CC BY
21АВТОМАТИЗАЦИЯ
УДК 550.834+519.6
В.И. Голубев1, e-mail: w.golubev@mail.ru; Н.И. Хохлов1, e-mail: k_h@inbox.ru; И.Б. Петров1, e-mail: petrov@mipt.ru
1 Лаборатория прикладной вычислительной геофизики ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт (государственный университет)» (Москва, Россия).
Компьютерное моделирование процесса сейсмической разведки при явном задании трещиноватых включений
Статья посвящена математическому моделированию процесса распространения сейсмических волн в неоднородных средах. Открытие нетрадиционных запасов углеводородов повышает актуальность задачи разработки и совершенствования технологий моделирования глубинного строения геологического массива по данным наземных и скважинных измерений. Данная задача в математической постановке является обратной и, как правило, решается итерационно методом минимизации целевого функционала. Точность решения в значительной мере зависит от методов, используемых для решения отдельных прямых задач. В статье рассмотрен сеточно-характе-ристический метод численного решения гиперболической системы уравнений упругого тела на гексаэдральных расчетных сетках. Сформулированы граничные и контактные условия, позволяющие корректно описать процесс формирования сейсмического отклика от границ раздела геологических слоев и трещиноватых включений. Их использование позволяет существенно снизить требования к вычислительным мощностям за счет отсутствия мелкой расчетной сетки внутри флюидонасыщенной трещины, а также повысить точность расчета сейсмического поля по сравнению с результатами использования осредненных моделей геологических сред. В работе проведен расчет, демонстрирующий возможность получения синтетических сейсмограмм и полного распределения волнового поля в объеме геологического массива, содержащего слоистость и трещиноватые включения. Проведена идентификация типов волн в формируемом сейсмическом отклике. Показано преимущество предлагаемого метода перед его аналогами для случаев криволинейных границ раздела геологических слоев.
Ключевые слова: сейсморазведка, трещиноватые среды, компьютерное моделирование, упругая среда, сеточно-характе-ристический численный метод.
V.I. Golubev1, e-mail: w.golubev@mail.ru; N.I. Khokhlov1, e-mail: k_h@inbox.ru; I.B. Petrov1, e-mail: petrov@mipt.ru
1 Laboratory of applied computational geophysics of the FSAEI HE "Moscow Institute of Physics and Technology (State University)" (Moscow, Russia).
Computer Simulation of Seismic Survey Process with Explicit Setting of Fractured Inclusions
The article deals with mathematical modelling of seismic wave propagation in heterogenous media. With the discovery of unconventional hydrocarbon reserves it is becoming more urgent to design and improve modelling technologies for underlying structure of geological formation according to ground-based measurements and well shootings. The problem, in mathematical statement, is inverse and used to be solved iterationally by minimization of criterion functional. Accuracy of solution depends mainly on the methods used for certain direct problems. The article considers the grid-characteristic method for numerical solution of hyperbolic elastic body system of equations using hexahedral calculation grids. Boundary and contact conditions were formulated which allow correct shaping description of a seismic response from the boundaries of geological strata and broken-up patches. Their application enables to considerably lower the standards for computing capacities due to the absence of fine calculation grid inside the fluid-saturated fracture, as well as to increase the design accuracy of seimic field as compared to the application results for averaged models of geological strata. The work presents the analysis illustrating possible plotting of synthetic seismograms and full wave field propagation within geological strata containing cleavage and broken-up patches. The wave types in the seismic response to be shaped have been identified. Also, the article shows the advantages of the method proposed compared to its analogues for curvilinear boundaries of geological strata.
Keywords: seismic survey, fractured media, computer modelling, elastic medium, grid-characteristic numerical method.
12
№ 5 май 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
AUTOMATION
Открытие нетрадиционных источников углеводородов требует развития новых методов интерпретации полевых сейсмических данных. Перспективным подходом является проведение компьютерного моделирования данного процесса в условиях заданной структуры геологического массива с последующей апробацией и совершенствованием методов миграции и инверсии. С развитием вычислительных технологий математические модели, описывающие данный процесс, значительно усложнились, точность моделирования повысилась. Разработано множество подходов к численному моделированию процесса распространения сейсмических волн в геологических средах [1, 2]. При этом чем выше порядок используемого метода,тем меньше численная вязкость схемы и тем с меньшими искажениями фронтов распространяются волны на расстояния порядка сотен и тысяч своих длин.Наиболее популярными в вычислительной геофизике стали разновидности конечно-разностного (finite different method - FDM) и спектрального методов (spectral element method - SEM), а также разрывный метода Галеркина (discontinuous Galerkin method - DGM) [3, 4]. В лаборатории прикладной вычислительной геофизики Московского физико-технического института длительное время развивается сеточно-характери-стический численный метод, позволяющий проводить математическое моделирование распространения сейсмических волн в существенно гетерогенных средах. Изначально метод был разработан для решения задач газовой динамики, к задаче описания динамических процессов в сплошных средах он адаптирован сравнительно недавно. Статья [5] является одной из первых работ, посвященных применению сеточно-характе-ристического метода для численного решения многомерных уравнений динамики упругих сред. В дальнейшем был существенно увеличен порядок сходимости метода по пространству как на
гекса- [6, 7], так и на тетраэдральных расчетных сетках для трехмерных задач [8]. За последнее десятилетие сеточно-ха-рактеристический метод хорошо зарекомендовал себя при решении задач моделирования сейсмического поля в геологических средах, содержащих различные неоднородности [9-12]. В данной статье представлено численное решение задачи распространения сейсмических волн от поверхностного источника в геологической слоистой трещиноватой [13] среде. Полученные результаты могут быть использованы, например, на этапе планирования полевых сейсморазведочных работ и для совершенствования методик миграции и инверсии сейсмических данных.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
Для описания динамических процессов в геологической среде используется математическая модель линейно-упругого изотропного тела с явным выделением контактных границ слоев и трещиноватых включений. Динамическое поведение бесконечно малого объема среды описывается уравнениями упругости [14] вида:
pdV. да..
dt да....
дх.' j
ôe„,
dt ч,'и dt '
(1)
Ящ = 4 + M(5ik 8„ + 5„ SJ,
ikjl iljk'-
К сожалению, аналитическое решение данной системы уравнений может быть получено только в простейших случаях (однородная или параллельно слоистая среда, точечный источник возбуждения или плоская волна). Для случая произвольной геологической среды решение системы проводится численно на гексаэдральных расчетных сетках. На дневной поверхности при этом ставится условие свободной границы, а для устранения нефизических границ (нижняя и боковые) используется условие поглощения, позволяющее эффективно подавить отражения от них. Определяющая система является гиперболической, для ее решения используется сеточно-характеристический метод. После расщепления по направлениям и перехода в пространство инвариантов Римана задача сводится к последовательному решению набора одномерных уравнений переноса. Использовалась сеточно-характеристиче-ская схема третьего порядка точности по координате и времени, которая для одномерного уравнения переноса:
ut + aux = 0, a > 0, а = от/h,
(2)
где т - шаг по времени; h - шаг по координате, имеет вид:
m m
2
ип+1 = цП + 4 0 -+
где р - плотность среды, кг/м3; V - скорость среды, м/с; о - тензор деформаций; х - координата; q - тензор четвертого порядка, определяющий реологию среды; е - тензор деформаций; 5 - символ Кронекера; X и р - упругие параметры Ламе. Как уже отмечалось в [15], в отличие от акустического приближения решение полной упругой системы позволяет получить все типы волн: объемные продольные и поперечные, поверхностные (Рэлея и Лява), отраженные, рассеянные, дифрагированные.
+--+ —- 2 Д0 + Д2),
Д„ = и" „ - и",
0 m-1 m'
Д = и", - и" „
1 т-2 т-1'
Д = и" - и",.
2 m т+1
(3)
Схема устойчива для не превышающих
единицу чисел Куранта.
При соблюдении сеточно-характери-
стического критерия монотонности,
опирающегося на характеристическое
свойство точного решения:
min {и" , и".} « u"+1 « max {и" , и",},
L т' m-V т L т' m-V'
порядок схемы понижается до второго.
Ссылка для цитирования (for citation):
Голубев В.И., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Компьютерное моделирование процесса сейсмической разведки при явном задании трещиноватых включений // Территория «НЕФТЕГАЗ». 2018. № 5. С. 12-16.
Golubev V.I., KhokhLov N.I., Petrov I.B. Computer Simulation of Seismic Survey Process with Explicit Setting of Fractured Inclusions. Territorija «NEFTEGAS» = Oil and Gas Territory, 2018, No. 5, P. 12-16. (in Russian)
TERRITORIJA NEFTEGAS - OIL AND GAS TERRITORY No. 5 May 2018
13
АВТОМАТИЗАЦИЯ
Для выделения границ между геологическими слоями после каждого шага вычислительного алгоритма, рассчитывающего значения в точках внутри слоев, производится дополнительная корректировка в узлах на контактной границе. При полном слипании скорости V на обеих поверхностях контакта совпадают, и выполняется третий закон Ньютона:
Vй = V = v, f = -fb,
(4)
j loco 2W0 3000 2000 'Ь
-1000 -loco
шмШ^}
2000
■2000
2000 2000 3000
1000
00
причем индексы а и Ь относятся к разным сторонам контакта. Корректировка заключается в выставлении скорости на границе контакта таким образом, чтобы после использования формул (1)-(4) были выполнены условия полного слипания. Скорость определяется по формуле:
1
"-ос +ос - О" +
1-0 02 т У (Ли + С«Л] + Р*М(см - сьг)п + сьг^ -
, Р.(С1~0 + Р
- (о - а.)п--*
" " РаСа1+РьСЫ
* "("[Р АЛ + РАЛ " К " (5)
в которой с1, с2 - соответственно, продольная и поперечная скорости звука в средах, м/с; р - плотность среды, кг/м3; п - направление нормали от границы а к Ь.
Для эффективного описания трещиноватых включений используется модель бесконечно тонкой флюидонасыщенной трещины, представляющая собой набор узлов из двух соседних рядов расчетной сетки. На начальном этапе во всей области интегрирования строится прямоугольная расчетная сетка. Если плоскость моделируемой трещины вертикальна или горизонтальна, то в отдельную структуру сохраняются индексы узлов, принадлежащих каждому из ее бортов. В случае наклонной трещины сетка дополнительно корректируется. Индексы узлов, наиболее близких к центру трещины, но находящихся слева и справа от нее, полагаются определяющими ее борта. После этого все узлы с данными индексами сдвигаются на границу трещины, их координаты фиксируются. На каждом временном шаге
Рис. 1. Набор гексаэдральных сеток, покрывающих слоистый геологический массив размерами 3,0 х 3,0 х 2,1 км [15] Fig. 1. A bunch of hexahedral grids covering a stratified geological formation (3.0 х 3.0 x 2.1 km) [15]
при расчете шага расщепления по координатам в узлах, лежащих на бортах трещины, значения корректируются. Если граница трещины проходит вдоль текущего направления расщепления, то точки борта рассчитываются по тем же формулам, что и внутренние точки области. Если нет, в них применяются
граничные корректоры, обеспечивающие выполнение условия контакта со скольжением. Наиболее подробное описание алгоритма приведено в работах [6, 7].
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Преимущество описанного подхода в части явного выделения контактных границ геологических слоев было продемонстрировано в работе [15] на модели участка, расположенного на северо-востоке европейской части Российской Федерации, на территории Ненецкого автономного округа, севернее Полярного круга, практически на берегу Баренцева моря. На рис. 1 представлены гексаэдральные расчетные сетки, которыми покрывался геологический массив размерами 3,0 х 3,0 х 2,1 км. Как показал анализ синтетических сейсмограмм, времена прихода сейсмических откликов, рассчитанных с помощью явного выделения границ
<и Е
а- m
гL Е: Г V-
Горизонтальная компонента скорости V, м/с Horizontal velocity component V, m/s
Рис. 2. Синтетическая сейсмограмма, построенная по данным измеренной горизонтальной компоненты скорости V на сейсмоприемниках:
1 - продольная волна от источника; 2 - волна Рэлея от источника; 3-5 - отраженные продольные волны от геологических границ; 6-8 - отраженные обменные волны от геологических границ; 9, 10 - сейсмический отклик от мегатрещины
Fig. 2. A synthetic seismogram plot based on horizontal velocity component V data using geophones: 1 - P-wave from the source; 2 - Rayleigh wave from the source; 3-5 - reflected P-waves from geological boundaries; 6-8 - reflected alternating waves from geological boundaries; 9, 10 - seismic response from megafracture
14
№ 5 май 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
AUTOMATION
и методом сквозного счета, совпадают с высокой степенью точности, однако разница в регистрируемой амплитуде сигнала может достигать 30 % (табл. 1). Поскольку современные методы миграции и инверсии оперируют не только временами прихода сигналов, но и их амплитудой, использование данного метода на этапе расчета прямой задачи может повысить точность построения геологических моделей. В настоящей работе было проведено численное моделирование сейсмических процессов, инициируемых в слоистой среде с мегатрещиной [13] импульсом Рикера с частотой 30 Гц, заданным на дневной поверхности. Модель мегатрещины содержала 20 параллельных флюидонасыщенных трещин протяженностью 200 м с расстоянием 0,5 м между ближайшими. Угол отклонения от вертикали составлял 10°. Расчетная область имела размеры 8,0 х 3,0 км. Шаг по времени составлял 2 мс, по координате - менее 0,5 м. Параметры слоев приведены в табл. 2. На дневной поверхности располагались сейсмоприемники,покрывающие симметричный профиль протяженностью 4 км с шагом 50 м.
На рис. 2 представлена синтетическая сейсмограмма [16], полученная по измеренной горизонтальной компоненте скорости на сейсмоприемниках. Существенным преимуществом численного моделирования над полевым экспериментом является возможность получения полного сейсмического поля во всем объеме геологической среды, что может быть использовано для анализа сейсмического сигнала. На рис. 3 представлено распределение в пространстве скалярной величины,вычисленной на основе анализа вклада продольных и поперечных упругих волн в вектор Умова - Пойнтинга [17]. Исследование выполнено с привлечением средств гранта Президента РФ № МК-2888.2017.9.
Таблица 1. Сравнение метода с явным выделением границ и сквозного счета [15]
Table 1. Comparison of the method with clear separation of boundaries and shock capture [15]
Показатель Index Сквозной счет Shock capturing Явное выделение границ Clear separation of boundaries
Время расчета (2000 ядер), с Wall time (2 000 kernels), s 815 7415
Использованная память, Гб Used memory, GB 21,7 47,5
Разница в максимальной амплитуде 1-го отражения Vz, % A difference in peak amplitude 1st reflection Vz, % 22
Разница в максимальной амплитуде 2-го отражения Vz, % A difference in peak amplitude 2nd reflection Vz, % 26
Разница в максимальной амплитуде 3-го отражения Vz, % A difference in peak amplitude 3d reflection Vz, % 30
Таблица 2. Значение параметров модели Table 2. Model values
Номер слоя Number of a stratum Мощность, м Capacity, m Плотность, кг/м3 Density, kg/m3 Скорость распространения волны сжатия V, м/с Compression wave propagation velocity ^ m/s Скорость распространения волны сдвига V, м/с Shear wave propagation velocity V, m/s
1 2000 2272 4051 2272
2 120 2500 4500 2500
3 500 2750 5000 2750
4 2380 3000 5601 3111
Рис. 3. Распределение вычисленной скалярной величины [17] в объеме геологической среды. Красный цвет - продольная составляющая сигнала, синий — поперечная: 1 - продольная волна от источника; 2 - волна Рэлея от источника; 3-5, 12 - отраженные продольные волны от геологических границ; 6-8 - отраженные обменные волны от геологических границ; 9-11 - сейсмический отклик от мегатрещины
Fig. 3. Allocation of scalar quantity computed [17] within geological environment. Red colour -longitudinal signal component, blue - transverse: 1 - P-wave from the source; 2 - Rayleigh wave from the source; 3-5, 12 - reflected P-waves from geological boundaries; 6-8 - reflected alternating waves from geological boundaries; 9-11 - seismic response from megafracture
I
Литература:
1. Carcione J.M., Herman G.C., ten Kroode A.P.E. Seismic Modeling // Geophysics. 2002. Vol. 67. No. 4. P. 1304-1325.
2. Virieux J., Calandra H., Plessix R.-Ё. A Review of the Spectral, Pseudo-Spectral, Finite-Difference and Finite-Element Modelling Techniques for Geophysical Imaging // Geophysical Prospecting. 2011. Vol. 59. No. 5. P. 794-813.
3. Etienne V., Chaljub E., Virieux J., Glinsky N. An hp-Adaptive Discontinuous Galerkin Finite-Element Method for 3-D Elastic Wave Modelling // Geophysical Journal International. 2010. Vol. 183. No. 2. P. 941-962.
TERRITORIJA NEFTEGAS - OIL AND GAS TERRITORY No. 5 May 2018
15
АВТОМАТИЗАЦИЯ
4. Hermann V., Käser M., Castro C.E. Non-Conforming Hybrid Meshes for Efficient 2-D Wave Propagation using the Discontinuous GaLerkin Method // Geophysical Journal International. 2011. Vol. 184. No. 2. P. 746-758.
5. Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характери-стическим методом // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24. Вып. 5. C. 722-739.
6. Голубев В.И., Петров И.Б., Хохлов Н.И. Моделирование волновых процессов внутри планеты с помощью гибридного сеточно-характеристического метода // Математическое моделирование. 2015. Т. 27. № 2. С. 139-148.
7. Голубев В.И., Петров И.Б., Хохлов Н.И., Шульц К.И. Численный расчет волновых процессов в трещиноватых средах на гексаэдральных сетках се-точно-характеристическим методом // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55. № 3. С. 512-522.
8. Петров И.Б., Фаворская А.В., Санников А.В., Квасов И.Е. Сеточно-характеристический метод с использованием интерполяции высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени // Математическое моделирование, 2013. Т. 25. № 2. С. 42-52.
9. Голубев В.И., Петров И.Б. Численное моделирование волновых процессов в трещиноватых средах в трехмерной постановке // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Серия: Физико-математические и технические науки. 2014. № 4. С. 139-146.
10. Левянт В.Б., Петров И.Б., Голубев В.И., Муратов М.В. Численное 3D-моделирование объемного волнового отклика от систем вертикальных макротрещин // Технологии сейсморазведки. 2014. № 2. С. 5-23.
11. Левянт В.Б., Квасов И.Е., Петров И.Б. Исследование возможности картирования зон трещиноватости в баженовской свите при использовании обменных рассеянных волн // Технологии сейсморазведки. 2015. № 4. С. 61-73.
12. Левянт В.Б., Петров И.Б., Панкратов С.А. Исследование волнового отклика от субвертикальных мегатрещин нефтяных и газовых месторождений методом численного моделирования // Технологии сейсморазведки. 2012. № 2. С. 42-56.
13. Левянт В.Б., Хромова И.Ю., Козлов Е.А. и др. Методические рекомендации по использованию данных сейсморазведки для подсчета запасов углеводородов в условиях карбонатных пород с пористостью трещинно-кавернового типа. М.: ОАО «ЦГЭ», 2010. 250 с.
14. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х т. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1976. Т. 1. 536 с.; Т. 2. 573 с.
15. Голубев В.И., Хохлов Н.И., Петров И.Б., Хромова И.Ю. Полноволновая сейсмика. Выделение границ геологических слоев на высокопроизводительных вычислительных комплексах // Oil & Gas Journal Russia. 2016. Т. 104. № 5. С. 40-45.
16. Голубев В.И. Методика отображения и интерпретации результатов полноволновых сейсмических расчетов // Труды Московского физико-технического института. 2014. Т. 6. № 1 (21). С. 154-161.
17. Байдин В.Г. Математические и вычислительные подходы к повышению качества сейсмических изображений на основе моделирования упругих волновых полей: автореф. дисс. ... к.ф.-м.н. Москва: МФТИ, 2013 [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://mipt.ru/upLoad/ibLock/fb0/Байдин.pdf (дата обращения: 08.05.2018).
References:
1. Carcione J.M., Herman G.C., ten Kroode A.P.E. Seismic Modeling. Geophysics, 2002, Vol. 67, No. 4, P. 1304-1325.
2. Virieux J., Calandra H., Plessix R.-E. A Review of the Spectral, Pseudo-Spectral, Finite-Difference and Finite-Element Modelling Techniques for Geophysical Imaging. Geophysical Prospecting, 2011, Vol. 59, No. 5. P, 794-813.
3. Etienne V., Chaljub E., Virieux J., Glinsky N. An hp-Adaptive Discontinuous Galerkin Finite-Element Method for 3-D Elastic Wave Modelling. Geophysical Journal International, 2010, Vol. 183, No. 2, P. 941-962.
4. Hermann V., I^iser M., Castro C.E. Non-Conforming Hybrid Meshes for Efficient 2-D Wave Propagation using the Discontinuous Galerkin Method. Geophysical Journal International, 2011, Vol. 184, No. 2, P. 746-758.
5. Petrov I.B., Kholodov A.S. Numerical Analysis of Certain Dynamic Problems of Deformable Solid Mechanics by the Grid-Characteristic Method. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of Calculus Mathematics and Mathematical Physics, 1984, Vol. 24, Issue 5, P. 722-739. (In Russian)
6. Golubev V.I., Petrov I.B., Khokhlov N.I. Simulation of Seismic Processes inside the Planet using Hybrid Grid-Characteristic Method. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 2015, Vol. 27, No. 2, P. 139-148. (In Russian)
7. Golubev V.I., Petrov I.B., Khokhlov N.I., Shul'ts K.I. Numerical Computation of Wave Propagation in Fractured Media by applying the Grid-Characteristic Method on Hexahedral Meshes. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, Vol. 55, No. 3, P. 512-522. (In Russian)
8. Petrov I.B., Favorskaya A.V., Sannikov A.V., Kvasov I.E. Grid-Characteristic Method using High-Order Interpolation on Tetrahedral Hierarchical Meshes with a Multiple Time Step. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, Vol. 5, No. 5, P. 409-415. (In Russian)
9. Golubev V.I., Petrov I.B. Numerical Modeling of Wave Processes in 3D Fractured Media. Vestnik Baltiyskogo federal'nogo universiteta im. I. Kanta. Seriya - Fiziko-matematicheskiye i tekhnicheskiye nauki = Immanuel Kant Baltic Federal University' Vestnik. Ser. Physics, Mathematics, and Technology, 2014, No. 4, P. 139-146. (In Russian)
10. Leviant V.B., Petrov I.B., Golubev V.I., Muratov M.V. 3D-Modelling of Seismic Responses From Large Vertical Fractures. Tekhnologii seismorazvedki = Seismic Technologies, 2014, No. 2, P. 5-23. (In Russian)
11. Leviant V.B., Kvasov I.E., Petrov I.B. Investigation of Possibilities for Mapping Fractured Zones in the Bazhenov Formation using Scattered Converted Waves. Tekhnologii seismorazvedki = Seismic Technologies, 2015, No. 4, P. 61-73. (In Russian)
12. Leviant V.B., Petrov I.B., Pankratov S.A. Numerical Simulation for Investigation of Response from Subvertical Megafractures of Oil and Gas Deposits. Tekhnologii seismorazvedki = Seismic Technologies, 2012, No. 2, P. 42-56. (In Russian)
13. Levyant V.B., Khromova I.Yu., Kozlov Ye.A., et.al. Methodical Recommendations for Application of Seismic Data to Calculate Hydrocarbon Reserves in Carbonate Cavernous Fractured Reservoirs. Moscow, TsGE OJSC, 2010, 250 p. (In Russian)
14. Sedov L.I. Mechanics of Continua. In 2 books, 3-d edition, revised and enlarged. Moscow, Nauka, 1976, Vol. 1, 536 p., Vol. 2, 573 p. (In Russian)
15. Golubev V.I., Khokhlov N.I., Petrov I.B., Khromova I.Yu. Full Waveform Seismic. Explicit Description of Geological Layers Boundaries Using HighPerformance Computing Systems. Oil &Gas Journal Russia, 2016, Vol. 104, No. 5, P. 40-45. (In Russian)
16. Golubev V.I. Methods of Reflection and Interpretation of Full-Wave Seismic Data. Trudy Moskovskogo fiziko-tekhnicheskogo institute = Proceedings of Moscow Institute of Physics and Technology, 2014, Vol. 6, No. 1 (21), P. 154-161. (In Russian)
17. Baydin V.G. Mathematical and Computing Approaches to Enhanced Quality of Seismic Images Based on Elastic Wave Field Modelling. Author's abstract of Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Moscow, Moscow Institute of Physics and Technology, 2013 [Electronic source]. Access mode: https://mipt.ru/upload/iblock/fb0/BaMflMH.pdf (access date - May 08, 2018). (In Russian)
16
№ 5 май 2018 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ
