КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРКОЛЯЦИИ K-МЕРОВ НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2018 Математика. Механика. Информатика Вып. 1(40)

ИНФОРМАТИКА ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

УДК 004.94

Компьютерное моделирование перколяции Л-меров на квадратной решетке

К. А. Боков, М. М. Бузмакова

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 cyrilevel@ramЫer. т, mariya_nazarova@mail. т

Предложена перколяционная модель Л-меров на квадратной решетке. Для модели разработаны алгоритмы упаковки Л-меров на квадратной решетке, распределения Л-меров по кластерам, поиска перколяционного кластера - кластера, пронизывающего всю решетку. При моделировании использованы периодические граничные условия. Получены значения порога перколяции для Л = 1, 2, ..., 10. Для к = 1, 2, 3 значения порога перколяции совпали со значениями других исследователей. Данная модель может быть использована для описания структуры и изменения свойств тонкой пленки полимера, модифицированной углеродными нанотрубками.

Ключевые слова: математическое и компьютерное моделирование; теория перколяции; полимер; углеродные нанотрубки.

DOI: 10.17072/1993-0550-2018-1-51-55

Введение

Перколяционные модели успешно используются для описания структуры и свойств полимерных нанокомпозитов [см., например, 1-2]. Известно, что для таких материалов характерно перколяционное поведение - скачкообразное изменение свойств на-номатериала при изменении концентрации наномодификатора. Критическая концентрация, при которой меняется или возникает какое-либо свойство материала, соответствует порогу перколяции. Однако существует разброс в результатах разных исследователей по значению критической концентрации нанона-полнителя.

© Боков К. А., Бузмакова М. М., 2018

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты

№ 16-31-00064, 17-41-590649).

Для углеродных нанотрубок эти значения варьируют от доли до нескольких процентов [3-4]. Кроме того, не существует единой теории структуры и свойств нанокомпо-зитов, каждый вновь получаемый наномате-риал обладает индивидуальными особенностями. Поэтому теоретическое исследование структуры и изменения свойств таких материалов остается актуальным на сегодняшний день.

В настоящей работе предложена и исследована перколяционная модель тонкой пленки полимера, модифицированного углеродными нанотрубками.

1. Постановка задачи

В рамках предложенной перколяцион-ной модели в роли полимерной матрицы выступает квадратная решетка, углеродные на-нотрубки - Л-меры, Л-мер - это Л подряд заня-

тых узлов решетки в одном направлении (горизонтальном или вертикальном). Горизонтальные и вертикальные ориентации к-меров равновероятны. к-меры равномерно распределены по всей решетке. Модель описана следующим математическим соотношением:

М = {Ь, 2п, к, р, К , (1)

где Ь - линейный размер квадратной решетки, = [х7, у7} (7 = 1, 2,..., п) - множество пар координат начала к-мера; к - длина к-мера; р -заданная концентрация к-меров; К - количество испытаний.

к-меры могут образовывать кластеры -группы рядом находящихся элементов. При увеличении концентрации к-меров увеличивается количество и размеры кластеров, малые кластеры начинают объединяться в большие и далее на решетке образуется перколяционный кластер - кластер, пронизывающий всю систему. Основной задачей перколяции является определение порога перколяции. Порог перколя-ции соответствует концентрации к-меров в системе, при которой вероятность возникновения перколяционного кластера равна 50 %.

2. Методы моделирования и алгоритмы

Моделирование проводилось с использованием методов Монте-Карло. Для реализации модели была написана программа с пользовательским интерфейсом на языке программирования С#. Для равномерного диспергирования к-меров на квадратной решетке, распределения к-меров по кластерам и поиска перколяционного кластера были разработаны эффективные алгоритмы. При моделировании использованы периодические граничные условия.

2.1. Алгоритм диспергирования А-меров на квадратной решетке

Распределение к-меров производится следующим образом:

1. Генерируется направление к-мера (либо горизонтальное, либо вертикальное).

2. Генерируются координаты начала к-мера (пара целых чисел 7 иу, где 1 < 7 < Ь и 1 < у < Ь, Ь - линейный размер решетки).

3. Производится попытка упаковать сгенерированный к-мер:

а) к - подряд свободных узлов в выбранном направлении помечаются как занятые;

b) если при проверке узлов все оказались свободными, мы помечаем их как занятые и текущий к-мер считается упакованным;

c) иначе текущий к-мер отвергается и производится попытка упаковать его в противоположную сторону (направление и начало к-мера остаются те же);

ё) если такой к-мер размещается, переходим к пункту 1, иначе - переходим к пункту 2.

4. Распределение к-меров происходит до тех пор, пока не будет достигнута необходимая концентрация р (см. рис. 1).

Рис. 1. Диспергирование 3-меров на квадратной решетке с линейным размером L = 20, р = хх

Для предложенного алгоритма была проведена оценка равномерности распределения стандартными методами математической статистики и теории вероятностей, которая показала его способность получать равномерное распределение к-меров на квадратной решетке даже на малых долях концентрации с уровнем надежности более 90 % [5].

2.2. Алгоритм распределения А-меров по кластерам

Распределение к-меров по кластерам происходит по следующему порядку:

1. Создаются списки координат узлов коог_Ы[к], принадлежащих к-му кластеру, пока пустые. 7=1,7=1, к=1, где 1 < 7 < Ь и 1 <у < Ь, к > 0.

2. Узел решетки [ i ][ j ] проверяется: является ли он занятым и непроверенным.

3. Если текущий узел [ i ][ j ] занят и

непроверен, то он принадлежит Л-му кластеру:

a) координаты узла [ i ][ j ] добавляются в список коог_к1[к], и узел [ i ][ j ] помечается "проверенным" ;

b) рекурсивно выполняется пункт [3] для соседних "непроверенных" узлов: [ i ][ j+1 ], [ i ][ 1-1 ], [ i+1 ][ 1 ], [ i-1 ][ 1 ].

Иначе работа рекурсивной функции в данном направлении останавливается.

4. Л = Л+1 (Л-й кластер идентифицирован и начинается поиск следующего кластера), если/<£, то]=]+!, иначе если 7<Ь, то]=1, 7—7+1 и осуществляется переход к пункту 2, иначе функция прекращает работу.

Распределение Л-меров по кластерам по данному алгоритму показано на рис. 2.

Рис. 2. Распределение 3-меров по кластерам на квадратной решетке с линейным размером L = 20, р = хх

Основным достоинством алгоритма является то, что при нахождении очередного занятого непроверенного узла, по сути, идентифицируется весь кластер, которому он принадлежит; и не возникает конфликта кластерных меток, как это наблюдается в алгоритме Хошена-Копельмана [6].

2.3. Алгоритм поиска перколяционного кластера

При распределении Л-меров по кластерам производится проверка для каждого идентифицированного кластера, может ли он являться перколяционным, то есть:

1. Есть ли у кластера узлы в 1-м и L-м слое решетки?

2. Размер кластера (число узлов в кластере) больше либо равен линейному размеру решетки L?

Если для /-кластера ответы на оба вопроса положительные, то он заносится в список кластеров, подозрительных на перколяцион-ные perkl_podozr. Имея список perkl_podozr, достаточно найти в нем хотя бы один перко-ляционный кластер. Поиск перколяционного кластера производится следующим образом:

1. Если список perkl_podozr не является пустым, то для каждого его /-элемента (1<j<m, где m - количество кластеров, подозрительных на перколяционный) переходим к пункту 2, иначе перколяционного кластера нет.

2. Для каждого j-го кластера проверяется, содержатся ли его узлы в каждом слое решетки.

3. Если узлы кластера содержатся в каждом слое решетки, то данный j-й кластер является перколяционным, иначе переходим к пункту 1, увеличив j на единицу.

Пример перколяционного кластера можно посмотреть на рис. 2 (светло-голубой кластер).

2.4. Методика определения порога перколяции

Результатом работы программы являются текстовые файлы с данными по вероятности возникновения перколяционного кластера в зависимости от значения концентрации k-меров. Данные вычислительного эксперимента аппроксимируются функцией вида

P(p) = (1 + epx(-(p - pc (L))a)-1. (2)

Пример аппроксимации экспериментальных данных показан на рис. 3. При аппроксимации экспериментальных данных определяется порог перколяции для решетки конечного размера L. Далее для каждого значения длины k-мера находится как минимум три значения порога перколяции для различных решеток. Значение порога перколяции для случая бесконечной системы определяется с помощью скейлингого соотношения (например, рис. 4):

|pc (L) - pc (^)\^L-l1v , (3)

где v - универсальный критический показатель и равен 4/3 в случае рассмотрения двумерных перколяционных задач.

Подробно данная методика определения порога перколяции описана в работе [7].

1.0-

0.9-

0.8-

0,7-

0,6-

0,50,4 I Ф ф

0,3- 7

0.2 i

0,1 -0,0-

0.1 0 2 0,3 0.4 0.5 0,6 0.7 Р

Рис. 3. Вероятность возникновения пер-коляционного кластера при k = 5, L = 125, о - данные вычислительного эксперимента, — - аппроксимация функцией вида (2)

0.00 0,02 0,04 0,06 0,0В 0,10

Рис. 4. Получение значения порога перколяции при k = 5, о - данные вычислительного эксперимента, — - аппроксимация функцией вида (3)

3. Результаты моделирования и их обсуждение

Получены значения порога перколяции при значениях k = 1, 2, ... 10 (см. рис. 5). На графике видно, что при увеличении длины ^ мера, порог перколяции уменьшается. Для k = 1 (перколяционная задача узлов), k = 2 и 3 значения порога перколяции совпадают или близки к значениям, полученными другими исследователями [8-10], что подтверждает адекватность построенной модели.

Полученные значения порога перколя-ции аппроксимируются функцией

рс (к) = А + В ■ ехр( -0,39к); (4)

где А = 0,463 ± 0.001; В = 0,186 ± 0,001.

Можно предположить, что при достижении определенной длины ^мера, порог перколяции перестанет уменьшаться и будет равен значению, близкому к параметру А.

0,601

0,59-

0,58-

0,57-

0,56-

0,55-

0,54-

7 0,53-

CL 0,52-

0,51 -

0,50-

0,49-

0,48-

0,47-

0,46-

0,45-

0123456789 10 11 к

Рис. 5. Значения порога перколяции при различных значениях длины k-мера и их аппроксимация

Заключение

В работе представлена модель тонкой пленки полимера, модифицированной углеродными нанотрубками. Получены значения критической концентрации углеродных нанот-рубок в полимере, при которой наноматериал меняет свои свойства в зависимости от длины нанотрубки. Авторами предполагается дальнейшее исследование структуры полимера, модифицированного УНТ путем модификации предложенной перколяционной модели с учетом межфазного и межчастичного взаимодействия и рассмотрения трехмерных систем.

Список литературы

1. Silva J., Ribeiro S., Lanceros-Mendez S., et al. The influence of matrix mediated hopping conductivity, filler concentration, aspect ratio and orientation on the electrical response of carbon nanotube/polymer nanocomposites // Composites Science and Technology. 2011. Vol. 71. P. 643-646.

2. Heng Gu1, Jiaojiao Wang, Choongho Yu. Three-dimensional Modeling of Percolation Behavior of Electrical Conductivity in Segregated Network Polymer Nanocomposites Using Monte Carlo Method // Advances in Materials. 2016. Vol. 5 (1). P. 1-8. URL:

http ://www. sciencepublishinggroup. com/j /am (дата обращения: 11.09.2017).

3. Xiaomei Zeng, Xiaofeng Xu, Prathamesh M. Shenai, et al. Characteristics of the electrical percolation in carbon nanotubes/polymer nanocomposites // URL: http://www3.ntu.edu.sg/home/zhaoyang/perco lation.pdf (дата обращения: 11.09.2017).

4. Mamunya Ye., Boudenne A., Lebovka N., et al. Electrical and thermophysical behaviour of PVC-MWCNT nanocomposites // Composites Science and Technology. 2008. Vol. 68. P. 1981-1988.

5. Боков К.А., Бузмакова М.М. Моделирование диспергирования углеродных нанот-рубок в полимере // Математика и междисциплинарные исследования: материалы конференции. 2017. Т. 2. С. 14-19.

6. Hoshen J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm

// Physical Review B. 1976. Vol. 14, № 8. P. 3438-3445.

7. Бузмакова М.М. Компьютерное моделирование континуальной перколяции сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками // дис. канд. физ.-мат. наук. Астрахань, 2013. 168 с.

8. Ziff R.M. Test of scaling exponents for percolation-cluster perimeters // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56. P. 545-548.

9. Cherkasova V.A., Tarasevich Y.Y., Lebovka N.I., et al. Percolation of aligned dimers on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2010. Vol. 74, № 2. P.205-209.

10.Кармазина Н.Н., Тарасевич Ю.Ю. Ориентированная перколяция линейных 3-меров // Тез. XVII конф. МК0-2010. 2010. URL: http://www.mce.su/rus/archive/mce 17/doc625 69/ (дата обращения: 11.09.2017).

Computer Modeling of A>meres Percolation on a Square Lattice

K. A. Bokov, M. M. Buzmakova

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia [email protected], [email protected]

The paper presents a percolation model of k-meres on a square lattice. The algorithms for packing of k-meres on a square lattice, for distribution of k-meres on the clusters, for search for the percolation cluster - the cluster contained within the whole lattice - were developed for the model. The periodic boundary conditions were used in the simulation. The values of the percolation threshold for k = 1, 2, ..., 10 have been obtained. For k = 1, 2, 3, the values of the percolation threshold coincided with those from other researchers. This model can be used to describe changes in the structure and properties of a polymer modified by carbon nanotubes.

Keywords: mathematical and computer modeling; percolation theory; polymer; carbon nanotubes