими элементам а и Ь в степенях, не превышающих (г -1) и (И -1). Кроме того, добавится вершина 0, соединенная ребрами со всеми элементами вида аг-1Ь' и а^И-1, где / < И и ] < г . При невыполнении указанных ограничений, а именно: при (г > 2 и И > 4 ) или ( г > 4 и И > 2 ), в основе графа Кэли соответствующей полугруппы обнаруживается подграф, гомеоморфный графу Ои , а при г > 3 и И > 3 - графу 010, последнее означает, согласно теореме Седлачека, что граф не является обобщенным внешнепланарным.

3. В случае £ = (а, Ь\аЬ = Ьа,аг+т = аг,

ЬИ = 0^, где для натуральных г, т, И выполняется хотя бы одно из следующих условий:

а) при т = 1 , если И = 1 или г = 1 , или г + И < 5 , то граф Кэли имеет обобщенную внешнепланарную укладку, получаемую из представленного на рис. 5 путём удаления лишних вершин. Если же (г > 2 и И > 4) или (г > 3 и И > 3) или (г > 4 и И > 2), то в основе

графа обнаруживается подграф, гомео-морфный графу Оп ;

б) при т = 2 , если к = 1 или г + к < 4 , то граф Кэли имеет обобщенную внешнепланарную укладку, получаемую из представленного на рис. 5 путём удаления лишних вершин. Если же (г > 2 и к > 3) или (г > 3 и к > 2), то в основе графа обнаруживается подграф, гомеоморфный графу Оп , как и в предыдущем пункте;

в) при т = 3 , если к = 1 , то граф Кэли имеет обобщенную внешнепланарную укладку, получаемую из представленного на рис. 5 путём удаления лишних вершин. Если же к > 2 , то в основе графа обнаруживается подграф, гомеоморфный графу Оп , как и в предыдущих двух пунктах;

г) при т > 4 , если г = 1 и к = 1 , то граф Кэли имеет обобщенную внешнепланарную укладку, получаемую из представленного на рис. 5 путём удаления лишних вершин. Если же г > 1 и к > 2 , то в основе графа обнаруживается подграф, гомеоморфный графу Оп , как и в предыдущих трех пунктах, а если г > 2 и к > 1 , то в основе графа обнаруживается подграф, гомеоморфный графу

а,.

b2

bh-1

Таким образом, при невыполнении условий (3) теоремы 2 основа графа Кэли

полугруппы S = (a, b | ab = ba, ar+m = ar, bh = 0j

не является обобщенным внешнепланарным графом по теореме Седлачека.

4. И наконец, полугруппа S = (a, b, с|

ab = ba, ac = ca, bc = cb, a2 = a, b2 = b, ck = 0j допускает обобщенно внешнепланарный граф Кэли лишь при k = 1, в противном случае основа графа Кэли обнаруживает подграф, гомеоморфный графу G10 с рис. 1, т. е.

не является обобщенно внешнепланарным графом по теореме Седлачека. Для завершения доказательства теоремы 2 достаточно отметить, что конечная свободная коммутативная полугруппа с нулём и минимальным числом образующих более трёх не допускает планарного графа Кэли, так как его основа будет содержать подграф, гомео-морфный графу К5, что означает непланар-ность по теореме Понтрягина - Куратовс-кого [2]. Доказательство завершено.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Zelinka B. Graphs of Semigroups // Casopis. Pest. Mat. 1981. Vol. 106. P. 407-408.

[2] Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973. 300 с.

[3] Sedlacek J. On a generalization of outerplanar graphs (in Czech) // Casopis Pest. Mat. 1988. Vol. 113. № 2. P. 213-218.

[4] Sedlacek J. On local properties of graphs again // Casopis Pest. Mat. 1989. Vol. 114. № 4. P. 381390.

[5] Caceres J., Marquez A. A linear algorithm to recognize maximal generalized outerplanar graphs // Mathematica Bohemica. 1997. Vol. 122. № 3. P. 225-230.

[6] Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы с планарными графами Кэли // Математика и информатика: наука и образование : межвуз. сб. науч. тр. Омск : Изд-во ОмГПУ. 2003. Вып. 3. С. 32-38.

[7] Соломатин Д. В. Строение полугрупп, допускающих внешнепланарные графы Кэли // Сибирские электронные математические известия. 2011. Т.8. С. 191-212.

S = (a, b

ab = ba, ar+m = ar, b

= G)