CC BY
28
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО МАССИВА, СОДЕРЖАЩЕГО ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ ПОЛОСТЬ
Аршинов Г. А. - к. ф.-м. н.
Кубанский государственный аграрный университет
Рассматривается конечно-элементная модель расчета напряженно-
деформированного состояния упругого полупространства, содержащего осесимметричную полость.
Модель строится из следующих соображений. Допустим, что в упругом однородном изотропном полупространстве образована осесимметричная (с вертикальной осью симметрии) полость с центром на глубине Н и максимальным характерным размером а. Предполагая, что а/Н<<1, и учитывая малость влияния полости на напряженное состояние окружающего ее массива вне шара (центры полости и шара совпадают) радиуса 4а, заменим весомое полупространство, содержащее емкость, невесомым круглым цилиндром с полостью, по верхнему торцу и боковой поверхности которого равномерно распределены сжимающие усилия р = уИ (7 - объемный вес массива) и рг =1р, а нижний торец опирается на жесткое основание. Выделенную область массива с полостью аппроксимируем совокупностью кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и в силу осесимметричности рассмотрим лишь половину меридионального сечения полученной аппроксимации (рис. 1в). При наличии у полости эквато-
риальнои плоскости симметрии достаточно рассмотреть четверть указанного сечения (рис. 1а).
Предположим, что конечно-элементная идеализация содержит Е треугольников и О узлов, будем нумеровать узлы (вершины) треугольников 1, 2, 3 против часовой стрелки.
Рисунок 1 - Конечно-элементная аппроксимация выделенной области с полостью
Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся матричной
символикой [1]. Функцию перемещений и( р,2) аппроксимируем следую -
щим образом:
и(р,г) »х>(р,г) = I д(х}(ам + Ъмр+ смг),
(1)
Є =1
где и, и - вектора-столбцы, компоненты которых суть проекции вектора смещений и его аппроксимации на оси координат Ор, Оі\
(є)
Ш =
иИ
ум
(И = 1,2,3) - вектор узловых смещений е-го треугольника.
Коэффициенты ан,Ьн,сн определяются через координаты узлов эле-
мента:
а1 - 5(е)( Р 2 г3 -р3 г2 )> Ь1 - 5(е)( г2 - г3 )* с1 - 5(е)( р3 -Р 2 Л
(е)
1 Р1 ч
1 Р 2 2 2
1 Р3 23
(2)
Циклической перестановкой индексов в порядке 1, 2, 3 в (2) получаются остальные коэффициенты. Используя (1) и формулы Коши, представим вектор деформаций элемента в виде
еР
'-(е)
е0
еРя
в,
где В(е) - [ВВВ3 ]; В
Ь!
0
а с 2
+ Ь + -*-
Р Р
с
I
(е)Ч(е)’
0
с
Ь\
(3)
1=1, 2, 3,
а
Ч(е)
(е)
(е)
(е)
%
вектор узловых перемещений е-го элемента.
По закону Г ука
где Б -
1+2т т т 0
т 1+2т т 0
т т 1+2т 0
0 0 0 т
®(е) - Бе(е) ,
, а 1 ,т - параметры Ламе.
(4)
Решение смешанной краевой задачи в случае ее осесимметричности минимизирует функционал энергии:
1
е
г
0
где /, р - вектора массовых и поверхностных сил, V - область, в которой ищется решение, 5 - граница V. Принимая во внимание (3) и (4), получим аппроксимацию функционала (5):
_ Е 1 , Е , , Е , ,
^и) -Х -Ч(е)к(е)Ч(е) - 2р( X Ч(е) 1 А\е)/РЭРЭг + Х д(е) 1 А(е)РЭэ),
е-1 2 е-1 У(е) е-1 В(е)
(6)
где матрица к^е) - 2р 1 В^БВ^РЭРЭг называется матрицей жесткости е-го
у(е)
конечного элемента, а матрица
А(е) - [ А1А2 А3 ]; А/ -
а + Ь/Р +с/г 0
0 а+Ь1Р+с1г
Введем матрицы С(е) размером 6 х 2О, компоненты которых либо
нуль, либо единичные. Для любого т-го узла е-го элемента, совпадающего с 1-м узлом в глобальной нумерации узлов конечно-элементной сетки,
компоненты С(е) 2т -1,2/ -1; С(е) 2т -1,2/; С(е) 2т,2/ -1 и С(е) 2т,2/ равны 1. После перебора всех элементов и присвоения компонентам С(е) единицы
согласно указанному правилу, оставшиеся компоненты приравниваются к нулю. Если
и1 П
иО уО.
- вектор смещений узлов согласно глобальной нумерации, то
У(е) - С(е.
Учитывая (7), запишем (6) в виде
(7)
1 I Е , , Е , , , Е1 . .
3(и) - 2и( XС(е)К(е)С(е)и-2р(С(е) 1 А(е)/РЭРЭг +и 1 XС(е) 1 А(е)РЭ8 +))
2 е-1 е-1 Че) е=1 8(е)
или
З(и) = 2 и Ки-и1 (Г + р ). (8)
= 0 ; и,- =
Щ
Функционал (8) принимает минимальное значение, если
ЭЗ Эи-
Эти условия сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора глобальных узловых перемещений
Ки = Г + р, (9)
матрица коэффициентов которой К называется матрицей жесткости системы конечных элементов. Решение и позволяет установить деформации и напряжения по формулам (3), (4).
Иногда в элементах полезно задавать начальные деформации или напряжения, тогда видоизменяется связь (4), которая в этих случаях соответственно имеет вид:
о(е) = Б(е(е)-е0е)) ; о(е) = Бе(е) + о0е), (10)
где е0е; и о0еу) - начальные деформации и напряжения, а к правой части (9) добавится слагаемое Q, соответственно равное
о = е0е), (11)
е=1
или
о = -2р "V С ИI 0(е) (12)
0 = 2р " С(е)В(е)00 .
е =1
После решения системы Ки = Г + р + 0 напряжение вычисляются согласно (10).
Список литературы
1. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. - М. : Мир, 1975.
