Компьютерное доказательство гипотезы о центроидах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 1

УДК 519.68:159.955 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-1-73-91

КОМПЬЮТЕРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ

О ЦЕНТРОИДАХ1

А. Р. Есаян, Н. Н. Добровольский (г. Тула) Аннотация

В данной статье дается доказательство "гипотезы о центроидах", выдвинутой в работе "Экспериментальное обоснование гипотез в GeoGe&ra" и опубликованной в текущем номере "Чебышевского сборника". Формулируется эта гипотеза так: " Пусть в невырожденном треугольнике из каждой вершины проведены медианы. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что их центроиды лежат на одном эллипсе". Доказательство гипотезы проводится с опорой на символьные вычисления, реализованные в пяти пакетах компьютерной математики GeoGebra, Mathcad Prime, Maxima, Maple и Mathematica [2-8]. Использование различных систем символьных вычислений для решения одной задачи позволяет получить наглядный материал для сравнительной оценки возможностей этих систем. В завершающей части статьи предлагается к рассмотрению другое утверждение — "гипотеза о центрах описанных окружностей". Формулируется она так: " Пусть три чевианы пересекаются внутри остроугольного треугольника в центре описанной окружности. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что центры их описанных окружностей лежат на одном эллипсе". Данная гипотеза была выдвинута и получила экспериментальное подтверждение с помощью динамической модели, построенной в GeoGebra

Ключевые слова: GeoGebra, динамическая модель, коническое сечение, центроид, Mathcad Prime, Maxima, Mathematica, Maple.

Библиография: 12 названий.

A COMPUTER PROOF OF THE HYPOTHESIS ABOUT

OF CENTROIDS

A. E. Esayan, N. N. Dobrovolsky (Tula) Abstract

This article provides a proof of the "hypothesis about of centroids", which is given in the "Experimental validation of hypotheses in GeoGebra" and published in the current issue of the "Chebyshevskiy sbornik". This hypothesis is formulated as follows: "Let are a non-degenerate triangle from each vertex held the median. Then the original triangle is split into six triangles without common interior points so that their centroids lie on the same ellipse". The proof of the hypothesis is based on symbolic computation, implemented in five packages of computer mathematics GeoGebra, Mathcad Prime, Maxima, Maple and Mathematica [2-8]. The use of different systems of symbolic computation for solving a problem allows to obtain visual material for comparative assessment of these systems. In the final part of the article offers to consider another statement — "the hypothesis about of circumcenters". It is formulated so: "Let the three

1 Работа выполнена в рамках государственного задания ФГВНУ «Институт стратегии развития образования Российской академии образования» на 2017-2019 годы (№27.6122.2017/ВЧ) при поддержке гранта РФФИ № 16-41-710194 р_а.

cevian intersect inside acute-angled triangle in the circumcenter. Then the original triangle is split into six triangles without common interior points so that their circumcenters lie on the same ellipse". This hypothesis was proposed and confirmed experimentally, using a dynamic model constructed in GeoGebra.

Keywords: GeoGebra, dynamic model, conic, centroid, Mathcad Prime, Maxima, Mathema-tica, Maple.

Bibliography: 12 titles.

1. Введение

В статье [12] приведено несколько гипотез, связанных с расположением определенных точек треугольника на той или иной конике. Выдвинуты они были, вероятно, на основе экспериментов с моделями в одной из систем динамической математики типа GeoGebra. В статье [11] говорится о том, что не все приведенные в [12] гипотезы справедливы, но для одной из них, а именно "гипотезе об инцентрах", приводится компьютерное доказательство с использованием символьных вычислений в системе Maple. В статье "Экспериментальное обоснование гипотез в GeoGebra", опубликованной в текущем номере "Чебышевского сборника", выдвинута серия новых гипотез, связанных с расположением некоторых треугольных центров на той или иной конике. В этой статье, как выдвижение гипотез, так и их экспериментальное обоснование реализуются на тех же самых динамических моделях. Среди выдвинутых гипотез имеется и "гипотеза о центроидах" (Кб), которая формулируется следующим образом. "Пусть в невырожденном треугольнике из каждой вершины проведены медианы. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что их центроиды лежат на одном эллипсе". В данной статье приводится доказательство этой гипотезы с использованием символьных вычислений, причем в нескольких системах компьютерной математики: GeoGebra, Mathcad Prime, Maxima, Maple и Mathematica [2-8]. Использование различных систем символьных вычислений для решения одной задачи, во-первых, уменьшает риск возможной ошибки, а во-вторых позволяет получить наглядный материал для сравнительной оценки возможностей этих систем.

2. Схема доказательства гипотезы Ш

Доказательство сформулированной выше гипотезы о центроидах было проведено с использованием символьных вычислений, причем в нескольких системах компьютерной математики: GeoGebra, Mathcad Prime, Maxima, Maple и Mathematica [2-8]. Во всех случаях эти вычисления привели к одному и тому же результату - потверждению гипотезы, что и позволяет переформулировать ее в виде теоремы.

Теорема 1. Теорем,а об центроидах. Пусть в невырожденном треугольнике из каждой вершины проведены, медианы. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что их центроиды, лежат на, одном, эллипсе.

Схема доказательства,. Обозначим через D точку пересечения трех медиан А АБС и через Е, F и G основания этих медиан. Далее, пусть Н, I, J, К, L и М — точки пересечения медиан

А А А А А А

тельство теоремы может быть проведено по следующей схеме. Пусть xl, у 1, х2, у2 хЗ и уЗ -координаты вершин исходного треугольника: A=A(xl,yl), В=В(х2,у2) и С=С(хЗ,уЗ). Тогда координаты центроидов Н, I, J, К, L и М могут быть вычислены через эти координаты, то есть они зависят от шести параметров. Дальнейшая работа с величинами, связанными с шестью параметрами, представляется не совсем простой и, по крайней мере, весьма громоздкой.

Однако при проведении доказательства теоремы можно считать выполненными такие условия. Вершина А расположена в начале координат, то есть имеет координаты /1(0, 0). Этого всегда можно добиться преобразованием параллельного переноса. Сторона АВ ААВС расположена на положительном направлении оси абсцисс, то есть вершина В имеет координаты В(IV,0). Этого всегда можно добиться преобразованием поворота. Далее, пусть координаты вершины С С(И,¥). Таким образом, можно считать, что координаты центроидов задаются выражениями, зависящими всего лишь от трех параметров II, V и \У (см. рис. 1). При этом из невырожденности исходного треугольника следует, что и У=0.

D _ D (^, f) ;

H _ H (5U+2W 5V>

т _ т (11U+2W 11У >

1 1 V 18 ' 18 у

K _ K ( 5U +11W

K _ K V 18 ' 18 )

Т _ Т (2U +11W У^

L _ М 18 '

J _ J t11™, , M _ M {2U++85W, ^ . Рис. 1: Координаты центроидов ADAE, ADEC, ADIF, ADFB, ADBG и ADGA

Теперь уже можно было бы приступать к доказательству теоремы, но мы попробуем избавиться еще от одного из параметров. Предположим, что удалось установить справедливость теоремы для любых треугольников с вершинами ^4(0, 0), В( 1, 0) и С(хз, уз), то есть для случая

двух параметров. Но тогда она справедлива и для треугольников с вершинами /1(0, 0), В( 1, 0)

_

а справа от него выписаны координаты всех центроидов рассматриваемых треугольников.

D _ D (U+W D _ D \ 3W , swJ ;

H _ H (5U+2W 5У > H _ H V 18W , 18W i

T _ T (11U+2W 11У \

1 _ 1 V 18W , 18W/,

K _ K (5U+11W 5У > K _ K V 18W , 18W)

T _ T (2U +11W У >

L _ L V 18W , 9W!

j _ j ^ 11U+5W 11У '

т _ т (2U+5W У \ 18W , 18W) , J _ JV 18W , 9W).

Рис. 2: Координаты центроидов ADAE, ADEC, ADCF, ADFB, ADBG и ADGA

Иными словами, существует нетривиальный набор действительных числовых значений а, Ь, с, й, е и / таких, что центроиды Н, I, ,1, К, Ь ш М, показанные справа на рис. 2, лежат на конике

а ■ х2 + Ь ■ х ■ у + с ■ у2 + d ■ х + е ■ у — / = 0 (1)

и, кроме того, этой коникой является эллипс. Подставляя в (1) координаты точек // I, ./. К, Ь т М, получим:

( 5U^ + (\ . (_5V_ \ + (JV_+ d . ( 5U+2W \ + ( _5V_ A f _ Q

а V 18W / + b V 18W / V18W/ + c V18W/ + d V 18W e V18W/ f _ q'

( 2U+5W a2 + b , ( 2U+5W A , A + ^ + d , ( 2U+5W A + \ f _ q

а V 18W ) + b V 18W ) V18W/ + c V18W/ + d V 18W )+ e V18W/ f _ Q

Эти соотношения можно переписать в виде:

а

• (^)2 + ь • (A • (5VA + c • (5VA2 + d1 • (^A + e1 • (5VA - h _ Q,

• (^A2 + ь • F+IFA • (2VA +'c • (2VA2 + d1 • (^A + ^ • (2VA - /1 _ Q,

(2)

где й\=й. Ш, б1=е. Ш, /1=/.Ж . Но это означает, что центроиды, показанные на рис. 1, лежат на конике

а ■ х2 + Ь ■ х ■ у + с ■ у2 + d1 ■ х + е1 ■у — /1 = 0. (3)

Остается показать, что коника (3), как и (1), задает эллипс. Пусть йг1 - функция вычисления определителя матрицы. В соответствии с [9, с. 41] тип коники (1) определяется инвариантами:

S _ а + c, ó _ det a тип коники (3) - инвариантами:

S1 _ а + c, 01 _ det

а b/2 b/2 c

, A _ det

а b/2 d/2 b/2 c e/2 d/2 e/2 -/

(4)

а b/2 b/2 c

A1 _ det

а b/2 d • W/2

b/2 c e • W/2

d • W/2 e • W/2 -/•W2

(5)

Из (4) и (5) следует, что 51 = 5, 51 = 5 8 Д1 = А ■ Ш2. Далее, поскольку (1) эллипс, то ¿>0, Д.5<0 [9, с. 41], но тогда 51>, Дь51<0, то есть (3) - также эллипс, что и требовалось установить.

Таким образом, для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай с двумя параметрами, представленный на рис. 2 при Ш=1. И можно приступать к символьным расчетам в различных упомянутых выше системах компьютерной математики.

а

3. Доказательство гипотезы Ш в GeoGebra

Система GeoGebra (ver. 5.0.231.0). В GeoGebra-документе, показанном на рис. 3, приведены все необходимые символьные вычисления, связанные с компьютерным доказательством теоремы о центроидах. Реализуются они в редакторе CAS - Computer Algebra System и сводятся к следующим действиям:

1-7) выписывается матрица de коэффициентов системы (2) при W=1;

8) подсчитывастся определитель системы (2), то есть Determinant\de]. Он оказывается равным нулю и, следовательно, .линейная однородная система имеет нетривильное решение;

9-16) для системы уравнений, полученной из (2) при d -1 удалением четвертого уравнения и перенесением свободных членов в правую часть формируются матрица коэффициентов ms и вектор свободных 6,?;

17) подсчитывается определитель и ранг ms. Поскольку ААВС - невырожденный, то параметр V=0 и, следовательно, Determinant[ms]=- V4/1296=0. Следовательно "усеченная" система уравнений ms.x=bs имеет и притом единственное решение;

.

Поэтому, сначала для ms находится обратная матрица mi Invert\ms], проверяется правильность вычислений, а затем по mi отыскивается решение sol mi*bs;

21-27) из векторной записи решения sol формируются значения для переменных а, Ь, с, е и f(d -1);

28-33) по найденным коэффициентам определяются инварианты (1);

S = _L_ е =__А = _7 U2 + V2 - U + 1

S 4V2' 0 144V2' А 7 144 '

34) поскольку V = 0и U2 — U + 1 = (U — 2)2 + 4 > 0, то 0>0, A.S<0 и, следовательно, построенная коника является эллипсом, что и требовалось доказать.

Рис. 3: Код доказательства теоремы об центроидах в системе Ge.oGe.bra

4. Доказательство гипотезы Ш в Mathcad Prime

Система Mathcad Prime(ver. 3.1). В Mathcad-докумеыте, показанном на рис. 4, реализованы все необходимые символьные вычисления, связанные с компьютерным доказательством теоремы о центроидах. II сводятся они к следующим действиям. В пунктах 1 и 2 выписывается матрица та коэффициентов системы (2) и для нее символьно подсчитываете-! определитель и ранг. Поскольку определитель оказался равным нулю, то нетривиальное решение системы (2) существует и все центроиды Н, I, J, К, L и М действительно лежат на одной конике. Но при ранге та, равном 5, одно из неизвестных можно считать свободным, например, d -1, а для нахождения остальных неизвестных а, Ь, с, е и / выделить из (2) систему пяти уравнений. Сделать это можно удалением из (2) четвертого уравнения и перенесением четвертого столбца в правую часть.

2. Символьное вычисление определителя матрицы та и ее ранга

<ief. (mil) —* 0 rank (ma) —5

Поскольку для дальнейших вычислений достаточно иметь лишь матрицу коэффициентов полученной системы те и столбец ее свободных членов Ьв, то именно они и выписаны в пункте 3 документа.

Далее, в пункте 4 подсчитан определитель и ранг матрицы те: det(ms)= -1^4/1296 и гапк(т„з)=5. Из невырожденности исходного ААВС вытекает, что ¥=0 и, следовательно, det(ms)=0. Таким образом, система т„з.х=Ь8 имеет единственное решение, которое и находится с помощью встроенной функции ЫоЬае^тв, Ьв). В результате получаем значения для а, Ь, с, е. и / (d -1), выраженные через параметры {/ и V.

Наконец в пункте 5 документа проводятся все завершающие вычисления, а именно, символьно вычисляются инварианты Б, 5 и А и устанавливается, что ¿>0 и Б.Д<0. А значит проведенная коника является эллипсом, что и требовалось доказать.

m2t=

ь d 1 2-U- 1 1

2 2 2-V 2

с е 2 - 2-U-1 2-V £/г-[/+1 У® t/-l 2-V

е -/ "1 Ï7— 1 29

2 2 2-V 108

i :=det(m1 ) -¿b=det(m2)

1-V2 simplify 7

Итак:

4-V2

5-Л-

144-V*

2

Но У2 -C/+1 =[[/-^1 Уф Поэтому ¿>0 J S*A<0, что

^ ■ и требовалось установить.

Рис. 4: Код доказательства теоремы об центроидах в системе Mathcad Prime.

В компьютерных системах Maxima, Maple и Mathematiea символьные вычисления при доказательстве теоремы об центроидах проводятся практически так же, как и в системах GeoGebra и Mathcad Prime. Поэтому мы ограничимся приведением фрагментов документов с соответствующими действиями без их комментирования.

5. Доказательство гипотезы Ш в Maxima

Система Maxima (wxMaxima ver. 16.12.0). Maxima-документ с соотвествующими вычислениями показан на рис. 5.

(5 U-2)2 5 (S U-2) V 25 V2 5 U-2 5 V

324 324 324 13 13

(ll U-2)2 11 (ll 17-2) V 121 V2 11 U-2 11 V

324 324 324 13 13

(и v-s)2 11 (ll u + s) v 121 V2 11 U-5 11 V

324 324 324 IS IS

(5 U+ll)2 5 (5 U+ll) V 25 V2 5 U+ll 5 V

324 324 324 13 13

(2 U+ll)2 (2 IT+ll) V V2 2 U+ll V

324 162 SI 13 9

(2 U-5)2 (2 0+5) V V2 2 U-5 V

324 162 SI 13 9

(та)

(5 и-2)2 5 (5 и + 2} V 25 V2 5 У+2 5 V

324 324 324 13 13

(11 и~2)2 11 (11 и~2) V 121 V2 11 и-2 11 V

324 324 324 13 13

(11 и-5)2 11 (11 1Т-5) V 121 V2 11 П + 5 11 V

324 324 324 13 13

(5 У+п)2 5 (5 и+11) V 25 V2 5 У+11 5 V

324

(2 и+и):

324

(2 17-5): 324

324

(2 П+и) V 162

(2 и-5) V 162

324

13

2 и+11

13

2 У+5

15

V 9

V 9

-1

-1

-1

-1

гаЪз1тр (¿еЪегт:1:па:пЪ (та } } ;

d: -IS

ml : matrix( [af Ъ/2], [b/2,c])S

m2 : matrix ( [a,b/2,d/2], [b/2fc,e/2], [d/2,э/2,-f])S

{%i

\delta=\delta

B.j

[5=-

4: V

As =

_ Л

\Delta=factor(S -\DeltaJ ] t7 + l)

V2- U2

144 V

Рис. 5: Код доказательства теоремы об центроидах в системе Maxima

6. Доказательство гипотезы Ш в Maple

Система Maple (ver. 2016.0). Maple-&окумент с соответствующими вычислениями показан на рис. 6.

гф •■=

1

324 1

324 1

324 1

324 1

(5 Е7+ 2 У

(11 U+ 2 У

(iií/+ sy

(5 U+ 11)J

(2E7+ 11)J

(2 U+ 5)

324

11

324

11 324

5

324 1

■ (5 E7+ 2) V (11 t/+ 2) V (11 Í/+ 5) V (5 U+ 11) V (2 U+ 11) V

■ (2 E7+ 5) V

25 324 i ■ r 5 18 - U+ 1 9 5 IS

121 324 i ■ V1 11 18 - U+ 1 9 11 IS

121 324 ■ V1 11 IS u+ 5 IS 11 IS

25 324 ■ V1 5 IS u+ 11 IS 5 IS

1 81 "I V1 1 9 u+ - 11 IS 1 9

1 81 "1 r 1 9 u+ - 5 IS 1 9

V -1

V -1

V -1

V -1

V -1

(1)

> jíjí := SubMa¿rix(ma, [ 1 ..3, 5,6], [ 1 X5,6]) : bs •= SubMatrix[ma, | 1 ..3, 5,6], [4]} :

(íJJJL

5

1 {5 U+ 2f

324 i

324

(5 U+ 1) V

(11 U+2}2 ^ (11 U+ 2) V (11 [7+ if (11 E7+ 5) V

(2 U+ 5) V

25 324 i V¿ 5 13 V -1 i-l

121 324 V1 11 13 V -1

121 324 ir 11 13 V -1 -У-Е7+-5- 13 13

1 81 i y1 1 9 V -1

1 81 i y1 1 9 V -1

(3)

> 5 •■= а + с : 5 •■= Determmant[mI) : Д •■= DetermiTiayit[m2)

Рис. 6: Код доказательства теоремы об центроидах в системе Maple

7. Доказательство гипотезы Ш в Mathematica

Система Mathematica (ver. 11). Mathematica-документ с соответствующими вычислениями показан на рис. 7.

{Det[ma], MatrixRank[ma]} {0, 5}

ms := Drop[ma, {4}, {4}]; bs := Drop[Take[ma, {1, 6}, {4}], {4}]; {MatrixForm[ms], MatrixForm[bs]}

{a, b, c, e, f} = Flatten[Simplify[LinearSolve[ms, bs]]];

d := —1; {a,, b, c, d, e, /}

i _ ч 11 -4

1-2 U 1

■ 1

1 1-2 U 2 V 2

2 V 1-2 U 1-Uill2 -1 + U

1-2 U 1-Utll2 } 2 V 2 V

2 V 1 -1 + U 29

2 2 V Шв

S = a + c; ml

{MatrixForm[m1], MatrixForm[m2]}

1 - J 4 J1 3

1 -

■'-'Г

4 V

iJ

144 V1

S := a + c;

{5, A} := {Det [ml] , S * Det [m2]}

{S,5,A}

1 - и + и1

V

7 '1

4 V

144 V'

Reduce[5 > 0] V < 0||V > 0 Reduce [A < 0] U e Reals&&(V < 0||V > 0)

Рис. 7: Код доказательства теоремы об центроидах в системе Mat.hemat.ica

8. Заключение

Ранее мы отмечали, что с использованием символьных вычислений гипотеза об инцентрах переведена в доказанное утверждение [11]. То же самое сделано в данной статье с гипотезой об центроидах. В связи с этим в Ge.oGe.bra была создана динамическая модель для проверки сформулированных ниже гипотез (¿=1, 2, •••), где Хь - треугольный центр в обозначениях библиотеки Кимберлинга [12].

Гипотезы (Хь, б-Х^). Пусть три чевианы пересекаются внутри невырожденного треугольника в треугольном центре Хь (к=1, 2, ...). Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что их треугольные центры Х^ лежат на одном эллипсе.

При к=1 гипотеза (Х\, 6Х\) - это теперь уже доказанное утверждение об инцентрах, при ¿=2 гипотеза (Х2, 6X2) - это теперь уже доказанное утверждение о центроидах. Упомянутая модель для проверки гипотез (Х^, (к=1, 2, ...) представлена на рис. 8. Не останавли-

Рис. 8: Динамическая модель для проверки гипотез типа 6Хь) (к=1, 2,

ваясь на подробном описании модели отметим, что номер к треугольного центра Xк (к=1, 2, ...) задается на ней ползунком, а при изменении на модели значений к и позиций свободных точек А, В и С оперативно изменяются и переменные части информационных надписей. Проведенные эксперименты с моделью позволили построить контрпримеры для гипотез (Хь, 6Хк) при к=1, 2, ..., 100 (далее проверка не проводилась). Однако, если исходный треугольник является остроугольным, то утверждение (Хэ, 6X3) опровергнуть не удалось и, вероятно, оно справедливо. Поскольку Х3 - это центр описанной окружности, то завершить статью мы можем формулированием следующего утверждения.

Гипотеза о центрах описанных окружностей. Пусть три чевианы пересекаются внутри остроугольного треугольника в центре описанной окружности. Тогда исходный треугольник разбивается на шесть треугольников без общих внутренних точек так, что центры их описанных окружностей лежат на одном эллипсе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка, М.: МЦНМО, 2007. 136 с.

2. Есаян А. P. "РТС Mathcad Prime 3.1", монография, А. Р. Есаян, В. Н. Чубариков, Н. М. Добровольский, А. В. Якушин, М. М. Абдуразаков. Тула, изд. Тульского гоепедунивер-ситета, 2016, 400 с.

3. Есаян А. Р. Программирование в Maple / А. Р. Есаян, В. Н. Чубариков, Н. М. Добровольский, В. А. Шулюпов. Тула: Изд-во Тул. гос. под. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2007. -334 с.

4. Есаян А. Р. Создание новых инструментов в GcoGcbra. Реценз. кол. монография "Проблемы модернизации современного образования", Калуга 2016, с. 29-59

5. Есаян, А. P. Maxima. Данные и графика. / А. Р. Есаян, В. Н. Чубариков, Н. М. Добровольский, А. В. Якушин. Тула: Изд-во Тул. гос. под. ун-та им. Л. И. Толстого, 2011 367 с.

6. Есаян А. P. Maxima. Программирование в Maxima. / А. Р. Есаян, В. И. Чубариков, Н. М. Добровольский, А. В. Якушин. -Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого, 2012 - 351 с.

7. Есаян А. Р. Творческая лаборатория Mathematical Система, данные, графика. В 2 ч., 4.1 / А. Р. Есаян, В. Н. Чубариков, И. М. Добровольский. -Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. И. Толстого, 2005. -296 с.

8. Есаян А. Р. Творческая лаборатория Mathematica. Программирование, функции алгебры и анализа / А. Р. Есаян, В. И. Чубариков, Н. М. Добровольский. -Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005 - 258 с.

9. Kimberling, С. Triangle Centers and Central Triangles, Congr. Numer. 129, 1998. p. 1-295.

10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968

11. Осипов Н. Н. Компьютерное доказательство теоремы об инцентрах. Математическое просвещение. Третья серия, выпуск 18, М.: Изд. МЦНМО, 2014, с. 205-216

12. Штейнгарц Л. А. Орбиты Жукова и теорема Морлея. Математика в школе, № 6, 2012 г. с. 53-61

REFERENCES

1. Akopvan A.V., Zaslavskv А. А. 2007, Geometric properties of curves of the second order, Moscow: mtsnmo, Moscow, -136 p.

2. Esavan A. R. PTC Mathcad Prime 3.1, monograph, A. R. Esavan, V. N. Chubarikov, N. M. Dobrovolskv, A. V. Yakushin, M. Abdurazakov. Tula, ed. Tula gospeduniversitet, 2016, -400 p.

3. Esavan A. R. Programming in Maple, A. R. Esavan, V. N. Chubarikov, N. M. Dobrovolskv, V. A. Shulvuov. Tula, ed. Tula gospeduniversitet, 2007, -334 p.

4. Esavan A. R. Creating new tools in GeoGebra. The reviewed collective monograph "Problems of modernization of modern education", Kaluga 2016, p. 29-59

5. Esavan, A. R. Maxima. The data and graphics. / A. R. Esavan, V. N. Chubarikov, N. M. Dobrovolskv, A. B. Yakushin. -Tula, ed. Tula gospeduniversitet, 2011 - 367 p

6. Esavan A. R. Maxima. Programming in Maxima. / A. R. Esavan, V. N. Chubarikov, N. M. Dobrovolskv, A. B. Yakushin. -Tula, ed. Tula gospeduniversitet, 2012 -351 p

7. Esavan A. R. The Creative laboratory Mathematica: System, data, and graphics. In 2 parts, Part 1 / A. R. Esavan, V. N. Chubarikov, N. M. Dobrovolskv. -Tula, ed. Tula gospeduniversitet, 2005. -296 c.

8. Esavan A. R. The Creative laboratory Mathematica. Programming, functions, algebra and analysis / A. R. Esavan, V. N. Chubarikov, N. M. Dobrovolskv. -Tula, ed. Tula gospeduniversitet, 2005 - p. 258

9. Kimberling, C. Triangle Centers and Central Triangles, Congr. Numer. 129, 1998. p. 1-295.

10. Korn G., Korn T. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers/ M.: Nauka, 1968

11. Osipov N. N., A computer proof of the theorem about incentro. Mathematical education. Third series, volume 18, M.: Ed. Mtsnmo, 2014, pp. 205-216

12. Steingarts L. A., Orbits of Zhukov and theorem of Morlev. Mathematics in school, №. 6, 2012, pp. 53-61

Тульский государственный педагогический университет им Л. И. Толстого. Тульский государственный университет. Получено 12.11.2016 Принято 13.03.2017