Комплекс алгоритмов для решения задач испытаний сложных технических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.78.018

КОМПЛЕКС АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ИСПЫТАНИЙ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Н.С. Акиншин, М.Ю. Фомичёв, И.Ю. Мацур

Определены задачи построения испытательной базы сложных технических систем. Предложены алгоритмы решения задач испытаний сложных технических систем.

Ключевые слова: сложные технические системы, испытательная база, квазииерархические модели.

Основной задачей, решаемой при планировании испытаний сложных технических систем (СТС), является следующая задача (А: определить минимальные значения характеристик комплексов системы обеспечения испытаний (СОИ), обеспечивающие с заданной достоверностью достижение заданного значения показателя эффективности испытательной базы (ИБ)).

При решении данной задачи полагаются заданными:

1. Перечень образцов СТС, поступающих на испытания в программном периоде.

2. Характеристики целей, для борьбы с которыми создается вооружение.

3. Моменты программного периода, в которые выходят на испытания образцы СТС.

4. Основные характеристики образцов СТС, используемые как параметры модели.

5. Состояние комплексов СОИ в начальный момент программного периода, т.е. номенклатура и значения характеристик комплексов СОИ.

6. Структура квазииерархической модели ИБ.

7. Функции связи между элементами модели.

8. Коэффициенты важности образцов СТС и значения некоторых других параметров модели.

Часть исходных данных, может быть задана в расплывчатом виде. В связи с этим решается задача В - частный случай задачи А при не расплывчатых исходных данных и функциях связи стандартного вида, решается более общая задача Б при расплывчатых исходных данных и функциях связи стандартного вида. Для решения этих задач предлагается также метод определения коэффициентов важности объектов по результатам расплывчатых экспертных оценок (задача Е) и метод вычисления функций от расплывчатых переменных (задача С).

21

Разработанные в [1-4] методы позволяют предложить достаточно эффективные алгоритмы решения задач В, С, Б, Е. В основе алгоритмов решения задач В, Б и Е лежит анализ функционально-взвешенных графов. При этом наряду с оригинальными алгоритмами здесь используются известные процедуры Флойда [2], Марченко-Муравьёва [5], Лейфмана [3], построения графа Герца [4].

1. Алгоритм анализа квазииерархической модели со стандартными функциями связи и известными параметрами.

Исходной информацией для решения задачи В являются:

- глубина Т планового периода Т = {1, 2,..., Т};

- перечень образцов СТС, которые поступят на испытания в период Т, а также значения их основных технических характеристик;

- множество Y = Y2, ..., Yи} показателей эффективности ИБ, качества решения ею отдельных задач испытаний, основные ТТХ комплексов СОИ;

- ориентированный граф G = (Y, Ц) с множеством вершин Y = Y2, ..., Yи} и множеством дуг Ц, задаваемый с помощью технологической матрицы 1 = (1у)ихи весов дуг;

- предельно допустимые значения уу характеристик элементов КИМ, не лежащих на нижнем уровне (параметры модели);

- у°/о требуемое значение показателя эффективности системы.

Для решения задачи В необходимо выполнить следующие этапы:

1. Вычислить матрицу р = (Ру)ихи весов максимальных путей графа G Пу = тах ,} е V, по правилу:

Р^рч СМ)ер

а&г

(0_

(*)

а^ ),(*, г) еЦ 0,(*, г) ё Ц

где Ц = {(¿,0 / * е V, г е

2. Проверить выполнимость неравенств

У у ^ УюЩ о у (1)

для всех характеристик Yj, не лежащих на нижнем уровне КИМ.

3. Определить решение задачи В формулами, если неравенства (1) выполняются:

У0 ^ УоРоу, "У е ^р. (2)

4. Проанализировать возможности либо увеличения предельных

значений Уд,...,Уу*, либо снижения требования по эффективности ЛИБ,

если неравенства (2) при некоторых у = у\, у2, ..., у не выполняются.

Этап 4 является неформальным, этапы 2 - 3 выполняются тривиально. Рассмотрим процедуру выполнения этапа 1. Для вычисления матрицы р необходимо:

22

1.1. Определить бикомпоненты G1, G2, ..., Ог графа G.

1.2. Упорядочить найденные бикомпоненты по уровням Ь1, Ь2, ..., Ьр (число уровнейр также должно определяться).

1.3. Найти матрицы весов максимальных путей в каждой нетривиальной бикомпоненте.

1.4. Осуществить "склеивание" полученных на этапе 1.3 матриц по формулам

(*) *

А( ) - А* А - Ап

Г \

* *

*

А)). (3)

X АИ1АШ1 АШ2 А/2/ 2.. А1к]

V/</'1</2<...<'к у

Этапы 1.1-1.2 осуществляют квазииерархическое упорядочение вершин графа G, этапы 1.3-1.4 - вычисление матрицы р с учетом этого упорядочения.

Обозначим через и = (мгу)пхп матрицу смежностей [1] графа:

и = |1, (',■)еи;

и' |0, (',■)¿V.

Этап 1.1 выполняется с помощью алгоритма нахождения бикомпо-нент графа [3]. В результате выполнения этого этапа определяются множества вершин ¥1, ¥2, ..., ¥г бикомпонент G1, G2, ..., Ог и массив Я = (^(1), Яи), где - номер бикомпоненты, в которую входит вершина '.

Определим для каждой бикомпоненты Gi два множества:

S(l') - множество вершин графа G, в которые ведут дуги из бикомпоненты Gi;

То - множестю вершин бикомпоненты Gi, из которых ведут дуги в другие бикомпоненты.

Очевидно,

■ е % & ■ е , $к е : ик' -1 7 е Т(') & ] е V', $к € V' : щк -1.

Этап 1.2 состоит из следующих подэтапов:

1.2.1. Определяется граф Герца Г графа G [4], т.е. на множестве бикомпонент G1, G2, ..., Gr строится матрица g = (gi^■)ихи смежности этих би-компонент:

1, если $к е ¥и е ¥7 : Щ' — 1;

0, в противном случае.

Вершинами графа Герца Г являются бикомпоненты G1, G2, ..., Gr, а множество дуг определяется матрицей смежности вершин g.

1.2.2. Пусть М - номер уровня. Положим М = 0.

1.2.3. Проверить, существуют ли в матрице g ненулевые элементы. Если существуют, то перейти к этапу 1.2.4, в противном случае - к этапу 1.2.6.

gji

1.2.4. М := М + 1.

1.2.5. На уровень Ьт относят те вершины Ог графа Г, для которых в 1-м столбце матрицы g стоят одни нули:

г е Ьт ^ gjr = 0, = 1, г. Построим новую матрицу g = (gгy)rxr:

gij, " £ 4 и ¿2 и... и Ьт,= 1, г; 0,"i е ¿1 и ¿2 и... и Ьт,"' = 1,г;

и вернемся к этапу 1.2.3.

1.2.6. Все уровни ¿1, ¿2, •••, Ь определены. Определим массив Ь = {¿(1), • .., ¿(р)}, где - номер уровня, на котором находится бикомпо-нента Gk.

С помощью перенумерации вершин графа О матрицу р можно представить в виде

Г П11 П12 П13 . .. П1 Р

0 П22 П23 . .. П2 Р

р = 0 0 П33 . .. П3Р

0 0 0 0 П рр

\ рр У

где Пй - квадратная матрица весов максимальных путей подграфа О(Ы); П'. - матрица весов максимальных путей графа О, ведущих с уровня на уровень Ц.

Для каждого I = 1,р матрица Пгг представима в виде:

Пй =

и11

0

0 п

(i)

22

00

0 0

0 п^ у

где - квадратные подматрицы матрицы П„, задающие веса максимальных путей бикомпонент, лежащих на уровне Ц, рг - число бикомпо-нент на уровне \Ы = рг.

Этап 1.3 - определение матрицы Б^, £ = 1, Рг , I = 1, г - осуществляется с помощью алгоритма Флойда [2].

Рассмотрим выполнение этапа 1.4, используя соотношения (3).

Пусть г0 - произвольный элемент уровня ¿1. Запишем схему выполнения этапа 1.4 для определения г-й строки матрицы р (элементы остальных строк определяются аналогично).

1.4.1. Положим вначале элементы щ матрицы р равными либо найденным на этапе 1.3 весам максимальных путей, если г и у входят в одну бикомпоненту, либо агу, если г и у не входят в одну и ту же бикомпоненту.

1.4.2. Пусть к - номер уровня. Положим к = 1.

1.4.3. к := к + 1.

1.4.4. Для всех вершин г е Ьк определяем величину щ у с помощью

цикла:

р0 у = тах(рг0 у, тах р*0/ру ) (4)

где внутренний максимум берется по всем / е £(/), ? е Т(г) и по всем номерам г е Ь1 и Ь2 и ... и Ьк-1.

1.4.5. Если к < р, то перейти к этапу 1.4.3, в противном случае все элементы г-й строки матрицы р определены.

Вычисление по формуле (4), сделанное на этапе 1.4.4 в виде цикла, допустимо в силу того, что величины Рй известны (этап 1.3), и если к е Уи у е V, то аку = 0, если к е Т(г), аук = 0, если к е Б(И).

Блок-схема предложенного алгоритма показана на рис. 1.

Исходной информацией для алгоритма являются:

- глубина Т планового периода Т = {1, 2, ..., Т};

- перечень образцов В и ВТ, которые поступят на испытания в период Т;

- множество У = {У1, ..., Уг} показателей эффективности ИБ, качества решения ею отдельных задач испытаний, основных ТТХ комплексов СОИ;

- ориентированный граф О = (У, V), задающий структуру КИМ ИБ;

- расплывчатые значения характеристик образцов ВВТ, расплывчатые значения параметров

Лг] = {(ау,|у(ау))/ау >0},"(У,Уу)е V, Ау = {(Уу,ту(Уу))/Уу > 0},"(Уу)е У \Ьр;

- 1 - фиксированный уровень показателя эффективности ИБ;

- т0 - заданная достоверность.

Для решения задачи Б необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти наибольшие (а гу и у+у) и наименьшие (а-¡у и у-у) корни уравнений:

тгу (ау ) = |10, "(У,Уу )е V,

(5)

1у(Уу) =|0, "(Уг)еУ/Ьр.

Если эти уравнения корней не имеют, то задача Б не имеет решения. В противном случае положить 1+ = (1+гу)ихи и 1- = (1-гу)ихи и перейти к шагу 2.

- глубина Т планового триода Т = {1,2,.., Т};

- перечень образцов В и ВТ, которые поступят на испытания в период Т, а также значения их основных ТТХ;

- множество У={У1,У2,.,Уп} показателей эффекпжносгт ИБ, качества решения ею отдельны задач испытаний, основные ТТХ комплексов СОИ;

- ориентированный граф 0=(У, и) смножествомвершин У={У\,У2 ,.,Уп} и множеством дуг и, задаваемый с помощью технологической матрицы 1=(1)п. весов дуг;

- предельно допустимые значенияу, характеристик элементов КИМ, н лежащих на нижнемуровне (параметры модели);

- у}о требуемое значени показателя эффективности системы.

Вы ч иление мат рицы

весов максимальных путей графа G

'. = "¡? П «-»'.

Определение биокомпонентграфа О

Определение матрицы смежностей графа

{1, (, №

""= ^и _

Определение множества вершин У^,.. ,У, бикожонент ОО ,...О и массива где - ноомр биксмпоненты, в

которую входит вершина ,. Определение для каждой бикожонеты О дух множеств: &)- множества вершин графа О, в которые ведут дуги из бикожоненты О;

Тд- множестю вершин бикомтненты О, из которых ведут дуги в другие бикомпоненты.

] е^^ } еУ,, Зк еУ, :и„=1, уеТ(0 ^ ]еУг Зк еУ, :и1к =1.

Определение графа Герца Г графа О, т.е. на множестве бикомпонент О1,О2,... ,О, строится матрица g=(gi)nm смежности этих бикомпонент {1, апее Зк е У,и еУ/ \иь = 1;

г":= [о, епа

Вершины графа Герца Г - бикомпоненты О^О2,... ,О,, а множество дуг определяется матрицей смежности

ПУСК

M - номер уровня Существую ли вматрице g н>нушъы кожоненты?

Отбор на уровень L,тех вершин Gi графа Г, дл которьы в i-ом стооЛбце матрицы g стоят одни нули ¡eL,«g, = 0,Vk=1,г __

Построение новой матрицы g=(g$)m

ig^ttlL, и L и uL,," =1,r, g V VieL,uL,и uL,,Vj =1,r,

исходных данных

p:=(pij)n.n

G:-Gi, G2, Gr

u:-(Ujj)nKn

V, G, R

Г

M -0

M:- M+1

L m

Всеуровни L1,L2,... Огределениемасома L={L(1),... ,L(p)}, где L(k) - номер уровня на котором находится бикомпонента Gk

C помощь ю перенумерации вершин графа G матрицуp можно представить в виде

Df;> 0 0'

,П.= 0 Dl 0 0 0 dDRR ,

где П - квадратная матрица весовмаксимальньы путей подграфа

GIL);

П - матрица весовмаксимальных путей графа G, ведущих суровня L, науровень L,.

Для каждого 1=1рмааат>ща Ццпредставима в виде, где D(s -квадратные подматрицы матрицы Пи задающие веса максимальных путей бикомпонент, лежащих на уровне L,p- число бикомпонент на уювн L, \L\=p.

Определениематрицы весовмаксиммьньых путей в каждо нгтривиа/ьнш бикоитнете. Определениематрщы D^s, s=1p I=1 ауществвлятсяс помощью алгстма Флойда.

"Склеивание"nолученнььхмаприц по формулам (1.38)

Пусть io - произвольный элемент уровня Li. Схема выполнения этапа дт определения i-й сгтюаимжрицы (элементы остальных строк определяются аналогично).

Положим вначале элементы р матрицы равным либо найденным на этап 1.3 весам максимальных ппутей, если i иj входят в одну биж^^пон^нгту, либо а если i и j н входят в одну и ту же бикомпоненту.

к - номер уровня

Для всех вершин i IL определяем величину ро с помощью цикла: р j =maax(po, maxp&*pt*pj где внутренний максимум берется по всеем lIS(i), Щ и по всем номерам iL Е L Е ... Е Lk-h если, k^ify то ак = 0, еели kIT(i), ак = 0, еели klS(i)

Рис. 1. Алгоритм решения задачи В

'Пи Пи Пи n,p ^

0 П.. П.. П

0 0 П.. П.

000

2. Определить матрицы p = (p у)ихи и p- = (р-гу)ихи весов максимальных путей в графах G1- и G1+.

3. Проверить условие существования у задачи D решения, т.е. проверить, выполняется ли неравенство

min y + / р-0, >1.

Yj eY \ Lp J J

Если неравенство не выполняется, то задача D решения не имеет. Если оно выполняется, то перейти к шагу 4.

4. Определить значения р++ по формулам

р++ = min(p++,1/ 1y+), VY, e Lp.

ioJ v ioJ J J p

5. Найти интервалы

[lp- j, 1p++ ], VУ, e Lp,

L i0j ig j1 j p

являющиеся решением задачи 2.

Для решения уравнений (5) используется хорошо известный метод дихотомии. Применимость метода дихотомии следует из непрерывности и

унимодальности функций Цу и Цу. В результате решения этих уравнений

- +

определим матрицы а и а .

Шаг 2 по известным матрицам а- и а+ выполняется аналогично шагу 1 алгоритма решения задачи В. Шаги 3-6 выполняются элементарно. Укрупненная блок-схема алгоритма приведена на рис. 2.

Рис. 2. Алгоритм решения задачи D

Исходной информацией для алгоритма решения задачи С являются:

- число переменных n;

- функция F(xb x2, ..., xn);

- функции принадлежности m/i) нечетких переменных А{;

- носители (аг-, bi) = sup m(i) функций m(0;

- точки максимума t°i функций m/(t);

27

- I = {i} - множество индексов i, таких, что F возрастает по переменной x;

- J = {1, 2, ..., n} \ II;

- e - точность решения;

- у - фиксированное значение зависимой переменной y = F(xi, ..., xn).

Решение задачи C для функции F, монотонной по каждой переменной, сводится к случаю, когда функция F является монотонно возрастающей.

Для этого осуществляется ряд тривиальных замен переменных. Будем считать, что I = {1, 2, ..., n}, J = 0. С учетом этого запишем шаги алгоритма.

1. Вычисляются границы отрезка (a, b):

а = FanX b = F(bl,...,bn).

2. Определяются

i0=mi(t0), i=Ы lo = min l.

3. Устанавливаются границы отрезка (a', b'):

^Ф^Х b, = V(1o).

4. Если y < а или у > b, то m(y) = 0.

Перейти к шагу 9.

5. Если d < y < b', то m(y) = 10;

Перейти к шагу 9.

6. Если y < a' , то перейти к шагу 7, иначе перейти к шагу 8.

7. Методом дихотомии вычисляется 1Ф - корень уравнения ф(1) = y. Положить m(y) = 1ф и перейти к шагу 9.

8. Методом дихотомии вычисляется ly - корень уравнения y(l) = y.

Положить m(y) = ly и перейти к шагу 9.

9. Вывести на печать решение m(y). Конец.

Укрупненная блок-схема алгоритма приводится на рис. 3.

Для работы алгоритма решения задачи Е необходимы следующие исходные данные:

М - количество сравниваемых объектов; М1 - количество проведенных попарных сравнений; U[1:2xM1] - список сравниваемых пар -{U[2x& - 1], U[2x&]}; EPS - точность вычисления весов контуров в аддитивной форме; LL - начальное, значение 11, обычно LL = 0.5; EPS1 - точность вычисления l, EPS1 << EPS.

В алгоритме предусмотрено уменьшение EPS1 в случае, если оно окажется недостаточно малым по сравнению с EPS. MU(i, t) - процедуры вычисления значений (аналитическая запись) функций принадлежности m(t) в точке t, i = 1, 2 xM1, j = 1, M1, причем

28

т у (г) =

{МП(2х' -1,г), г е [0,а];

{МП(2 х г), г е [а,<»],

где а = ММ'] - точка глобального максимума функции т(г). ММ[1:М1] -массив точек глобального максимума функций принадлежности ' = 1, М1.

1:={1, 2, ... п},

•Т:=°

!Г

(а, Ь),

а:=Б(а1, а2, . , ап)

- число переменных п;

- функция Р(Х1,Х2,...,Хп);

- функции принадлежности т() нечетки переменных Л,;

- носители (а,, Ы) = трр(г) функций ¡(г);

- точки максимума г , функций ¡(г);

-1 = {¡} - множество индексов ¡, таких, что ¥ возрастает по переменной х,;

- 3 ={1,2,...,п}\П;

- точность решения;

- у - фиксированное значение зависимой переменной у=¥(х1,.хП).

\ Границы отрезка

110=ш1(110), 1:=1, п, 1°=тш(1;°)

£

т(у):=0

1 Г

т(у):=1°

т(у):=1у

(а1, Ь1), а':=](1°), Ь1:=у(1°)

Границы отрезка

Методом дихотомии вычисляется корень уравнения 1]

Методом дихотомии вычисляется корень уравнения 1у

Рис. 3. Алгоритм решения задачи С

29

Основные шаги алгоритма следующие:

1. Построить исходный граф Г(1) = (V, Е).

2. Организовать цикл по /-индексу последовательно рассматриваемых Л(г) - множеств / := 1.

3. Определить тах 1 = в графе Г(17-1). (Г(1/_1) для / = 1 есть Г(1), построенный на шаге 1.

4. С помощью алгоритма Флойда [2] определить матрицу максимальных путей Р(1) = (рДОтхт).

5. Проверить, является ли граф Гг-1(1г) единичной бикомпонентой. Если да, то перейти к шагу 8, если нет _ к шагу 6.

6. По матрице максимальных путей определить единичные биком-поненты графа Г(1г) и веса входящих в них дуг.

7. / := / + 1 и перейти к шагу 3.

8. Восстановить вектор коэффициентов относительной важности объектов по имеющейся матрице максимальных путей. Задача решена. Останов.

Укрупненная блок-схема программы, реализующей предлагаемый алгоритм, приведена на рис 4.

М- количество сравниваемых сбъектсв; М1 - количество проведннгх попарных сравнений; и[1:2ХШ1] - список сравниваемых пар - {0[2хк-1] и[2 хк]} ;

ЕРЭ- точность вычисления весов контуров в аддитивной форме;

ЬЬ - начальное значение ¡1 обычноЬЬ = 05; ЕРБ1 - точность вычисления, ЕР31<< ЕРЗ

Ми(г, г) - процедры вычисления значений (сналитическт запись) функций принадлежности т] (г) в точке г / =1, 2хШ1, ] =1, М1 причем

Ши (2]-1,г), ге[0, а]; ) \ыи (2 ], г ), г е[а, ¥];

где а = ММ[ ] ] - точка глобального максимума функции т(г). ММ[1:М1] - массив точек глобального максимума функций принадлежности т(г), ] = 1, М1.

Построение исходного графа

Определение максимума в графе Г(1[-1) (Г(1[-1) для /=1 есть Г(1), построенный на шаге 1)

Определение матрицы максимальных фтгйс помощью алгоритма Флойд

Определение матрицы максимальных фтгйс помощью алгоритма Флойда

+

Вектор коэффициентов

Восстановление вектора коэффициентов относительной важности объектов по имеющейся матриц максимальных путей

ОСТАНОВ

Рис. 4. Алгоритм решения задачи Е

30

Таким образом, применение предлагаемых алгоритмов формализованных задач позволит принимать обоснованные решения в области организации эффективного процесса испытаний сложных технических систем.

Список литературы

1. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир. 2009. 302 с.

2. Кристофидес Н. Теория графов (алгоритмический подход). М.: Мир, 1979. 432 с.

3. Лейзман Л.Я. Эффективный алгоритм разбиения ориентированного графа на бикомпоненты // Кибернетика. 1966. № 5.

4. Зыков А.А. Теория конечных графов. Ч. 1. Новосибирск: Наука, 1969. 554 с.

5. Марченко В. А., Мравьев В.И. Построение кратчайших маршрутов на графе, алгоритм № 06-057. Библиотека алгоритмов. 1969.

6. Бусленко В.Н. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем. М.: Наука, 1977. 239 с.

Акиншин Николай Степанович, д-р техн. наук, проф., начальник отдела, cdhaeacdhae.ru, Россия, Тула, АО ЦКБА,

ФомичевМаксим Юрьевич, ст.науч.сотр., [email protected], Россия, Москва, 3 ЦНИИ МО РФ,

Мацур Игорь Юрьевич, преподаватель, infoatsu. tula. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

A SET OF ALGORITHMS FOR SOLVING PROBLEMS OF TESTING OF COMPLEX

TECHNICAL SYSTEMS

N.S. Akinshin, M.Y. Fomichev, I.Yu. Matsur

The tasks of building a test base of complex technical systems. The proposed algorithms for solving problems of testing of complex technical systems.

Key words: complex technical systems, test facilities, a quasi-hierarchical model.

Akinshin Nikolai Stepanovich, doctor of technical sciences, professor, head of department, cdhae a cdhae. ru, Russia, Tula, JSC CKBA,

Fomichev Maxim Yurievich, senior researcher, fgu3cniiayandex. ru, Russia, Moscow, 3 TSNII MO RF,

Matsur Igor Yurievich, lecturer, infoatsu. tula. ru, Russia, Tula, Tula State University