CC BY
6УДК 519.115
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-1-51-62 А.М. Магомедов1, С.А. Лавренченко2
Некоторые свойства прямых рекуррентных соотношений для последовательностей димерных чисел
1Дагестанский государственный университет; Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а; magomedtagir1@yandex.ru;
2Российский государственный университет туризма и сервиса, Институт сервисных технологий; Россия, 141221, Московская обл., Пушкинский р-н, д/п Черкизово, ул. Главная, 99; lawrencenko@hotmail.com
Различные аспекты задачи перечисления всевозможных покрытий 1*2-плитками заданного прямоугольника целочисленных размеров, впервые исследованной П.В. Кастелейн в 1961 г., сохраняют актуальность и в настоящее время, что объясняется востребованностью задачи в прикладных областях математики, химии и физики. В частности, она равносильна задаче перечислительной комбинаторики о вычислении числа совершенных паросочетаний в сеточных графах.
В предложенном методе первой светлой клетки перечисление покрытий рассматривается как построение тривиального двоичного дерева, листья которого соответствуют полным покрытиям, а остальные вершины - частичным покрытиям исходного прямоугольника; с каждой вершиной дерева сопоставляется числовой дескриптор, характеризующий границу между покрытой и остальной областями частичного покрытия, соответствующими данной вершине. Если дальнейшее порождение потомков вершин не приводит к обновлению множества дескрипторов, построение дерева немедленно прерывается; построенная часть тривиального дерева называется порождающим деревом. На основе порождающего дерева генерируется система взаимно-рекуррентных формул, допускающая преобразование методом последовательного исключения к одному рекуррентному соотношению (прямой рекурсии) для вычисления искомого числа покрытий.
В статье доказан ряд утверждений о методе первой светлой клетки, структуре дескрипторов, системе взаимно-рекуррентных формул; рассмотрены характерные особенности прямой рекурсии для последовательности чисел всевозможных покрытий исходного прямоугольника, на конкретных примерах показаны вариативность набора ее коэффициентов и его инвариантность в пределах системы взаимно-рекуррентных формул; сформулированы некоторые нерешенные задачи.
Ключевые слова: покрытие, прямоугольник, двоичное дерево, рекурсия, система формул.
Введение
Число полных покрытий сеточной связной фигуры прямоугольными плитками 1^2 будем называть димерным числом фигуры. Когда фигура представляет собой прямоугольную полосу т хп (где т и п - соответственно ширина и высота), димерное число обозначается Т(т,п); если ширина полосы однозначно определяется из контекста, вместо Т(т,п) используется краткое обозначение ап.
Задаче вычисления димерных чисел посвящена обширная литература: научные статьи [1-17], главы монографий [18-21] и программное обеспечение [22-23], что объясняется актуальностью задачи для прикладных областей физики, химии, математики. В частности, отметим, что она равносильна задаче перечислительной комбинаторики о
вычислении числа совершенных паросочетаний в сеточных графах. Естественно, публикации последних лет опираются на непростой пласт предшествующих исследований на основе предположения, что читатель знаком с ними, поэтому начинающему исследователю нелегко вникнуть в суть проблемы. Мы попытались устранить это затруднение ценой некоторого смещения стиля изложения от строго научного в сторону научно-популярного.
Метод первой светлой клетки, предложенный в разделе 2 для перечисления покрытий, наглядно представляется в форме построения двоичного порождающего дерева и является сквозным для данной статьи; на его основе решен ряд задач.
В разделе 3 на примере изложена суть идеи формирования системы взаимно -рекуррентных формул (с. в. р.) для вычисления димерных чисел. Для общего случая показано, что с. в. р. обладает свойством топологической сортировки, принципиальным для целей эффективного применения с. в. р.
В начале раздела 4 показано, что предложенный в разделе 2 подход к формированию с. в. р. сохраняет эффективность при увеличении т. Рассмотрено сведение с. в. р. к одной-единственной прямой рекурсии, описывающей последовательность ди-мерных чисел, в связи с чем обсуждается вопрос об инвариантности коэффициентов прямой рекурсии относительно всех последовательностей, входящих в с. в. р.
Прямым линейным однородным рекуррентным соотношением (далее кратко -прямой рекурсией) порядка Я для последовательности а1,а2, ... будем называть представление произвольного элемента аг, г > Я, заданной последовательности в виде линейной комбинации с действительными постоянными целочисленными коэффициентами Я элементов аг _ аг_2,... ,аг _ д, непосредственно предшествующих аг: аг = р±аг _ д + р2аг _ д + г + ••• + ркаг _ г, рг Ф 0.
Порождающее дерево Прямая рекурсия для последовательности Фибоначчи
Обсуждение задачи о димерном числе начнем со случая т = 2: требуется подсчитать число ап полных покрытий полосы клетчатой бумаги с фиксированной шириной т = 2 и высотой п плитками 1x2, каждая из которых может быть уложена вертикально или горизонтально. Для подсчёта ап можно воспользоваться прямой рекурсией:
_ап = ап - 1 +ап - 2._Ш_
а б
Рис. 1. Левая-верхняя клетка может быть покрыта горизонтальной либо вертикальной плиткой
В самом деле, у верхней границы полосы плитки можно уложить либо как на рис. 1а, либо как на рис. 1 б; этим двум вариантам соответствуют первое и второе слагаемые в правой части формулы (1). Таким образом, с учетом очевидных равенств:
аг = 1,а2 = 2, получим числа Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Напомним, что решение рекурсивного соотношения (1), т. е. выражение ап непосредственно через п задается формулой Бинэ:
Тривиальное дерево. Пусть теперь ап - число полных покрытий прямоугольной полосы 3 X п.
Если произведение чисел 3 и п нечетно, искомое димерное число равно нулю, поэтому в данном контексте будем считать п чётным.
Пронумеруем клетки прямоугольной полосы: сначала клетки первой строки слева направо - числами 1,2, ...,т, затем клетки второй строки слева направо - числами т + 1, т + 2,..., 2т и т. д. Покрытые и непокрытые клетки (а также образованные ими фигуры) удобно называть соответственно темными и светлыми клетками (соответственно фигурами).
Процесс перечисления полных покрытий заданной полосы представим как пошаговое построение ориентированного двоичного дерева, где покрытиям соответствуют вершины дерева; в частности, полным покрытиям соответствуют листья завершенного дерева. Такое дерево будем называть тривиальным деревом. На каждом шаге построения тривиального дерева первую светлую клетку будем называть клеткой продолжения, если соседние клетки справа и снизу от нее также светлые. Вначале при пустом покрытии (синониме корневой вершины дерева) клеткой продолжения будет первая, т. е. верхняя левая клетка полосы. Плитку, покрывающую клетки А и А', будем обозначать [А: Л'], из этих двух клеток плитки клетку с меньшим номером будем называть начальной.
В предлагаемом методе перечисления полных покрытий последовательно создаются и нумеруются вершины: корневой вершине присвоим номер 0, ее «детям» присвоим 0 и 1 (соответственно «сын» и «дочка») и т. д.
Рождение сына начинается с горизонтальной укладки плитки так, чтобы ее начальная клетка покрывала клетку продолжения. Если в результате светлых клеток не осталось, процедура «рождения» сына завершается. Пусть светлые клетки остались и А - первая из них; тогда процедура рождения сына завершается только если А - клетка продолжения; легко видеть, что в противном случае в точности одна из двух соседних для А клеток (справа или снизу) - светлая (обозначим её Л'), процесс продолжается укладкой плитки [Л: Л'] и т. д., пока не выполнится следующее условие: либо получена темная фигура, либо первая светлая клетка является клеткой продолжения.
Рождение дочки начинается с покрытия клетки продолжения вертикальной плиткой, в остальном же ничем не отличается от описанного процесса рождения «сына».
Процесс построения тривиального дерева завершается, когда ни один из листьев дерева не обладает клеткой продолжения. Описанный метод перечисления покрытий будем называть методом первой светлой клетки.
На каждом шаге построения тривиального дерева методом первой светлой клетки набор темных клеток фигуры (а также соответствующий набор плиток) будем называть частичным покрытием (ч. п.). Очевидными примерами ч. п. являются пустое покрытие и полное покрытие (п. п.).
Поясним на примере. Ч. п. на рис. 2а, полученное в результате покрытия клетки продолжения пустого ч. п. - вершины 0 горизонтальной плиткой, не обладает клеткой продолжения (и не является п. п., так как обладает светлыми клетками), поэтому покрытие продолжено до ч. п. с номером 1 (сына вершины 0), обладающего клеткой продолжения. Вершины 1 и 2 - дети вершины 0; 3 и 4 - дети 1; 5 и 6 - дети 2; наконец, 7 и 8 - дети вершины 5 (рис. 2б).
Утверждение 1. Если светлая клетка (¿о,Уо) - клетка продолжения, то все клетки, предшествующие (¿0, 7о — 1), - темные, а клетка (¿0 + 1,7о) и все последующие клетки -светлые.
Обратим внимание, что в утверждении ничего не сказано о цвете клеток (¿о,;0 + 1), •••, (¿о + 1,Уо — 1).
Произвольный набор уложенных плиток будем называть фрагментом. Следующее утверждение следует из Утверждения 1.
Утверждение 2 (критерий «фрагмент - ч. п.»). Пусть задан фрагмент и (¿0>7о) - первая клетка, не покрытая плитками из F. Если фрагмент F является ч. п., то все клетки, предшествующие (¿0, 7о), входят в F, и ни одна клетка, начиная с (¿0 + 1,7о), не покрыта плитками из F.
Утверждение 3. Метод первой светлой клетки генерирует все п. п.
Доказательство. Пусть х - произвольно выбранное п. п., N = т- п/2. Покажем, что плитки п. п. х можно пронумеровать числами 1,2,N так, что при любом к
плитки с номерами 1,2,..., к образуют ч. п. При к = 1 присвоим номер 1 той плитке из п. п. х, которая покрывает верхнюю левую клетку полосы; набор, состоящий из одной этой плитки, удовлетворяет определению ч. п.
Предположение индукции: пусть имеется фрагмент ^ из к,к < Ы, пронумерованных плиток п. п. х, образующий некоторое ч. п. Q; докажем, что тогда найдется фрагмент ^ + х из к + 1 плиток п. п. х, образующий ч. п.
Найдем первую клетку (¿0, у0) полосы, не покрытую в ^. Клетка (¿0, 7о) служит клеткой продолжения для ч. п. Q. Применим критерий «фрагмент - ч. п.» отдельно к каждому из следующих двух случаев.
Случай 1. Пусть ¿0 < п, т. е. клетка (¿о,7о) не принадлежит последней строке. Согласно критерию «фрагмент - ч. п.», клетка (¿0 + 1, 70) не покрыта. Т. к. клетки (¿0,7о — 1) и (¿0 — 1,7о) согласно критерию «фрагмент - ч. п.» покрыты в ч. п. Q, то клетка 0о»7о) покрыта в п. п. х плиткой А, состоящей из клеток (¿о,7о) и Оо + 1,7о) или (¿о,7о) и 0о>7о + 1). Присвоим плитке А номер к + 1, добавим А к Рк и получим фрагмент из к + 1 плиток п. п. х, образующий ч. п.
Случай 2. Пусть ¿0 = п, т. е. фрагмент ^ п. п. х покрывает все клетки строк 1,..., п — 1 и все клетки последней строки, расположенные левее клетки (¿0, у0). Не покрытых в Рк клеток всего (Ы — к) • 2, включая клетку (¿0, у0); остальные (Ы — к) * 2 — 1 непокрытые в Рк клетки размещены в последней строке правее (¿о,7о), необязательно подряд. Таким образом, плитка А п. п. х, покрывающая клетку (¿0, у0), должна покрыть и клетку (¿0, у0 + 1); следовательно, последняя не покрыта в Рк. Присвоим плитке А номер к + 1, добавим ее к Рк и получим фрагмент Рк+1 из к + 1 плиток п. п. х, образующий ч. п.
Утверждение доказано.
Количество способов продолжить ч. п. х до п. п. будем обозначать через если х - п. п., то ф (х) положим равным 1. Из равенства <Р (*) = <Р (У) + <Р
очевидно, для любого ч. п. х и его детей у и г немедленно вытекает следующее утверждение.
Утверждение 4. Для любого поддерева Т тривиального дерева значение функции ф в корневой вершине Т равно сумме значений функции ф на множестве всех листьев поддерева Т.
Если в ч. п. х через й^ обозначено число покрытых верхних клеток в j-м столбце, ] = 1, ...,т, то набор ...,йт) будем называть идентификатором ч. п. х. Идентификатор однозначно определяет значение ф(х). Наибольшее из (/ = 1 ,...,т) обозначим через й0; набор (й0 — йг,..., — йт) будем называть дескриптором ч. п. х.
Утверждение 5. Все элементы дескриптора принадлежат множеству {0, 1, 2}.
Доказательство. Пусть (¿0, ]0) - клетка продолжения ч. п. х. Согласно критерию «фрагмент - ч. п.» все клетки строк, расположенных выше строки ¿0, покрыты плитками ч. п. х, при этом не покрыта ни одна клетка в строках ниже строки ¿0 + 1. Таким образом, значения всех элементов идентификатора принадлежат множеству {¿0 — 1, ¿о, ¿о + 1}. Отсюда следует, что значения всех элементов дескриптора принадлежат множеству {0, 1, 2}.
Терминальные вершины и порождающее дерево. Поскольку каждый лист завершенного тривиального дерева соответствует п. п., то димерное число равно количеству листьев тривиального дерева. Однако построение тривиального дерева при больших значениях т и п затруднительно. Введем понятие порождающего дерева, представляющего собой недостроенное тривиальное дерево, для всех листьев которого выполнено некоторое условие, позволяющее построить систему взаимно -рекуррентных формул (в. р. ф.), и с этого момента перейти на другой путь вычисления димерных чисел.
Две вершины тривиального дерева будем называть эквивалентными, если их дескрипторы совпадают с точностью до симметрии. Лист V, созданный на некотором шаге построения тривиального дерева, будем называть терминальной вершиной, если в момент создания V дерево уже содержит эквивалентную ей вершину V1 степени больше 1; при этом вершину V' будем называть предтерминальной. Начало поддерева с корнем в вершине V будет в точности таким же, как и начало поддерева с корнем в вершине V1.
Если на очередном шаге построения тривиального дерева каждый его лист является терминальной вершиной, то прервем процесс построения и назовем полученное дерево порождающим деревом.
Как скоро выполняется условие завершения порождающего дерева? Для формулировки достаточного условия можно использовать следующее
Утверждение 6. Если все т элементов идентификатора вершины V порождающего дерева > 2, то вершина V терминальная.
Доказательство. В самом деле, от ч. п. у\ остающегося после удаления из каждого столбца вертикальной плитки, образованной последними двумя из темных клеток столбца, ч. п. V может быть получено за т шагов, каждый из которых заключается в укладке вертикальной плитки в соответствии с методом первой светлой клетки (при этом дескрипторы V и у' равны). Таким образом, вершина V' - предтерминальная, вершина V - терминальная. Утверждение доказано.
Система взаимно-рекуррентных формул Геометрический подход к определению четности ап (пример). Покажем на простых примерах, как формировать с. в. р. для вычисления димерных чисел. Согласно утверждению 4 для поддерева рис. 2 а, образованного вершинами 1, 3 и 4,
<р (1) = ц> (3) + <р (4), (2)
а для поддерева с вершинами 0, 1, 2, 5, 6
V (0) = V (1) + ^(5) + <Р(6). (3)
Рис. 4. Ьп - димерное число фигуры, где п - высота фигур
Обозначим (см. рис. 4) через Ьп димерное число фигуры, полученной из прямоугольной полосы с высотой п (п - произвольное) и шириной т = 3 удалением угловой клетки. Очевидно, имеют место равенства (см. рис. 2а) <Р(0) = ап, ср(\) = Ьп_1,(р(3) = ап_2, ср(4) = Ьп_3, ф) = Ьп_1, ср(6)= ап_2.
Например, ф(5) - количество всевозможных продолжений ч. п. 5 до п. п.; другими словами, количество покрытий светлой части ч. п. 5, а количество покрытий светлой части ч. п. 5 равно Ьп_1.
Используя эти равенства, запишем (2)-(3) в виде с. в. р.
Руководствуясь принятой в математике практикой вводить для граничных случаев соглашения, способствующие упрощению формул (например, 0! = 1, 00 = 1), для любого т положим а0 = 1, что означает: существует единственный способ покрыть прямоугольную полосу с высотой 0, а именно, «не уложив ни одной плитки».
Формула (5) совместно с равенствами а0 = 1, а2 = 3 позволяет легко вычислить ап для произвольного чётного п, п> 4: а4 = 4 х 3 -1 = 11, а6 = 4 х 11 - 3 = 41, а8 = 4 х 41 - 11 = 153 и т. д.
Утверждение 7. В случае т = 3 при четных п все ап принимают нечетные значения.
Доказательство. Пусть х - п. п., полученное некоторой укладкой плиток. Укладку, симметричную х относительно среднего столбца, будем называть зеркальной для х. Если укладка п. п. х содержит хотя бы одну горизонтальную плитку (скажем, в некоторой строке /), то укладка х и зеркальная ей укладка представляют два разных п. п., так как в /-й строке этих укладок горизонтальная плитка покрывает разные пары клеток. П. п., не содержащее ни одной горизонтальной плитки, обозначим х0; все плитки в укладке х0 - вертикальные, поэтому зеркальная для х0 укладка совпадает с х0. Таким образом, все отличные от х0 п. п. образуют набор пар (число пар обозначим через к), причем эти пары не имеют общих элементов. С учетом х0 получим, что количество всех укладок равно 2к + 1. Утверждение доказано.
Топологическая сортировка с. в. р. Если в некоторой с. в. р. Б формула с левой частью Р1 содержит в правой части слагаемое ql с тем же индексом, то будем говорить, что формула q предшествует формуле р, Ц < Р- Для выполнения вычислений по с. в. р. 5 «сверху вниз» необходимо отсортировать с. в. р. 5 к виду, где для любой пары р и ц, такой, что Ц <р, формула q встречается раньше, нежели формула р. Такую сортировку будем называть топологической.
Утверждение 8. Для с. в. р., полученной из порождающего дерева, топологическая сортировка всегда существует.
Доказательство. Заметим прежде всего, что каждое слагаемое в этих формулах является целым положительным числом, поэтому присутствие в 5 формулы вида
(4)
откуда выведем прямую рекурсию порядка 4:
А-м — 4 ' {^-м_о Л'
(5)
Ьк = ---с, + -исключает вхождение в S формулы вида
с, = ■■•Ьк + •••
Сопоставим S с. в. р. ориентированный граф С порядка N, где N - количество формул в Я, вершинам соответствуют формулы из Я, для каждой пары формул р и q, Ц <р, проведена дуга из вершины, соответствующей q, в вершину, соответствующую р. Для завершения доказательства остается воспользоваться известной теоремой о топологической сортировке (24, с. 95):
«Вершины ациклического ориентированного графа С порядка N можно таким образом пометить числами из множества {0,1, — 1}, что если в графе С имеется дуга (¿,у), то I < у». Утверждение доказано.
Множественность формул прямой рекурсии для последовательности
С. в. р. и прямая рекурсия для случая т = 4. Предложенный выше подход к формированию с. в. р. (4) легко распространяется на случай полосы с произвольной шириной т. Пусть т = 4.
л ■----
L _______1__________
a b c
Рис. 5. Ширина фигур равна 4, высота равна п
Количество всевозможных покрытий фигур с высотой п, приведённых на рис. 5а, 5Ь и 5с, обозначим через ап, Ъп и сп соответственно.
Аналогично тому, как сформировали систему (4) для случая т = 3, в случае т = 4 получим с. в. р.:
Оп-1 = ^п — Ьп-1,
сп-1 = ап-2 + сп-3, (6)
ап = ап_ 2 + Ьп + Ьп_1 + откуда легко вывести прямую рекурсию порядка 4 для последовательности а1,а2, . :
ап = ап_х + 5ап_2 + &п-з — &п-4. (7)
Подробности см. в [17].
Множественность прямых рекурсий. Если в (7) понизить индексы на единицу:
Оп-1 = + 5^п-3 + ^п-4 — ^п-5
и вместо ап_х подставить в (7) правую часть, после приведения подобных членов получим прямую рекурсию
ап = 6(ап_2 + ап_3) — ап_5 (7,)
порядка 5 с одной операцией умножения и двумя операциями алгебраического сложения целых чисел. Для сравнения: в (7) одна операция умножения и три операции сложения.
2 2 2 2 4334 2211 2222
Рис. 6. Порождающее дерево для полосы 4 х n, п >4
Утверждение 9. Те же коэффициенты, что и в (7) (после переноса всех слагаемых в левую часть равенства), подходят и для прямых рекурсий, описывающих последовательности Ъ1,Ъ2, ■ и с1,с2, ■■■ :
ьп - К-1 - 5Ъп_2 - Ьп_з + Ьп_4 = 0, сп- сп_! - 5сп_2 - сп_з + сп_4 = 0. (8)
Прямые рекурсии (8) не единственно возможные для этих последовательностей; так, в частности, верны и следующие формулы: Ъп -2Ъп_1 - 4 Ъп_2 + 4ЬП_3 + 2Ьп_4 - Ьп_5 = 0, СТ Сг_г 6с^_2 +6с^_4 + Сг_6 0.
Четность димерных чисел при т = 4. Выясним необходимые и достаточные условия четности ап при т = 4, аналогичные условиям утверждения 7; в отличие от доказательства утверждения 7, полученного «геометрическим» способом, доказательство следующего утверждения носит комбинаторный характер.
Утверждение 10. В случае т = 4 значение ап четно, если и только если (п + 1) %5 = 0, где % - операция нахождения остатка от деления.
Доказательство. Сначала вычислим а0 = 1,а1 = 1,а2 = 5, а3 = 11, а4 = 36 и отметим, что для п < 4 утверждение верно.
Шаг индукции: допустим, что утверждение верно для п = Ы, (М + 1) %5 = 0: каждое из аы_2, ^ы-г нечетно, аы четно.
Покажем, что тогда утверждение верно и для следующего за N числа Ы': (Ы' + 1) %5 = 0, т. е. для Ы' = N + 5: четно, аы+1, аы+2, аы+3, аы+4 нечетны.
В самом деле, по формуле (7)
aw+1%2 = (aN + 5aN_1 + aN_2 - aN_3) %2 = (0 + 5 * 1 + 1 - 1) %2 = 1;
aw+4%2 = (aN+3 + 5aw+2 + aN+1 - aN) %2 = (1 + 5*1 + 1-0) %2 = 1; aW+5%2 = (aW+4 + 5aW+3 + aN+2 - aN+1) %2 = (1 + 5 * 1 + 1-1) %2 = 0. Утверждение доказано.
Заключение
Отметим две нерешенные задачи.
1) При каждом ли т формула прямой рекурсии для димерных чисел ап справедлива и для других последовательностей, участвующих в с. в. р., аналогично формулам (7)-(8)?
2) Какова наименьшая вычислительная сложность (понимаемая как число умножений и сложений) у равносильных формул прямой рекурсии в общем случае?
Работа подготовлена при поддержке Отдела математики и информатики ДФИЦ РАН.
Литература
1. Kasteleyn P.W. The statistic of dimers on a lattice I: The number of dimer arrangements on quadratic lattice // Physica. 1961. Vol. 27. - P. 1209-1225.
2. Temperley H.N. V. and Fisher M.E. Dimer problem in statistical mechanics - an exact result // Phil. Mag., 1961. Vol. 6. - P. 1061-1063.
3. Valiant L. G. The complexity of computing the permanent // Theoretical Computer Science. 1979. Vol. 8, no. 2. - P. 189-201.
4. Klarner D. and Pollack J. Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. 1980. Vol. 32. - P. 45-52.
5. Read Ronald C. A note on tiling rectangles with dominoes // Fib. Q., 1980. Vol. 18, no. 1. - P. 24-27.
6. Волченков С.Г. Задача «Паркет» // Информатика и образование. 1994. № 3.
7. Faase F.J. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G*Pn // Ars Combinatoria. 1998. Vol. 49. - P. 129-154.
8. Вялый М.Н. Пфаффианы или искусство расставлять знаки // Математическое просвещение. 2005. Сер. 3. Вып. 9. - С. 129-142.
9. Кохась К. Разбиение ацтекских диамантов и квадратов на домино // Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XVI. Зап. научн. сем. ПОМИ, 360, ПОМИ. СПб., 2008. - С. 180-230.
10. Караваев А.М. Вывод линейного рекуррентного соотношения с постоянными целыми коэффициентами по заданной целочисленной последовательности // Естественные и технические науки. 2012. № 5 (61). - С. 22-27.
11. Магомедов А.М., Лавренченко С.А. Вычислительные средства C# для решения задачи перечисления разбиений прямоугольника // Вестник Дагестанского государственного университета. Сер. 1: Естественные науки. 2020. Т. 35, вып. 4. - C. 13-26.
12. Караваев А.М. Метод динамического программирования для подсчета замощений домино на прямоугольной решетке и цилиндре // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2013. № 6 (53). - С. 13-18.
13. Караваев А.М., Перепечко С.Н. Задача о димерах на цилиндрах: рекуррентные соотношения и производящие функции // Математическое моделирование. 2014. Т. 26, № 11. - С. 18-22.
14. Perepechko S.N. Estimation of molecular freedom in the dimer model by the EFM method // Proceedings of the VI international conference "Mathematics, its applications and mathematical education" (MAME-2017). Ulan-Ude, 2017. - P. 289-294.
15. Перепечко С.Н. Простые выражения для оценки параметра молекулярная свобода в задаче о димерах // Вестник ТвГУ. Сер.: Прикладная математика. 2018. № 2. -С. 27-47.
16. Магомедов А.М., Магомедов Т.А., Лавренченко С.А. Взаимно-рекуррентные формулы для перечисления разбиений прямоугольника // Прикладная дискретная математика. 2019. № 46. - С. 108-121.
17. Магомедов А.М., Раджабова Н.Ш. Задача о покрытии клетчатой полосы c шириной 4 // Математика для школьников. 2021. № 3. - С. 37-40.
18. Stanley R.P. On dimer coverings of rectangles of fixed width // Discrete Applied Mathematics. 1985. Vol. 12. - P. 81-87.
19. Narumi H., Hosoya H., Murakami H. Generalized expression for the numbers of perfect matching of cylindrical mxn graphs // Journal of Mathematical Physics. 1991. Vol. 32, № 7. - P. 1885-1889.
20. Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория паросоче-таний в математике, физике, химии. М.: Мир, 1998. - 653 с.
21. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: пер. с анг. М.: Мир, 1998. - 703 с.
22. Magomedov A.M., Lawrencenko S. Number of domino tiling of a 16 x n rectangle // OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) A340532 - Available at: http://oeis.org/A340532, 10.01.2021.
23. Magomedov A.M., Lawrencenko S. A347054 - OEIS. Number of domino tilings of a 32 х n rectangle. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. 14 Aug. 2021. -URL: https://oeis.org/A347054.
24. Swamy M.N., Thulasiraman K. Graphs, Networks and Algorithms. New York: Wiley-Inter-science, 1981. - 590 p.
Поступила в редакцию 23 декабря 2021 г.
UDC 519.115
DOI: 10.21779/2542-0321-2022-37-1-51-62
Some Properties of Direct Recurrence Relations for Sequences of Dimer Numbers A.M. Magomedov1, S.A. Lawrencenko2
1 Dagestan State University; Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a; ma-gomedtagirl @yandex. ru;
2 Russian State University of Tourism and Service, Institute of Service Technologies; Russia, Moscow region, 141221, Pushkino district, Cherkizovo, Glavnaya st., 99; lawrencen-ko@hotmail. com
Various aspects of the problem of enumeration of all possible coverings by 1 x2-tiles of a given rectangle of integer dimensions, first studied by Kastelyn P.V. in 1961, remain relevant at the present time, which is explained by the demand for the problem in the applied fields of mathematics,
chemistry and physics. In particular, it is equivalent to the problem of enumerative combinatorics about calculating the number of perfect matchings in grid graphs.
In the proposed method of the first light cell, the enumeration of coverages is considered as the construction of a trivial binary tree, the leaves of which correspond to complete coverages, and the remaining vertices correspond to partial coverages of the original rectangle; each vertex of the tree is associated with a numerical descriptor that characterizes the boundary between the covered and the rest of the partial coverage areas corresponding to this vertex. If further generation of descendants of vertices does not lead to an update of the set of descriptors, the construction of the tree is immediately interrupted; the constructed part of a trivial tree is called a generating tree. On the basis of the generating tree, a system of mutually recurrent formulas is generated that allows transformation by the method of successive elimination to one recursive relation (direct recursion) to calculate the desired number of coverages.
The article proves a number of statements about the method of the first light cell, the structure of descriptors, the system of mutually recurrent formulas; the characteristic features of direct recursion for the sequence of numbers of all possible coverings of the original rectangle are considered; specific examples show the variability of the set of its coefficients and its invariance within the system of mutually recurrent formulas; some unsolved problems are formulated.
Keywords: coverage, rectangle, binary tree, recursion, system of formulas.
Received 23 December 2021
