CC BY
19
Таблица 2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1 0 0,034 0,118 0,228 0,348 0,469 0,585 0,694 0,799 0,900 1
0,9 0 0,031 0,109 0,215 0,333 0,454 0,573 0,687 0,795 0,899 0,999
0,8 0 0,028 0,100 0,200 0,315 0,435 0,556 0,674 0,787 0,895 0,998
0,7 0 0,025 0,091 0,183 0,293 0,411 0,532 0,653 0,770 0,883 0,992
0,6 0 0,022 0,080 0,164 0,267 0,380 0,499 0,621 0,742 0,860 0,974
0,5 0 0,019 0,069 0,143 0,236 0,342 0,456 0,575 0,696 0,818 0,938
0,4 0 0,015 0,057 0,120 0,201 0,295 0,400 0,512 0,629 0,749 0,870
0,3 0 0,012 0,044 0,094 0,160 0,239 0,329 0,427 0,533 0,644 0,759
0,2 0 0,008 0,003 0,067 0,113 0,172 0,240 0,317 0,402 0,493 0,590
0,1 0 0,004 0,015 0,034 0,060 0,093 0,132 0,176 0,227 0,283 0,344
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
Моделирование волнового алгоритма реконфигурации структуры процессорной матрицы на основе сигналов согласия позволило убедиться в его работоспособности и преимуществе по сравнению с другими алгоритмами реконфигурации, оценить, какая часть процессорных элементов и связей может отказать без полного разрушения системы на отдельные несвязные куски.
1. Сами М., Стефанелли Р. Перестраиваемые архитектуры матричных процессорных СБИС. -ТИИЭР, Т.74, № 5. 1986. - С. 107-118.
2. Воробьев В.А., Лаходынова Н.В. Процессорная матрица с перестраиваемой структурой и перестраиваемым резервом // Автометрия, № 5. 1994. - С. 90-98.
3. Воробьев В.А., Лаходынова Н.В. Реконфигурация отказоустойчивой процессорной матрицы на основе сигналов согласия // Автометрия, № 6.-1997
4. Воробьев В.А., Лаходынова Н.В. Вложение решеток в процессорную матрицу с отказами на основе сигналов согласия // Новые информационные технологии в исследовании дискретных структур: Доклады всероссийской конференции. - Екатеринбург: УрО РАН, 1998.- С. 153-156.
5. Воробьев В.А., Лаходынова Н.В. Пределы надежности однородных вычислительных структур// Известия АН СС СР. Техническая кибернетика. 1989
УДК 517.91 + 681.3
КОМПЬЮТЕРНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ С
ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ В МЕДИЦИНЕ
В.П.Марценюк
В работе предложен метод численного интегрирования систем с последействием, применимый для компьютерной реализации. Компьютерное описание проведено с использованием объектно-ориентированного подхода. Показано применение метода на задачах медицинской информатики.
У роботг запропоновано метод чисельного ттегрування систем з тслядгею, який припускае комп'ютерну реал1защю. Комп'ютерний опис здшснений гз застосуванням об'ектно-ор1ентованого тдходу. Показано використання методу на задачах медичноЧ iнформатики.
The method of numerical integration of hereditary systems is proposed. In this work it allows computer implementation. Computer description is performed using object-oriented approach. Applications of this method for medical informatics problems are shown.
ВВЕДЕНИЕ
Динамические системы с последействием играют важную роль в экономике, биологии, медицине, инженерии. Многочисленные приложения эредитарных систем показаны в работах [1-3]. В то же время широкое практическое использование указанного класса систем сопряжено с определенными трудностями, возникающими при численном интегрировании (решении) соответствующих дифференциальных уравнений. Одной из причин является, по-видимому, бесконечномерность задач. Показано [4,5], что системы с последействием можно рассматривать как динамические системы в банаховом пространстве. В результате отсутствия признанных методов численного решения эредитарных систем популярные математические
пакеты (например, MATHCAD, MATHLAB, MAPLE) не содержат программных средств решения уравнений с последействием.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается класс динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием:
У'(.x) = F(x, y(x), y(x - T1(x)), y(x - T2(x)),.. ,,y(x - Tm(x))),
x > 0.
(1)
Здесь х е Я - независимая переменная, у(х) е Я" - фазовая траектория системы, х), х),..., Тт(х) - переменные запаздывания в системе, Г(^) е Я" - функционал, который может быть даже кусочно-непрерывным. Предполагается, что функции тг-(х) , г = 1, т принимают на положительной полуоси только неотрицательные значения и ограничены снизу и сверху. Поведение системы на начальном промежутке времени считается заданным:
у(х) = ф(х), х е [ шах_ тг(х), 0]. (2)
х > 0, г = 1, т
Здесь ф(х) - функция, допускающая решение начальной задачи (1), (2).
В данной работе представлен метод, пригодный для компьютерного решения начальных задач общего вида (1), (2).
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
При численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений наибольшее развитие получил метод Рунге-Кутты и многочисленные его модификации. Применительно к задачам (1), (2) метод Рунге-Кутты может быть применен лишь в случае одного постоянного запаздывания Т . Причем это может быть лишь метод с постоянной длиной шага, приводящий к значительным погрешностям и отличающийся плохой устойчивостью. При рассмотрении более сложных систем и использовании более совершенных методов с переменной длиной шага возникают следующие трудности:
- при рассмотрении нескольких переменных запаздываний не всегда известно насколько большой диапазон предыдущих состояний системы требуется сохранять для вычисления последующих;
- не всегда сохраняются именно те значения, которые будут востребованы на будущих шагах;
- неизвестно, какая должна быть плотность сохраняемых значений.
Все вышеуказанные трудности позволяет избежать глобальная аппроксимация решения с помощью многочлена четвертой степени. Подходящими методами для плотной выдачи решений являются методы типа Адамса, непрерывные методы Рунге-Кутты. Ввиду легкости программирования и превосходства над другими интерполяционны-
ми методами [3] в данной работе выбран метод Дормана и Принса порядка 5(4).
Программное построение решения задачи (1), (2) строится на использовании объектно-ориентированного подхода, который на сегодня получил наиболее полное развитие в системе программирования Microsoft Visual Java++ [6], применяемой в данной работе.
На рисунке 1 приведена схема классов, включенных в проект (Workspace) по решению задач (1), (2). Здесь DelaySystemSolution - класс, в котором описывается начальное поведение и правые части системы (1) а также производится численное интегрирование методом Дорма-на-Принса; GraphConstruction - класс-апплет, осуществляющий визуальное отображение графиков решений, их более тщательное отображение и изучение; FunctionList -класс - "связанный список", предназначенный для решения задачи одновременного вывода графиков нескольких компонент решения в одной плоскости; ColorList - класс, предназначенный для "разноцветного" отображения графиков разных компонент решения; LinkedList - класс -"связанный список", предназначенный для отображения решения задачи (1), (2) в разных пределах изменения x; BoundsLocation - класс для хранения пределов изменения x. Стрелками обозначены направления взаимодействия классов.
Рисунок 1 - Схема классов проекта решения задач (1), (2)
Класс GraphConstruction является типичной библиотекой машинной графики имеющей богатые визуальные возможности по изучению поведения системы на самых мелких интервалах изменения x, одновременному выводу нескольких графиков в одной плоскости. Класс использует многопоточность, а с целью избежания мерцания используется метод двойной буферизации.
Ниже указаны главные переменные и методы класса Graph Construction.
public class GraphConstruction extends java.applet.Applet Implements Runnable {
DelaySystemSolution SampleSystemSolution;
Thread m_Graphics = null; // поток класса
private double m_x0;// левый предел x
private double m_x1;// правый предел x
// второй буфер изображения
private Image m_image; // внеэкранное изображение
private Graphics m_g; // графический объект внеэкранного изображения
double f(int i, double x) // метод класса, указывающий на функцию,
//график которой следует отобразить
{
return SampleSystemSolutlon.ylag(l, x);
Объект класса DelaySystemSolution, ассоциированный с исследуемой системой с запаздыванием создается в классе GraphConstruction и является его переменной.
Далее остановимся на строении класса DelaySystemSolution. Ниже указаны его главные переменные.
public class DelaySystemSolution {
double[] y; // переменная-массив для хранения начального значения и // искомого решения в точке xend double x0; // начальная точка для x
private double xstor[]; //массив точек, в которьх производилось интегрирование private double ystor[][]; // массив найденных решений
private double c1[][]; // массивы коэффициентов аппроксимирующих многочленов, private double c2[][]; // в которых хранятся коэффициенты при слагаемых private double c3[][]; // соответственно первой, второй, третьей, четвертой private double c4[][]; // степени int n; // размерность системы; может быть <= 51
}
Метод fcn, объявленный как
public double[] fcn(double x, double y[]) возвращает массив значений правых частей системы (1). Ниже будет показана его реализация на примере решения задачи из медицины. Метод phi, объявленный как
public double phi(int i, double x) возвращает значение начальной функции ф(х) , вычисленное для г-й компоненты решения. Нахождение приближенного решения задачи (1), (2) осуществляется в классе DelaySystemSolution следующим образом. В конструктор класса DelaySystemSolution включен вызов метода retard, объявленного как:
public void retard(int n, double x, double y[], double xend, double eps, double hmax, double h).
Далее, после успешного шага интегрирования метод retard вызывает метод store, который записывает в переменные xstor, c1, c2, c3, c4 коэффициенты многочленов вместе с соответствующими значениями x. После этого при вызове метода ylag( г, x) производится поиск нужного интервала для x и вычисляется соответствующий многочлен для г-го решения. Таким образом с помощью метода ylag можно получить г-е решение в произвольной точке x. Это свойство используется для задания запаздывания в методе fcn.
= ax(t) + b(x(t - T) - x0), 0 < t < T, ^ = b(x(t - T) - xo), t > T.
(3)
Решения уравнений могут быть найдены методом, предложенным в данной работе. Для этого следует создать следующий метод fcn:
public double[] fcn(double x, double y[]) {
//this method describes "right side" of system double T = 20.; double tau = 1.;
double[] dRight_side = new double[Math.max(n, nn) + 1];
if((x>0) & (x<T)) {
dRight_side[1] = m_a * y[1] + m_b * (ylag(1, x - tau) - phi(1,0));
}
else {
dRight_side[1] = m_b * (ylag(1, x - tau) - phi(1,0));
}
return dRight_side;
}
Предполагается, что m_a и m_b являются переменными класса DelaySystemSolution, предназначенными для хранения значений a, b. На рисунке 2 представлено решение указанной задачи для случая a = -1 , b = -1 , T = 20 , Т = 1 , х0 = 1 .
РЕЗУЛЬТАТЫ
В качестве примера рассмотрим задачу о реакции клетки на рентгеновское облучение. Предположим, что облучение продолжается в течение времени Т (и начинается при t = 0), а затем прекращается. Предполагается, что клетки обладают способностью восполнять недостаток или устранять излишек этого вещества, но их реакция происходит с запаздыванием, равным Т . Пусть х(Г) -концентрация вещества в клетке, подвергнутой облучению, а - постоянная облучения, зависящая от степени облучения, Ь - постоянная, показывающая реакцию клетки на отклонение от равновесной концентрации х0. Очевидно, что х(t)= Хо , t < 0. Исходя из сделанных предположений, концентрация описывается уравнениями:
Рисунок 2 - Изменение концентрации вещества в результате рентгеновского облучения
В качестве следующего примера рассматривается модель воспалительного процесса инфекционной природы. В общем виде математическая модель иммунитета описана в работе [2]. Она универсальна и справедлива не только для воспалительного процесса, но и для инфекционного заражения организма. В модели учитываются следующие определяющие течение процесса факторы:
1) популяция антигенов V, размножающихся в организме;
2) популяция антителообразующих клеток (плазмо-клеток) С;
3) количество антител (иммуноглобулинов) Р в организме ;
4) степень поражения органа т.
Уравнения, определяющие динамику перечисленных факторов, имеют вид
dV dt
= (в - YF) V,
dC = m)aV(t- т)F(t- т) - |c(C- C0), f = p C - + ЛУК)F , f = oV- ^
с начальными условиями при г е [ —Т, 0 ] ;
¥(г) = ¥о, г) = С(г) = Со, т(г) = 0.
Здесь в - коэффициент размножения антигена; у -коэффициент, определяющий вероятность нейтрализации антигена антителом; а - коэффициент, обусловливающий вероятность встречи антиген-антитело; |с - коэффициент, обратный времени жизни плазмоклеток; р - скорость производства антител одной плазмоклеткой; - коэффициент, обратнопропорциональный времени распада антител; п - число антител, требующихся на нейтрализацию одного антигена; О - коэффициент, определяющий скорость гибели клеток засчет повреждающего действия антигена; | т - коэффициент, учитывающий скорость восстановления пораженного органа; Т - фаза запаздывания (время, в течение которого осуществляется формирование каскада плазмоклеток); т) - непрерывная невозрастаю-щая функция (0 т)< 1) , характеризующая нарушение нормального функционирования иммунной системы из-за значительного поражения органа-мишени. Перечисленные параметры положительны и являются специфическими как для вида антигена, так и для органа и конкретного организма.
С помощью разработанной компьютерной модели проведено качественное исследование воспалительного процесса в случае, когда в = 2 , у = 0,8 , а = 104 , |с = 0,5 , р = 0, 17, !г = 0, 17, п = 10 , |т = 0, 12 , т = 0, 5,
m) =
'1,
m < 0,1
(1 - m)/(9), 0,1 < m < 1.
При t e [-т, 0 ] справедливы следующие начальные условия: V(t) = max(0, x + 10-6), C(t) = 1 , F(t) = 1 , m(t) = 0.
Проведенное моделирование показывает, что время повторного проявления воспалительного процесса и степень его активности зависят от коэффициента О, что согласуется с экспериментальными данными (см. рисунки 3, 4).
19.01 16.29 13.57 1 10.96 9.146 5.430 2.714 -0.00
-0.
-1-1-1-1-1-1-1-1—
5 6.401 13.30 20.20 27.10 34.00 40.90 47.90 54.70 " х1 х2 хЗ х4
Рисунок 3 - Модель воспалительного процесса инфекционной природы при О = 2 . Здесь х 1 = 104 V, х2 = 0, 5 С, х3 = ^, х4 = 10т
Рисунок 4 - Модель воспалительного процесса инфекционной природы при О = 300 . Здесь х 1 = 10^, х2 = 0, 5С, х3 = ^, х4 = 10т
ВЫВОДЫ
В работе представлена модель, предназначенная для исследования динамических систем с последействием. Она опирается на математический аппарат численных методов Дормана-Принса и на объектно-ориентированный подход современных инструментальных систем. Модель доведена до компьютерной программы, способной выполняться с ШвЬ-узла. Модель протестирована на задачах медицинской информатики: 1) реакция клетки на рентгеновское облучение; 2) воспалительный процесс инфекционного характера.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Минцер O.A., Молотков В.Н., Угаров Б.Н. и др. Биологическая и медицинская кибернетика. Справочник. -К.: Наукова думка, 1989. - 375 с.
2. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. - М.: Наука, 1980. - 264с.
3. Хайрер Д., Нерсетт В., Ваннер Т. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.:
Мир, 1990. - 412с.
4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1984. - 421с.
5. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959. - 212с.
6. Дэвис Стефен Р. Программирование на Microsoft Visual ^уа++/Пер.с англ. - М.: Издательский отдел "Русская редакция" ТОО "Channel Trading Ltd.", 1997. - 376с.: ил.
УДК 681.3:519.21+656.072
ДИСПЕТЧЕРСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ГОРОДСКОГО ПАССАЖИРСКОГО ТРАНСПОРТА С ПОМОЩЬЮ СРЕДСТВ МИКРОПРОЦЕССОРНОЙ ТЕХНИКИ
Е.А.Оленев
В статье рассматривается модель многосвязного управления перевозочным процессом на городском пассажирском транспорте.
The model of the multilinked management of transportation process on city passenger transport is considered.
Управление транспортной системой города представляет собой очень сложный процесс, поэтому моделирование его с помощью точных математических выражений существенно затруднено. Если при этом учесть, что использование сложных формул предполагает определение большого числа параметров, измерение которых связано со значительными аппаратурными затратами, а порой и просто невозможно, то становится очевидной практическая невозможность создания полностью адекватной модели управления. Описание любого реального физического процесса на транспортной сети города связано, как правило, с объективно присутствующими при этом неопределенностями, обусловленными погрешностями прогнозирования развития перевозочного процесса и неопределенностью возмущений внешней среды. Поэтому целесообразно применение двух подходов для учета указанных неопределенностей - стохастический, использующий в своей основе вероятностное пространство случайных событий, и нечеткий, базирующийся на теории нечетких множеств. Построение стохастических моделей, описывающих динамику перевозочного процесса, достаточно полно описано в работах [1, 2, 3], поэтому рассмотрим нечеткое управление, которое является одной из попыток автоматизировать операции анализа информации и выработки управляющих воздействий, которые до сих пор выполняются диспетчерским аппаратом. Идея использования нечеткой логики для диспетчерского управления, дает возможность создать хорошую, качественную модель системы, которая объединяет многосвязное управление по прогнозируемым моделям в единый технологический процесс.
При управлении ходом перевозочного процесса следует учитывать то обстоятельство, что отрицательные последствия, связанные с отклонением от нормального протекания этого процесса, нельзя, как правило, быстро устра-
нить, поэтому для снижения возможных потерь, которые могут иметь место, необходимо постоянное моделирование картины пассажирских перевозок, обеспечивающее прогнозирование результатов управления. Возникновение конкретных ситуаций, ухудшающих пассажирские перевозки, сопровождается выдачей прогноза развития последующих событий, благодаря чему система организует движение транспортных единиц таким образом, чтобы нормализовать процесс перевоза.
На рис. 1 представлена структурная схема системы многосвязного управления ходом перевозочного процесса по прогнозируемым моделям, которая работает следующим образом.
Рисунок 1 - Структурная схема системы многосвязного управления
Системой на основе информации о контроле выполнения графиков движения и в соответствии с математической моделью, параметры которой определяются статистическими исследованиями, моделируется движение транспортной единицы на участках дорожной сети города.
