CC BY
5УДК 519.68
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-3-25-29 А.М. Магомедов
"Компьютерное" решение и обобщение классической арифметической задачи1
Дагестанский государственный университет; Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; mcigomedtcigirl'a yandex. ru
Созданное автором программное обеспечение не только способствует решению известной математической головоломки, но и позволяет существенно расширить область справедливости её утверждения. Задача приведена в известной книге Ж. Арсак. Она заключается в поиске двух натуральных чисел из интервала [2..99] по малоинформативному (на первый взгляд) диалогу между двумя лицами, одному из которых сообщили сумму, другому - произведение этих чисел.
В данной статье предлагается решить задачу в интервале [2..п]. В соответствии с каждой фразой диалога программное обеспечение последовательно выполняет действия по сокращению изначально весьма обширного списка допустимых пар искомых чисел. Показано, что интервал существования и единственности решения простирается далеко вправо от границы, указанной в оригинале формулировки задачи. Найдено наименьшее значение n, при котором решение задачи существует.
Ключевые слова: головоломка, компьютер, сумма, произведение, программное обеспечение.
Введение
Задача, приведенная в [1, с. 32] под номером 15, «одна из наиболее классических арифметических головоломок», по выражению известного французского математика и программиста Ж. Арсака. На наш взгляд, она является и одной из наиболее удивительных по своей формулировке. Её формулировка способна вызвать недоумение, не сразу удается осознать, что перед нами - задача, и задача настолько серьезная, что без привлечения компьютера не удается получить вполне строгое и полное решение. Приведем формулировку задачи.
Выбрали два натуральных числа из интервала [2..99], значение р их произведения сообщили студенту Р, а значение 5 их суммы - студенту Б. Далее между Р и Б состоялся следующий разговор по телефону:
Р: Я не могу найти эти два числа. (Р
£: Я знаю, что Вам это и не удалось бы. (5Х)
Р: Ах, так... Ну, тогда я их знаю! (Р2)
£: Ну, тогда и я тоже их знаю! (52)
Требуется определить выбранные числа.
Работа подготовлена при поддержке Отдела математики и информатики ДФИЦ РАН.
Изначально огромный список допустимых пар чисел последовательно сокращается после обсуждения каждого из четырех высказываний диалога (^М^М^М^)-Для отслеживания этой динамики мы используем авторское программное обеспечение. Примеры разработки "своего" программного обеспечения и применения его для решения самых разнообразных задач в последние годы встречаются все чаще (см., например, [2-10]).
В данной статье рассмотрено обобщение задачи, полученное заменой [2..99] на интервал [2..п] с параметрической верхней границей: приведено решение для широкого диапазона значений п; найдено наименьшее допустимое значение п, при котором задача имеет решение; указана область единственности решения. В заключение отмечен спорный пункт в предложенных в [1] кратких указаниях к решению.
1. Определения и обозначения
Представление числа р в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых принадлежит целочисленному интервалу [2..п], будем называть разложением числа p на интервале [2- - п] (или кратко разложением р); представление числа 5 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых принадлежит [2 -.п], будем называть разбиением числа 5 на интервале [2- - п] (или кратко разбиением 5).
Полным разбиением числа 5 будем называть список пар чисел:
2:8-2, 3:8-3,..., 8/2^-8/2, (1)
где знак слэш применен для обозначения целочисленного деления. Полным разложением числа р назовем список всех внутренне упорядоченных пар чисел а:Ь, а < Ъ, таких, что
р = а - Ь, а,Ь е [2--п]-
Суммой и произведением пары будем называть соответственно сумму и произведение элементов пары. Число, имеющее не менее двух различных разложений, будем называть биразложимым. Число 5 будем называть толерантным, если произведение каждой пары из его полного разбиения (1) является биразложимым числом.
Примеры. При р = 6, 15 или 27 полное разложение числа р состоит из одной пары: (2, 3), (3, 5) и (3,9) соответственно. Как показывает последний пример, разложение произведения двух чисел однозначно не только тогда, когда эти числа простые. Количество пар в полном разложении числа р = 52 равно двум: (2, 26), (4, 13); таким образом, 52 - биразложимое число.
2. Высказывание (5!). Из высказывания (5!) о невозможности для Р найти искомые а и Ъ следует, что 8 - толерантное число. В самом деле, множество произведений пар (1) содержит и число р, следовательно, в случае присутствия в (1) пары а: б — а, такой, что число а - (б — а) имеет единственное разложение, не исключено равенство р = а - (5 — а), чем не преминул бы воспользовался студент Р. Сформулируем наше первое действие.
Шаг 1. Вычеркнуть все допустимые пары за исключением пар (а,Ь), произведение которых является биразложимым числом, а сумма - толерантным числом.
До выполнения данного шага списки (начало и конец) имеют вид: при п = 500: 2:2, 2:3, 2:4, ..., 499:499, 499: 500, 500: 500 - всего 124750; при п = 1000: 2:2, 2:3, 2:4, ..., 999:999, 999:1000, 1000: 1000 - всего 499500. После выполнения шага:
при п = 500: 2:9, 2:15, 2:21, ..., 128, 124:127, 125:126 - всего 4280; при п = 1000: 2:9, 2:15, 2:21, ..., 249:254, 250:253, 251:252 - всего 18150.
3. Высказывание Р2- С самого начала, еще до высказывания 5!, студенту Р было доступно полное разложение числа р на интервале [2..п]:
р = а1-Ь1 = а2-Ь2 =..., (2)
Понятно также, что
а1 + Ъ1, а2+Ь2,...}. (3)
Но этих знаний было недостаточно для вычисления 5. Правильный выбор числа 5 из множества (3) стал для Р возможным лишь после поступления от 5 информации о толерантности числа 5. В случае присутствия в (3) нескольких толерантных чисел и новая информация также не помогла бы правильному выбору 5 из (3). Таким образом, то обстоятельство, что высказывание (5!) позволило студенту Р определиться с выбором s из (3) (следовательно, успешно завершить поиск а и Ь), означает существование и единственность в (3) толерантного числа.
Р известил 5 об успешном вычислении а и Ъ, тем самым поделился с ним информацией, что «в полном разложении (2) числа р найдется в точности одна пара с толерантной суммой».
Число р, удовлетворяющее такому условию, будем называть актуальным.
Шаг 2. Выполнить вычеркивание из скорректированного на шаге 1 списка допустимых пар, сохранив лишь такие пары, где произведение р является актуальным числом.
Обратимся снова к программному обеспечению. Списки допустимых пар после
шага 2:
при п = 500: 2:9, 2:25, 2:27, ..., 123:128, 124:127, 125:126 - всего 1715;
при п = 1000: 2:9, 2:25, 2:27, ..., 249:254, 250:253, 251:252 - всего 6401.
4. Высказывание Б2
Студент S будет просматривать полные разбиения числа б = а + Ъ в поисках случаев, когда среди пар просматриваемого разбиения окажется ровно одна пара с актуальным произведением.
Очевидный факт вхождения
ре{2-(8-2), 3-(з-3).....|-(5-|)}
и числовая информация о полных разложениях каждого элемента этого множества:
2- (5 - 22) = а21- Ь21 = а22 ■ Ь22 = ■■■, 3-(з -3) = а31- Ъ31 = а32 ■ Ь32 = ...,
^/2 ■ (5 - в/2) = аз/21 ■ Ьз/21 = аз/2;2 ■ Ьз/2,2 = ■•• были известны студенту 5 с самого начала, но не обеспечили ему вычисление значения р, пока не поступила информация о существовании в семействе множеств
а21 + Ь21, а22 + Ь22,...,
а31 + Ь31, а32 + Ъ32,...,
........................................................................................................(4)
аБ/2,1 + Ь5/2,1' аБ/2,2 + Ь3/2,2> —
такого множества, в котором актуальное число существует, и оно единственное (конечно же, речь идет о множестве, соответствующем значению р, неизвестному студенту 5). Заметим, что и эта информация не помогла бы, если бы в (4) было более одного такого множества (или же не было ни одного). Из утверждения 52 об успехе студента 5 следует существование и единственность в семействе (4) множества
ail+bil, ai2+bi2,..., i е {2,...,
содержащего точно одно актуальное число. Поэтому студент S смог найти р, вычислив произведение i • (s — í), следовательно, смог найти и искомую пару.
Определение. Пару i • s — i назовем арсаковской, если среди множеств (4) существует в точности одно множество, содержащее в точности одно актуальное число.
Шаг 3. Вычеркнуть все пары, не являющиеся арсаковскими.
Программное обеспечение свидетельствует, что после шага 3 остается только одна пара 4:13 (при n < 866) или две пары - 4:13 и 4:61 (865< n <1501).
Заключение
1. На основании сообщения студента P о невозможности найти пару искомых чисел по известному ему произведению p в кратких указаниях к решению, изложенных в [1], сказано, что "...числоp не является произведением двух простых чисел - в противном случае разложение на множители было бы однозначным". Между тем ранее мы показали, что разложение будет однозначным не только в этом случае.
2. Наименьшее значение параметра n, при котором решение на интервале [2..n] существует, равно 62.
3. При n < 866 единственным решением на интервале [2..n] является пара - 4:13. При 865<n<1501 задача обладает в точности двумя решениями: 4:13 и 4:61.
Литература
1. Арсак Ж. Программирование игр и головоломок. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 224 с.
2. Шихиев Ш.Б., Мирзабеков Я.М. Дискретный анализ в синтаксическом анализе // Информатика и её применения. 2018. № 12:2. - C. 98 -104.
3. Шихиев Ш.Б., Мирзабеков Я.М. Формальная грамматика русского языка в примерах // Прикладная дискретная математика, 2018, № 40. - C. 114 -126.
4. Магомедов А.М., Лавренченко С.А. Вычислительные средства C# для решения задачи перечисления разбиений прямоугольника // Вестник Дагестанского государственного университета. Сер. 1: Естественные науки. 2020. Т. 35, вып. 4. - C. 13-26.
5. Perepechko S.N. Estimation of molecular freedom in the dimer model by the EFM method // Proceedings of the VI international conference "Mathematics, its applications and mathematical education" (MAME-2017), Ulan-Ude, 2017. - Рр. 289-294.
6. Перепечко С.Н. Простые выражения для оценки параметра молекулярная свобода в задаче о димерах // Вестник ТвГУ. Серия: прикладная математика. 2018. № 2. -С. 27-47.
7. Магомедов А.М., Магомедов Т.А., Лавренченко С.А. Взаимно-рекуррентные формулы для перечисления разбиений прямоугольника // Прикладная дискретная математика, 2019. № 46. - С. 108-121.
8. Раджабова Н.Ш. Замощение клетчатой полосы шириной 4 // Информатика в школе. 2022. № 1 (174). - С. 81-84.
9. Магомедов А.М. Программа для ЭВМ «Программа решения головоломки о вычислении двух чисел по заданному диалогу об их сумме и произведении» // Свидетельство № 2021617776 от 19.05.2021 о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ.
Поступила в редакцию 3 марта 2022 г.
UDC 519.68
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-3-25-29
"Computer" Solution and Generalization of a Classical Arithmetic Problem
A.M. Magomedov
Dagestan State University; Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a; ma-gomediagirl'a yandex. ru
It is shown how the author's software both contributes to the solution of a well-known mathematical puzzle, and also makes it possible to significantly expand the field of validity of its statement. The problem is given in the famous book by Arsak. It involves the search of two natural numbers from the interval [2..99] according to an uninformative (at first glance) dialog between two persons, one of whom was told the sum, the other was given the product of these numbers.
In this article it is proposed to solve the problem in the interval [2..n]. In accordance with each phrase of the dialog, the software sequentially performs actions to reduce the initially very extensive list of acceptable pairs of the desired numbers. It is shown that the interval of existence and uniqueness of the solution extends far to the right of the boundary indicated in the original formulation of the problem. The smallest value of n is found at which the solution of the problem exists.
Keywords: puzzle, computer, sum, product, software.
Received 3 March 2022
