Компьютерный метод исследования функциональных зависимостей в геометрических фигурах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Гейнц Шуман

КОМПЬЮТЕРНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ

Функциональное мышление как цель математического образования было признано почти 100 лет назад (A. Гутцмер [1]). Оно было также принято в качестве центральной идеи в современной математической дидактике (см., например, Ф. Швайгер [2] - «идея функционального варьирования» или Г. Хейман [3] - «идея функциональных связей»). В своей весьма содержательной диссертации «Воспитание функционального мышления. К истории дидактического принципа» K. Крюгер [4] тщательно проанализировала специфическую связь между развитием математического образования и развитием экономики, технологии и науки в обществе.

В настоящее время использование компьютеров в преподавании и изучении математики способствует функциональному мышлению, благодаря возможности динамического представления и обработки разнообразных графических, числовых или алгебраических данных и объектов. Например, пакет Динамические Геометрические Системы (DGS), разработанный для планиметрии, значительно превосходит по своим возможностям традиционные методы изучения геометрических объектов.

Подобные системы обладают также новыми возможностями и в изучении функциональных зависимостей в геометрических фигурах: мы можем производить измерения в фигурах, построенных определенным образом, проверять на основе этих измерений количественные соотношения (например, между длинами, площадями, углами и т.д.), варьируя фигуры с помощью метода drag-and-drop (Х. Шуман [5-7]).

Графическое представление функциональных зависимостей чрезвычайно полезно для их понимания. Поэтому такое представление является существенным моментом в нашем методе исследования функциональных зависимостей в геометрических фигурах. Однако графическое представление является не целью исследования, а скорее стимулом для дальнейшего математического анализа.

Этот метод создает новую связь между геометрией и школьной алгеброй. Цель метода была удачно сформулирована X. Мертенсом [9]:

«Цель образования состоит не только в усвоении понятия функции, но, гораздо больше, - в достижении такой готовности к восприятию и анализу, при которой достаточно просто взглянуть на результаты варьирования количественных переменных, чтобы увидеть существующую между ними связь».

ОПИСАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО МЕТОДА

ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ

ЗАВИСИМОСТЕЙ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ФИГУРАХ

1. Построение геометрической фигуры, для которой заданная величина (результат измерения или его функция) зависит от варьируемой переменной.

2. Представление функциональной зависимости между зависимой и независимой переменными в виде графика «эмпирической» функции.

3. Интерпретация «эмпирической» функции (также наблюдение над изменением характеристик графика при варьировании параметров фигуры и сравнение с другими графиками).

4. Вывод аналитического выражения, задающего данный «эмпирический» график.

5. Проверка согласия между аналитической и «эмпирической» зависимостями.

6. Обсуждение полученного аналитического выражения (критические точки, точки экстремума и т.д.).

клгесЛйе Независимой переменной внутренний угол

параллелограмма...

рых навыков работы с компьютерными инструментами.

ЗАМЕЧАНИЯ

• Фигуру нужно строить так, чтобы рассматриваемая величина зависела только от одной переменной, остальные параметры должны оставаться фиксированными.

• Поскольку зависимость описывается функцией одной переменной, перемещаемая точка (например, вершина угла) должна двигаться вдоль некоторой заданной линии так, чтобы изменялся только один параметр.

• График называется эмпирическим, так как порождающая его функция неизвестна.

• Подбор подходящей функции требует владения определенными математическими средствами.

• Экспериментальная проверка найденной функции требует только некото-

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА

В этом параграфе на примере параллелограмма мы описываем несколько задач, решаемых описанным выше методом. Задачи решались в среде Cabri Geometre 2 (Ж. Лаборде, Ф. Белмэйн [8]). Для вывода функционального выражения необходимо владеть основами тригонометрии. Приведенный ниже набор задач на исследование функций был рассмотрен У. Уолтом [10].

В следующих пяти задачах в качестве независимой переменной выбран внутренний угол параллелограмма.

Пример 1.

Как зависят площадь и периметр параллелограмма от угла a, если его стороны а и b постоянны?

¿rrrffr

"Kate j/а^исяЛ площадл и перижеЛр паараллелаграм-ма оЛ угла а, если его сЛораЛи a и bпос&о&Ши?

Точка D движется по полуокружности, a изменяется от 0° до 180° (рисунок 1). Эмпирический график показывает постоянство периметра, график площади симметричен относительно a = 90°, что подтверждает вид функциональной зависимости:

F = a0-b0-sin(a) < y = k-sin(a),

k >0, ae [0o, 180o] и т.д.

Пример 2.

Каков характер зависимости периметра параллелограмма от угла a при условии, что сторона а и соответствующая высота (ширина) остается постоянной?

Эмпирический график симметричен относительно a = 90°, имеет минимум при этом значении a. Периметр возрастает до бесконечности, когда a пробегает значе-

ния от 0o до 180°. Мы получаем функциональную зависимость вида

F

u(a) = 2 (a0 +-0—)

a0sina '

где значение функции минимально, когда sin(a) максимален, то есть при a =90°.

при условии, гЛа сЛораЛа a и сооЛеЛсЛующая висо&л (мириЯа) асЛаеЛся пос&о&ЛЛой?

Пример 3.

Как изменяются длины диагоналей в зависимости от угла, если стороны а и Ь остаются постоянными?

На рисунке 3 показаны взаимно симметричные графики длин диагоналей е и/, причем е = / тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. Функция е(а) строго убывающая, а /(а) строго возрастающая. Абсолютные максимумы и минимумы достигаются на границе при а=0о и а= 180о. Используя теорему косинусов, получаем

е(а) = т[а(

"ак ирмеК&о&ся флиКи фиагоКалей & ул&исимос&и ой

угла, если сшороЯи а и

+ Ь02 + 2а0Ь0 соэ(а),

f (а) = д/а2 + Ь02 - 2а0Ь0 соэ(а) Пример 4.

Как изменяются длины диагона- / лей в зависимости от угла а, если сторона а и высота постоянны?

На рисунке 4 показаны взаимно

симметричные графики длин диагоналей е и /, в которых е или / принимают наименьшее значение, когда АС или, соответственно, ВЭ ортогональны АВ. Если а приближается к 0 или 180, то е и / приближаются к бесконечности. Формула для е (аналогично для /) имеет вид

а0 +---—(----2а0 соэа),

а0 эта а0 8та

е имеет минимум при а = аг^(—0).

"ак флиКи фмагоЯалей &

ул&исимос&и ой угла а, если с&ороКл а и &исойа пос&о&ККи?

Пример 5.

Как зависит от a угол между диагоналями, если стороны параллелограмма остаются постоянными?

Эмпирический график (рисунок 5) симметричен относительно a=90°, где имеет место минимум. Выражение для функции e(a) может быть получено из теоремы косинусов для треугольника АВЕ. Имеем

е2 + f2

e(a) = arccos(--—)

2 ef ,

где выражения для е(а) и f(a) нужно взять из примера 4.

О.

"Kate рг&исшп otñ

a угол M&^ftf. филгопоями...

Пример 6.

Как зависит длина отрезка, соединяющего фиксированную точку S внутри параллелограмма с точкой Т, дигающейся по сторонам параллелограмма, от угла AST?

Эмпирический график (рисунок 6а, б) содержит 4 ветви (горизонтальная линия возникла при возврате от 360° к 0°).

В углах дифференцируемость функции нарушается. Какие из экстремальных значений инвариантны относительно положения точки S и формы параллелограмма? Если положение точки S определено углом SAB, можно вычислить ST с помощью теоремы синусов и теоремы косинусов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Аналогичным способом могут быть исследованы многочисленные функциональные зависимости в параллелограмме или любой другой фигуре. Мы приобретаем широкое поле для исследований, на котором соединяются геометрия и школьная алгебра в духе метода «свободного исследования» (open-ended approach, Becker & Shimada, 1997).

Литература.

1. Gutzmer A. Доклад о преподавании математики в школах-девятилетках. Zeitschrift fur den Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht (36), 1905, p.543-553.

2. Schweiger F. Фундаментальные идеи - эссе об истории дидактических идей в преподавании математики. Journal fur Mathematikdidaktik (13), 1992, р.199-214.

3. Heymann H.-W. Общее образование и математика. Weinheim :Beltz, 1996.

4. Kruger K. Воспитание функционального мышления. К истории одного дидактического принципа. Диссертация. Университет Гете, Франкфурт-на-Майне, 1999.

5. Schumann H.Построения с помощью компьютера в курсе школьной геометрии, Штутгарт. Teubner, 1991.

6. Schumann H. Представление и исследование функциональных свойств фигур в курсе школьной геометрии с помощью Cabri 2 в TI-92.

7. Schumann H. Изучение функциональных соотношений в геометрических фигурах с помощью компьютера. Mathematik in der Schule, (38) 2000, 2, р. 109-119.

8. Laborde J.-M., Bellemain F. Cabri Geometre 2. Университет Ж.Фурье, Гренобль.

9. Mehrtens H. Современный язык математики. Франкфурт, Suhrkamp, 1990, p.359.

10. Walsch W. «Семейства задач». Примеры и Дидактические замечания, части 1,2. Mathematik in der Schule (33) , 1995, 3, p.78-82, 142-152.

11. Becker J.P. & Shimada S. «The Open-ended approach» - новый подход в обучении математике. Reston VA: NTCM, 1997.

Как jaixctofc fMtfta о&рерсл, со&риШющего

<иксиро&аЯЩю tüo-iKy S пА&рА>ихелогрлмжа

с ЛочкоЛ "Ш, %(кшш<цейс» по айороЯам «Айаллемогражма, угла?

© Наши авторы, 2001. Our authors, 2001

Гейнц Шуман, профессор факультета математики и информатики, педагогический университет, Германия.