Компьютерный анализ устойчивости нелинейной системы управления вращением спутника Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Brusilovsky, P. (1995) Intelligent tutoring systems for World-Wide Web. In: R. Holzapfel (ed.) Proceedings of Third International WWW Conference, Darmstadt, Darmstadt, April 10-14, 1995, Fraunhofer Institute for Computer Graphics. РР. 42-45.

2. Brusilovsky, P. (1996) Methods and techniques of adaptive hypermedia. In P. Brusilovsky and J. Vassileva (eds.), Spec. Iss. on Adaptive Hypertext and Hypermedia, User Modeling and User-Adapted Interaction 6 (2-3), 87-129.

3. Brecht, B. J., McCalla, G. I., and Greer, J. E. (1989) Planning the content of instruction. In: D. Bierman, J. Breuker and J. Sandberg (eds.) Proceedings of 4-th International Conference on AI and Education, Amsterdam, 24-26 May 1989, Amsterdam, IOS. РР. 32-41.

4. Nakabayashi, K., Maruyama, M., Kato, Y., Touhei, H., and Fukuhara, Y. (1997) Architecture of an intelligent tutoring system on the WWW. In: B. d. Boulay and R. Mizoguchi (eds.) Artificial Intelligence in Education: Knowledge and Media in Learning Systems. (Proceedings of AI-ED'97, World Conference on Artificial Intelligence in Education, Kobe, Japan, 18-22 August 1997) Amsterdam: IOS. РР. 39-46.

5. www.competentum.ru.

6. www.adaptolog.org.ru.

7. www.medeo.ru.

8. Атанов Г.А. Моделирование учебной предметной области, или предметная модель обучаемого. -Educational Technology & Society 4(1) 2001. Р. 111-124.

9. Савинов Н.А Построение динамической немонотонной индуктивной модели обучаемого / Материалы IX Международной школы-семинара. М.: МГИЭМ, 2001, 461 с.

10. Башмаков А.И., Башмаков И.А. Разработка компьютерных учебников и обучающих систем. М.:

Инфор.-издат. дом «Филинъ», 2003. 616 с.

Я.Е. Ромм, С.А. Катрич

КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ВРАЩЕНИЕМ СПУТНИКА

Описание общей схемы компьютерного анализа устойчивости. Пусть требуется исследовать устойчивость в смысле Ляпунова решения задачи Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в нормальной форме

^I=F{tjyY(t0) = Y0, (1)

d t

где Y = Y(t), Y = {y1(t),y2( t ),-■■, У „(0„ " искомое решение, ~ С' 1 (t (I X У 2 (' (I )>■■■> У n (' (I ) ~ вектор начальных данных,

F(t,Y)= (t,Y), f2 (t,Y ),..., fn(t,Y) - заданная вектор-функция от П + 1 переменных: независимой переменной t и П зависимых переменных y j ( t), y 2 (t) , •••> У n (t )• Предполагается, что для системы (1) выполнены все условия существования и единственности решения Y — Y (t) на всей полупрямой |п, со . Предполагается, что эти же условия выполнены для всех решений Y = Y ( ? ) с начальными условиями К ( / (| ) = Y (], если только

0<

Y -Y

'о 'о

<Ь, (2)

где Ь - некоторое постоянное число.

Здесь и в дальнейшем под нормой вектора || • || понимается каноническая норма вектора, определенная как сумма модулей его координат.

Пусть Еп + 1 - пространство точек 2,...,у п или ^. 7 . Пусть Е й+1

множество всех точек ^,7(0 и ^, Y {i ) в /7 + 1-мерном пространстве Еп + 1, где 7 (t) - всевозможные решения, получаемые из (2), при / €Е [п, . На множестве Е j предполагаются выполненными условия:

1) Функция F (t, Y ) определена и непрерывно дифференцируема по / на , со ^ при

7 = 7(0 и всех 7 = 7 (О из (2).

2) На всем множестве точек из Е j выполнено условие Липшица

F(t,Y)-F(t,Y)

3) Существует константа С 0, такая что

< L

7-7

L = const.

(3)

F't(t,Y) <С0, F't(t,Y) <С0 VC^(0>^+1aVC7(0>^+1

. (4)

Определение устойчивости по Ляпунову заимствуется из [1] с некоторыми упрощениями, допустимыми в рассматриваемых условиях. Решение 7 = 7(0 устойчиво (справа), если для

любого сколь угодно малого числа Б > 0 существует 5>0, 8<Ь, такое что

Y -Y 1 0 1 0

<8

влечет

7<>7<1<В Vie |0, «Г. Решение 7 = 7(0

асимпто-

тически устойчиво (справа), если оно устойчиво и найдется 8о>0, 8 0 < 8, такое что

7 -7

1 о 1 о

< 8 0 влечет

ШпСЧ>7<3=0

'. Всюду ниже рассматривается устойчивость

справа (слева аналогично), которая для краткости называется просто устойчивостью.

Базовая схема предложенного способа компьютерного анализа устойчивости строится на основе разностных методов приближенного решения ОДУ, в частности, ниже приводится пример использования для этой цели метода Эйлера-Коши. Существенной особенностью при этом является выбор шага численного интегрирования И : предполагается, что для каждого произвольного со каково бы ни было I — од,...,

t=tI + l,h:

t,+l-tj i+1

(5)

при этом изменение переменной / рассматривается как изменение правой границы промежутка [0, Г. Иными словами, И = И ( / ) на любом промежутке |0, / _. но шаг остается равномерным внутри промежутка. Если I +1 - номер заключительного шага на |0 , ? , то при любом к ,

О <к<ик+1 = гк+к.

В [2] на основе тейлоровских разложений невозмущенного решения 7 = 7(0 задачи

Коши (1) и возмущенного решения 7 = 7 ( О > с начальными условиями 7 ( / (| ) = 70 , показано, что для разности между соответственными компонентами возмущенного и невозмущенного

решений для любого / из (5) имеет место равенство

У1 - УЛ +1 =П

Ы 0

1

1 + /

У: о- Уу о

к = 1 Ы к

1 И,

1 + —а.. 2 :'

ук ' ^7 + 1

(6)

где величины суть О (И 2 ) и

(Л С Л > /7 С Л + ^ < Д + С,_

(7)

7 = 1,2, ...,«.

Соотношение (6) является базовым для формулируемых в рамках предложенной схемы условий устойчивости. Первое слагаемое правой части представляет собой главную часть роста разности между возмущенным и невозмущенным решениями (главную часть возмущения), поскольку

не содержит множителя И .

В [2] доказывается, что ^

1

1 + -<7

У

а + п —> О при И —> 0, что равносильно

1 —^ оо, для любого / из (5). Предельный переход в равенстве (6) влечет

^/(0-^/(0 = 1^1^,^/0-^/0.. 7=1,2,...,«, (8)

где

\ И я 2а:1

(9)

при этом условия существования и единственности решения задачи Коши всегда обеспечивают

|0, со;, 7 = 1, 2, ..., п.

Соотношения (6)-(9) получаются на основе метода Эйлера-Коши с учетом остаточных членов тейлоровских разложений решений. Аналогично, в случае метода Эйлера, равенство (7) принимает вид

I 7 /" € Г ^

^ 7 ^е^ е > < .

"а

У Л ~ У л

Пусть ■ где Риз (9), 7 = 1, 2, ...,П. Непосредственно

2 / ' ' " ' п г ^ ^~ ] г

на основании (8) формулируются условия устойчивости в виде следующей теоремы.

Теорема. В условиях 1) - 3) для устойчивости по Ляпунову решения задачи (1) необходимо

и достаточно, чтобы существовало 8 > 0, 8 < Ь, такое, что одновременно для всех решений

У = У ( ? ) при ограничении 0 <

У -У

^ о о

<8

выполняется условие

1]Ш Р

<С, С = сош! V? е

. 00

(10)

2

к = 1 1 = к

е = о

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (10) и

нашлось 8 >0, 8 0 < 8, такое, что 0 <

Y -Y

А о J о

<8

влечет

lim lim Р = 0.

¿—»Со i—> СО

(11)

Условие (10) означает равномерную ограниченность бесконечных произведений 1ш1 Р

/'—>СО

в случае устойчивости, при этом ?, I и Н связаны соотношениями (5). Условие (11) означает

стремление к нулю этих произведений при / —>■ оо в случае асимптотической устойчивости.

Условия (10), (11) реализуются программно. Для этого выполняется циклическое накопле-

ние частичных произведении

1 + h d ,t , J ~ 1, 2, ..., П, поведение этих произведе-

2

ний будет определять характер устойчивости решения: если при неограниченном росте / будет наблюдаться ограниченность произведений, это будет означать устойчивость, стремление к нулю - асимптотическую устойчивость, неограниченность - неустойчивость. Такое моделирование составляет основу компьютерного анализа устойчивости.

Данный подход к оценке устойчивости отличается от методов качественной теории по построению и по способу программной реализации.

На практике бесконечные произведения не могут быть вычислены точно. Моделирующая их поведение программа с необходимостью остановится на их приближении конечным числом сомножителей. Возникает вопрос, как такое приближение отразится на достоверности оценки устойчивости. Поэтому необходимо исследовать поведение левых частей соотношений (10), (11) в зависимости от количества сомножителей. Решение этого вопроса дано в [2]. Утверждение представленной выше теоремы переносится на случай частичных произведений Р с некоторыми оговорками, в частности, в формулировку теоремы добавляется, помимо требования существования 8 > 0, требование существования номера / 0 (шага /? п). начиная с которого выполняется усло-

вие

стве

P

г

P

<С, С = const V / > / 0 л V t е |0 , оо . Из предельного перехода в неравен-с учетом (10) следует, что это условие достаточно для устойчивости решения

задачи (1). В [2] при естественных ограничениях показано, что замена предельных значений в выражении условий (10), (11) на их конечные приближения сохраняет достоверность оценки устойчивости.

В [2] исследована зависимость сконструированных условий устойчивости от погрешности разностного метода, на основе которого эти условия построены, при этом рассматривались методы Эйлера-Коши, Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса. Для всех этих методов обоснована возможность программного моделирования устойчивости при помощи циклического накопления произведений

' к ^

pji=n

V

1 + -d 2

j i

приближаемых по разностной схеме.

/

Ниже дается применение предложенного подхода для оценки устойчивости системы управления вращением спутника.

Описание математической модели нелинейной системы управления вращением спутника. Данная система описывается системой ОДУ следующего вида [3]:

о

Ы 0

1 = 0

(У 1 ¿У 2

(¡1 (У 3

¡У

= -2 у 2+ и 1, = 2 У 1 + и 2 , = -У 2® + У 4,

4

= У У 3,

(12)

где СО

^3^4 У

2 2

У з — У4 , координаты у 1, у 2 - компоненты спин-вектора; коор-

динаты У 3, У 4 - компоненты вспомогательного вектора единичной длины, возникающие при переходе к инерциальной системе координат из системы, жестко связанной со спутником; управления II!. и 2 - моменты, создаваемые двумя реактивными двигателями.

Законы управления Ы х Х,У 2,У Ъ,У 4 и И 2 ^,, У 2, У3, У 4 должны обеспечивать

стабилизацию вращения спутника вокруг неподвижной оси.

В [3] на основе метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) синтезируется автопилот, который обеспечивает эту стабилизацию. Математически это означает, что гарантируется асимптотическая устойчивость движения спутника в заданной области.

По определению область изменения координат у 3, у4 спутника удовлетворяет неравен-

2 2 1

ству у 3 + у 4 < I, поэтому поведение этих координат рассматривается в указанной области. Законы управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость, имеют вид [3]:

Ви, =-

Р22 Р

Л

■<у

т т

\ \ 2

- — -В (3

т К 24 И 12

12 К 22 Уз Р 24 Р 12 У 4

Р==Р,+2В + Р11Р!!.Р,1'

т

Р 24 Р 22

Р22Р1

V '2 \

т

?2

(13)

1 У

т

у3ю

1 У

Р 13 Р:

Р12Р:

т

Л®

2 У

Ви2=-

т т

М ' 2 у

Ух

Р ^ Р 22 Р12

^2 )

У 2 +

Р24 +

Г,

Уз®"' +

1 У

Р13 +

Р24

(14)

Т,

Л®

+ ^13^3 -Э24

Л-Л-УзЗР"

2 У

где В — (3 22 —Р12, Р22, Р 24. Р 12 и (З13 - параметры, выбор которых производится из условий оптимизации системы в режиме малых отклонений по некоторому квадратичному критерию качества, или, исходя из задания прямых показателей качества, например, времени и характера затухания переходных процессов системы.

2

С помощью законов управления (13), (14) на основе метода АКАР синтезируется следующая линейная система [3]:

йх dt

йу

Р,

(

dt

В

1 +

х

1

В

У,

В

, Р Р 12

х н--у .

В

(15)

Условия устойчивости системы (15) выражаются в виде одновременных ограничений на значения параметров:

р22>о,р24>о,р12<о,р13>о.

(16)

При выполнении неравенств (16) представленные законы управления (13), (14) гарантируют системе (12) асимптотическую устойчивость в целом по координатам у1, у 2 и асимптотиче-

2 2 1

скую устойчивость в области уз + _У 4 <1 по координатам уз и у4 [3].

Программное моделирование устойчивости системы управления вращением спутника. Ниже проводится программное моделирование устойчивости решений системы (12) на основе изложенного подхода. Ядром программных моделей является стандартная подпрограмма [2], реализующая циклические операции условий (10), (11). Результатом работы подпрограммы является

вывод значений нормы произведений Р i. Динамика этих значений определяет характер устойчивости в соответствии с представленной теоремой.

Моделирование имело следующие цели:

1) проверить совпадение результатов моделирования с результатами, представленными в [3], и тем самым дополнительно подтвердить достоверность предложенного способа оценки устойчивости;

2) осуществить предполагаемую проверку не на основе линеаризации исходной системы (12) в виде (15), а непосредственно на основе исходной системы (12), показав тем самым применимость предложенной схемы анализа устойчивости непосредственно к нелинейным системам без вспомогательных преобразований;

3) дополнить результаты анализа устойчивости решений системы (12), изложенные в [3] на основе линеаризации, программным анализом в тех случаях, когда линеаризация оставляет вопрос открытым, - при нулевых действительных частях корней характеристического уравнения системы (15) (критический случай по Ляпунову).

В рамках предложенного способа компьютерного анализа устойчивость системы управления вращением спутника проверялась:

1) при сочетании значений параметров, заведомо обеспечивающих ее асимптотическую устойчивость

Р22>0,Р24>0,Р12<0иР13>0;

2) при сочетании значений параметров, приводящих к ее неустойчивости

Р22<0,Р24<0,Р12>0иР13<0;

3) при нулевых значениях параметров

Р22=0,Р24=0,Р12=0иР13=0;

действительные части корней характеристического уравнения системы (15) в этом случае равны нулю и нельзя воспользоваться стандартными методами оценки устойчивости.

Для первого и второго случаев эксперимент проводился выборочно для значений параметров в диапазоне 102, 102 с шагом дискретизации порядка 10'.

Конкретно результаты моделирования приводятся для двух наборов значений параметров в каждом случае (в начале и конце диапазонов изменения), тенденции устойчивости в промежутках между выбранными значениями оказываются идентичными между собой. Теоретическим основанием этого утверждения служат условия устойчивости (16), соответственные синтезированной в [3] линейной системе (15). Кроме того, численный эксперимент проводился при вариациях начальных данных с целью идентификации области устойчивости при выбранных значениях параметров.

Полученные результаты моделирования полностью согласуются с теоретическими оценками устойчивости рассматриваемой системы (12) для всех взятых наборов параметров и при всех использованных вариациях начальных данных.

Численный эксперимент и результаты моделирования устойчивости системы управления вращением спутника. При (3 22 = 1, (3 24 = 1, (3 12 = —1, |313 =10 и Р22 =90,

(3 24 = 90 , Р12 = —90 , Р13 = 100 имеет место асимптотическая устойчивость. Это же подтверждает процесс изменения значений нормы вектора Р при использовании метода Рунге-Кутта для получения значений решений для начальных данных:

1) 'о =°> У ю =!' У 20 =1. ^30 =0,6 и у40 =0,5;

2) t о = 0 , у „=1, у 20 =1, У з„=^-10-3 и У 4о=^-10"3.

Результаты моделирования сведены в табл. 1 в порядке следования начальных данных

Таблица 1

Результаты моделирования для случая асимптотической устойчивости

1 Норма произведения р для первого набора параметров Норма произведения р для второго набора параметров

I II I II

100.00 9.4Е-002 6 5.5Е-0023 3.4Е-0028 1.2Е-0025

200.00 5.8Е-0052 3.4Е-0049 6.5Е-005 6 2.3Е-0053

500.00 1.3Е-0130 7.8Е-0128 4.5Е-0139 1.5Е-0136

600.00 8.2Е-0157 4.8Е-0154 8.7Е-0167 3.0Е-0164

900.00 1.9Е-0235 1.1Е-0232 3.2Е-0222 2.1Е-0247

1000.00 1.2Е-02 61 6.8Е-025 9 6.1Е-025 0 4.1Е-0275

Значения нормы произведений Р монотонно убывают к нулю, что соответствует выполнению условия (11), следовательно, означает асимптотическую устойчивость. Аналогичный результат наблюдается при любых вариациях начальных значений у , у и у , у , удовле-2 2 1

творяющих у30 + У 40 < I, а также при любых практически выбранных значениях параметров при условии Р22 >0, Р24 >0, Р12 <0, Р13 >0.

В случае значений |322 =—2, Р24=—2, |312=2, Р13=—11 и (3 2 2 = — 100 , |3 24 = —100 , |312 = 100 , Р13 = —100 имеет место неустойчивость:

Таблица 2

Результаты моделирования для случая неустойчивости

г Норма произведения | |р|| для первого набора параметров Норма произведения | |р|| для второго набора параметров

I II I II

0.1 5.5Е+0000 5.9Е+0000 7.8Е+0000 8.4Е+0000

0.2 6.8Е+0000 7.5Е+0000 1.4Е+0001 1.5Е+0001

0.3 2.0Е+0001 9.2Е+0000 7.2Е+0001 2.8Е+0001

0.4 6.5Е+0001 1.1Е+0001 3.5Е+0002 5.1Е+0001

0.5 3.3Е+0002 1.4Е+0001 1.8Е+0003 2.5Е+0002

0.6 4.9Е+0002 3.2Е+0001 7.2Е+0003 6.4Е+0003

Норма вектора Р обнаруживает монотонный рост. Такой результат в соответствии с (10)

интерпретируется как неустойчивость. Аналогичный результат наблюдается при любом выборе

2 2 1

У 1С У 20' У ъо ^ У 40 ^ ' и ПР11 всех апробированных значениях параметров из условия р22<0,р24<0,р12>0,р13<0.

В табл. 3 приведены аналогичные результаты моделирования для случая значений параметров Р22 = 0, Р24 = 0, Р12 = 0 и Р13 = 0, соответствующих нулевым действительным частям корней характеристического уравнения системы (15).

Таблица 3

Результаты моделирования для случая устойчивости

г Норма произведения р Эвклидова норма решений

I II I II

100.00 1.4Е+0001 9.5Е+0001 1.7Е+0000 1.7Е+0000 1.5Е+0000 1.5Е+0000

200.00 3.1Е+0001 1.4Е+0002 1. 6Е+0000 1.6Е+0000 1.7Е+0000 1.7Е+0000

500.00 4.3Е+0001 2.1Е+0002 1.6Е+0000 1.6Е+0000 1.7Е+0000 1.7Е+0000

600.00 5.4Е+0001 4.2Е+0002 1.6Е+0000 1.6Е+0000 1.5Е+0000 1.5Е+0000

900.00 1.3Е+0002 6.4Е+0002 1.6Е+0000 1.6Е+0000 1.7Е+0000 1.7Е+0000

1000.00 1.5Е+0002 4.3Е+0002 1.7Е+0000 1.7Е+0000 1.6Е+0000 1.6Е+0000

Норма вектора Р не превосходит некоторого постоянного значения:

Р

< 6,4х 10:

Подобный результат в соответствии с (10) интерпретируется как не асимптотическая устойчивость.

Таким образом, практическое использование предложенных критериев показало их пригодность для компьютерного анализа устойчивости. Аналогичные результаты практического применения критериев имели место для многочисленных систем нелинейных ОДУ [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСИКИЙ СПИСОК

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Москов. ун-та, 1998. 480 с.

2. Катрич С.А. Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов / Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. 217 с.

3. Синергетика: процессы самоорганизации и управления: Учеб. пособие / под общ. ред. А.А. Колесникова: в 2 ч. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. Ч. I. 360 с.

Я.Е. Ромм, С.С. Белоконова

ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ СХЕМА ПОИСКА ДАННЫХ РАЗЛИЧНОГО ТИПА

НА ОСНОВЕ СОРТИРОВКИ

Проблема поиска, сбора и обработки информации принадлежит к числу основных задач информатики. Ниже конструируются распараллеливаемые алгоритмы применения сортировки для поиска и распознавания символов, слов и словосочетаний в тексте, а также для поиска объектов различных типов.

Применяемые сортировки обладают взаимно однозначным соответствием входных и выходных индексов [1, 2]. Дополнительной составляющей схемы поиска является оператор локализации экстремальных элементов [1] вида:

j:=1;while j<= n do begin FOR L:=1 TO j-1 do if abs(e[j]-e[j-L])<=eps then goto 22; Writeln (' ',c[e[j]],'

',e[j]);

22: j:=j+1; end;

Присоединение к процедуре сортировки данного оператора влечет программную идентификацию всех локально минимальных элементов входного массива в окрестности радиуса eps , измеряемого целым числом последовательных индексов. Аналогично локализуются максимальные элементы. Способ выявляет информацию, благодаря которой в дальнейшем идентифицируются не только экстремумы, но и вся внутренняя структура локализованной окрестности. В случае числового массива оператор локализации минимумов осуществляет поиск заданного числа как нуля абсолютной величины разности между текущим элементом массива и заданным искомым числом [3]. Способ применим к числам любого типа, его можно осуществлять с точностью до заданной границы погрешности. Осуществляется перенос способа на поиск слов в массиве строковых элементов [3, 4]. Входному строковому массиву c сопоставляется числовой массив из абсолютных величин разностей ASCII-кода символа, стоящего на заданной позиции слова входного массива, и ASCII-кода символа, указанного в маске поиска:

г abs rd ord С' ^ (1)

В (1) c - входной массив, k - номер позиции, заданной в маске, i - номер элемента массива c ,w - символ, заданный в маске, r[i] - элемент сопоставляемого числового массива r. Поиск символов происходит как поиск локальных минимумов, которые в случае совпадения с искомыми символами оказываются нулями. Используя обратную адресацию, по индексам идентифицированных нулей можно обратиться к элементам входного массива строковых элементов. Схема поиска слов, содержащих заданный символ, переносится на поиск слов по комбинации нескольких символов. Для этого массиву слов сопоставляется числовой массив путем суммирования абсолютных величин разностей ASCII-кода символа входного массива и символа «маски» поиска

n

с учетом соответствия позиций: г[/] = 4/[k[j]]— ord где г[/] - числовое зна-

м

чение, сопоставленное i -му слову, f - i -е слово, k[ j] - номер позиции на которой расположе-