Компьютерное моделирование и творчество юных математиков Текст научной статьи по специальности «Математика»

№2(20)2009

Компьютерное моделирование и творчество юных математиков

А. А. Русаков

В статье прослежена индивидуальная траектория организации с помощью инфор-мационно-коммуникационных технологий, использованных в научно-исследователь-ской работе московского школьника, ставшая предпосылкой научного открытия: найдено точное значение коэффициента растяжения классической кривой Пеано.

Студент 5-го курса механико-математиче-ского факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова Бауман Константин Евгеньевич в 2008 году был удостоен медали Российской академии наук за работу «Коэффициент растяжения кривой Пеано—Гильберта»,

А. А. Русаков и К. Е. Бауман

Константин Бауман стал рано проявлять свои математические способности. С 1997 года, занимаясь на малом мехмате МГУ им. М. В.Ломоносова, Константин неоднократно награждался дипломами университетских олимпиад. 2002/2003 учебный год для Баумана начался спецкурсом «Что такое линия?» в СУНЦ МГУ, где под руководством А. А. Русакова он смог заняться серьезной математической проблемой.

Математическая научно-исследовательская деятельность учащихся — это прежде всего формирование дидактических условий, в которых обучаемые получают импульсы:

• более глубокого освоения образовательной программы;

• развития опережающего обучения;

• мотивации разработки своего собственного образовательного математического продукта;

• последовательного перехода из объектной роли школьника через субъектную к творческой и обучающей роли для одноклассников;

• выявления субъективной новизны результата этой деятельности и процесса ее выполнения (субъективность заключается в том, что результаты исследования являются совершенно новыми и зачастую неожиданными для самого школьника);

• проведения собственного научно-иссле-довательского проекта, который иногда (и это, безусловно, достижение, хотя и редкое) заканчивается новым результатом или открытием в математике (с дальнейшей публикацией в научном журнале);

• осмысления нерешенных задач и знакомства с проблемами внутри математического (ес~ тественно-научного) знания.

Известно, что кривая Пеано является инъ-ективным гельдеровским отображением отрезка на квадрат, ее график полностью «заметает» единичный квадрат на координатной плоскости (иначе говоря, площадь графика кривой Пеано равна единице, площади единичного квадрата). Открытие этого отображения явилось в свое время принципиальным в осознании понятия кривой и соз-

V 39

№2(20)2009

«о 1 I I

1 €

■а %

о

«о §

ш

э-§■

«о

а ш а

€ «о

0

1

та о € ш

0 %

8-

-а с

1

дании правильного подхода к построению теории размерности (осуществленному впоследствии такими выдающимися математиками, как Анри Лебег, Эгберт Брауэр, Анри Пуанкаре, Павел Урысон, Кристофер Маггер). Была поставлена задача оценки константы гельдеровости для кривой Пеано (подчеркнем, это недифференцируемая функция), оценка коэффициента растяжения имела и прикладное значение. Например, мы привыкли к построчной развертке экрана телевизора или компьютера. Однако в инженерной практике встречается немало приборов, дисплеи которых имеют центральную (от центра) развертку, в том числе радиолокаторы, медицинские приборы. Развертка в этих приборах происходит по двумерной кривой Пеано. Для улучшения качества изображения при инженерных расчетах конструктивных особенностей прибора необходимо знание коэффициента растяжения.

Итак, с определенного момента началось вовлечение школьника в исследовательскую работу. Решаемые в ходе спецкурса микроцели позволяли ввести учащегося в проблематику и создать необходимую базу знаний для самостоятельного исследования.

Микроцелями на данном этапе стали:

• изучение истории становления и развития понятия линии;

• рассмотрение понятия кривой Пеано;

• построение кривой Пеано—Гильберта;

• изучение свойств кривой Пеано;

• ознакомление с понятиями фрактала и коэффициента растяжения кривой.

В результате была проведена реферативная работа, в которой:

• дано определение линии по К. Жордану;

• приведен подробный алгоритм построения кривой Пеано—Гильберта;

• самостоятельно установлена фракталь-ность кривой Пеано (вывод сделан на основании заданного при пошаговом построении кривой правила обхода);

• осмыслено понятие коэффициента растяжения кривой.

В классической постановке задачи оценки коэффициента растяжения кривой Пеано задействован сложный понятийный математиче-

ский аппарат, требующий серьезных знаний математики. Шестнадцатилетние школьники такими знаниями не обладают. Здесь при вовлечении учащихся в исследовательскую, творческую работу предлагается методика перехода к «дискретной» постановке математической задачи [1].

Построение дискретного аналога кривой Пеано—Гильберта

Кривая Пеано—Гильберта строится по шагам. На нулевом шаге определяем, что начало исходного отрезка попадает в левый нижний угол квадрата, конец отрезка — в правый нижний угол, а середина отрезка — в центр квадрата. Первым шагом делим отрезок на 4 равных части, соответственно квадрат также делится на 4 конгруэнтных квадрата, и определяем, какой отрезок в какой квадрат попадает (при этом соседние отрезки переходят в соседние по стороне квадраты). Для каждого маленького отрезка определяем координаты точек квадрата, в которые попадают его начало, конец и середина. Далее каждый маленький отрезок делим на 4 части и проводим аналогичные построения. Правило обхода задается следующим образом.

Возьмем отрезок [0; 1] (обозначим его О01) и квадрат (/С01). На первом шаге разделим отрезок на 4 одинаковых части (отрезки 0,1,0,2, 0,3 и 0,4 (рис. 1) и квадрат на 4 конгруэнтных квадратика /С,1, /С,2, /С,3 и /С,4 (рис. 2). Возьмем начало кривой в левом нижнем углу, а конец — в правом нижнем. Пусть, чтобы пройти через квадратик, надо пройти через его центр.

0,1

0,2

0,3

0,4

Рис.1. Единичный отрезок

Совершим обход квадрата, переходя от одного к другому по принципу соседства по стороне. Далее установим взаимно однозначное соответствие между отрезками и квадратиками так, чтобы соседние отрезки переходили в соседние (по стороне) квадраты, т. е. 0,1 в /С, 1, 0,2 в /С,2 и т. д. Для наглядности соединим центры линией по порядку обхода (рис. 2). После-

40

№2(20)2009

довательно пронумеруем квадраты (/С,1; /С,2; /С,3; /С,4). Следовательно, /С, 1 — сосед /С,2, /С,2 — сосед /С,3 и /С,3 — сосед /С,4. Далее каждый из получившихся отрезков будем делить на 4 равные части и все соответствующие квадраты на 4 конгруэнтных квадратика. Последовательность обхода всех квадратов, получившихся на предыдущем делении, останется той же

КЗ

Л,4

/ \

Рис. 2. Единичный квадрат

Теперь следует задать порядок обхода маленьких квадратиков, получившихся на втором делении. Возьмем квадрат /С,1. Входим в него через левый нижний угол. Поскольку через диагонально противоположный угол мы выйти не сможем (рис. 2), то из двух оставшихся выберем тот, который граничит с /С,2 (чтобы не нарушать порядок обхода больших квадратов). Следовательно, обходить квадрат /С,1 надо так, чтобы начать движение в левом нижнем углу, а закончить в выбранном углу (для /С,1 — это левый верхний).

Допустим, у нас есть правило обхода на (п — 1)-м шаге и нумерация последовательно обойденных квадратов. Требуется показать порядок обхода на п-м шаге. Так как К„ 1 мы обрабатывать умеем, возьмем /Сп/ квадрат. Найдем угол, в который мы пришли из /Сп(/ — 1) квадрата, и, через диагонально противоположный мы выйти не сможем, из двух оставшихся вы-

берем тот, который граничит с /Сп(/ + 1) квадратом. Следовательно, совершим обход так, чтобы закончить его в выбранном углу. На рис. 3 показано, как обходить квадраты /Сп/ на первом, втором и третьем шагах.

Рис.3. Выбор обхода

Таким образом, кривая Пеано—Гильберта строится последовательным доопределением расположения образов точек отрезка.

Правило обхода в каждом квадрате Кп/ с точностью до поворота подобно правилу обхода в исходном квадрате К01. Поэтому кривую Пеано мы называем фракталом1.

Кривая Пеано — не простое отображение отрезка на квадрат, а такое, что для любых двух точек будет выполняться следующее неравенство Гельдера,т. е. существует число /((коэффициент растяжения) такое, что для любых точек отрезках и у выполняется неравенство

(р(х)-р(у))2</С|х-у|

или

Р(х,у) =

(р(х)-р(у))2

Iх-у|

<К,

где р(х) — вектор из начала координат в образ точки X на квадрате, а значит, (р(х)-р(у))2 — квадрат длины вектора из образа точки Хв образ точки У на квадрате.

Коэффициентом растяжения С называется минимальное значение К, удовлетворяющее этому условию.

Если взять 2 точки в исходном квадрате и, подставив в формулу, получить ^(х,у), то в любом другом, более мелком, но подобном квадрате при подобном расположении точек, расстояние Р(х,у) между точками будет тем же.

1 Самоподобной геометрической фигурой называют фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Объекты, обладающие таким свойством, современный американский математик Бенуа Мандельброт предложил называть фракталами (от лат. &апдеге — «ломать», «разбивать»). В книге «Фрактальная геометрия природы», вышедшей в 1982 году, Мандельброт относит к фракталам объекты, форма которых может быть описана как зернистая, ветвистая, морщинистая, запутанная, похожая на морские водоросли.

41

№2(20)2009

«о 1 i i

1 €

is

л %

S о

«о §

QJ

Э-§■

«О

5 а <и

а §

«о

0

1

та о € QJ

0 %

6

S S л с

Вхождение в математическую науку Константин начал с изучения классического объекта — Пеановского отображения отрезка на квадрат. На данном этапе он вплотную подошел к постановке исследовательской задачи. Перед Константином была поставлена задача оценки сверху и снизу коэффициента С растяжения для классического варианта кривой Пеано—Гильберта.

Вначале им были получены грубые оценки этого коэффициента — доказано, что таковой лежит на отрезке от 6 до 6,375. На этом этапе исследования и возникла заманчивая гипотеза — коэффициент растяжения кривой Пеано—Гильберта С = 2и.

Благодаря своим результатам (6 < С < 6,375) Константин принял участие в Международной научно-технической интернет-конференции школьников «Юниор — Старт в Науку» при поддержке корпорации Интел.

Работа продолжилась. Константину удалось сузить ограничение коэффициента: он доказал, что тот лежит на отрезке от 6 до 6,09. Этот резул ь-тат разрушил гипотезу С = 2и и вызвал сомнения, в итоге достаточно долго перепроверялся.

Результаты его работы были заслушаны на семинаре кафедры Общей топологии и геометрии. Высокую оценку работе дали сотрудники кафедры. Заведующий кафедрой, д-р физ.-мат. наук, профессор В. В. Федорчук рекомендовал работу к публикации, а информацию о докладе распорядился поместить в трудах кафедры Общей топологии и геометрии меха-нико-математического факультета МГУ им. М. В.Ломоносова.

Первую премию за свою работу Константин Бауман получил на Всероссийском конкурсе — конфереции «Юниор» (2003), проводившемся Министерством образования и науки РФ в Московском государственном инженерно-физи-ческом институте. Итог работы школьника — найдено точное значение коэффициента растяжения кривой Пеано—Гильберта (С= 6).

Такой результат был достаточно неожиданным. Константину никак не удавалось доказать и получить более точную оценку константы С.

Было решено воспользоваться компьютерной программой, неоднократное использова-

ние и получение оценокдля константы с помощью которой увеличило степень уверенности в том, что С= 6. Следующая задача состояла в поиске путей доказательства этого факта. После неоднократных попыток доказать, что коэффициент растяжения кривой Пеано—Гильберта в точности равен шести, и долгой, упорной работы, — наконец ему это удалось.

Результат был представлен на Международной конференции школьников «III Колмого-ровские чтения», посвященной столетию великого ученого — математика и педагога А. Н. Колмогорова. По итогам конференции, проходившей в СУНЦ МГУ им. М. В.Ломоносова, Константин с работой «Коэффициент растяжения кривой Пеано—Гильберта» (научный руководитель А. А. Русаков) занял первое место по секции «Математика».

Став студентом, Константин продолжил работу над проблемой, и присуждение золотой медали РАН в 2008 году— подтверждение значимости его достижений.

Ежегодно Российская академия наук учреждает Золотую медаль РАН и премии за лучшие научные работы студентов вузов, молодых ученых РАН, других учреждений и организаций России.

На соискание медалей РАН выдвигаются научные работы, материалы по разработке или созданию приборов для научных исследований, методик и технологий, вносящие вклад в развитие научных знаний, отличающиеся оригинальностью в постановке и решении научных задач. Краткие аннотации премированных работ публикуются в изданиях Российской академии науки высшей школы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Русаков А. А. Творческая лаборатория: Методическая система обучения математически, творчески одаренных детей в кол мо ropo веко й школе-ин-тернате: монография. М., 2006.

2. Русаков А. А., Сердюков В. А. Об активных формах обучения в школе и вузе. Актуальные проблемы обучения математике (К 155-летию со дня рождения А. П. Киселева): труды Всероссийской заочной науч-но-практической конференции. Орел: Изд-во ОГУ; Картуш, 2007.

42

IT и образование # Подготовка IT-специалистов