Конечномерные замкнутые модели малых ветроэнергетических установок. Теория и эксперимент Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭНЕРГЕТИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 531.36

М.З. Досаев, Л.А. Климина КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЗАМКНУТЫЕ МОДЕЛИ МАЛЫХ ВЕТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК. ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ

На основе замкнутой конечномерной математической модели учитывающей как аэродинамическое воздействие на лопасти, так и процессы в электрической цепи, изучена динамика малой ветроэнергетической установки. Аэродинамический момент рассчитывается из предположения о применимости квазистатического подхода. Серии экспериментов, проведенных в аэродинамических трубах университета Чин Юнь (Тайвань) и НИИ механики МГУ, позволили провести верификацию модели и идентификацию ее параметров. Предложен набор характеристик для оценки эффективности ветрогенераторов и методы для экспериментального определения этих характеристик.

Электромеханическое взаимодействие, аэродинамический момент, генератор M.Z. Dosaev, L.A. Klimina

CLOSED FINITE-DIMENSIONAL MODELS OF SMALL WIND POWER GENERATORS. THEORY AND EXPERIMENT

Dynamics of small wind power generator is studied by closed finitedimensional model taking into account the aerodynamic load upon the blade as well as processes in the electrical circuit. Aerodynamic moment is calculated using quasi-static approach. Series of experiments in wind tunnels of Ching Yun University (Taiwan) and Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University allow performing the verification of model and identification of its parameters. A set of characteristics of efficiency of wind generators are suggested as well as methods for experimental determination of these parameters.

Electromechanical interaction, aerodynamic moment, generator

Введение

Создание новых математических моделей ветроэнергетических установок - популярная прикладная задача. Большинство работ можно разделить на две группы: одни из них посвящены детальному описанию сложного воздушного потока, обтекающего лопасти

турбины [1, 2], другие ориентированы на изучение процессов, протекающих в электрической цепи, в частности, на изучение задач подключения к общей сети [3, 4].

Необходимо отметить, что практическое использование моделей, учитывающих описание потока среды вокруг лопастей, предполагает применение современных вычислительных пакетов, требующих значительных компьютерных ресурсов для изучения свойств рабочих и переходных режимов механической системы. При этом проведение эффективного параметрического анализа таких моделей практически невозможно.

При этом при конструировании новых типов ветроэнергетических установок необходимо оперативно оценивать характеристики рабочих и переходных режимов проектируемого устройства, например, для сравнения новой установки с существующими образцами. С этой точки зрения полезны конечномерные математические модели, не требующие сложных и долгих компьютерных вычислений, но, тем не менее, обеспечивающие адекватное качественное и количественное описание не только аэродинамических сил, но и электромагнитного взаимодействия механических компонентов устройства.

Подобные математические модели предложены в [5, 6] для описания динамики отдельно стоящей (не подключенной к общей электросети) ВЭУ с горизонтальной (ГОВТ - горизонтально осевая ветротурбина) и вертикальной (ВОВТ - вертикально осевая ветротурби-на) осями вращения.

Механико-математическая модель

ВЭУ состоит из двух основных компонентов (рис. 1): ветроприемного элемента - турбины и электрического генератора. Пусть турбина и ротор генератора составляют единое твердое тело Т. Лопасти турбины взаимодействуют с потоком воздуха. На ротор воздействуют электромагнитные силы со стороны статора. У тела одна степень свободы, допускающая вращение вокруг оси Ог. Обозначим угол вращения через Ф. Примем, что скорость V набегающего потока постоянна на бесконечности. Выпишем уравнение движения турбины:

1(6 = Ма + Ые, (1)

где ] - момент инерции тела Т относительно оси Ог; Ма и Ме - моменты аэродинамических и электромагнитных сил относительно оси вращения, соответственно.

Момент аэродинамических сил

При описании воздействия среды на одну лопасть используем квазистатический подход. Примем, что воздействие воздушного потока на каждую лопасть сводится к силе ¥а-Линия действия этой силы проходит через фиксированную точку А лопасти (центр давления), расположенную на расстоянии Ь от оси вращения. Представим эту силу в виде суммы силы сопротивления О и подъемной силы Ь (рис. 1). Абсолютная скорость точки А, величиной иА =бЬ, перпендикулярна вектору V. Обозначим через Vа скорость точки А по отношению к осям, движущимся со скоростью V (так называемую воздушную скорость точки А).

Значения О и Ь будем считать известными из статических экспериментов:

О = Сй (а)р5Уа2 / 2, Ь = С1 (а)р^а2 / 2, где а - эффективный угол атаки; р - плотность воздуха; £ - площадь лопасти; С1 (а) и Сл (а) безразмерные коэффициенты подъемной силы и силы сопротивления, соответственно.

Рассмотрим случай ГОВТ (для ВОВТ подобный подход описан, например в [7]). Введем установочный угол ф (параметр конструкции):

а = ф-агс1;ап(юЬ/V), VI = V2 +ю2Ь2. (2)

Пусть у турбины всего п лопастей, тогда для результирующей аэродинамической силы имеем:

Ма (ю) = 0,5nЬрSVa (С1 (а) со8(ф- а) - Сл (а) 8т(ф - а)).

Электромеханическое взаимодействие

Рассмотрим случай магнитоэлектрического генератора, часто встречающегося в конструкциях малых ВЭУ. В этом случае крутящий момент Ме, действующий на ротор со стороны электромагнитных сил, может быть представлен в виде линейной функции тока I:

Ме = - с1,

где с - коэффициент, характеризующий преобразование механической энергии вращения в электрическую энергию, связанный с изменением магнитного потока в роторе. Уравнение изменения тока выпишем в следующем виде:

Ье1 = сю- XI, (3)

где Ье - индукция ротора; X - полное электрическое сопротивление цепи.

Таким образом, полная система, описывающая динамику ГОВТ в целом, состоит из двух дифференциальных (1), (3) и двух алгебраических (2) уравнений.

Рис. 1. Структура ГОВТ. Направления аэродинамических сил

Отметим, что для ГОВТ угол Ь является циклической координатой. Для ВОВТ аэродинамический момент существенно зависит от этого угла Ь. Следовательно, необходимо добавить к системе еще одно уравнение:

Ь =ю.

Заметим также, что полученная динамическая система линейна по току I как в случае ГОВТ, так и в случае ВОВТ.

Модификации математической модели

Активное внешнее сопротивление. Вначале рассмотрим случай, когда индуктивное сопротивление генератора достаточно мало.

Совместной группой исследователей из НИИ механики МГУ и университета Чин Юнь проведена серия экспериментов [5] для определения характеристик трехлопастной ГОВТ «Air Industrial», произведенной компанией Southwest Windpower Inc. Для верификации предложенной математической модели ГОВТ протестирована в аэродинамической трубе. Во время эксперимента сила тока в цепи и угловая скорость ротора измерялись при различных значениях скорости ветра и внешнего сопротивления. Обнаружен гистерезис выходной мощности и угловой скорости в зависимости от направления изменения величины внешнего сопротивления. При уменьшении R до значений порядка 10 Ом, мощность падает практически до нуля, ВЭУ практически останавливается. Изменение нагрузки в противоположном направлении (возрастание R) не приводит к немедленному восстановлению мощности. Это происходит лишь при R = 20 ~ 60 Ом. Таким образом проявляется эффект гистерезиса.

Примем, что генератор ГОВТ имеет малое индуктивное сопротивление. Тогда уравнение (3) можно переписать в виде:

104

Ье1 = сю- (Я + г)I. (4)

Здесь Я - внешнее активное сопротивление; г - эффективное внутреннее сопротивление генератора. Для стационарного режима из этого уравнения получим:

ю /1 = г / с + Я / с.

Таким образом, величина ю/1 зависит от внешнего сопротивления Я линейно, при этом параметр с определяет наклон прямой, а отношение параметров г и с определяет сдвиг этой прямой от начала координат.

Тесты показали, что экспериментальные значения ю/1 в стационарных режимах при различных значениях скорости ветра находятся вдоль одной прямой, в соответствии с предсказанием модели.

Следовательно, возможно подобрать такие значения параметров с и г (с ~ 0.16 ОмАс, г « 6 Ом), что результаты расчетов отношения ю/1 в рамках предложенной моделью будут в достаточно хорошем соответствии с набором экспериментальных данных.

Экспериментальная верификация модели подтверждает предположение, что параметр с -константа. Это открывает возможность широкого применения модели для анализа динамики ВЭУ.

В частности, как показано в [8], предложенная модель, несмотря на ее относительную простоту, объясняет указанный выше эффект гистерезиса.

Критическое значение угловой скорости турбины. В последние годы все более популярными становятся малые ВОВТ с изогнутыми лопастями. Такая установка ЭБ400 компании Н1Бпе^у выбрана для тестирования. Номинальная мощность, заявленная производителем - 400 Вт. Турбина состоит из двух вертушек Савониуса на оси вращения и трех изогнутых лопастей, закрепленных в двух точках этой оси. ВОВТ протестирована в аэродинамической трубе университета Чин Юнь в диапазоне скоростей потока 4 -15 м/с и при внешней нагрузке от 0 Ом до 200 Ом. Примечательно, что максимальная выходная мощность не превышала значения 200 Вт, вместо заявленных 400 Вт.

Обнаружено, что зависимость отношения ю/1 от внешнего сопротивления Я (рис. 2) существенно нелинейна для малых значений внешнего сопротивления Я. Кроме того, при угловых скоростях ю меньших 3 рад/с, ток I практически равен нулю.

В связи с этим, предложенная математическая модель изменена.

Рассмотрим влияние диссипативных электромагнитных сил. Выпишем систему уравнений, описывающую динамику ВОВТ в следующем виде:

] & = -а + Ма {■&, г?) - Мл (г?),

~4/ = с г? - (Я + г-) I - и0, I/ г? 0, (5)

I = 0, I/ г?0,

где Ма (&) - момент диссипативных сил, отвечающих за потери механической энергии; П0 - постоянное критическое значение угловой скорости турбины, при котором достигается постоянное значение и0 «запирающего напряжения», связанного с потерями электрической энергии.

Предположим, что переходные процессы в электрической цепи проходят очень быстро, вследствие достаточно малой индукции Ье генератора. Положим Ье = 0. Перепишем (5):

^+Ма (г, &) - мл (&), I = (ст& - и 0)/( я+г), I/ & >а 0, I = 0, I/ & <а 0. (6)

Пока энергии от вращения турбины недостаточно для того, чтобы напряжение в цепи превысило значение и0, ток во внешней цепи равен нулю. Для непрерывности функции тока (ток I равен нулю и для значения угловой скорости & = П0), примем, основываясь на втором уравнении системы (6), что выполняется следующее соотношение:

и 0 = сП0.

При Ь > П0 выражение для фиктивного тока То, соответствующего запирающему напряжению ио может быть представлено в следующей зависимости от внешнего сопротивления Я:

1,=1У„/(й + г).

Примем, что для Ь > П0 общий электромагнитный момент, действующий на турбину равен - с(1 + Т0). Для Ь < П0 положим, что энергии, поступающей на генератор, достаточно только для обеспечения падения напряжения равного сЬ < сП0 = и0 . Значение фиктивного тока, соответствующего этому напряжению равно сЬ/(Я + г) < 10, и значение электромагнитного момента, воздействующего на турбину в этом случае равно с2Ь/(Я + г) . Выберем функцию М л (Ь) в следующем виде:

Рис. 2. Экспериментальная зависимость величины ю!1 от внешнего сопротивления Я для ВОВТ 08400

И, (Ф)

с2а0/(r + r), if Ф>а0, с2Ф/(R + r), if Ф<а0.

Заметим, что общий момент электромагнитных сил - линейная функция угловой скорости ю = Ф со следующим коэффициентом:

С = с 2/(R + r).

Первое уравнение (6) можно переписать в следующем виде:

/Ф = И a (Ф, Ф) - СЬ-.

Это уравнение не содержит ток I. Следовательно, уравнение, описывающее движение ротора, отделилось.

В рамках выбранной модели должно выполняться следующее отношение:

(Ф-а0)/1 = r/с + R/с ,

т.е., величина (Ф- П0)/1 зависит линейно от внешнего сопротивления R. На рис. 3 эта зависимость показана для следующего набора параметров: с ~ 1,9 ОмАс, r ~ 45 Ом, П0 = 3,2 рад/с.

Введение индуктивного сопротивления. В 2010 году Университет Чин Юнь передал НИИ механики МГУ малую ветроэнергетическую установку с горизонтальной осью (изготовленную компанией Superb Electric Co, Тайвань). К установке прилагались два набора по шесть лопастей. Сначала отдельно протестирован генератор, для этого к нему присоединен электромотор с переменной угловой скоростью вращения. В экспериментах отмечено, что в рабочих диапазонах с ростом внешнего сопротивления R зависимость тока I от угловой скорости ю становится все более нелинейной. Это факт, скорее всего, вызван тем обстоятельством, что у данного генератора оказалось достаточно большое индуктивное сопротивление. Поэтому для математического моделирования подобного ГОВТ необходимо более подробное описание полного электрического сопротивления Z.

Перепишем (3) в виде:

LI = сю-IZ = сю

і —

I-yjk 2ю2 + (R + r )2

(7)

Здесь к - индуктивное сопротивление цепи. Отметим, что мы по-прежнему пренебрегаем емкостным сопротивлением, считая его пренебрежимо малым.

Запишем уравнение (7) для стационарных режимов работы генератора:

I = сю/д/к2ю2 + (Я + г)2 . (8)

На рис. 4 точками отмечены результаты экспериментов, и кривыми изображены результаты численных расчетов (8) для следующих выбранных значений параметров модели:

с ~ 1,9 ОмАс, г ~ 45 Ом, к ~ 0,9 Омс. (9)

Согласованность экспериментов и вычислений очевидна.

Далее ГОВТ закреплена в открытой рабочей части дозвуковой аэродинамической трубы НИИ механики МГУ. Некоторые параметры этой аэродинамической трубы замкнутого цикла даны в таблице:

Таблица

Параметры дозвуковой аэродинамической трубы НИИ механики МГУ

Размеры рабочей части 2,34 х 4 м

Диапазон скоростей потока 0 - 50 м/с

Неоднородность потока в разрезе рабочей части 0,5%

Скос потока (в горизонтальном и вертикальном направлениях) < 0,25°

Градиент статического давления вдоль оси трубы 0.002 м'1

Продольная составляющая интенсивности турбулентности <0,2 %

Во время экспериментов в аэродинамической трубе для различных значений внешнего сопротивления R измерялись следующие характеристики: скорость потока V, угловая скорость со вращения турбины, сила тока I и напряжение U во внешней цепи. Значение R варьировалось в диапазоне 1 Ом - 10 кОм. Полученные данные оцифровывались АЦП «National Instruments», и обрабатывались программой «LabView».

Рис. 3. Экспериментальная зависимость величины (о -ф 0) /1 от внешнего сопротивления Я для ВОВТ Р8400

Экспериментальные данные

1. Различные конфигурации турбины.

Эксперименты с ГОВТ Superb Electric проведены для четырех разных наборов лопастей: 1) шесть длинных лопастей; 2) шесть коротких лопастей; 3) три длинных лопасти; 4) три коротких лопасти.

2. Некоторые параметры оценки эффективности.

2.1. Рабочие режимы можно разделить на высокоскоростные и низкоскоростные. Угловая скорость вращения ротора и вырабатываемая мощность на высокоскоростном режиме значительно выше, чем на низкоскоростном. Высокоскоростные режимы существуют только для значений внешнего сопротивления Я превышающих определенное критическое значение Ясг1. Это значение Ясг\ меняется дая разных скоростей ветра и сильно зависит от конфигурации турбины.

Рис. 4. Результаты тестирования генератора (точки) и модельные кривые для набора параметров (9)

Рис. 5. Сравнение наборов из шести коротких и трех коротких лопастей

Низкоскоростные режимы существуют и для достаточно высоких внешних нагрузок (т.е., для Я < ЯСг2), но эти режимы неэффективны с точки зрения практики, т.к. вырабатываемая мощность незначительна. Значение ЯСГ\ - одна из существенных характеристик ГОВТ. Отметим, что эффективность ВЭУ тем выше, чем меньше значение ЯСГ\.

2.2. Зарегистрирован эффект гистерезиса угловой скорости и вырабатываемой мощности для всех протестированных конфигураций турбины. Диапазон значений внешнего сопротивления ЯСГ\ < Я < ЯСг2 можно назвать «зоной гистерезиса». Однако, гистерезис проявляется только для достаточно больших скоростей потока.

Чем зона гистерезиса меньше (АЯн = ЯСг2 - ЯСГ\), тем проще управлять работой ВЭУ.

2.3. Из графика зависимости мощности от сопротивления можно отметить, что перед конструктором встает вопрос о выборе между увеличением максимума вырабатываемой энергии Ртах и снижением ЯСГ\. Выбор зависит от предполагаемых условий работы установки (известен ли набор потребителей, имеется необходимость поддерживать заданный минимум вырабатываемой мощности, или ограничение на силу тока или напряжение в сети и т.д.)

2.4. Другим параметром является длина АЯР диапазона внешнего сопротивления, в котором вырабатываемая мощность «близко» к значению Ртах. Для некоторых конфигураций турбины даже малое отклонение нагрузки от оптимальной приводит к значительному снижению мощности.

В качестве характеристики ВЭУ чем больше АЯР, тем лучше.

Таким образом, выделены, по крайней мере, четыре параметра, характеризующие эффективность ветроэнергетической установки: Ртах, ЯСГ\, АЯн, АЯР, которые зависят от скорости ветра.

Заключение

Выбор предпочтительной конфигурации турбины зависит от интервала скоростей ветра в предполагаемом месте использования установки.

Для всех исследованных конфигураций максимум вырабатываемой мощности достигался при значении сопротивления Ropt очень близком к Rcr1. Вероятность «сваливания» на низкоскоростной режим достаточно высока при работе на сопротивлениях близких к Ropt.

Необходимо отметить, что снижение числа лопастей ведет к значительному увеличению угловой скорости вращения ротора. При больших скоростях ветра подобный эффект может вызвать поломку турбины. Однако для нормальных скоростей ветра трехлопастная вертушка выдает иногда большее значение Pmax чем шестилопастная. На рис. 5 показано сравнение наборов трех коротких лопастей (отмечено прозрачными квадратами; RCcr1) и шести коротких лопастей (отмечено черными квадратами; Rlcr1) для скорости ветра V = 8 м/с. Работа поддержана РФФИ (гранты №№ 11-08-00444, 11-08-92005, 12-01-00364).

ЛИТЕРАТУРА

1. Islam M., Ting D.S.-S., Fartaj A. Aerodynamic models for Darrieus-type straight-bladed vertical axis wind turbines // Renewable and Sustainable Energy Reviews. 2008. N.12. P.1087-1109.

2. Gupta S.J., Leishman J.G. Comparison of Momentum and Vortex Methods for the Aerodynamic Analysis of Wind Turbines // AIAA-2005-594, 43rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno. Nevada. 2005.

3. Chinchilla M., Arnaltes S., Burgos J.C. Control of permanent magnet generators applied to variable-speed wind-energy systems connected to the grid // IEEE Transactions on Energy Conversion. 2006. V.21. N.1. P.130-135.

4. Slootweg J.G., Polinder H., Kling W.L. Dynamic Modelling of a Wind Turbine with Doubly Fed Induction Generator // Power Engineering Society Summer Meeting. IEEE. 2001. V.1. P. 644-649.

5. Dosaev M.Z. On one feature of operation of small-scale wind power generators / M.Z. Dosaev, A.I. Kobrin, Yu.D. Seliutski, W.-L. Lu, C.-H. Lin // Vestnik of MPEI. Moscow. 2007. N.1. P.147-151.

6. Dosaev M.Z., Samsonov V.A., Seliutski Yu.D. On the Dynamics of a Small-Scale Wind Power Generator // Doklady Physics. Pleiades Publishing. Ltd., 2007. V.52, N.9. P.493-495.

7. Klimina L., Lokshin B., Samsonov V. Parametrical Analysis of the behavior of an Aerodynamic Pendulum with Vertical Axis of Rotation // Modeling, Simulation and Control of Nonlinear Engineering Dynamical Systems. Springer Sciences+Business Media B.V. 2009. P. 211-220.

8. Bifurcation of operation modes of small wind power stations and optimization of their characteristics / M.Z. Dosaev, V.A. Samsonov, Yu. D. Selyutskii, W.-L. Lu, C.-H. Lin // Mechanics of Solids. Allerton Press. Inc. 2009. V.44. N.2. P. 214-221.

Досаев Марат Закирджанович -

кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник НИИ механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Климина Любовь Александровна -

кандидат физико-математических наук, НИИ механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Статья поступила в редакцию 20.02.12, принята к опубликованию 12.03.12