Компенсация задержки сигнала в цифровых сглаживающих фильтрах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

УСТРОЙСТВА

УДК 621.396:681.323

С. И. Зиатдинов

КОМПЕНСАЦИЯ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА В ЦИФРОВЫХ СГЛАЖИВАЮЩИХ ФИЛЬТРАХ

Показано, что подавление узкополосных помех сглаживающими фильтрами приводит к значительной задержке сигнала. Исследована возможность компенсации задержки сигнала экстраполяторами. Оценено влияние экстраполяторов на уровень шумов квантования.

Ключевые слова: дискретизация сигнала, подавление помехи, задержка сигнала, экстраполирование, шумы квантования.

В цифровых системах обработки сигналов помимо узкополосных и широкополосных помех дополнительно действуют шумы квантования сигнала по уровню, вызванные работой аналого-цифрового преобразователя.

Рассмотрим задачу выделения гармонического сигнала на фоне шумов квантования и гармонической помехи с частотой шп. Для снижения влияния помех используются сглаживающие фильтры с необходимой частотной характеристикой. Однако применение сглаживающих фильтров неизбежно приводит к задержке сигнала, что в ряде практических случаев недопустимо.

Пусть в качестве сглаживающих фильтров используются фильтры Баттерворта нижних частот [см. лит.], имеющие наиболее крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в области высоких частот.

В непрерывном варианте частотные передаточные функции фильтров Баттерворта

где ^ — порядок фильтра, ю0 — частота среза, а — весовые коэффициенты.

третьего (5=3) — ах = 2, = 2 а3 = 1; четвертого (5=4) — ах = 2,613;

а2 = 3,414; а3 = 2,613; а4 = 1. Сделав замену в формуле (1)

имеют вид

(1)

При этом для фильтра первого порядка (5=1) а1 = 1; второго (5=2) — а1 = -72, а2 = 1;

2 г -1

где 2 = в]гаТ, Т — период дискретизации входного сигнала, получим частотную передаточ-

ную функцию дискретного фильтра Баттерворта в плоскости г

Ж (г) = 01(1 + г-1)5

1 + ^ Ъгг -

г=1

Здесь

для 5=1:

« = Т/(Т + 2га-1); Ъ = (Т - 2га-1)/(Т + 2га-1);

для 5=2:

а1 = Т2/(4га-2 + 2>/2Тга-1 + Т2); ^ = 2(Т2 - 4га-2)/(4га-2 + 2л/2Тга-1 + Т2);

Ъ2 = (4га-2 - 2^Тга-1 + Т2)/(4га-2 + 2^2Тга-1 + Т2);

для 5=3:

« = Т3/(8га-3 + 8Тга-2 + 4Т2 га-1 + Т3); Ъ = -(24га-3 + 16Тга-2 -8Т2га-1 -3Т3)/(8га-3 + 8Тга-2 + 4Т2га-1 + Т3); Ъ2 = (24га-3 -8Тга-2 -4Т2га-1 + 3Т3)/(8га-3 + 8Тга-2 + 4Т2га-1 + Т3); Ъ3 = -(8га-3 -8Тга-2 + 4Т2га-1 -Т3)/(8га-3 + 8Тга-2 + 4Т2га-1 + Т3);

для 5=4:

« = Т4/ (16 га-4 + 20,904Тга-3 + 13,656Т2 га-2 + 5,226Т 3га-1 + Т4);

Ъ1 = -

64га-4 + 41,808Тга-3 - 5,226Т3га-1 - 4Т4

Ъ2 =

Ъэ =-

Ъ4 =

16га-4 + 20,904Тга-3 + 13,656Т2га-2 + 5,226Т3га-1 + Т4 : 96га-4 - 27,312Т2 га-2 + 64Т4 _

16га-4 + 20,904Тга-3 + 13,656Т2га-2 + 5,226Т3га-1 + Т4 ' 64га-4 - 41,808Тга-3 +10,542Т3га-1 - 4Т4 _ 16га-4 + 20,904Тга-3 + 13,656Т2га-2 + 5,226Т3га-1 + Т4 '' 16га-4 - 20,904Тга-3 + 13,656Т2га-2 - 5,226Т3га-1 + Т4 16га-4 + 20,904Тга-3 + 13,656Т2га-2 + 5,226Т3га-1 + Т4 '

(2)

Подавление гармонической помехи. Соотношение (2) позволяет записать АЧХ дискретных фильтров Баттерворта в виде

Ж5 (га) = а125 соб5 (гаТ /2))

Г 5 V ( 5 \

1 + ^ Ъ собггаТ + ^ Ъ Бш ггаТ V г=1 У V г =1

(3)

Из данной формулы видно, что для частоты га, равной половине частоты дискретизации гад = 2п/Т, коэффициент передачи фильтра равен нулю. Следовательно, с учетом периодичности функции собх при частоте помехи гап = п(1 + 2к )/Т для £=0,1,2... имеет место полное

подавление сигнала помехи. На практике обеспечить данное соотношение не всегда удается. В табл. 1 приведены результаты расчетов АЧХ дискретных фильтров Баттерворта вблизи частоты / = 1/2Т при Т=0,01 с и га0 = 25 с-1 .

Таблица 1

f Гц 15 20 25 30 35 40 45 50

s= 1 0,238 0,170 0,124 0,090 0,064 0,041 0,020 0

W (f) s=2 0,060 0,030 0,016 0,008 0,004 1,6-10-3 3,9-m-4 0

s=3 1,48-10-2 5,1-10-3 2,0-10-3 7,49-m-4 2,58-10-4 6,7-10-5 7,76-10-5 0

s II 3,6-10-3 8,76-10-4 2,44-10-4 6,80-10-5 1,64-10-5 2,72-10-6 1,53-10-7 0

Из представленных данных следует, что подавление помехи на уровне 40 дБ достигается для фильтра первого порядка при ^ >45 Гц; второго — при /п >30 Гц; третьего — при

/п >15 Гц, четвертого — при >10 Гц.

Время задержки т сигнала фильтром равно Т1 = 1/юо для 5=1; = >/2/юо — для 5=2; Т3 = 2/юо — для 5=3 и Т4 = 2,613/юо — для 5=4. При Юо = 25 с-1 задержка сигнала фильтрами составит 4о; 56,6; 8о и Ю4,5 мс соответственно.

Определим значение ошибки, вносимой сглаживающим фильтром при передаче гармонического сигнала а(V) = А Бтф^ + у), где А — амплитуда, в — круговая частота и у — случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале -п—п.

Выходной сигнал фильтра можно записать как аф (V) = Аф вт[Р(/ - т) + у], где Аф, т —

амплитуда и время задержки сигнала.

При этом дисперсия ошибки составит

(

D = [a(t) -аф (t )]2 = 0,5 A2

1 Аф о A2 с

1 + -2 - 2—2cos вт

Л

(4)

A A

Для примера положим ю0 = 25 с-1, в=1,884 с-1. Тогда отношение (A - Аф)/ A < 0,2%

для всех порядков фильтров. При этом в выражении (4) без заметной погрешности можно положить Aф = A.

2 • 2

В результате получим D = 2A sin (вт / 2). Относительное среднеквадратическое отклонение составит А = 2 sin(eT / 2).

Результаты расчетов А при Юо = 25 с-1, в=1,884 с-1 для фильтров различных порядков приведены в табл. 2.

Таблица 2

s 1 2 3 4

т, мс 40 56,6 80 104,5

А, % 7,5 10,7 15,1 19,7

Рассмотрим возможность применения экстраполятора для снижения ошибок, связанных с задержкой сигнала сглаживающими фильтрами. В дискретном виде передаточная функция экстраполятора может быть представлена следующим образом:

т

жэ СЮ) = 2 ^),

г=о

где Ъэг- — коэффициенты экстраполирования; т — степень экстраполирования; Т — период

следования отсчетов входного сигнала экстраполятора.

В случае линейной экстраполяции алгоритм работы экстраполятора имеет вид

а э И) = аф (Г) + а ф ^ )Тэ, (5)

где а ф — производная сигнала на выходе фильтра Баттерворта; Тэ — интервал экстраполирования.

С учетом затухания сигнала в фильтре

аф (1) = ^5 (ш)а(1 -т),

где Ж5 (га) — коэффициент передачи фильтра; т — время задержки сигнала в фильтре. Согласно [1]

W>) = 1

1 +

ю

V юо J

2s

При использовании для вычисления производной а ф (1) первой обратной разности выражение (5) в дискретной форме принимает вид

аэ [к] = Ж5 (ш) |а[£ - Тэ / Т] + Т{а[к - Тэ / Т] -а[к -1 - Тэ / Т]}|,

где к — дискретное время.

Тогда дисперсия ошибки, вносимой задержкой сигнала фильтром, запишется в виде

D = {а[к]-аэ[к]} =а2[1 + 2Ж/(ш)ТэТ_1 + 2Ж/(ш)Тэ2Т"2 -2Ws(ш)(1 + ТэТ_1)р(Тэ) + +2Ws (ш)ТэТ "1р(Тэ + Т) - 2Ws2 (ш)ТэТ-1 (1 + Т,Т -1)р(Т)], где оа, р(т) — среднеквадратичное отклонение (СКО) и коэффициент корреляции сигнала на входе фильтра.

Для ранее принятой гармонической модели входного сигнала a(t) = A sin(pt + у) р(т) = cos Рт.

V2 _1 _1 D / aa при ю0 = 25 с , в=1,884 с , Т=0,01 c для фильтров

различных порядков приведены в табл. 3.

Таблица 3

s 1 2 3 4

т, мс 40 56,6 80 104,5

A, % 0,07 0,7 1,3 2,1

Полученные данные показывают, что применение экстраполятора позволяет резко снизить влияние задержки сигнала в сглаживающем фильтре.

Влияние шумов квантования. Квантование по уровню входного сигнала приводит к появлению дополнительных шумов на входе фильтра. Шумы квантования принято считать

белым дискретным шумом с дисперсией £>к = 5 /12 и спектральной плотностью N = Т52 /12,

где 5 — цена младшего разряда аналого-цифрового преобразователя; Т — период дискретизации.

Тогда дисперсия шумов квантования на выходе фильтра может быть найдена из соотношения

1

Dф = — | Ws2 (ю)#к ёю = NK A Ws,

-да

1

1 Г 2

где AWs = — I Ws (ю)ёш — эквивалентная полоса пропускания фильтра. 9ir J

Результаты расчетов AWs и отношения среднеквадратических значений шумов квантования на входе и выходе фильтра при ю0 = 25 с-1, 7=0,01 с приведены в табл. 4.

_Таблица 4

s 1 2 3 4

AWs, Гц 11,87 8,84 8,34 8,17

°ф /ок 0,345 0,297 0,289 0,286

Дисперсия шумов квантования на выходе экстраполятора находится по формуле Бэ = а2 Ц) = аф Ц) + (Гэ / Т) [аф Ц) - аф Ц - Т)]2, где аф ^) — выходной сигнал сглаживающего фильтра. Нетрудно показать, что

Б = сф [1 + 2 (Тэ / Т) + 2 (Тэ / Т)2 - 2 (Тэ / Т) (1 + ( / Т)) рф (Т)], где Сф, Рф (т) — СКО и коэффициент корреляции выходного сигнала сглаживающего фильтра:

<ю

1 Г 2 2

Рф (т) = J Ws (ro)NK С08(ют)^ю/0ф.

2п

-ю

Результаты расчетов интервала корреляции рф (Т) и отношения среднеквадратических

значений шумов квантования на выходе и входе экстраполятора при Юо = 25 с-1, Т=0,01 с приведены в табл. 5.

Таблица 5

s 1 2 3 4

AWs, Гц 11,87 8,84 8,34 8,17

Рф (Т) 0,826 0,973 0,985 0,987

°ф /0к 2,82 1,75 1,79 2,02

Из приведенных данных видно, что экстраполятор увеличивает уровень шумов квантования практически в два раза.

Таким образом, по результатам работы можно сделать следующие выводы:

1) применение цифровых сглаживающих фильтров позволяет эффективно подавлять узкополосные помехи;

2) для устранения задержки сигнала в сглаживающем фильтре необходимо использовать экстраполяторы;

3) экстраполяторы увеличивают уровень шумов квантования.

ЛИТЕРАТУРА

Бесекерский В. А., Зиатдинов С. И. Цифровое дифференцирование сигналов пространственного положения управляемого объекта // Гироскопия и навигация. 1999. № 1(24). С. 66—77.

Сведения об авторе

Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: Kaf53@GUAP.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

информационно-сетевых технологий 29.09.10 г.