CC BY
168
УДК 517.987
КОНЕЧНЫЕ КЛАСТЕРЫ НА ПЛОСКИХ МОЗАИКАХ Часть I. Операции склеивания и разрезания графов
Е.С. Антонова, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: antonova_e_s@mail.ru
Аннотация. Комбинаторными методами даётся доказательство теоремы Г.Кестена о том, что внешняя граница конечного кластера, расположенного в бесконечном плоском графе типа мозаики, является простым циклом на сопряжённом к ней графе. При доказательстве не используется теорема К.Жордана о непрерывной простой замкнутой плоской кривой.
Ключевые слова: плоский граф, мозаика, кластер, внешняя граница, цикл.
1. Введение. Имеющиеся в настоящее время достижения в дискретной теории пер-коляции в направлении получения количественных математических результатов (в противоположность компьютерным экспериментам) связаны, главным образом, с кластерным разложением вероятности перколяции [1], [2], [3] и априорными оценками остатков этого разложения. Получение таких оценок основано на понятии внешней границы кластера, так как вклад каждого слагаемого в кластерном разложении допускает простую и эффективную верхнюю оценку в терминах числа вершин в этой границе. На этом пути возникает комбинаторная задача оценки числа и(в) всех возможных для данного периодического графа О кластеров Ш(х), содержащих фиксированную вершину х, которые обладают наперёд заданной мерой в внешней границы. Имеющаяся в настоящее время методика допускает решение этой задачи для плоских периодических графов. Это существенным образом связано с тем, что топологическая структура внешней границы конечного кластера на графе указанного типа (более общо, на графе типа мозаики [1]) допускает простое описание. Она представляет собой простой (т.е. несамо-пересекающийся) цикл на так называемом сопряжённом к О периодическом графе [1]. Поэтому оценивание числа и(в) сводится к получению оценки числа циклов с заданной длиной в на сопряжённом графе, окружающих вершину х. К сожалению, не просматривается прямого обобщения такого метода оценивания величины и(в) на периодические графы более общего типа и, самое главное, - непосредственного перенесения этой техники оценивания на физически интересный трёхмерный случай. Не в последнюю очередь такое положение связано с тем, что техника, на основе которой устанавливается структура внешней границы плоского периодического графа существенно основана на топологических свойствах плоскости погружения плоского периодического графа и, в частности, она использует при доказательстве соответствующей теоремы известную теорему К.Жордана (см., например, [4]) о простых непрерывных замкнутых кривых на плоскости. Между тем, уже при описании структуры внешней границы двумерного, но не плоского периодического графа, по-видимому, невозможно установление связи
свойств этой границы с топологическими свойствами непрерывных кривых на плоскости. Кажущимся выходом из создавшегося положения является использование прямых комбинаторных методов исследования, так как, в конце концов, граф, по своей математической природе, является алгебраической структурой. В связи с этим, становится актуальным построение доказательства теоремы Г.Кестена для плоских графов на основе комбинаторных методов. Именно эта задача решается в настоящей публикации. Центральным при этом является комбинаторное определение понятия грани плоского графа. В обычном подходе это понятие возникает при погружении графа в плоскость и, тем самым, связывает его с топологией плоскости. По техническим причинам статья разделена на две части. В первой части даётся введение в решаемую проблему, вводятся важные операции разрезания и склеивания графов и устанавливаются важные свойства графов, связанные с этими операциями.
2. Общие понятия теории графов. Объектом нашего изучения являются графы, множество вершин которых не более чем счётно. В связи с этим мы напомним базовые понятия теории графов.
Оперируя со множествами вершин и рёбер графов конечными или бесконечными, мы будем обозначать их большими буквами латинского и греческого алфавитов. Кардинальное число элементов каждого множества A будем обозначать посредством |A|. Для каждого множества B, множество всевозможных пар {x,y} его элементов x £ B и y £ B мы обозначаем посредством B(2). Дадим теперь следующее алгебраическое определение простого, то есть неориентированного и не содержащего петель и кратных рёбер, графа.
Определение 1. Пусть V - произвольное множество (| V| ^ Но). Графом G над V называется пара (V, Ф), где Ф С V(2).
Элементы из V называются вершинами (узлами) графа G, а пары {x, у} £ Ф с x £ V, у £ V называются его рёбрами (связями). Множество Ф рёбер называется множеством смежности графа G.
Граф G состоит из изолированных вершин, если Ф = 0 и V = 0. Если при этом
V = 0, то граф называется пустым. Граф называется полным, если Ф = V(2) и V = 0.
Если пара {x,y} является ребром графа G, то мы будем также говорить, что вершины x и у из V являются смежными на графе G или находятся в отношении смежности этого графа. Бинарное симметричное отношение смежности, определяемое множеством Ф пар смежных вершин, мы будем обозначать посредством <^. Таким образом, если {x,y} £ Ф, то, эквивалентным образом, этот факт мы будем записывать как x^y = y^x.
Ребро {x,y} £ Ф называется инцидентным вершине x, равно, как и вершине y. Множество рёбер, инцидентных фиксированной вершине x £ V будем обозначать посредством Ф^) = {{x,y} £ Ф : y £ V}. Кардинальное число элементов множества Ф^) называется индексом вершины x и будет обозначаться посредством ind(x).
Каждому графу G можно сопоставить его вполне конкретную алгебраическую реализацию. Это позволяет сделать рассуждения с графами произвольного вида менее абстрактными. Рассмотрим в пространстве R|V 1 базисные векторы £ R|V 1 с компонен-
тами (ek)i = Ski, k, l = 1 ^ | V|. Перенумеровав вершины графа каким-то произвольным
образом V = {х^х2, ...,Я|у|}, сопоставим каждой вершине хк вектор ек, к =1 ^ | V|, а каждому ребру {хк, хг} € Ф - отрезок 7ы = {а кек + агег : 0 ^ ак, а ^ 1, а + а = 1}. В этом случае множество вершин V можно отождествить с множеством {е^; 3 = 1 ^ IV|}, а множество рёбер - с множеством {{хк, хг} € Ф; к, / =1 ^ | V|}. Тогда граф С представляется в виде комплекса [5]
С(С) = <{е,-; 3 = 1 ^ IV |}, {7ы : {хк,хг}€ Ф; к,/ =1 -| VI}) в Е|у| .
Так как векторы {ек; к = 1 ^ | V|} линейно независимы, то каждая пара отрезков 7кг может иметь не более одной общей точки. Эта общая точка может быть только одной из концевых точек этих отрезков и только в том случае, когда соответствующие им рёбра инцидентны одной и той же вершине графа, отображаемой в эту точку. Следовательно, на основе комплекса С (С) можно построить непрерывное одномерное многообразие
К(С) = и ™.
[к,г}:[хк ,хг}€ Ф
Тогда граф С можно рассматривать как пару <^ К(С)), состоящую из многообразия К(С) и множества отмеченных на ней точек V, определяемых векторами {ек; к =1 ^
IV |}.
Каждый граф С' = ^', Ф') такой, что V' С V и
ф/ = ф \ и Ф(г) (1)
геУ \У'
называется подграфом графа С, порождаемым подмножеством вершин V'. В этом случае мы будем писать С' С С.
Конструкции теории графов, имеющие общий характер, условно, можно подразделить на два класса. В одном из них первичным является понятие вершины, в другом -понятие ребра. Легко видеть, что в определении понятия подграфа (см. формулу (1)) первичным является понятие вершины исходного графа С. Мы вводим аналогичное понятие, в определении которого первичными являются рёбра.
Пусть Ф'' С Ф. Определим множество {г : Ф(г) П Ф'' = 0}, которое обозначим посредством {Ф''}. Любое подмножество Ф'' С Ф определяет субграф С'' = ^', Ф''), у которого V' = {Ф''}.
Лемма 1. При фиксированном множестве вершин V' С V, для любого множества рёбер Ф'' субграфа С'' = ^', Ф'') и множестве рёбер подграфа С' = ^', Ф') имеет место включение Ф'' С Ф'.
□ Пусть {х,у} € Ф''. Тогда х € V' и у € V'. Допустим, что
{х,у}€ У Ф(г).
геУ\У'
Тогда существует вершина г' € V\ V' такая, что {х, у} € Ф(г'), и поэтому для неё имеет место Ф(г') П Ф' = 0. Следовательно г' € V'. Полученное противоречие доказывает
Очевидно, что при фиксированном множестве V' каждый субграф G" получается из подграфа G' = (V;, Ф;) с тем же множеством вершин V; посредством удаления некоторого подмножества рёбер из множества Ф;, но таким образом, чтобы при этом не появилось новых изолированных вершин.
Последовательность 7 = (x = x0,xi, ...,xn_i,xn = y); xj, j = 0 ^ n (либо формально n = то, если последовательность бесконечна и в этом случае j £ N+) такая, что xk<^xk+i, k = 0 ^ (n — 1) (в бесконечном случае k £ N+) называется путём, точнее, путём длины n (бесконечным путём) на графе G = (V, Ф). При этом x является начальной вершиной пути 7, а y - его конечной вершиной. В этом случае мы будем также говорить, что путь
Y связывает вершины x и y на графе G. Длину пути 7 будем обозначать посредством |y| (для бесконечного пути она формально полагается равной то). Если необходимо подчеркнуть тот факт, что путь 7 является связывающим для пары вершин x и y, то мы будем в этом случае записывать его в виде 7(x, y). Если же необходимо подчеркнуть, что бесконечный путь начинается в вершине x, то мы будем его записывать в виде 7(x). Для любого пути 7 множество вершин, входящих в его состав, мы будем обозначать посредством {7}.
Если все вершины пути 7 различны, а именно xj = xk при j = k, j,k = 0 ^ n (или j, k £ N+, если путь бесконечный), то мы будем говорить, что путь 7 является несамопересекающимся. Если же совпадение имеется только для начальной вершины пути с конечной, то такой путь мы будем называть циклом длины n.
В том случае, когда в рассуждениях используется понятие пути 7 не имеет значения его направление, то удобно рассматривать его как субграф 7 с множеством вершин {7} и с множеством связей {{xj,xj-1}; j =1 ^ n} = Ф7. В частности, любой цикл на графе можно рассматривать как связный субграф с множеством вершин {7}.
Несамопересекающийся путь 7 = (x0,..., xn) (либо 7 = (xk; k £ N+) для бесконечного пути) будем называть спрямляемым, если для какого-то k = 0 ^ (n — 2) (либо k £ N+) найдётся номер l ^ k + 2 такой, что xk<^xi. В противном случае, если указанная ситуация не реализуется, то путь называется неспрямляемым.
Аналогично, цикл (x0, x1,..., xn) длины n назовём спрямляемым, если существует пара различных номеров j, k £ {0,1,...,n} такая, что |j — k| mod n = 1, и для неё выполняется xj^xk. В противном случае, цикл называется неспрямляемым.
Лемма 2. Если несамопересекающийся путь (или цикл) 7 неспрямляем, то он является подграфом с множеством вершин {7}.
□ В обозначениях леммы 1 достаточно доказать, что Ф7 = Ф/; = Ф; при V' = {7}.
Пусть {x,y} £ Ф;, где x £ {7}, y £ {7}. Если {x,y} £ Ф/; и неспрямляемый путь 7 имеет вид
включение
{x, y} £ Ф \ = Ф'. ■
7 (x xi, ..., xm y xm+2, •••, xn-1, xn) ,
где т = 0 и т +1 = и, то наличие ребра {ж, у} указывает на спрямляемость этого пути вопреки предположению. I
Определение 2. Если для двух вершин ж и у из V существует путь на графе О, то мы будем говорить, что они являются связанными на О или, что они находятся в отношении связанности.
Отношение связанности, соответствующее графу О, мы будем обозначать посредством g, то есть факт связанности вершин ж и у на О будем записывать в виде жgy. Очевидно, что жgy = ygж и из соотношений жgz, 2^у следует жgy. Положив формально жgж для любого ж Є V, получим, что отношение g связанности является отношением эквивалентности (см., например, [5]), и поэтому оно разбивает всё множество V на непересекающиеся множества VI,..., ^ эквивалентных (связанных между собой) вер-
т
шин, где V = ^) V с П Vk = 0 при і = к. Они, в свою очередь, порождают связанные
і= 1
подграфы О^ = (V, Ф.,-), где Ф^ = Ф П У^, і = 1 ^ т.
Граф О, который состоит только из одного множества эквивалентных между собой вершин, совпадающего с V, называется связным.
Лемма 3. Связный граф О с | V| ^ 1, у которого каждая вершина имеет индекс 2, является неспрямляемым циклом.
□ Возьмём произвольную вершину ж Є V. Так как имеется, по крайней мере, ещё одна вершина во множестве V и граф О связный, то найдётся вершина ж1 Є V такая, что ж^ж1. Так как тё(ж^ = 2, то существует вершина ж2 Є V, ж1^ж2. Если ж^ж2, то мы имеем три вершины, у которых индексы равны 2 и которые составляют неспрямляемый цикл. Других вершин граф не имеет, так как он должен быть связным, а всякая другая вершина уже не может быть смежной ни с одной из вершин ж, ж1, ж2. Если же отношение ж^ж2 не имеет места, то процесс построения продолжается далее по индукции. Результатом построения на и-м шаге является последовательность 7„ = (ж,ж1,ж2, ...,жп), для которой либо её построение на этом шаге заканчивается, если ж^жга, так как она превратилась (вместе с начальной вершиной ж) в неспрямляемый цикл, либо она является неспрямляемым путём длины и, у которого отношение ж^жга не имеет места. При этом в первом случае построение графа О прекращается, так как нет других вершин, ввиду связности графа и равенства тё(жг) = 2, I = 0,1, ...,и. Во втором случае | V| > и + 1 и существует вершина жга+1, для которой жга+1 = ж1,...,жп, так как индексы ж1,...,жп равны 2. Кроме того, ни одно из отношений жга+1^ж1, ..., жга+1^жга не имеет места, так как путь неспрямляемый. Тогда путь 7га+1 = (ж, ж1, ж2,..., жп, жга+1) неспрямляемый, и он либо может быть продолжен далее переходом к следующему шагу построения (если отношение жга+1^ж не имеет места), либо его построение заканчивается (если жга+1^ж) и он, вместе с ж представляет собой неспрямляемый цикл длины (и+1). В этом последнем случае, построение графа О заканчивается, так как любая другая вершина не может быть смежной ни с одной из уже выбранных вершин и граф должен быть связным. Так как граф О конечный, то процесс построения последовательности (ж,ж1,ж2,...) должен оборваться на какой-то вершине жк. Это возможно только в том случае, когда ж к <^ж. I
3. Операции склеивания и разрезания. Введём вспомогательные операции скле-
ивания и разрезания, на которых основаны наши дальнейшие комбинаторные построения.
Пусть С - связный граф. Вершина г € V называется вершиной сочленения графа С, если подграф С’ = (V \ {г}; Ф \ Ф(г)) является несвязным. В противном случае, г не является вершиной сочленения графа С.
Пусть г - вершина сочленения графа С. Число связных компонент, на которые распадается граф С при удалении из него вершины г вместе со всеми инцидентными ей рёбрами назовём индексом сочленения вершины г, который мы будем обозначать посредством 1пё(г).
Лемма 4. Если г - вершина сочленения графа С с 1п1(г) = п, то этому графу однозначным образом сопоставляется п подграфов С- = (V-, Ф-), 3 = 1 ^ п таких, что V, П V = {г}, Ф; П Фгпе0 при к = I, к, I = 1 ^ п, и у каждого из них вершина г не является вершиной сочленения.
□ Пусть г - вершина сочленения графа С и С- = (— Ф-), Ф- С , 3 = 1,..., 1пё(г) =
п - связные компоненты графа С’, сопоставляемого графу С согласно данному выше определению вершины сочленения. При этом V, П V/ = 0, Ф, П Ф{ = 0 при к = I и
V = {г} и Щ , Ф = Ф(г) и — Ф' ) . (2)
Справедливо дизъюнктивное разложение множества рёбер
П
Ф(г) = У ^^ П Ег = 0 , к = I,
7 = 1
где Е- = {{у, г} € Ф : у € V}. Вводя множества вершин V = V’ и {г} и рёбер Ф- =
( 2)
Ф- и Е- С V , получим утверждение леммы. В
Определение 3. Операция склеивания т различных графов С- = (V-, Ф-), 3 = 1 ^ т, V; П VI = 0, Ф; П Фг = 0 при к = I, где к, I = 1 ^ т, каждый из которых имеет одну отмеченную вершину х- € V', 3 = 1 ^ т, сопоставляет этому набору графов пару, состоящую из графа
С = (^1)*!:=* и ... и (Кт)*^*, (Ф^*^* и ... и (Фт)*т:=*)
и отмеченной на нём вершины г (здесь : = - оператор присвоения).
Из этого определения видно, что порядок следования графов С1,..., Ст при применении операции склеивания несуществен. Операцию склеивания мы будем далее обозначать следующим образом
ёК^ъ Х1;...; Ст,жт) = (С, г). (3)
Лемма 5. Если вершины х-, по которым производится операция склеивания т связных графов С-, являются их вершинами сочленения с индексами 1п1(х-) = п- ^ 1, 3 = 1 ^ т, то отмеченная вершина г в результирующем графе С (см. (3)) является вершиной сочленения с индексом сочленения, равном 1п1(г) = п1 + ... + пт.
□ Докажем утверждение леммы при т = 2. Пусть в связных графах С1 = (V., Ф1) и С2 = (^, Ф2) отмечены вершины х1 и х2 соответственно, имеющие индексы сочленения
п1 =Iпd(x1) и п2 =Iпd(x2). Обозначим С-1) = (V!-, Ф.-), 3 = 1 ^ п1 связные компоненты
(2)
графа (V. \ {х1}, Ф1 \ Ф1(х1)) и посредством Су = (>2,-, Ф2,-), 3 = 1 ^ п2 - связные компоненты графа ("^ \ {х2}, Ф2 \ Ф2(х2)).
Рассмотрим граф, который получается из графа
((^^)ж!: =* и , (Ф1)ж!:=* и (Ф2)*2:=*)
удалением из него вершины г вместе со всеми рёбрами Ф(г). Так как ^1)*!:=* и ^к:^ \{г} =(Уl \{х1}) и (V2 \{х2}) ,
((Ф.)*1:=* и (Ф2)*2:=*) \ Ф(г) = (Ф1 \ Ф1(х1)) и (Ф2 \ Ф2(х2)) ,
то отсюда следует, что этот граф распадается на (п1 + п2) несвязанных графов С^, к =1 ^ п1 и С(2), I = 1 ^ п2, то есть вершина г является его вершиной сочленения с индексом сочленения (п1 + п2). При этом, если в этих рассуждениях п1 = 1 или п2 = 1, то это означает, что соответствующая вершина не является вершиной сочленения в своём графе.
Общий случай утверждения леммы доказывается индукцией по т. При этом индукционный шаг от значения т к значению (т +1) строится на основе доказанного утверждения при т = 2, положив
((V.)*!: =у и ... и (Кт)*^, (Ф.)*1:=у и ... и (Фт)*т:=у) = С(1) ,
Ст+1 = (Уm+1, Фт+1) = С(2)
и представив
(С, г) = ё1(С1 , х1; ...; Ст+1, хт+1) = ё1(С(1),у; С(2),хт+.). В
Следствие. Если во всех графах С^, 3 = 1 ^ т в формулировке леммы 5 отмеченные вершины не являются вершинами сочленения, то индекс сочленения отмеченной вершины г в результирующем графе С равен т.
Определение 4. Пусть вершина г является вершиной сочленения с индексом 1ий(г) = п в графе С = (V, Ф), и при этом графы С; = (V; Ф;), к =1 ^ п являются связанными компонентами графа (V\ {г}, Ф \ Ф(г)), Ф(г) = {{г, }; к = 1 ^ п}. Для фиксированных непустых множеств Еі, ..., Ет рёбер таких, что Е^- С Ф(г), |Е^-1 = п, где пі,..., пт - натуральные числа, для которых имеет место п1 + ... + пт = п, т Є N \ {1} и Е; П Ег = 0
при к = 1, Е- = Ф(г), операция разрезания графа С по вершине г на т частей
-=1
сопоставляет ему совокупность т субграфов
и {х- }
и Е,-
С-
с соответствующими им отмеченными вершинами х- ,3 = 1 ^ т
Заметим, что, согласно данному определению, вершины х- в графах, полученных в результате применения операции разрезания, являются их вершинами сочленения с индексами сочленения, равными п-,3 = 1 ^ т, соответственно.
Очевидным образом, граф С с отмеченной вершиной г получается из графов С-посредством операции склеивания по отмеченным вершинам х-, 3 = 1^,
(С,г) §КС1,х1; ...; Сто хт) .
Из приведенного определения видно, что операция разрезания по вершине сочленения однозначно определена при Ind(z) = 2 (результат её применения не зависит дополнительно от каких-либо множеств Е-, 3 = 1, 2).
Введём теперь ещё одну операцию склеивания и соответствующую ей операцию разрезания, которые в дальнейшем (при доказательстве основной теоремы во второй части работы) будут играть центральную роль.
Определение 5. Пусть С. = (V., Ф.) и С2 = С^, Ф2) - два несвязанных графа так, что V. П V = 0 и Ф. П Ф2 = 0. Зафиксируем на них несамопересекающиеся пути 7. и 72 с фиксированными направлениями, {7.} С V., {72} С V2 одинаковой длины Ы! = |Т2| = п. Пусть 7 = (х.,..., хп) - последовательность, состоящая из попарно несовпадающих вершин, которые не содержатся ни в V., ни в V2. Операция склеивания графов С. и С2 по путям 7. и 72 сопоставляет им граф
С и (V2)72:=7, (Ф.)71:=7 и (Ф2)72:=7)
с отмеченным на нём несамопересекащимся путём 7.
Заметим, что в данном определении операция присвоения подразумевает, что вершины одного пути сопоставляются вершинам другого пути в порядке их следования в зафиксированных на них направлениях.
Определение 6. Пусть множество связности Ф графа С = (V, Ф) представимо в виде Ф. и Ф2 = Ф, Ф. П Ф2 = Ф7, где 7 - несамопересекающийся путь на С - субграф с множеством связности Ф7. Определим множества V. = {Ф.}, V) = {Ф2} так, что
V = V. и V2 и V. П V2 = {7}.
Пусть далее а. и а2 - два различных несамопересекающихся пути одинаковой длины, которая совпадает с длиной пути 7, |а.| = |а2| = |71, множества вершин которых не пересекаются {а.} П {а2} = 0 и {а*} П V = 0, г = 1, 2. Операция разрезания графа С,
*: =*
*: =*
сопоставляет ему пару графов С = ((У1)7:=СТ1, (Ф1)7:=СТ1), С2 = ((У2)7:=СТ2, (Ф2)7:=СТ2) с отмеченными на них несамопересекающимися путями а1 и а2. Согласно этому определению, операция разрезания определена однозначно при фиксированных компонентах разложения VI и У2, Ф1 и Ф2 и путях а1 и а2.
Заметим, что, как и в в случае операций склеивания и разрезания графов по вершинам сочленения, введенные выше операции легко обобщаются на более широкие совокупности графов. Но такого рода операции нам в дальнейшем не понадобятся.
4. Блочная структура связных графов.
Определение 7. Если граф С не содержит в себе субграфов в виде циклов, то такой граф называется деревом или - древесным графом.
Лемма 6. Если связный граф С = (У, Ф) имеет не менее двух вершин и является конечным деревом, то у него имеется, по крайней мере, две вершины, индекс которых равен единице.
□ Так как граф С связный, то индекс всех его вершин не равен нулю. Возьмём произвольную вершину х Є У. Так как имеется, по крайней мере, ещё одна вершина в У и граф С связный, то найдётся вершина х1 Є У такая, что х^х1. Далее, если іп^х^ > 1, то существует вершина х2 Є У (если | У | ^ 3), для которой х2 = х, из-за отсутствия циклов, и х1^х2. Затем процесс построения продолжается по индукции, результатом которого является последовательность (х, х1, х2,...). На каждом п-м шаге построения, получаем несамопересекающийся путь (х, х1, х2,..., хп), который не является циклом. При этом если іп^хга) > 1 и | У | ^ п +1, то существует вершина хга+1, для которой хп+1 = х,х1, ...хп, ввиду отсутствия на С циклов, и такая, что хга^хга+1. Так как граф С конечный, то процесс построения последовательности (х, х1, х2,...) должен оборваться на какой-то вершине хд. Это возможно только в том случае, когда іп^хд) = 1.
Если теперь іп^х) = 1, то нами найдено две вершины с единичным индексом. Если же іп^х) > 1, то для вершины х существует ещё она (помимо х1) смежная с ней вершина у1 такая, что у1^х. При этом у1 не может совпадать ни с одной из вершин х1, ...хд, ввиду отсутствия на С циклов. Если іп^^) > 1, то найдется ещё одна вершина у2, которая, по той же причине, не совпадает ни с одной из вершин х,х1,...х^ и такая, что у2^у1. Далее, как и выше, по индукции, продолжим процесс построения последовательности (х, у1, ...уп), для которой не совпадает ни с одной из вершин Уп-2, ...,У1,х,х1, ...хд, ввиду отсутствия на С циклов. Продолжение этого процесса возможно до тех пор, пока іп^уга) > 1. Поэтому этот процесс, ввиду конечности графа, оборвётся на какой-то вершине у и это возможно только при іп^уг) = 1. В результате, хд и у - две вершины с единичными индексами. и
Теорема 1. Пусть Ст - конечный древесный граф с т вершинами х1, ...,хт с т вершинами, которые имеют, соответственно, индексы п1,..., пт. Тогда число рёбер /(С) графа Ст выражается формулой
/(Ст) = П1 + ... + пт — т +1. (4)
□ Доказательство строится индукцией по т. При т =1 формула тривиальна, так как п. = 0 и /(С.) = 0. Допустим, что формула (2) выполняется при фиксированном значении т. Так как на древесном графе всегда имеется концевая вершина, то при значении числа вершин (т +1), выберем произвольную концевую вершину хт+. в качестве (т + 1)-й. Для неё таким образом, пт+. = 1. Отрежем эту вершину от Ст+. вместе с ребром, соединяющим её через посредство некоторой вершины хт сочленения, с остальной частью графа, со связным подграфом Ст. Если вершина хт в графе Ст+. имеет индекс пт, то в графе Ст её индекс равен (пт — 1). Тогда, так как в графе Ст формула (2), по предположению, верна и /(Ст) + 1 = /(Ст+.), то получаем
/(Ст+.) = /(Ст) + 1 = [п! + ••• + (пт — 1) — т +1] + 1 =
= п. + ••• + пт + пт+. — (т + 1) + 1, где учтено, что пт+. = 1. Л
Вершину х графа С назовём концевой, если ind(x) = 1. Очевидно, что, если х -концевая вершина и х^у, то у - вершина сочленения графа С.
Следствие. Формула (4) остаётся верной как при учёте концевых вершин дерева, так и без их учёта, так как для этих вершин индексы сочленения равны 1.
Теорема 2. Каждая вершина х древесного графа, индекс которой больше единицы, является вершиной сочленения. При этом
Тп^х) = тё(х) •
□ Пусть С = (V, Ф) - древесный граф и х € V, М(х) > 1. Удалим из V эту вершину и из Ф всё множество рёбер Ф(х). В результате, получим граф С = (V \ {х}, Ф \ Ф(х)). Для каждой вершины у € V такой, что {у, х} € Ф введём множество V- С V тех вершин г € V \ {х}, через которые проходят пути 7 с начальной вершиной у. Ввиду связности С, имеет место разложение
V \{х} = V- • (4)
у:{у,х}еФ
Покажем, что все множества V- попарно не пересекаются. Допустим противное, что имеется такая пара у.,у2 вершин, которые {у.,х} € Ф, {у2,х} € Ф и для неё существует вершина и € Уy П VУ2. Это означает, по построению, что имеются пути 7(уьи) и т(у2,м) на графе С. Но в этом случае путь (х,7(у.,и),7(и,у2),х) образует цикл, что невозможно по определению вершины сочленения х. Таким образом, (4) представляет собой дизъюнктивное разложение.
Построим теперь графы Су = (V-, Фу) для всех у таких, что {у, х} € Ф. Здесь каждое
множество смежности Фу состоит из тех и только из тех пар в Ф, которые входят в состав
какого-либо пути 7 из С' у с начальной вершиной у. Так как граф С связный, то имеет место разложение
Ф \ Ф(х)= и ФУ • (5)
у:{у,х}еФ
Покажем, что все составляющие этого разложения попарно не пересекаются. Пусть имеются две вершины у1 и у2 такие, что для них найдётся пара |г1,г2), для которой, одновременно, имеет место (г1,г2) Є ФУі и (г1,г2) Є ФУ2. Тогда, по построению, (г1, г2} Є ФУі и, одновременно, (г1, г2} Є ФУ2, что невозможно, так как УУі П УУ2 = 0.
Таким образом, все множества смежности ФУ при {у,х} Є Ф попарно не пересекаются, и поэтому графы СУ не связаны друг с другом. В противном случае, имелось бы ребро {г1,г2} с г1 Є УУі и г2 Є УУ2, соединяющее графы СУі и СУ2 и, следовательно, нашёлся бы путь (7(уь г^, г2), соединяющий вершину г2 с у1, что противоречит построению УУ1 и УУ2.
Так как все графы СУ, {у, х} Є Ф связные, то х - вершина сочленения графа С и её индекс сочленения равен |{у : {у,х} Є Ф}|. и
Определим для произвольного связного графа С = (У, Ф) с множеством точек сочленения {х1,...,хп} бинарное отношение Ь. Будем говорить, что вершины х и у из
У \ {х1,..., хп} находятся в отношении Ь в том и только в том случае, если на С найдётся связывающий их путь 7(х,у), который не содержит среди промежуточных вершин точек сочленения графа. Легко видеть, что отношение Ь симметрично и транзитивно. Поэтому пополнив его так, чтобы оно обладало свойством рефлексивности, получим, что оно является отношением эквивалентности. Тогда множество У \ {х1,..., хп} распадается на р Є N непересекающихся классов УД, р = 1 ^ р Ь-эквивалентных вершин,
р
иУД = У \{х1,...,хп}. і=1
Пополним каждый класс У^ теми и только теми вершинами х^ сочленения, из которых существует путь 7(х^, х), х Є УД расположенный, начиная со второй вершины в этом классе У^. Обозначим посредством УД при каждом к = 1^р множество, получаемое из У^ посредством такого дополнения. Далее, обозначим при каждом к =1 ^ р посредством С д = (УД, Фд) подграф, порождённый множеством УД. Расширим семейство этих подграфов, добавив к ним подграфы, которые состоят только из одной вершины г Є У, которая является вершиной сочленения графа и при этом множество Ф(г) состоит из вершин, которые являются либо вершинами сочленения, либо концевыми вершинами. В результате, получим семейство подграфов Ск = (Уд, Фк), к = 1 ^ д, q ^ р. Кроме того, добавим подграфы, порождаемые парами вершин {х^,х^} такими, что вершины сочленения хі и х^ находятся в различных множествах УД, к = 1 ^ д.
Подграфы, составляющие полученное, таким образом, семейство {С д; к = 1 ^ /}, / ^ р, назовём блоками графа С. Важность понятия блока графа выявляется следующими утверждениями.
Теорема 3. Пусть граф С имеет в своём составе блоки С к, к = 1 ^ /. При разрезании графа С по любой его вершине сочленения блоки вновь образованных графов совпадают с блоками графа С.
□ Если пара вершин х и у на графе С принадлежит одному и тому же блоку, то на С существует путь, промежуточные вершины которого не являются вершинами сочленения графа С, который, по этой причине, остаётся без изменения после разрезания
графа. Следовательно, после разрезания графа, обе эти вершины принадлежат одному и тому же блоку одной из частей графа, полученных в результате его разрезания. и
Теорема 4. Каждый цикл (несамопересекающийся), расположенный на графе С, должен полностью размещаться в одном из его блоков (если блок содержит не менее трёх вершин).
□ Допустим противное, что на графе С имеется цикл 7, расположенный, по крайней мере, в двух блоках Сд и Сд/. Это означает, что имеются две вершины х и у этого цикла, расположенные в двух различных блоках. Тогда на графе С имеются два, непе-ресекающиеся друг с другом пути 7(х, у) и 7'(у,х). Так как вершины х и у находятся в разных блоках, то каждый из путей имеет в своём составе, по крайней мере, одну вершину сочленения. Разрежем граф по одной из этих вершин сочленения, например входящей в состав пути 7(х,у), так, чтобы число получаемых частей было равно её индексу сочленения. Тогда, наверняка, вершины х и у будут находиться в различных несвязанных частях графа, полученных в результате разрезания, но это противоречит тому, что имеется другой путь 7'(х,у), соединяющий вершины х и у, который должен быть полностью расположен в одной из полученных связанных частей графа. и
Определение 8. Сопоставим каждому блоку Сд графа С вершину ук, к = 1 ^ /. Обозначим это множество вершин посредством У. Определим на множестве ф отношение смежности Ф положив {у^у^} Є Ф, если соответствующие вершинам у^ и у^ блоки С и С^ имеют одну общую вершину, которая, таким образом, является вершиной сочленения графа С.
Граф С = (у, ф) назовём графом блочной структуры исходного графа С.
Важность понятия графа С, характеризующего блочную структуру графа С, выявляется следующими утверждением.
Теорема 5. Пусть С = (У,ф) - граф блочной структуры графа С. Тогда С -древесный граф.
□ Допустим, что на графе С, который является графом блочной структуры графа С, имеется цикл. Тогда он содержит не менее трёх вершин. Выберем две из них Ф и ф. Следовательно, на графе С существуют два непересекающихся пути ф(х, ф) и ф'(х, у) и, по крайней мере, в одном из них имеется промежуточная вершина. Выберем вершины х Є С и у Є С в блоках графа, которым соответствуют вершины Ф и ф на графе С. Построим на основе путей ф(х, ф) и ф'(х, ф) на графе С пути 7(х, у) и 7'(х, у) на графе С, проводя их произвольным образом в тех блоках графа С, которые состоят более чем из одной вершины. Тогда пути 7(х, у), 7'(х, у) также не пересекаются. Так как вершины х и у находятся в разных блоках, то на каждом из путей 7(х, у), 7'(х, у) имеется, по крайней мере, одна такая вершина сочленения, что при разрезании графа С по ней вершины х и у окажутся в разных возникающих при этом разрезании связных частях. Эти вершины мы обозначим, соответственно, г и г', г = г'. Но это приводит к противоречию, так как при разрезании по вершине г', лежащей на пути 7(х,у), вершины х, у остаются связанными путём 7(х, у), который должен полностью попасть в одну и ту же связную часть. Таким образом, сделанное нами предположение о наличии цикла на Сф неверно. и
ЛИТЕРАТУРА
1. Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians / H. Kesten. - Boston: Birkhauser, 1982.
2. Virchenko Yu.P., Tolmacheva Yu.A. Method of Sequential Approximative Estimates in Descrete Percolation Theory // Studies in Mathematical Physics Research. ed. Charles V. Benton. / Yu.P. Virchenko. - New York : Nova Science Publishers, Inc., 2004. -P.155-175.
3. Меншиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения // Итоги науки и техники. сер. теор. вер., мат. стат. и теор. кибер./ М.В. Меншиков. - М.: ВИНИТИ. - 1986. - 24. - С.53-110.
4. Александров П.С. Комбинаторная топология / П.С. Александров. - М.-Л.: Наука, 1947.
5. Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. 2-е изд. / Л.С. Понтрягин. -М.: Наука, 1976.
FINITE CLUSTERS IN PLANE MOSAICS Part I. Cutting and glueing operations
E.S. Antonova, Yu.P. Virchenko
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: antonova_e_s@mail.ru
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: virch@bsu.edu.ru
Abstract. It is proposed the proof of H.Kesten’s theorem that the external border of each finite cluster containing in the infinite plane graph of the mosaic type id the cycle on the graph being conjugate to it. It is done by combinatoric methods without using the K.Jordan theorem ab out continuous simple closed plane curves.
Key words: plane graph, mosaic, cluster, external border, cycle.
