Комплексные сферические полудизайны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 17.2013

УДК 519.27

КОМПЛЕКСНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛУДИЗАЙНЫ А. Б. Певный, Н. О. Котелина

Доказывается комплексный аналог неравенства Сидельникс-ва - Гётельса - Зайделя - Венкова. Устанавливаются условия, при которых неравенство обращается в равенство. Те системы векторов на комплексной сфере, на которых достигается равенство, названы нами комплексными сферическими полудизайнами. Ключевые слова: комплексные сферические полудизайны, сфера, неравенство Сидельникова - Гётельса - Зайделя - Венкова.

1. Обозначения и основные неравенства

Пространство С", п ^ 2. состоит из векторов X = ..., хп) с комплексными компонентами ... ,хп. Введём скалярное произведение и норму

(X,У) = хт + • • • + хпуп, ||Х||2 = (х,X) = № + • • • + |жп|2.

Рассмотрим единичную сферу = {X еС": ||Х|| = 1}.

ТЕОРЕМА 1. Пусть X — {Х1,..., Хт} — произвольная система точек на сфере Г2(п). Тогда для любых целых к. I ^ 0. к ф I, справедливо неравенство

т т

(1-1)

¿=1 з=1

Если же к = I, то справедливо неравенство

т т

(1.2)

где

(1.3)

© Певный А. Б., Кстелина Н. О., 2С13

В процессе доказательства неравенств будут установлены условия, при которых неравенства обращаются в равенство.

Неравенство (1.1) доказано в [1]. Приведём более простое и явное доказательство. Неравенство (1,2) доказвается в [1 неаккуратно, в результате там получается неправильная константа (С^"^)-1 вместо константы (1.3}.

2. Доказательство неравенства (1.1)

Будем использовать мультииндексы а = («1,..., ап). где а4 Е Ъ, а,1 ^ 0, Обозначим \а\ = а.]_-\-----Ь ап, а\ = а\\... ап\. Для вектора Z =

гп)£ Сп полагаем га = ... Пусть У = (уи ... ,уп) £

Сп, к £ N. Тогда

и\

(г, У)к = (ггш + • • • + гпуп)к = V -2ГУ". (2.4)

|а|=к

Здесь У = (уг, ...,уп).

В левой части (1.1) выражения Х^) и {Х^, Х^) разложим по формуле (2.4). Получим

пг ш _ , . _ ,,

Е №. №. -ЕЕ х? Е да =

¿,¿=1 47=1 \а\=к ' \Р\=1

к\ 1\ "■

а\ ^ /3!

|а|=* |0И

г=1

^ 0. (2.5)

Неравенство (1.1) доказано.

Замечание. Нигде не использовано, что X\ Е П(п). Так что (2.4) справедливо для любых векторов Х±,..., Хт £ С". Равенство нулю очевидно имеет место, когда все выражения под знаком модуля в (2,5) равны нулю.

3. Доказательство неравенства (1.2)

Здесь мы будем использвать интегрирование по сфере П(п). используя некоторые факты из [2], Через (ко{Х) обозначим меру на П(п), инвариантную относительно вращений. о;(П(п)) = 1. (Эту меру можно представлять себе как единичную массу, равномерно размазанную по сфере В [2, п. 1.4.8, 1.4.91 вычислен следующий интеграл

1(а, /3) := [ ХаХ^ш(Х) = \

0 при а ф /3,

(п—1)Ы п

(п+Н-1)! ПР0 « =

Для доказательства неравенства (1.2) зафиксируем к и рассмотрим сум-

9 •= V - V -' ^ Ы ^ /3!

\а\=к |fi\=l И

- m i=1

(3.6)

По формуле |а — b\2 = |а|2 — 2 Re (ab) + \b\2 раскроем квадрат модуля в (3.6). Получим S = Si -2 Re (S2) + S3. где

1 m 2

m^ 1 1

k\ kl * - Z. Z. Ji

\a\=k \в\=к H

i=1 m

|a|=fc ' |/3|=fc ¿=1

Сумма Si является частным случаем суммы (2.5) при I — к. Поэтому

.. m

т. е, ¿>1 именно то выражению, которое стоит в левой часта (1.2),

Поскольку 1(а,/3) = 0 при а ф /3, то в ¿>2 надо оставить только слагаемые с а = /3:

2 ш

\а\=к m

(n + k — 1)!

1 ^ к\(п — 1)! ^ к\ -а

71^ (п + к-1)\ ^ Ot\ 4 4 "

г=1 4 ' Ы=/г

\а\=к

Последняя сумма равна 1, ибо X^ € Г2(тг). В результате получим, что ¿>2 = Ск-

Сумма б'з вычисляется совсем просто:

\а\=к

2 \ " (n- 1)Ы "

J m(n + k- 1)!.

\а\=к

Количество мультииндексов а таких, что |а| = к. равно — (ск) 1.

Поэтому S3 — cfe. В итоге получим

S = Si - 2 Re cfc + ск = Si - ск.

Поскольку <!э ^ 0. то ¿>1 ^ с^ и неравенство (1.2) доказано.

3.1. Условия достижения равенства в неравенстве (1.2)

Очевидно, что неравенство (1,2) обращается в равенство только в случае, когда выражение (3.6) равно нулю. Вывод: неравенство (1.2) становится равенством тогда и только тогда, когда система X — {Хг,..., Хт} удовлетворяет условию

т. е. для функций = ХаХ& среднее по сфере П(п) равно сред-

нему по системе X. Такое же свойство будет выполняться для всевозможных линейных комбинаций Введём линейное пространство Нот(к, к). состоящее из обобщённых полиномов вида

где ¿(а, 0) — произвольные комплексные коэффициенты.

Неравенство (1,2) обращается в равенство тогда и только тогда, ко-

В вещественном случае системы точек X. обладающие аналогичным свойством, названы нами (см, [3]) сферическими полудизайнами. Введём определение для комплексного случая,

Определение 1. Система точек X — {Х1,... ,Хт} на сфере называется комплексным сферическим полудизайном порядка 2к, если выполнено условие (3.7).

Это определение позволяет сформулировать главное утверждение статьи в следующем виде,

ТЕОРЕМА 2. Пусть к — натуральное числе. Для любой системы X — {Х^,..., Хт} на сфере £2(п) справедливо неравенство

где константа сь определена в (1.3). Равенство достигается тогда и только тогда,, когда система X является комплексным сферическим полудизайном порядка 2к.

\а\=к Щ=к

Доказательству этой теоремы посвяшён весь раздел 3. Из теоремы следует удобный критерий комплексного сферического полудизайна.

СЛЕДСТВИЕ. Система X — {Х1,...,Хт} С £1(п) является комплексным сферическим полудизайном порядка 2к тогда и только тогда. когда выполнено равенство

1 то

= (з-8)

ТП . . г,3=1

В этом критерии нужно проверить одно единственное равенство (3.8).

4. Вещественные сферические полудизайны

Теория вещественных полудизайнов разработана достаточно полно (см. [3]). В пространстве Кп рассмотрим единичную сферу

Я""1 = {Х = (®ь + +

Определение 2. Система точек Х = {Х1,..., Хт} на Бп~1 называется сферическим полудизайном порядка 2к, если выполнено равенство

Г 1 т

»-1 т

для любого однородного полинома Р{Х) степени 2к от п переменных.

Основное экстремальное свойство полудизайнов содержится в следующем утверждении,

ТЕОРЕМА 3. Для любой

системы точек X — ■ ■ • > ^ш} сфере ¿>п,~1 справедливо неравенство

1 т

— {Ъ, ХЛ™ > ск, (4.9)

пт> . . ,

1,3=1

_ (2к — 1)!! °к ~ п(п + 2)... (п + 2к - 2)'

Равенство в (4-9) достигается на сферических полудизайнах порядка 2к и только на них.

Неравенство (4.9) разными способами устанавливалось в [4—6]. В [3] было введено понятие полудизайна. что позволило чётко сформулировать условия достижения равенства.

Всякий вещественный вектор может рассматриваться как частный случай комплексного. Возникает вопрос: будет ли вещественный полудизайн одновременно комплексным полудизайном? Ответ таков: при к = 1 будет, а при к > 1 - не будет. Это следует из соотношения констант Ск и Ск~-

1

С\ = С1 =

П

~ ТТ 5 + 1 ^25+1

Ск = 11 ~~<Ск = \\ —Г7Г

5=0 в=0

при к ^ 2, п ^ 2.

5. Пример комплексного сферического полудизайна

5.1. Пример из книги Кокстера [7].

Построим полудизайн Ф = <3>1 и Ф2 и Ф3 на сфере П(3). Обозначим ш = е2?Г1/3 — корень 3-ей степени из 1. Рассмотрим три множества векторов:

Каждое из множеств содержит 9 векторов, а тогда т = |Ф| = 27, Множество Ф является несимметричным. Можно сказать больше: для любого X £ Ф вектор —X не принадлежит Ф.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Система Ф является комплексным сферическим полудизайном порядка.

Доказательство. Достаточно проверить, что

5:= £ | {X, У) |4 = с2га2 = ^272 = хуеФ

Среди скалярных произведений много однотипных. Можно показать. что

5 = 3 £ |(Х,У)|4 + 6 £ =

Х-Уеф1 ХеФг

У е Ф2

=3 Е

2 2

Е

1*1 "2

— -UJ

V1-V2

(5.10)

где /ii, /i2, независимо принимают значения 0, 1. 2, так что в каждой сумме 81 слагаемое. Сразу видно, что вторая сумма в (5.10) равна 81/16.

Для слагаемых в первой сумме в (5.10) могут быть только две возможности:

1) = wvi~v2 и тогда слагаемое равно 1. Этот случай будет, если /ii — /i2 = Р\ — ^(fflod 3). Это условие выполняется для 27 четвёрок (/îi, /¿2,^1,^2) ■

2) В противном случае +а//1_1'2| = 1 и слагаемое равно 1/24. Например, uj° + ш1 — —и1.

Окончательно,

о о 54 о ^ „81 243

5 = 3-- + 3-27+6- = -.

Предложение доказано.

□

Рассмотрим аналогичный пример при п = 2. На сфере П(2) рассмотри множество

состоящее из 9 векторов (т = 9). Образует ли оно комплексный сферический полудизайн 4-го порядка? Нужно проверить равенство двух чисел

Ф1 = <^(оЛаО|/^е0:2|,

£ I Y)

ХУеФг

4-2

и с2т =

2-3

• 9 = 27.

Сумма вычисляется совершенно так же. как и выше: 27 слагаемых равны 1 и 54 слагаемых равны 1/24. Поэтому ¿>1 > 27, Значит, Ф1 не является полудизайном 4-го порядка.

5.2. Естественное вложение в М2™.

Всякому вектору 2 = (2:1,..., гп) из Сп, где Zj = х^ + щ. поставим в соответсвие вектор = (ж1,..., хп, у±,..., уп) 6 М2™. Нетрудно проверить, что = Яе для любых 6 С",

Применим отображение (р к векторам комплексного полудизайна Ф из п, 5.1. Очевидно, что <р(Ф) С Б5.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Система Ф) является сферическим полудизайном на сфере Б5.

Доказательство. Вычислим сумму

5= Е Ш)му))' =

Х,УеФ

= 3 £ [Де(Х,У>]4 + 6 Е тХ,У)]4 =

= з Е

М1> № М, 1/2

хеФьУеФ2

||4 + б £ ГлЛ-^-«*}

' -I 11.1 «|.п 1У-1 Г/п » ' -

где //1,/¿2, независимо принимают значения 0, 1. 2.

Здесь 9 выражений Де{о;г/1_г/2} принимают значение 1 (3 раза) и значение — \ (6 раз).

Выражение Де{о/'1_М2 +о//1-1/2} принимает значения 2 (9 раз), ±| (36 раз]. —1 (36 раз). В итоге получаем

6 "16

24 -9 + ( ^ ) -36 + (-1)4 -36

+

6-9

~16~

3+1"2

•6

27^ 16 '

В тоже время с2 = А = с2т2 = Значит, система ср(Ф) явля-

ется сферическим полудизайном 4-го порядка.

□

Напрашивается гипотеза: если Ф — комплексный полудизайн на сфере Г2(тг) порядка 2к. то <^(Ф) будет сферическим полудизайном на сфере «Б"271-1 также порядка 2к.

Литература

1. Roy A.. Suda S. Complex spherical designs and codes // arXiv: 11044692vl [math] 25 Apr 20ll. 45 pp.

2. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С". М.: Мир, 1984.

3. Котелина Н. О., Певный А. Б. Экстремальные свойства сферических полудизайнов // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22. Вып. 5. С. 162-170.

4. Сидельников В. М. Новые опенки для плотнейшей упаковки шаров в n-мерном эвклидовом пространстве // Матем. сб. 1974■ Т. 95. M Î. С. 148-158.

5. Goethals Л. M., Seidel Л. Л. Spherical designs // Proc. Symp. Pure Math. 1979. V. 34. P. 255-272.

6. Venkov В. B. Réseaux et designs sphériques. Réseaux Euclidiens, Designs Sphériques et Formes Modulaires. Monogr. Enseign. Math., vol. 37. Genève. 2001. pp. 10-86.

7. Coxeter H. S. M. Regular complex polytopes. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1991.

Summary

Pevnyi A. В., Kotelina N. O. Complex spherical semidesigns

The autors establish a complex version of the inequality of Sidelnikov, Goethals-Seidel and Venkov. The equality occurs if and only if the system of vectors is a complex spherical semidesign.

Keywords: complex spherical semidesign, inequality of Sidelnikou, Goethals-Seidel and Venkov.

Сыктывкарский государственный университет

Поступила 20.06.2013