CC BY
27Научно-технический и производственный журнал
-------ЖИЛИЩНОЕ ---
СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 624.142:624.012.45
Т.А. НАЗАРОВ, бакалавр, Ф.Ф. ПОСЕЛЬСКИЙ, канд. техн. наук (skip_nsk@mail.ru)
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова (677000, г. Якутск, ул. Белинского, 58)
Конечно-элементный анализ напряженно-деформированного состояния железобетонных
о 1 с»
свайных фундаментных конструкций жилого здания при воздействии низкой температуры
Рассматривается поведение железобетонного свайного фундамента при превышении допустимых размеров температурных блоков в условиях низкой температуры и на вечномерзлых грунтах. Приводятся материалы обследования здания, показано трещинообразование в фундаментных конструкциях. Выполнен прочностной расчет железобетонного свайного фундамента с проветриваемым подпольем при действии низкой температуры в программном комплексе Ansys. Анализируется напряженно-деформированное состояние за пределами упругой работы конструкции с учетом понижения жесткости конструкции при трещинообразовании с применением математической модели Вилама-Варнке. Учтены зависимости прочностных и упругопластических деформативных свойств от температуры. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с данными обследования и показали, что трещинообразование в конструкциях цокольного перекрытия вызвано температурно-влажностными деформациями бетона и арматуры. Выявлено негативное влияние внутренних углов в планах цокольных перекрытий в участках ниш и выступов, которые являются концентраторами напряжений и способствуют трещинообразованию в конструкциях. Установлено, что температурные напряжения ярко проявляются на сваях, в опорных зонах и зонах между сваями. Даны некоторые рекомендации по проектированию фундаментных конструкций в районах с низкой температурой.
Ключевые слова: температурно-влажностные воздействия, железобетонные конструкции в холодном климате, железобетонные конструкции на вечномерзлых грунтах, нелинейные свойства бетона, трещинообразование, метод конечных элементов, первый принцип использования вечномерзлых грунтов.
Для цитирования: Назаров Т.А., Посельский Ф.Ф. Конечно-элементный анализ напряженно-деформированного состояния железобетонных свайных фундаментных конструкций жилого здания при воздействии низкой температуры // Жилищное строительство. 2018. № 5. С. 9-14.
T.A. NAZAROV, Bachelor, F.F. POSELSKY, Candidate of Sciences (Engineering) (skip_nsk@mail.ru) M.K. Ammosov North-Eastern Federal University (58, Belinsky Street, Yakutsk, 677000, Russian Federation)
Finite Element Analysis of Stress-Strain State of Reinforced Concrete Pile Foundation Structures of a Residential Building under Low Temperatures Impact
The behavior of a reinforced concrete pile foundation at exceeding of permissible sizes of temperature blocks under the conditions of low temperature and on permafrost soils is considered. Materials of the building inspection are presented; the formation of cracks in foundation structures is shown. Strength calculation of the reinforced concrete pile foundation with vented under-floor space under the action of low temperature was performed in Ansys software. The stress-strain state beyond the elastic work of the structure with due regard for reducing the rigidity of the structure is analyzed with the use of the Willam-Warnke mathematical model. Dependences of strength and elastic-plastic deformation properties on the temperature are taken into account. Results of the numerical simulation are in good compliance with the inspection data and showed that the crack formation in the structures of the basement floor was caused by temperature-humidity deformations of concrete and reinforcement. The negative influence of internal angles in the plans of basement floors in the areas of niches and ledges which are concentrators of stresses and promote the crack formation in the structures is revealed. It is established that temperature stresses evident in the piles, in the abutment zones and the zones between the piles. Some recommendations on designing foundation structures in areas with low temperature are made.
Keywords: temperature-humidity impacts, reinforced concrete structures in cold climate, reinforced concrete structures on permafrost soils, non-linear properties of concrete, crack formation, finite elements method, first principle of using permafrost soils.
For citation: Nazarov T.A., Poselsky F.F. Finite element analysis of stress-strain state of reinforced concrete pile foundation structures of a residential building under low temperatures impact. Zhilishchnoe Stroitel'stvo [Housing Construction]. 2018. No. 5, pp. 9-14. (In Russian).
При проектировании зданий и сооружений в условиях Крайнего Севера одним из значимых факторов, влияющих на несущую способность, являются низкие отрицательные температуры. Низкие климатические температуры наиболее выраженно проявляются в Республике Саха (Якутия): в некоторых районах республики средняя месячная темпе-
5'2018 ^^^^^^^^^^^^^
ратура воздуха в январе достигает -46оС, а температура воздуха наиболее холодной пятидневки с обеспеченностью 0,98 до -61оС. В 1892 г. в Республике Саха (Якутия) в г. Верхоянске была зафиксирована абсолютно минимальная температура -67,8оС, которая до сих пор остается рекордной для Евразии [1].
- 9
Подземное строительство
цн .1
Научно-технический и производственный журнал
(3
©
(А)
1750
6600
Щ— -\
--ф—
--Е]
N
Ф
3100
т
у
-ф---ф- —Е|3-
450
--Й
6600
23450
4800
Ф
3600
3600
N
-^--ф-----
-----г
Темп. шов по проекту (факт. отсутствует)
—Щ
--ф—ф----^-^ф-
3100
25550
4800
22150
® ®
®
Оголение арматуры Трещина шириной более 0,4 мм
Рис. 1. Схема повреждений и дефектов (трещины с раскрытием более 0,4 мм)
В Республике Саха (Якутия) в гражданском строительстве применяют в основном первый принцип использования многолетнемерзлых грунтов - здания на свайных фундаментах с проветриваемыми подпольями высотой 1,2-1,4 м, что позволяет сохранять мерзлое состояние грунтов за весь период эксплуатации. Особенностью конструктивного решения зданий является то, что фундаментные конструкции остаются незащищенными от температурных перепадов, несущие конструкции надземной части, как правило, заводятся в теплый контур здания [2-8].
Свайные фундаменты гражданских зданий в Якутии проектируются по альбому РМ 2-77, разработанному ООО «Якутгражданпроект». При использовании данного альбома температурно-усадочные блоки фундаментных балок принимаются длиной не более 12-15 м, что, с одной стороны, ограничивает объемно-планировочные решения, затрудняет процесс строительства и увеличивает расход материалов, с другой стороны, при невыполнении данных размеров появляются температурно-усадочные трещины
в балках и плитах цокольного перекрытия и свайных конструкциях.
Вышеназванные рекомендации появились еще в 1977 г., когда отсутствовало мощное компьютерное оборудование, не применялись соответствующие программные комплексы. Поэтому представляет интерес расчет железобетонных фундаментных конструкций при низких температурах, особенно при невыполнении рекомендаций РМ 2-77 по размерам температурного блока.
В рамках магистерской работы выполнен анализ причин трещинообразования в конструкциях цокольного перекрытия и сваях жилого здания в п. Батагай Верхоянского района РС(Я).
Обследования показали, что в железобетонных конструкциях цокольного перекрытия и свайных конструкциях появились многочисленные трещины (рис. 1).
Здание трехэтажное с габаритами в осях 22,15x16,85 м и проветриваемым подпольем высотой 1-1,5 м. Надземная часть - монолитный железобетонный каркас. Фундамент из
10
52018
Научно-технический и производственный журнал
-------ЖИЛИЩНОЕ ---
строительство
Рис. 2. Эквивалентные напряжения (напряжения фон Мизеса) при расчете в линейной стадии работы железобетона
сборных железобетонных свай сечением 40x40 см. Цокольное перекрытие безбалочное толщиной 20 см. Год начала строительства - 2016.
При анализе конструктивного исполнения здания выяснилось, что температурный блок превышает 15 м. Здание возведено с отклонениями от проектных решений - так, проектом предусмотрены температурно-усадочные швы и обвязочный ростверк (балки сечением 60x60 см); в фактическом исполнении температурно-усадочные швы и обвязочный ростверк отсутствуют, не установлены сваи, предусмотренные у температурных швов.
Предполагая, что основной причиной возникновения трещин явились температурно-влажностные воздействия, решено было расчеты выполнить в программной среде ANSYS, так как в математическом ядре данного программного комплекса хорошо реализованы основные закономерности поведения бетонов. Численные методы прочностного анализа железобетонных элементов достаточно полно описаны в литературе [9-12].
Появилась хорошая возможность проверить аппарат известного программного комплекса в сочетании с имеющимися подходами моделирования поведения бетона и арматуры для оценки термонапряженного состояния конструкций и сравнения с материалами натурных обследований.
Для расчета железобетонных конструкций на температурные и влажностные воздействия применялись положения СП 52-105-2009 «Железобетонные конструкции в холодном климате и на вечномерзлых грунтах», в соответствии с которым расчет производят по двум расчетным стадиям работы железобетонной конструкции:
первая - «первое» замораживание до расчетной зимнеи температуры бетона конструкции; вторая - длительное попеременное замораживание и оттаивание. В первой стадии возникают наибольшие усилия от воздействия температуры и влажности воздуха, которые определяются с учетом повышения прочностных и упругопласти-ческих свойств бетона от воздействия низкой температуры (рис. 3). Во время длительного попеременного замораживания и оттаивания происходит снижение прочности и жесткости элементов и уменьшение усилий от воздействия низкой температуры.
Прочностные, упругопластические и деформативные характеристики бетона в основном зависят от его влажности. Наличие свободной влаги в бетоне после охлаждения способствует упрочнению структуры за счет появления сил смерзания льда с поверхностью цементного камня, что приводит к увеличению его прочности тем большей, чем выше его влажность; вместе с тем увеличивается и модуль упругости бетона, но увеличение влажности выше «критического водонасыщения» вызовет разрушение бетона, а не рост его прочности. Замерзание воды сопровождается увеличением объема, что уменьшает коэффициент температурной деформации [6].
Свайные фундаменты в многолетнемерзлых грунтах на воздействие горизонтальных нагрузок, вызванных температурными деформациями, работают в два этапа. На первом этапе рассматривается момент, когда грунт находится в талом состоянии, а на втором этапе - в мерзлом. Первый этап начинается с момента замыкания конструкции до полного замораживания грунта, а второй этап - с момента полного замораживания грунта до момента с минимальной среднесуточной температурой (расчетной зимней температурой). Среднемесячную температуру воздуха, при которой грунт считается полностью замороженным, допускается принимать минус 10°С [6].
Расчет усилий в фундаменте от воздействия температуры и влажности воздуха производится из условия совместной работы сваи и грунта. При этом мерзлый и талый грунт рассматривается как упругая линейно-деформируемая среда с учетом увеличения коэффициента постели по глубине заделки сваи в нижележащей толще грунта. Допускается определять усилия, рассматривая сваю как стойку, защемленную в грунте [7].
В статически неопределимых конструкциях жесткость элементов является одним из основных свойств, влияю-
Температура, оС Температура, оС Температура, оС
Рис. 3. Изменение прочностных и деформативных свойств в зависимости от температуры
Подземное строительство
------ЖИЛИЩНОЕ ---
строительство
Научно-технический и производственный журнал
12 8 4 0 -4
-12
3,5f 0
Л? -10,5
-60 -40
-20 t, оС
20
28 24
£
i 20
И" 16
ф
* 12 CP
8 4
СО
~~---- \2_
0 1 2 3 4 5 Относительные деформации, Е10-3
Рис. 4. Коэффициент температурной деформации (а) и трехлинейные диаграммы состояния сжатого бетона (б): 1 — -60оС; 2 — -40оС; 3 — -20оС; 4 — 0оС
-55 -45 -35 -25 -15 -5 5
Температура, оС
Рис. 5. График изменения максимального эквивалентного напряжения: 1 — максимальные эквивалентные напряжения; 2 — прочность бетона при сжатии
а
0
9,6
0
Рис. 6. Эквивалентные напряжения Рис. 7. Эквивалентные относительные деформации
щих на напряжения, вызванные температурными деформациями. Как и ожидалось, в рассматриваемой статически неопределимой конструкции расчет в линейной стадии работы железобетона привел к усилиям, существенно отличающимся от фактической картины трещинообразова-ния (рис. 2).
Поэтому дальнейший анализ напряженно-деформированного состояния конструкций выполнен за пределами линейной стадии работы материала - с учетом растрескивания бетона и пластической деформации арматуры.
Для описания процесса разрушения бетона использовали модель Вилама-Варнке, конечный элемент (КЭ) которого в Ansys Mechanical обозначается Solid65. КЭ Solid65 используется для трехмерного моделирования хрупких твердых тел с арматурными стержнями, в которых твердое тело способно к растрескиванию, дроблению, пластической деформации и ползучести, а арматура - к пластической деформации и ползучести. В этот элемент включается до трех независимых армирующих материалов в предположении, что они «распределены» (smeared) по сечению элемента и работают только на растяжение и сжатие.
Моделирование трещины представляется изменением матрицы жесткости путем ослабления в направлении, нормальном к поверхности трещины. Кроме того, вводится коэффициент передачи сдвиговых усилий при открытой трещине pt (константа С1 в команде TB, CONCR), который уменьшает прочность на сдвиг для последующих нагрузок. Если трещина закрывается, то все сжимающие напряжения, нормальные к плоскости трещины, передаются по трещине с коэффициентом передачи сдвиговых усилий при за-
12| -
крытой трещине рс (константа С2 в команде ТВ, CONCR). Всего имеется 16 возможных комбинаций расположения трещин и соответствующих изменений матрицы жесткости, включенных в Solid65. Для улучшения сходимости учли релаксацию растягивающих напряжений при образовании трещин. При достижении предела прочности при одноосном, двухосном или трехосном сжатии материал считается раздробленным, в этом случае жесткостью элемента при дальнейшей итерации можно пренебречь [8].
При расчете на температурные воздействия приняты следующие параметры математической модели Вилама-Варнке, которые остаются постоянными при изменении температуры:
- коэффициент передачи сдвиговых усилий при открытой трещине С1 = 0,3;
- коэффициент передачи сдвиговых усилий при закрытой трещине С2 = 0,7;
- коэффициент понижения жесткости при образовании трещины в результате растяжения С9 = 0,6.
Так как выявленные трещины были получены за один цикл замораживания, проверочные расчеты проведены на «первое» замораживание до расчетной зимней температуры.
Прочностные и упругопластические деформативные свойства бетона приняты по СП 52-105-2009 и для бетона класса В25 3-й группы конструкций, защищенных от воздействия атмосферных осадков, приведены в таблице. Остальные прочностные характеристики бетона приняты по умолчанию: предел прочности при двухосном сжатии 1,2-Л4„,„ предел прочности при одноосном сжатии с учетом
^^^^^^^^^^^^^ |5'2018
Научно-технический и производственный журнал
CEftra AND OTEiTOG
Я1В 51 ТЛЕ: 35
; ......■ ;i J П.....
Ш!!НГ^^МН||{ШШ|||||Ш Е"Е.!!Ш!!!!ШШ!1 Ш
ЖШШЖШШШШШШШШШШШШ^ 111! ill
Illllillllpllilllllllillllll ,:||l|||il
.....■ .......;.....' l; I .....' ......■ ■
Рис. 8. Схема образования трещин
Рис. 9. Схема образования трещин без концентраторов напряжений
Температура Т, оС -60 -40 -20 0 20
Нормативное сопротивление бетона при одноосном сжатии Rbn,l, МПа 25,9 24,05 22,2 18,5 18,5
Нормативное сопротивление бетона при одноосном растяжении Rbn,l, МПа 2,387 2,2165 2,046 1,55 1,55
Начальный модуль упругости Еы, МПа-103 39 39 33 30 30
гидростатических напряжений 1,45Rtet, то же при двухосном сжатии 1,725Rtot.
В качестве диаграммы состояния бетона, определяющей связь между напряжениями и относительными деформациями, принята трехлинейная диаграмма для соответствующей температуры (рис. 4, б)
Следует заметить, что коэффициент температурной деформации бетона, по данным разных источников, не имеет однозначной трактовки (СП 52-105-2009) [1, 4, 7]. Имеются разночтения в оценке влияния окружающего грунта на работу свай от горизонтального усилия (СП 52-105-2009, СП 25.13330.2012 «Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах») [7] и др. В данной работе принято переменное значение коэффициента в соответствии с СП 52-105-2009 (рис. 4, а), коэффициент деформаций системы свая - грунт принят по [7].
Армирование конструкций учтено с помощью «распределенной» арматуры. Пластическое поведение стальной арматуры описано моделью билинейного кинематического упрочнения. Предел текучести арматуры принят 400 МПа.
По СП 20.13330.2016 «СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия» начальная температура, соответствующая замыканию конструкции, для г. Верхоянска (ближайшая к п. Батагай) равна t0w = 0,8iVII+0,2ri=3,6°C. Нормативное значение средней температуры по сечению элемента в холодное время: tc = tc - 0,5^01 = -52 - 0,5 • 6 = -55оС. Расчетные изменения температуры воздуха Atc = tc - t0w = = -55 - 3,6 = -58,6оС. По СП 52-105-2009 расчетное изм е-нение температуры для первого этапа работы фундамен-t0 = -10 - 3,6 = -13,6оС; для второго этапа:
та: Atc1 = -10 ■
At, = t + 10 = -55 + 10 = -45оС.
c2 c
Для сваи как стойки, защемленной в грунте по СП 52-105-2009, глубина от поверхности земли до уровня
заделки составила: на первом этапе работы фундамента - 1,966 м; на втором этапе - 0,827 м. Рассмотрели только второй этап работы фундамента, так как основная работа конструкции приходится именно на него.
В результате выполненных расчетов получено, что максимальные эквивалентные напряжения возникают на крайних сваях и достигают 18,66 МПа (рис. 6). График изменения максимальных эквивалентных напряжений от охлаждения с учетом релаксации напряжений при образовании трещин представлен на рис. 5. Коэффициент использования несущей способности составляет 0,72. Максимальные горизонтальные перемещения составляют 7,57 мм.
Распространение трещин на цокольном перекрытии в основном наблюдается в опорных зонах и зонах между сваями, а также во внутренних углах перекрытий, которые являются концентраторами напряжений (рис. 7, 8).
Для оценки влияния имеющихся неровностей в плане здания был выполнен расчет перекрытия без учета ниш и углублений (рис. 9). Расчет модели без неровностей -концентраторов напряжений показал пониженные эквивалентные относительные деформации на плитах. Максимальное значение понизилось с 5,626 10-4 до 5,039 10-4, т. е. на 10,44%. Наблюдается меньшее распространение трещин.
Выводы.
Результаты выполненных расчетов подтвердили, что трещинообразование в конструкциях цокольного перекрытия жилого дома в п. Батагай вызвано температурно-влаж-ностными деформациями бетона и арматуры при превышении рекомендованных РМ 2-77 размеров температурного блока.
Распределение эквивалентных относительных деформаций и трещин при расчете в нелинейной постановке по-
+! +$"+!"5+!P+%")+U *
Подземное строительство
цн .1
Научно-технический и производственный журнал
казало в целом на качественное совпадение с картиной реального трещинообразования в цокольном перекрытии и на сваях. Что показывает на правомочность примененной расчетной модели работы железобетонного цокольного перекрытия и эффективность применения программы Ansys для анализа термонапряженного состояния железобетонных конструкций.
Выявлено негативное влияние внутренних углов в планах цокольных перекрытий в участках ниш и выступов, которые являются концентраторами напряжений и способ-
Список литературы
1. Иванова Р.Н. Рекордно низкие температуры воздуха в Евразии // Вестник ЯГУ. 2006. № 1. Т. 3. С. 13-19.
2. Алмазов В.О., Истомин А.Д. Влияние способа водона-сыщения на температурные деформации бетона при замораживании. Воздействия внешних факторов на гидротехнические сооружения: Межвуз. сб. науч. тр. М.: МИСИ, 1986. С. 162-169.
3. Истомин А.Д., Кудрявцев А.В. Работа статически неопределимых железобетонных элементов в условиях отрицательных температур // Промышленное и гражданское строительство. 2016. № 7. С. 51-55.
4. Милованов А.Ф., Самойленко В.Н. Учет воздействия низких температур при расчете конструкций // Бетон и железобетон. 1980. № 3. С. 25-26.
5. Москвин В.М., Капкин М.М., Савицкий А.Н., Ярмаков-ский В.Н. Бетон для строительства в суровых климатических условиях. Л.: Стройиздат, 1973. 172 с.
6. Муха В.И., Абакумов Ю.Н., Малков Е.Н. Основы расчета, конструирования и возведения сооружений в Якутской АССР. В 3 ч. Ч. 1: Теоретические основы расчета строительных конструкций на температурные воздействия. Якутск: Якутское книжное издательство, 1976. 248 с.
7. Рекомендации по расчету железобетонных свайных фундаментов, возводимых на вечномерзлых грунтах, с учетом температурных и влажностных воздействий. М.: Стройиздат, 1981. 47 с.
8. Ansys Mechanical APDL Theory Reference. Release 17.2. Canonsburg. 2009. 884 p.
9. Schnobrich W.C., Suidan M. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete // ASCE Journal of the Structural Division. 1973. ST10, pp. 2109-2122.
10. Taylor R.L., Beresford P.J., Wilson E.L. A Non-Conforming Element for Stress Analysis // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1976. Vol. 10, pp. 1211-1219.
11. Willam K.J., Warnke E.D. Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete // Proceedings, International Association for Bridge and Structural Engineering. 1975. Vol. 19, pp. 43-57.
12. Wilson E.L., Taylor R.L., Doherty W.P., Ghaboussi J. Incompatible Displacement Models // Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics. Edited by S.J. Fenves, et al. Academic Press, Inc. N. Y. and London. 1973, pp. 43-57.
14l -
ствуют трещинообразованию в конструкциях. В проектных решениях в районах с низкой температурой желательно избегать подобных внутренних углов.
В дальнейшем следует выполнить анализ различных конструктивных решений цокольных перекрытий: ребристых; с применением свайных кустов и жесткими ростверками; на буронабивных сваях и пр. для выработки рекомендаций по проектированию конструкций нулевого цикла в районах с низкой температурой и многолетнемерзлыми грунтами с учетом реальной работы грунта.
References
1. Ivanova R.N. Lowest records of air temperature in Eurasia. Vestnik YaGU. 2006. No. 1. Vol. 3, pp. 13-19. (In Russian).
2. Almazov V.O., Istomin A.D. Influence of the water saturation on the temperature deformation of concrete under freezing. Impacts of external factors on hydraulic engineering constructions. Collection of scientific works. Moscow: MISI. 1986, pp. 162-169. (In Russian).
3. Istomin A.D., Kudryavtsev A.V. Behavior of statically indeterminable reinforced concrete members under negative temperatures. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitefstvo. 2016. No. 7, pp. 51-55. (In Russian).
4. Milovanov A.F., Samoylenko V.N. Uchet vozdeystviya nizkikh temperatur pri raschete konstruktsiy. Beton i zhelezobeton. 1980. No. 3, pp. 25-26. (In Russian).
5. Moskvin V.M., Kapkin M.M., Savitsky A.N., Yarmakov-skiy V.N. Beton dlya stroitel'stva v surovykh klimaticheskikh usloviyakh [Concrete construction in extreme climatic conditions]. Leningrad, Strojizdat., 1973. 172 p. (In Russian).
6. Mukha V.I., Abakumov Yu.N., Malkov Ye.N. Osnovy rascheta, konstruirovaniya i vozvedeniya sooruzheniy v Yakutskoy ASSR. Part 1: Teoreticheskie osnovy rascheta stroitel'nykh konstruktsiy na temperaturnye vozdeystviya [Fundamentals of design, construction and erection of structures in the Yakut ASSR. Vol. 1: Theoretical basis for calculating building structures for temperature effects.] Yakutsk: Yakutskoe knignoe izdatelstvo, 1976. 248 p. (In Russian).
7. Rekomendatsii po raschetu zhelezobetonnykh svaynykh fundamentov, vozvodimykh na vechnomerzlykh gruntakh, s uchetom temperaturnykh i vlazhnostnykh vozdeystviy [Recommendations for the calculation of reinforced concrete pile foundations, erected on permafrost soils, considering temperature and humidity effects] Moscow: Strojizdat, 1981. 47 p. (In Russian).
8. Ansys Mechanical APDL Theory Reference. Release 17.2. Canonsburg. 2009. 884 p.
9. Schnobrich W.C., Suidan M. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete. ASCE Journal of the Structural Division, 1973, ST10, pp. 2109-2122.
10. Taylor R.L., Beresford P.J., Wilson E.L. A Non-Conforming Element for Stress Analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1976, vol. 10, pp. 1211-1219.
11. Willam K.J., Warnke E.D. Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete. International Association for Bridge and Structural Engineering, 1975, vol. 19, pp. 43-57.
12. Wilson E.L., Taylor R.L., Doherty W.P., Ghaboussi J. Incompatible Displacement Models. Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics. Edited by S.J. Fenves, et al. Academic Press, Inc. N. Y. and London. 1973, pp. 43-57.
^^^^^^^^^^^^^ |5'2018
