CC BY
12
УДК 538.9
НИ. ЛЕБОВКА1, К.Ф. РЕПНИН2, Л.А. БУЛАВИН2, В.И. КОВАЛЬЧУК2, В.А. ГИГИБЕРИЯ1
'Институт биоколлоидной химии и химии воды им. Ф.Д. Овчаренко НАН Украины 2Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРКОЛЯЦИИ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ ПРИ УЧЕТЕ АГРЕГАЦИИ ЧАСТИЦ
С использованием метода математического моделирования в работе исследована проблема коррелированной перколяции в двух измерениях (2D) на удлиненных квадратных решетках. Изучено влияние пространственной анизотропии системы с показателем r=LJLy (удлиненные системы, Lx>Ly) на конечномерный скейлинг для модели агрегированных систем. Полученные данные свидетельствуют о том, что величины порога перколяции pc проходят через минимум при увеличении степени агрегации частиц. Кроме того, для агрегированных систем величины pc были более высокими в направлении более длинной оси x. Наблюдаемое поведение зависимости pc(r) находилось в соответствии с данными расчетов электропроводности вдоль осей y и x.
Ключевые слова: анизотропия, удлиненные системы, коррелированная перколяция, агрегация, электрическая проводимость
N.I. LEBOVKA, K.F. REPNIN, L.A. BULAVIN, V.I. KOVALCHUK, V.A. GIGIBERIYA
Institute of Biocolloidal Chemistry named after F.D. Ovcharenko, NAS of Ukraine
Kyiv National Taras Shevchenko University
SIMULATION OF THE PERCOLATION IN THIN FILMS ACCOUNTING FOR THE AGGREGATION OF PARTICLES
Annotation
This work analyses the problem of correlated percolation in two dimensions (2D) in elongated square lattices by using of mathematical simulation. The effects of lattice anisotropy having index r=Lx/Ly (elongated systems, Lx^Ly) on the finite-size scaling in model aggregated systems were studied. The aggregated systems were simulated by random deposition of conducting particles on a substrate using the following rules: the numbers of filled near-neighbour particles nn were checked for each new attempt of deposition; the probability of deposition was 1 at nn>1 and was a (<1) at nn=0. The aggregation tendency was increasing as the value of a decreased. The finite-size scaling analysis at different values of r=Lx/Ly (aspect ratio) was carried out and the values of percolation concentration pc in the thermodynamic limit (Lx^-x>, Ly^x) in directions of x and y axes were determined. The obtained data show that pc versus a dependences pass through a minimum at the certain value of a. Moreover, the values ofpc in the aggregated systems are noticeably higher in y direction than in x direction. The observed behaviour of pc(r) is supported by behaviour of the calculated values of electrical conductivity along y and x directions.
Keywords: anisotropy, elongated systems, correlated percolation, aggregation, electrical conductivity
Введение. Проблема перколяции протяженных объектов различной формы и размеров, осажденных на двумерных решетках (2D), традиционно вызывает большой интерес у исследователей [1,2]. Перколяционный переход для классических систем отражает возникновение геометрической связности систем и он обычно сопровождается также с изменением электрической проводимости в неупорядоченных системах [3]. Теория перколяции находит широкое применение при описании геометрических фазовых переходов наблюдаемых в области физики конденсированного состояния, химии, биологии и экономо- и социо - физики. Перколяционное поведение (значения скейлинговых экспонент, максимальная проводимость и др.) может сильно зависеть от материальных свойств наполняющих частиц или носителя [4], от размерности системы, формы частиц, их склонности к агрегации и метода приготовления системы [5,6]. Например, в коллоидных суспензиях точки гелеобразования и электрической связности могут существенно контролироваться силами взаимодействия между коллоидными частицами [7]. Кроме того, изучение явлений перколяции представляет большой практический интерес. Этот интерес стимулируется необходимостью прогнозирования электрических, тепловых, магнитных и оптических свойств коллоидных и композиционных систем и наножидкостей [8]. В качестве наполнителей могут служить нанотрубки, нанодиски и др. наночастици [6].
В классической задаче случайной перколяции предполагается отсутствие какой либо корреляции в заполнении системы проводящими частицами [2]. В задаче коррелированной перколяции при заполнении выбранного узла учитывается наличие заполненных узлов либо в локальном окружении (короткодействующие корреляции), либо на определенном расстоянии от выбранного узла (дальнодействующие корреляции). Коррелированная перколяция может наблюдаться при учете
взаимодействия между частицами и данная модель полезна для объяснения температурной и концентрационной зависимости электропроводности в микроэмульсиях [9].
Отметим, что для дальнодействующих корреляций класс универсальности может нарушаться [10], однако для короткодействующих корреляций это не так. Для короткодействующих корреляций задача сохраняет класс универсальности характерный для обычной случайной перколяции [11], но перколяционный порог, может зависеть от характера межчастичных взаимодействий и в в зависимости от длины связности усиление взаимодействия может приводит как повышению, так и к понижению порога перколяции. Такой же вывод получен для модели коррелированного роста, в которой вероятность осаждения зависит от количества заполненных ближайших узлов пп и равна р0 при пп=0 и р1 при пп=>1
[12]. Показано, что перколяционный порог рс контролировался отношением р0/рь случай р0/р1=1 соответствовал обычной перколяции, при р0/р1^0, росли компактные кластеры Идена, которые в точке перколяции соединялись в большой фрактальный кластер и при р0/р1 ^да, формировалась структура типа шахматной доски. В модели перколяционного отжига учитывается притяжение между ближайшими частицами и это приводит к образованию структур, образующихся в разрывных металлических пленках
[13]. Для модели коррелированного осаждения, в которой оккупация определенного узла определялась не только заполнением его ближайших соседей, но и температурой [14] показано, что перколяционная концентрация рс понижалась до значения «0.54, по сравнению со значеним 0.5927 для обычной некоррелированной перколяции. В модели гранулярной корреляции [15] на плоскость сначала случайно осаждаются зародыши, а затем вокруг каждого из них растут кластеры (гранулы), состоящие из п ближайших соседей. При этом допускается перекрытие гранул и п = 0 соответствует обычной перколяции, и гранула состоит из 5 частиц для п = 1, девяти частиц для п=2 и т.д. Для данной модели наблюдались осциллирующие зависимости рс от п. Коррелированная перколяция может возникать также на неоднородных поверхностях при наличии, например, двух типов притягивающих узлов (мелких и глубоких) [16]. В данной модели перколяционное поведение характеризуется энергией взаимодействия между ближайшими соседями а и разностью энергий притяжения двух типов узлов АЕ.
Целью настоящей работы методами компьютерного моделирования изучено перколяционное поведение для модели коррелированного роста, в которой вероятность осаждения зависела от числа заполненных ближайших узлов и была равна а (<1) при пп=0 и равна 1 при пп>1. Данная модель подобна модели, развитой в [12] при а=р0/р1: тут случай а=1 соответствует обычной случайной перколяции, а при а^-0, образуются компактные кластеры Идена, которые в точке перколяции соединяются в большой фрактальный кластер. Исследования проведены в двух измерениях (2D) на удлиненных квадратных решетках, размеры которых направлениях х и у не совпадают, Ьх>ЬУ. Для обычной случайной перколяции проблема для удлиненных систем (т.е., прямоугольной геометрии) широко исследована ранее (см., например, [17,18]). В данной работе выполнены исследования конечно-мерного скейлинга и определены зависимости порога перколяции рс в термодинамическом пределе вдоль осей х и у в
зависимости от параметров г=Ьх/ЬУ и а. Изучены также зависимости электропроводности вдоль этих осей от степени заполнения решетки при различных значениях г=Ьх/ЬУ и а.
Описание модели и компьютерных алгоритмов. Рост перколяционных кластеров моделировался путем последовательного заполнения узлов на 2Б квадратной решетке при использовании следующий правил:
• Случайным образом выбирался новый незаполненный узел;
• Вычислялось количество заполненных с ним соседних узлов пп;
• Вероятность заполнения нового узла была равна:
о 1 при пп>1 о а (<1) при пп=0.
Величина а отражает степень коррелированности: случай а = 1 соответствует обычной случайной перколяции, а при а^-0 образуются компактные кластеры Идена, которые в точке перколяции формируют большой фрактальный кластер.
Примеры заполнения системы при степени заполнения р=0.5 и разных величинах а показаны на рис. 1. Видно, что при уменьшении а детали структуры кластеров укрупняются.
В общем случае исследования проводились на удлиненных квадратных решетках, размеры которых в направлениях х и у могут не совпадають, т.е., Ьх>Ьу. Для маркировки кластеров и анализа их структуры использовался алгоритм Хошена-Копельмана [19].
a) b)
Рис. 1. Примеры заполнения системы при степени заполнения р=0.5 и а=0.01 (а), а=0.001 (Ь).
Размер системы составлял Lx=Ly=256. Белый цвет соответствует заполненным узрам. Величина pc, соответствовала перколяционной концентрации частиц, при которой образовывался кластер, соединяющий противоположные стороны решетки. Величины pc определялись в направлениях x и y. В процессе исследования определялись интегральные функции распределения порогов перколяции
F(p).
Рис. 2. Интегральные функции распределения F(p) для системы со степенью удлинения r=L,/Ly =2 и о=0.001
На рис. 2 приведены примеры полученных зависимостей F(p) в направлениях x и y при фиксированном значении степени удлинения r=Lx/Ly=2 и различных значениях Ly. Величины pc, соответствующие термодинамическому пределу определялись с использованием соотношения, следующего из теории конечно-мерного скейлинга [20]:
^ т—1/ V , 1 1
Рс - Рс ^ L > (11)
где V - критический показатель корреляционной длины.
При этом исследовались зависимости p (при F=1/2) от L^1v (v=4/3) и определялось значение pcM в пределе Ly^x.
Электропроводность системы а рассчитывалась нами с помощью алгоритма Франка-Лобба [21]. Данный алгоритм основывается на преобразовании проводимостей связей решетки "звезда"-"треугольник". Более детальный анализ использованных алгоритмов можно найти в [22].
Результаты и их обсуждение. На рис. 3 представлена зависимость величины pc от a при различных значениях степени удлинения r. При усилении агрегации (т.е., при уменьшении величины a) величина перколяционного порога с сначала уменьшается, проходит через минимум и снова увеличивается. При этом анизотропия перколяции возрастает с уменьшением а и увеличением r.
Интересно отметить, что при а>0.1, т.е. для не сильно коррелированных систем величины рс практически не отличаются в направлениях х и у. С другой стороны для сильно коррелированных систем величины рс были существенно выше в направлении длинной оси (х) чем в направлении короткой.
Рис. 3. Зависимость величины перколяционного порога рс от параметра а для систем с различной степенью удлинения r=Ly/Ly
Это обстоятельство можно объяснить, учитывая то, что средний размер кластеров увеличивается при уменьшении а и при определенном значении а наблюдается соразмерность величин
Rg и Ly.
1 (f
ю'
10°
i i i A i
=L/Ly 1 2 4
0 55 0.6 0.65 0.7
Р
Рис. 4. Зависимость электропроводности а от концентрации частиц р при о=0.0001 для систем с различной степенью удлинения r=L,/Ly. Электропроводность среды и проводящих частиц были равны 1 и 106, соответственно
Пример зависимости электропроводность системы ст от степени заполнения p при а=0.0001 для систем с различной степенью удлинения r=Lx/Ly показан на рис. 4. Величина ст скачкообразно возрастает при концентрации частиц, превышающей значение перколяционного порога pc. Кроме того, наблюдалась анизотропия электропроводности: вблизи точки перколяции электропроводность в направлении короткой оси y сильно превышала электропроводность в направлении длинной оси x.
Выводы. Изучена задача коррелированной перколяции в прямоугольной системе с размерами сторон Lx > Ly. Показано, что величина порога перколяции pc существенно зависит от степени агрегации частиц а и степени удлинения системы r=Lx/Ly, а именно:
1) при увеличении степени агрегации частиц (уменьшении а) величина рс сначала заметно уменьшается, проходит через минимум при некотором значении а, а затем снова начинает расти. Это свидетельствует о переходе от независимой перколяции к коррелированной;
2) при увеличении концентрации частиц p, перколяция наблюдалась сначала вдоль короткого направления (вдоль оси у), что соответствует "короткому замыканию" системы в этом направлении и объясняется существованием больших проводящих кластеров. При увеличении степени агрегации, анизотропия перколяции (разница перколяционных порогов вдоль оси х и оси у) увеличивалась. Это
связано с увеличением среднего размера кластеров, что отражено в зависимости радиуса гирации Rg от р при различных а. Анизотропия перколяции также увеличивается при увеличении степени удлинения системы r;
3) установлено, что имеет место корреляция между поведением перколяционного порога pc и электропроводности для этих же систем. Эта корреляция заключается в том, что анизотропия электрической проводимости зависит от степени удлинения системы r=Lx/Ly, и параметра агрегации а так же, как и анизотропия перколяционного порога рс.
Полученные данные могут быть полезными для понимания электрофизического поведения композиционных систем, наполненных наночастицами, склонными к агломерации и агрегации.
Благодарности
Авторы выражают благодарность за частичную финансовую поддержку в рамках проекта 43 -02-14(U), Украина (НЛ, ВГ).
Литература
1. Pérez-Rea M. L., López-Lara T., Hernández-Zaragoza J. B. et al. Percolation theory in engineering: A practical approach // Int. J. Mater. Prod. - 2005. - Vol. 22. - P. 313-321.
2. Stauffer D. Classical percolation / Lecture Notes in Physics. - 2009. - Vol. 762. - P. 1-19.
3. Balberg I., Azulay D., Toker D., Millo O. Percolation and tunneling in composite materials // Int. J. Mod. Phys. B. - 2004. - Vol. 18. - P. 2091-2121.
4. Nan C. W., Shen Y., Ma J. Physical properties of composites near percolation // Ann. Rev. Mater. Res. -
2010. - Vol. 40. - P. 131-151.
5. Schilling T., Dorosz S., Radu M. et al. Mixtures of anisotropic and spherical colloids: Phase behavior, confinement, percolation phenomena and kinetics // Eur. J. Phys.: Spec. Top. - 2013. - Vol. 222. - P. 30393052.
6. Bauhofer W., Kovacs J. Z. A review and analysis of electrical percolation in carbon nanotube polymer composites // Comp. Sci. Tech. - 2009. - Vol. 69. - P. 1486-1498.
7. Coniglio A., De Arcangelis L., Del Gado E. et al. Percolation, gelation and dynamical behaviour in colloids // J. Phys. Cond. Matt. - 2004. - Vol. 16. - P. S4831-S4839.
8. De S., Coleman J. N. The effects of percolation in nanostructured transparent conductors // MRS Bull. -
2011. - Vol 36. - P. 774-781.
9. Safran S. A., Webman I., Grest G. S. Percolation in interacting colloids // Phys. Rev. A. - 1985. - Vol. 32.
- P. 506-511.
10. Weinrib A. Long-range correlated percolation // Phys. Rev. B. - 1984. - Vol. 29. - P. 387-395.
11. Bug A. L. R., Safran S. A., Grest G. S., Webman I. Do Interactions Raise or Lower a Percolation Threshold? // Phys. Rev. Lett. - 1985. - Vol. 55. - P. 1896-1899.
12. Anderson S. R., Family F. Percolation in an interactive cluster-growth model // Phys. Rev. A. - 1988. -Vol. 38. - P. 4198-4204.
13. Wollman D. A., Dubson M. A., Zhu Q. Annealed percolation: Determination of exponents in a correlated-percolation problem // Phys. Rev. B. - 1993. - Vol. 48. - P. 3713-3720.
14. Sadiq A., Khan M. A. Correlated percolation in a film-deposition model // Z. Phys. B. - 1980. - Vol. 39. -P. 131-134.
15. Odagaki T., Kawai H., Toyofuku S. Percolation in correlated systems // Phys. A.: Stat. Mech. App. - 1999.
- Vol. 266. - P. 49-54.
16. Giménez M. C., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. Percolation of interacting particles on heterogeneous surfaces // Phys. A.: Stat. Mech. App. - 2010. - Vol. 389. - P. 1521-1529.
17. Masihi M., King P. R., Nurafza P. Effect of anisotropy on finite-size scaling in percolation theory // Phys. Rev. E. - 2006. - Vol. 74. - P. 042102(4).
18. Kiefer T., Villanueva G., Brugger J. Conduction in rectangular quasi-one-dimensional and two-dimensional random resistor networks away from the percolation threshold // Phys. Rev. E. - 2009. - Vol. 80. -P. 021104(6).
19. Stauffer D., Aharony A. Introduction to Percolation Theory. -1996. Taylor & Francis.
20. Lobb C. J., Frank D. J. Percolative conduction and Alexander-Orbach conjecture in two dimensions // Phys. Rev. B. - 1984. - Vol. 30. - P. 4090-4092.
21. Булавин Л.А., Выгорницкий, Н.В., Лебовка Н.И. Компьютерное моделирование физических систем. -2011. ИД Интеллект, Россия.
